21.2.3 二次函数表达式的确定（课件）--2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数表达式的确定，核心为待定系数法，系统梳理一般式、顶点式、交点式三种形式，承接二次函数图象知识，作为综合应用题与几何压轴题的解题基础，通过适用条件与步骤构建学习支架。 其亮点在于分层设计基础与提升练习题，结合易错点总结强调“择优而用”原则，体现运算能力与模型意识。如已知顶点用顶点式仅需代入一点求a，简化计算。学生能掌握方法提升解题效率，教师可借助清晰层次突出重点，助力教学。

21.2.3 二次函数表达式的确定专项练习 【核心知识梳理】 确定二次函数表达式是沪科版九年级上册21.2.3的核心考点，承接二次函数三种图象形式，是后续二次函数综合应用题、几何压轴题的解题基础。求二次函数解析式的核心思想为待定系数法，根据题目给出的不同条件，灵活选用一般式、顶点式、交点式三种形式，代入已知点坐标列方程（组）求解系数，即可确定函数表达式。 一、一般式（通用设法）：\(y=ax^2+bx+c(a≠0)\)。适用于已知图象上任意三个普通点坐标的题型。通过将三个点的坐标依次代入解析式，得到关于 \(a、b、c\) 的三元一次方程组，解出三个系数的值，即可求出函数表达式，适用范围最广，无特殊条件限制。 二、顶点式（简便设法）：\(y=a(x-h)^2+k(a≠0)\)。适用于已知顶点坐标、对称轴或最值的题型。式中 \((h,k)\) 为抛物线顶点坐标，可直接代入顶点坐标简化式子，仅需再代入一个图象上的点，即可求出唯一未知系数 \(a\)，计算量远小于一般式，是已知顶点条件的最优解法。 三、交点式（两根式）：\(y=a(x-x_1)(x-x_2)(a≠0)\)。适用于已知抛物线与 \(x\) 轴的两个交点坐标 \((x_1,0)、(x_2,0)\)的题型。\(x_1、x_2\) 为抛物线与x轴交点的横坐标，代入两个交点坐标后，仅需借助一个额外点坐标即可求出系数 \(a\)，大幅简化计算。需注意：无x轴交点条件时，不可使用交点式。 三种设法可相互转化，解题原则为“择优而用”：三点普通点用一般式，知顶点最值用顶点式，知双交点用交点式。求出解析式后，可根据题目要求化为一般式或顶点式标准形式。 二次函数 \(y=ax^2+bx+c\)（\(a≠0\)）是二次函数的一般式，是沪科版九年级上册二次函数的最终通用形式，涵盖前面所学的顶点式、平移型函数，是考试必考核心内容。任意二次函数都可化为一般式，它可以通过配方转化为顶点式 \(y=a(x-h)^2+k\)，进而求出抛物线的对称轴、顶点、增减性与最值，实现从特殊形式到通用形式的知识过渡。 在一般式中，三个系数分工明确且各有几何意义：系数 \(a\) 决定抛物线开口方向与开口宽窄，\(a>0\) 开口向上，图象有最低点；\(a<0\) 开口向下，图象有最高点。\(|a|\) 越大，抛物线开口越窄，图象越陡峭；\(|a|\) 越小，开口越宽。系数 \(a\)、\(b\) 共同决定对称轴位置，系数 \(c\) 决定抛物线与 \(y\) 轴交点位置。 通用核心公式可直接用于解题，无需每次配方：对称轴公式为直线 \(x=-\dfrac{b}{2a}\)，顶点纵坐标公式为 \(y=\dfrac{4ac-b^2}{4a}\)，即顶点坐标为 \(\left(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a}\right)\)。函数最值由开口方向决定，\(a>0\) 时，当 \(x=-\dfrac{b}{2a}\)，函数有最小值 \(\dfrac{4ac-b^2}{4a}\)；\(a<0\) 时，当 \(x=-\dfrac{b}{2a}\)，函数有最大值 \(\dfrac{4ac-b^2}{4a}\)。 函数增减性由对称轴与开口方向共同确定：\(a>0\) 时，对称轴左侧（\(x<-\dfrac{b}{2a}\)）\(y\) 随 \(x\) 增大而减小，对称轴右侧（\(x>-\dfrac{b}{2a}\)）\(y\) 随 \(x\) 增大而增大；\(a<0\) 时，对称轴左侧（\(x<-\dfrac{b}{2a}\)）\(y\) 随 \(x\) 增大而增大，对称轴右侧（\(x>-\dfrac{b}{2a}\)）\(y\) 随 \(x\) 增大而减小。 系数特殊规律：\(b=0\) 时，对称轴为 \(y\) 轴，图象关于 \(y\) 轴对称；\(c=0\) 时，抛物线经过坐标原点；\(a\)、\(b\) 同号，对称轴在 \(y\) 轴左侧；\(a\)、\(b\) 异号，对称轴在 \(y\) 轴右侧，可快速判断图象大致位置。 【基础专项练习题】 1. 填空题：已知二次函数图象经过 \((0,2)\)、\((1,3)\)、\((2,6)\) 三点，则该二次函数的解析式为________。 2. 填空题：已知抛物线顶点坐标为 \((1,-4)\)，且经过点 \((2,-3)\)，则抛物线解析式为________。 3. 选择题：已知抛物线与 \(x\) 轴交于 \((-1,0)\) 和 \((3,0)\)，且经过点 \((0,-3)\)，其解析式为（） A. \(y=x^2-2x-3\) B. \(y=-x^2-2x+3\) C. \(y=x^2+2x-3\) D. \(y=-x^2+2x+3\) 4. 选择题：已知二次函数最小值为 \(-2\)，对称轴为直线 \(x=3\)，则最简便的设法是（） A. 一般式 B. 顶点式 C. 交点式 D. 任意形式 【提升专项练习题】 5. 解答题：已知二次函数图象经过点 \((-1,0)\)、\((0,-3)\)、\((2,-3)\)，试用合适的方法求出该二次函数的解析式。 6. 解答题：已知抛物线顶点为 \((-2,1)\)，且与抛物线 \(y=-2x^2\) 开口大小、方向完全相同，求该抛物线解析式。 此函数的图象依旧是抛物线，系数 \(a\) 决定开口方向与开口大小，和前两类二次函数性质一致。当 \(a>0\) 时，抛物线开口向上，图象有最低点；当 \(a<0\) 时，抛物线开口向下，图象有最高点。相较于 \(y=ax^2\)、\(y=ax^2+k\)、\(y=a(x-h)^2\)，该公式的优势是可直接读出顶点与对称轴：抛物线对称轴为直线 \(x=h\)，顶点坐标为 \((h,k)\)，顶点不再局限于坐标轴上，可在平面直角坐标系任意位置。 函数增减性与最值规律清晰：\(a>0\) 时，在对称轴左侧（\(x<h\)），\(y\) 随 \(x\) 增大而减小；在对称轴右侧（\(x>h\)），\(y\) 随 \(x\) 增大而增大，当 \(x=h\) 时，函数取得最小值 \(k\)。\(a<0\) 时，在对称轴左侧（\(x<h\)），\(y\) 随 \(x\) 增大而增大；在对称轴右侧（\(x>h\)），\(y\) 随 \(x\) 增大而减小，当 \(x=h\) 时，函数取得最大值 \(k\)。 平移规律遵循“左加右减，上加下减”完整法则。由 \(y=ax^2\) 平移得到：\(h>0\) 向右平移 \(h\) 个单位，\(h<0\) 向左平移 \(|h|\) 个单位；\(k>0\) 向上平移 \(k\) 个单位，\(k<0\) 向下平移 \(|k|\) 个单位。平移全过程中抛物线形状、开口、宽窄保持不变，仅顶点位置发生改变。 【基础专项练习题】 1. 填空题：已知二次函数 \(y=x^2-2x+3\)，则开口方向为______，对称轴为直线______，顶点坐标为______，函数有最______值为______。 2. 填空题：二次函数 \(y=-2x^2+4x-1\)，当 \(x\)______时，\(y\) 随 \(x\) 的增大而增大；当 \(x\)______时，\(y\) 随 \(x\) 的增大而减小。 3. 选择题：关于二次函数 \(y=3x^2-6x\)，下列说法正确的是（） A. 开口向下 B. 对称轴为 \(x=-1\) C. 最小值为 \(-3\) D. 经过点 \((1,0)\) 4. 选择题：抛物线 \(y=-x^2+2x+c\) 的对称轴是（） A. 直线 \(x=1\) B. 直线 \(x=-1\) C. 直线 \(x=2\) D. 直线 \(x=-2\) 【提升专项练习题】 5. 解答题：已知二次函数 \(y=x^2-4x+2\)，（1）通过配方将函数化为顶点式；（2）写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值；（3）简述函数的增减性。 6. 解答题：已知二次函数 \(y=ax^2+bx-3\)，经过点 \((1,-4)\)、\((2,-3)\)，（1）求函数解析式；（2）求抛物线的对称轴和顶点坐标。 【参考答案与详细解析】 1. 答案：\(y=x^2+2\)。解析：设一般式 \(y=ax^2+bx+c\)，代入 \((0,2)\) 得 \(c=2\)；再代入 \((1,3)\)、\((2,6)\) 得方程组 \(\begin{cases}a+b+2=3\\4a+2b+2=6\end{cases}\)，解得 \(a=1，b=0\)，解析式为 \(y=x^2+2\)。 2. 答案：\(y=(x-1)^2-4\)。解析：设顶点式 \(y=a(x-1)^2-4\)，代入点 \((2,-3)\)，得 \(a(2-1)^2-4=-3\)，解得 \(a=1\)，整理得解析式。 3. 答案：A。解析：设交点式 \(y=a(x+1)(x-3)\)，代入 \((0,-3)\) 得 \(-3a=-3\)，\(a=1\)，展开得 \(y=x^2-2x-3\)。 4. 答案：B。解析：已知函数最值与对称轴，即可确定顶点坐标，优先使用顶点式，计算最为简便。 5. 解析：由点 \((0,-3)\)、\((2,-3)\) 纵坐标相同，可知对称轴为直线 \(x=1\)，顶点横坐标为1。设顶点式 \(y=a(x-1)^2+k\)，代入 \((-1,0)\)、\((0,-3)\)，解得 \(a=1，k=-4\)，解析式为 \(y=(x-1)^2-4\)，化为一般式：\(y=x^2-2x-3\)。 6. 解析：开口大小、方向相同则 \(a=-2\)，顶点为 \((-2,1)\)，设顶点式 \(y=-2(x+2)^2+1\)，即为所求解析式。 【易错点总结】本节高频易错点：第一，不会根据条件择优选择解析式，已知顶点仍强行使用一般式，计算繁琐易出错；第二，交点式代入坐标时符号混淆，写错 \(x_1、x_2\) 符号；第三，顶点式中 \(h\) 的符号出错，对称轴对应坐标书写错误；第四，求出解析式后未按要求化简为标准形式。待定系数法的核心是“选对形式、代对坐标、算对方程”，熟练掌握三种设法的适用场景，是快速解题的关键。 沪科版（新教材）数学九年级上册 21.2.3 二次函数表达式的确定 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/13 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第21章 二次函数与反比例函数 一般式法求二次函数的表达式 问题1 （1）二次函数 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 中有几个待定系数？需要抛物线上的几个点的坐标才能求出系数？ 3个 3个 （2）下面是我们用描点法画二次函数的图象时所列表格的一部分： x -3 -2 -1 0 1 2 y 0 1 0 -3 -8 -15 1 ① 选取图象经过的三点 (-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试求出这个二次函数的表达式. 解：设这个二次函数的表达式为 y = ax2 + bx + c，把 (-3，0)，(-1，0)，(0，-3) 代入表达式，得 9a - 3b + c = 0， a - b + c = 0， c = -3， 解得 a = -1， b = -4， c = -3. ∴ 所求的二次函数的表达式为 y = -x2 - 4x - 3. 待定系数法 步骤: 1.设：表达式 2.代：坐标代入 3.解：方程(组) 4.还原：写解析式 这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法. 其一般步骤是： ① 设函数表达式为 y = ax2 + bx + c； ② 代入三点的坐标后得到一个三元一次方程组； ③ 解方程组得到 a，b，c 的值； ④ 把待定系数用求得的值换掉，写出函数表达式. 一般式法求二次函数表达式的方法 归纳总结 4 例1 一个二次函数的图象经过 (-1，10)，(1，4)，(2，7) 三点，求这个二次函数的表达式. 解：设这个二次函数的表达式是 y = ax2 + bx + c，代入 (-1，10)，(1，4)，(2，7) 三点，可得 解这个方程组，得 ∴ 所求的二次函数的表达式是 y = 2x2 - 3x + 5. 4a + 2b + c = 7， a - b + c = 10， a + b + c = 4， c = 5. a = 2， b = -3， 例2 有一个二次函数，当 x = 0 时，y = -1；当 x = -2 时，y = 0；当 x = 时，y = 0，求这个二次函数的表达式. 则有 解：设所求的二次函数为 y = ax2 + bx + c， 解得 故所求的二次函数的表达式为 顶点法求二次函数的表达式 选取抛物线的顶点 (-2，1) 和经过的一点 (1，-8)，试求出这个抛物线所对应的二次函数的表达式. 解：设这个二次函数的表达式为 y = a(x - h)2 + k，把顶点 (-2，1) 代入 y = a(x - h)2 + k， 得 y = a(x + 2)2 + 1， 再把点 (1，-8) 代入上式， 得 -8 = a(1 + 2)2 + 1， 解得 a = -1. ∴ 所求的二次函数的表达式为 y = -(x + 2)2 + 1，即 y = -x2 - 4x - 3. 2 顶点法求二次函数的方法 这种根据抛物线的顶点坐标求表达式的方法叫做顶点法. 其步骤是： ① 设函数表达式是 y = a(x + h)2 + k； ② 先代入顶点坐标，得到关于 a 的一元一次方程； ③ 将另一点的坐标代入原方程求出 a 的值； ④ 将 a 用数值换掉，写出函数表达式，然后化为一般式. 归纳总结 例3 一个二次函数的图象经点 (0，1)，它的顶点坐标为 (8，9)，求这个二次函数的表达式. 解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为 (8，9)，所以可设其表达式为 y = a(x - 8)2 + 9. 又因为它的图象经过点 (0，1)， 所以 1 = a(0 - 8)2 + 9，解得 故所求的二次函数的表达式是 y = (x - 8)2 + 9，即 y = x2 + 2x + 1. 名师点金 用待定系数法求二次函数表达式的常用方法： 1.一般式：，，为常数， )； 2.顶点式：，，为常数， )，其 中点为顶点，对称轴为直线 ; 3.交点式：为常数， ). 举一反三 10 知识点1 用“一般式”求二次函数表达式 1. 已知二次函数的图象过,和 三点,则 此二次函数的表达式为( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 11 2. 已知一个二次函数的自变量与函数 的几 组对应值如下表： … 0 3 5 … … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是( ) D A. 图象的开口向上 B. 当时，随 的增大而增大 C. 图象经过第二、三、四象限 D. 图象的对称轴是直线 举一反三 12 【点拨】由题意得解得 二次函数的表达式为 ， 图象的开 口向下，故选项A不符合题意；图象的对称轴是直线 ， 故选项D符合题意；当时，随 的增大而增大，当 时，随的增大而减小，故选项B不符合题意； 顶点 坐标为且经过原点，图象的开口向下， 图象经过第一、 三、四象限，故选项C不符合题意. 返回 举一反三 13 解：∵ (-3，0)，(-1，0) 是抛物线与 x 轴的交点， ∴可设其表达式为 y = a(x + 3)(x + 1). 代入点 (0，-3)，得 a(0 + 3)(0 + 1) = -3， 解得 a = -1. ∴ 所求表达式为 y = -(x + 3)(x + 1)，即 y = -x2 - 4x - 3. 选取二次函数图象上的三点 (-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试求出这个二次函数的表达式. 交点法求二次函数的表达式 x y O 1 2 -1 -2 -3 -4 -2 -4 -3 1 3 交点法求二次函数表达式的方法 这种已知抛物线与 x 轴的交点坐标，求表达式的方法叫做交点法. 其一般步骤是： ① 设其表达式是 y = a(x - x1)(x - x2) (其中 x1，x2 分别是两交点的横坐标)； ② 将抛物线经过的第三点的坐标代入表达式，得到关于 a 的一元一次方程； ③ 解方程得出 a 值； ④ 写出表达式，并化为一般式. 归纳总结 想一想 确定二次函数的这三点应满足什么条件？ 这三点不能在同一条直线上（其中两点的连线可垂直于 y 轴，但不可以垂直于 x 轴）. 求特殊二次函数的表达式 例4 已知二次函数 y = ax2 + c 的图象经过点 (2，3) 和 (-1，-3)，求这个二次函数的表达式． 解：∵ 该图象经过点 (2，3) 和 (-1，-3)， ∴ 这个二次函数的表达式为 y = 2x2 - 5. a = 2， c = -5. 解得 { 关于 y 轴对称 3 = 4a + c， -3 = a + c， { ∴ 4 已知二次函数 y = ax2 + bx 的图象经过点 (-2，8) 和 (-1，5)，求这个二次函数的表达式． 解：∵ 该图象经过点 (-2，8) 和 (-1，5)， 图象经过原点 8 = 4a - 2b， 5 = a - b， ∴ { 解得 a = -1，b = -6. ∴ y = -x2 - 6x. 做一做 例5 已知抛物线经过(-1，12.5)，(1，4.5)，(0，8)三点. (1) 求这条抛物线对应的函数表达式； 二次函数与一次函数的综合 5 解 (1) 设所求抛物线对应的函数表达式为 y = ax2 + bx + c，由抛物线经过 (-1，12.5)，(1，4.5)，(0，8) 三点，得 a - b + c = 12.5， a + bx + c = 4.5， c = 8. 解方程组，得 a = ， b = -4， c = 8. 所求抛物线对应的函数表达式为 y = x2 - 4x + 8. (2) 若该抛物线的顶点为 A，且与直线 交于 B，C 两点，在同一平面直角坐标系中画出它们的图象，并求出△ABC 的面积. (2) 如图，画出直线 y = x2 + 1 与抛物线 y = x2 - 4x + 8. B C A 由 y = x2 - 4x + 8 = (x - 4)2， 得点 A 的坐标为 (4，0). 解方程组 y = x2 + 1 y = x2 - 4x + 8 B1 x y O A -1 -2 -3 -1 2 1 6 4 8 6 B C 过 B，C 两点作 x 轴的垂线，垂足为 B1，C1，则 C1 得 B，C 两点的坐标为 B (2，2)，C (7，4.5). 知识点2 用“顶点式”求二次函数表达式 3. 抛物线的对称轴为直线,的最大值为 ,且与 的图象开口大小相同，则这条抛物线的表达式为 ( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 22 4. 中心广场有各种音乐喷泉,其中一个喷水管喷水的最大高 度为3米,此时距喷水管的水平距离为 米,在如图的平面直角坐标系中, 这个喷泉 对应的函数表达式是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 23 知识点3 用“交点式”求二次函数表达式 5. 若抛物线与 轴的两个交点的坐标为 , ,此抛物线的形状、开口方向都与抛物线 相同,则该抛物线对应的函数表达式为( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 24 6. 如图，抛物线对应的函数表达式可能是( ) D A. B. C. D. 举一反三 25 【点拨】由题图可知抛物线开口向下，且 与轴的交点坐标为， ，则可 设抛物线对应的函数表达式为 .对比 各选项可知，A，B，C选项无法变形为 的 形式，而当 时，可推出D选项，故选D. 返回 举一反三 26 7. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交 轴于点， ，顶点坐标为 .抛物线交轴于点 ， ，顶点坐标为 . （1）连接,求线段 的长； 【解】由题意可得， , 举一反三 27 （2）点在抛物线上，点在抛物线 上， 比较大小：___ . 举一反三 28 【点拨】由题意，设抛物线 ，抛物线 ，由（1）得 ，， . 举一反三 29 把的坐标代入抛物线 对应的函数 表达式，得 ;把 的坐标代入抛物线 对应的函数表达 式，得 抛物线的开口向上， . 返回 举一反三 8. [2025南通] 在平面直角坐标系 中，五个点的坐标 分别为,,,, .若抛物线 经过上述五个点中的三个点，则满 足题意的 的值不可能为( ) C A. B. C. D. 举一反三 31 ①已知三点坐标 ②已知顶点坐标或对称轴或最值 ③已知抛物线与x 轴的两个交点 已知条件 所选方法 用一般式法：y = ax2 + bx + c 用顶点法：y = a(x - h)2 + k 用交点法：y = a(x - x1)(x - x2) (x1，x2 为交点的横坐标) 待定系数法 求二次函数解析式 课堂小结 谢谢观看 THANKS $