知识板块一 旋转的性质同步训练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 以旋转性质为核心，通过拆分突破构建“性质应用—角度/长度计算—特殊旋转—综合场景”的递进式训练体系，突出几何直观与推理能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |旋转性质(一)求角度|7考点8题|旋转得等角/等腰/全等、设角列方程、整体思想|从基本性质到方程思想，构建角度计算逻辑链| |旋转性质(二)求长度|4考点8题|找直角、用全等、作垂直、隐特殊角|结合勾股定理与全等，形成长度求解方法群| |特殊旋转(60°/90°/120°)|3模块9题|构造等边/等腰直角三角形、旋转全等转化|针对特殊角度，强化性质与图形特征的关联| |综合应用(中心对称/坐标系/抛物线)|3模块10题|分类讨论、坐标变换、旋转180°中心对称|从平面几何到代数综合，提升空间观念与应用意识|

知识板块一 旋转的性质 拆分突破1 旋转的性质(一)求角度 必刷考点一 旋转得等角 1.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=100°,在同一平面内，将△ABC 绕点 A 顺时针旋转到△AB₁C₁的位置,连接BB₁.若BB∥AC₁,则∠CAC₁₁ 的度数是( ) A.10° B.20° C.30° D.40° 必刷考点二 旋转得等腰 2.(2026华宜寄质检改编)如图,将△ABC 绕顶点A 顺时针旋转50°得到△ADE,DE 交AC 于点F.若点 D 恰好落在边BC上,且AE∥BC,则∠AFE 的度数是 . 必刷考点三 旋转得全等 3.(2026武汉外校)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=45°,△AEF 是由△ABC 绕点A 逆时针旋转得到的,连接 BE,CF 相交于点 D,AC 与 BE 相交于点O,则∠BDC 的度数为 4.(武汉调考改编)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,将△ABC绕点A 逆时针旋转60°得到△ADE,连接BE,BD,则∠BED 的度数为 . 必刷考点四 设旋转角列方程 5.如图,将△ABC 绕点A 逆时针旋转得到△ADE,点 B 的对应点D 恰好落在BC 边上,且点A,B,E 在同一条直线上,AC 交DE 于点O.若∠AOE=95°,则旋转角的度数为 . 必刷考点五 设底角列方程 6.(2026武汉市经开区期末改编)如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转得到△AED，且点 B 的对应点E 恰好落在边AC上,连接CD.若∠ACB=42°,DC=DE,则∠ABC 的度数为 . 必刷考点六 整体思想 7.(武汉五调)如图,将△ABC 绕点A 逆时针旋转60°得到△ADE,连接CD.若∠CDE=78°,则∠BCD 的度数为 . 8.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,以斜边AB 为边向三角形外作等边三角形ABD,将线段 DC绕点D 逆时针旋转60°得到 DE,连接 BE,则∠CBE 的度数为 . 拆分突破2 旋转的性质(二)求长度 必刷考点一 找直角 1.(2026水果湖一中)如图,将△ACB 绕点A 顺时针旋转60°得到△ADE,且点C 的对应点D 恰好是BC 边的中点,DE 交AB 于点F,则 的值为 . 2.如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,AB=BC=2,将△ABC 绕点C 逆时针旋转 60°得到△MNC,连接BM,则 BM 的长是( ) A. B. C. D. 必刷考点二 用全等 3.(2026武珞路中学)如图,将矩形 ABCD 绕点C 顺时针旋转得到矩形 FECG,点 B 与点 E 对应,且点 E 恰好落在AD边上,作BH⊥CE 于点H,连接BG交CE 于点O.若AB=5,BC=13,则 BG 的长为 . 4.如图,在△ABC 中,将△ABC 绕点C逆时针旋转90°得到△CDE,且点 A 的对应点D 恰好落在AB 边上,连接AE,BE.若BE= ,AB=3,则AE 的长为 . 必刷考点三 作垂直 5.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3.将△ABC 绕点A 逆时针旋转,使点C落在线段AB 上的点E 处,点 B 落在点D 处,连接CE,则△CBE 的面积为 . 6.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,将AC 绕点A 逆时针旋转 60°得到 AD,连接BD,CD,则 BD 的长为 . 7.如图,D 是等边三角形ABC 外一点,连接AD,BD,CD,将△ACD 绕点A 顺时针旋转60°得到△ABE,连接DE.若. 则四边形 ABED 的面积为 . 必刷考点四 隐特殊角 8.(2025武珞路中学期中改编)如图,将△ABC 绕点A 逆时针旋转90°得到△ADE,连接CD,且∠BCD=45°.若. CD=4,则AC 的长为 . 拆分突破3 旋转的性质(三)中心对称 必刷考点一 中心对称与面积 1.如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行.若正方形的边长是2，则图中双曲线与正方形所形成的阴影部分的面积等于 . 2.(2026福州)如图，正方形ABCD 和正方形EFGH 的对称中心都是点O，其边长分别是5和3，则图中阴影部分的面积是( ) A. B. C.4 D. 必刷考点二 中心对称与全等 3.(2026武昌)在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积.如图是由5个边长为 的小正方形拼成的图形，P是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点 P 的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是( ) A. B.2 C. D.2 4.如图,已知正方形ABCD 和Rt△ABE,∠AEB=90°,将△ABE 绕点O旋转180°得到△CDF. (1)在图中画出点O和△CDF，并简要说明作图过程； (2)若AE=12,AB=13,求 EF 的长. 拆分突破4 旋转的性质(四)分类讨论 必刷考点一 方向不明 1.如图,在△ABC中,∠CAB=∠CBA=40°,将线段CA 绕点C 旋转α(0°<α<90°)得到线段CD,连接AD,BD,则∠ADB 的度数为 . 必刷考点二 图形不明 2.(2025武汉市东湖高新区期中)如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,∠BAC=35°,D 是AB 的中点,将DB在平面内绕点D 逆时针方向旋转α得到DB'(0°<α<180°),当△ACB'恰为等腰三角形时，α的值为 . 必刷考点三 位置不明 3.如图,在△ABC中,AC=BC=5,∠ACB=90°,P 是平面内一点,PC=2,将 PA 绕点 P 逆时针旋转90°得到 PE,连接CE.当点 E 落在△ABC 的边上时,则CE 的长为 . 拆分突破5 旋转的性质(五)知旋转 60° 必刷考点一 三角形旋转 1.(武汉调考改编)如图,D 为等边△ABC 内一点,∠BDC=90°,将△BCD 绕点C顺时针旋转 得到△ACE,连接AD,AE,延长BD 交AE 于点F.若AD∥CE,求DFBD的值. 2.(2026武昌)如图,△ABC 是等边三角形,D 是BC边上一点(不与点B,C重合),将△ABD 绕点A 逆时针旋转60°得到△ACE,连接DE. (1)求证:∠DAC=∠DEC; (2)过点 D 作DG⊥AB,垂足为G.求证: 必刷考点二 线段旋转 3.如图,D 是等边△ABC 的BC 边上一点,将AD 绕点A 顺时针旋转 60°得到 AE,过点 E 作EF∥BC,交AB 于点F.若BD=2,CD=6,求△AEF 的面积. 拆分突破 6 旋转的性质(六)知旋转90° 必刷考点一 三角形旋转 1.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC=AC,点 E 在△ABC 内部,将△BCE 绕点C 顺时针旋转90°得到△ACD,BE 的延长线交AD 于点F,连接CF.求 的值. 2.(2026武汉市新洲区期末改编)如图，D 为BC 上一点，( E 为BC 上方一点,∠DBE=75°,BE=5,将△BDE 绕点D 顺时针旋转90°得到△GDF,过点C作AC⊥BC,交 BG 的延长线于点A，连接AF，求AF 的长. 必刷考点二 线段旋转 3.(2026洪山外校质检改编)如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=BC,点D 在△ABC 的左侧,将AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE,连接 BD,CD,CE,G为CD 的中点,连接 BG.求证:①BG⊥CE;②CE=2BG. 拆分突破7 旋转的性质(七)知旋转120° 必刷考点一 线段旋转 1.如图,已知等边△ABC,D为BC上一点,连接AD.将AD 绕点A 逆时针旋转120°得到AF,连接BF 交AC 于点Q，探究线段AQ和CD 的数量关系，并说明理由. 必刷考点二 三角形旋转 2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,点 D 在边BC上,将△ABD 绕点A 顺时针旋转120°得到△ACE,连接 DE 交AC 于点 N,过点 B 作BM∥AC 交ED 延长线于点M.求证:EN=DM. 3.(2026六中上智)如图,在△ABD中,∠ADB=50°, 将△ABD 绕点A 逆时旋转120°得到△ACE,连接BC,CD,则∠ABD+∠BCD 的度数为 . 拆分突破8 旋转的性质(八)坐标系中的旋转 必刷考点一 旋转120° 1.(武汉凹调)在平面直角坐标系中,点A(0,4),B(2,0),将线段AB 绕点A 逆时针旋转120°,则点 B 的对应点 C 的横坐标是 。 必刷考点二 旋转135° 2.(原创题)在平面直角坐标系中,点A(0,2),B(3,0),将线段AB 绕点 B 顺时针旋转135°,则点A 的对应点C 的横坐标是 . 拆分突破9 旋转的性质(九)抛物线中的旋转 必刷考点一 旋转180° 1.(武汉中考改编)如图，抛物线 经过A(-1,0),(3,2)两点. (1)求抛物线的解析式； (2)过点 E(1,-1)作 轴于点 F，将△AEF 绕平面内某点旋转180°后得到 (点M,N,Q 分别与点A,E,F 对应),使点M,N 落在抛物线上,求点M,N 的坐标. 必刷考点二 旋转90° 2.(2025武汉市江夏区期中改编)如图，抛物线关于y轴对称，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C,且OC=2OB=4. (1)求抛物线的解析式； (2)已知 D(0,1),连接AD,将△ADO 绕平面内某一点顺时针旋转90°得到△A'D'O',点A,D，O的对应点分别为点A'，D'，O'.若A'，D'两点恰好落在抛物线上，求点 D'的坐标. 知识板块一 旋转的性质 拆分突破1 旋转的性 质(一)求角度 1. B 解:∵将△ABC 绕点 A 顺时针旋转到△AB₁C₁的位置, ∵BB₁∥AC₁, ∴∠C₁AB₁+∠AB₁B=180°, ∴∠AB₁B=80°, ∵AB=AB₁, ∴∠ABB₁=∠AB₁B=80°, ∴∠BAB₁=20°, ∴∠CAC₁=20°.故选 B. 2.80°解:由旋转得∠BAD=∠CAE=50°,AB=AD, ∴∠B=∠ADB=65°. ∵AE∥BC, ∴∠C=∠CAE=50°, ∴∠CAD=∠ADB-∠C=15°. ∵∠C=∠E, ∴∠CDE=∠CAE=50°, ∴∠ADF=65°, ∴∠AFE=80°. 3.45°解:由旋转得AB=AE,AC=AF,∠BAC=∠EAF=45°, ∴∠BAE=∠CAF, ∴△ABE≌△ACF, ∴∠ABE=∠ACF. ∵∠AOB=∠DOC, ∴∠BDC=∠BAC=45°. 4.135°解:∵将△ABC 绕点 A 逆时针旋转60°得到△ADE, ∴AB=AD,∠BAD=60°, ∴△ABD 为等边三角形, ∴∠ABD=60°,AB=BD. ∵AE=DE,BE=BE, ∴△ABE≌△DBE(SSS), ∴∠ABE=∠DBE=30°. ∵∠BDE=∠ADB-∠ADE=15°, ∴∠BED=135°. 5.70° 解:设旋转角∠BAD=x,则∠CAE=x. ∵∠AOE=95°, ∴∠E=180°-95°-∠CAE=85°-x.由旋转得∠C=∠E=85°-x. ∵AD=AB, ∴∠CAE=∠C+∠ABD=85°-x ∴x=70°. 6.106°解:设∠DEC=x. ∵DE=DC, ∴∠DCE=∠DEC=x. 由旋转得△ACB≌△ADE,AC=AD, ∴∠ADC=∠ACD=x, ∠ADE=∠ACB=42°, ∴∠CDE=x-42°. 在△CDE 中,x+x+x-42°=180°, ∴x=74°, ∴∠ABC=∠AED = 180°-x=106°. 7.138°解:∵将△ABC 绕点 A 逆时针旋转60°得到△ADE, ∴∠CAE=60°,∠E=∠ACB, ∴∠CAE+∠CDE=360°—(∠ACD+∠E), ∵∠BCD=360°—∠ACB—∠ACD=360°-(∠ACD+∠E), ∴∠BCD=∠CDE+∠CAE=60°+78°=138°. 8.150°解:∵△ABD 是等边三角形,∴AD=BD,∠ADB=60°,由旋转得 CD=DE,∠CDE=60°, ∴∠ADC=∠BDE, ∴△ADC≌△BDE, ∴∠DEB=∠DCA, ∵∠ACB = ∠ACD +∠DCB =∠DEB+∠DCB=90°, 延长 DB 可证得∠CBE=∠DCB+∠CDE+∠DEB=90°+60°=150°. 拆分突破2 旋转的性 质(二)求长度 1. 解:由旋转得△ABC≌△AED,∠DAC=60°, ∴AC=AD,∠C=∠ADE, ∴△ACD 为等边三角形, ∴AD = CD,∠ADC=∠ACD =∠ADE=60°. ∵BD=CD, ∴BD=AD, ∴∠B=∠DAB=∠E=30°, ∴∠BFD =∠AFE = 90°,BF =AF. 设DF=a,则AD=2a,AF=BF= a,EF=3a, 2. D 解:连接AM.由题意,得 CA=CM,∠ACM=60°, ∴△ACM 为等边三角形, ∴AM=CM,∠MAC=∠MCA =∠AMC=60°, ∵∠ABC=90°,AB=BC=2, ∴AC=CM=AM=2 ∴BM.垂直平分AC,设 BM交AC 于点O, 由勾股定理，得 故选D. 解:证△EDC≌△CHB(AAS), ∴BH=CD=AB. 再证△HBO≌△CGO(AAS), ∴OH=OC,OB=OG. 在 Rt△BCH 中,BH=5,BC=13, ∴CH=12, ∴OH=6, 解:由旋转得C A=CD,∠ACD=90°,BC=CE,∠BCE=90°, ∴∠CAD=∠CDA=45°, ∵△ABC≌△DEC,∠CDE=∠BAC=45°, ∴∠ADE=90°, ∴AD=AB-BD=2, 5. 解:∵∠ACB=90°,AC=4,BC=3,∴AB=5. 过点C 作CF⊥AB 于点F. BC, ∵将△ABC 绕点A 逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E 处，点 B 落在点D 处, ∴AE=AC=4, ∴BE=AB-AE=1, 解:过点C 作CE⊥BD 于点E. 由旋转得△ACD 为等边三角形， ∴AD=AC=AB =2,∠ADC=∠CAD=60°. ∵∠CAB=90°, ∴∠ABC=∠ACB=45°,∠ABD=∠ADB=15°, ∴∠CBD=30°,∠CDE=45°. ∵CE⊥BD, ∴CE=DE, 解:过点 A 作 AF⊥BE,交EB 的延长线于点F. ∴△ABE≌△ACD,△ADE 为等边三角形， AD=DE=8,∠AED=60°, ∴∠BED=90°, ∴∠AEF=30°, ∴S四边形ABED =S四边形ADEF -S△ABF = 解:过点E 作 E F⊥CD,交CD 的延长线于点 F,连接CE. 由旋转得△ABC≌△ADE, ∴∠ADE=∠ABC,∠BAD=90°. ∵∠BCD=45°, ∴∠ABC+∠ADC=225°,即∠ADC+∠ADE=225°, ∴∠CDE=135°. ∵EF⊥CD, ∴△DEF 为等腰直角三角形， ∴CF=CD+DF=7, ∵△ACE 为等腰直角三角形， 拆分突破3 旋转的性 质(三)中心对称 1.1 解:由题意,得点 P 坐标为(1,1).∵正方形与双曲线均关于坐标原点O中心对称， ∴第三象限的阴影部分的图形与第一象限位于正方形内部的空白部分的图形全等，故图中阴影部分的面积为1×1=1. 2. C 解:连接BF,CG. ∵正方形 ABCD 和正方形 EFGH 边长分别是5和3，对称中心都是点O， ∴阴影部分的面积是 =4.故选 C. 3. A解：如图所示，经过点 P，Q的直线把它剪成了面积相等的两部分. 由作图知∠M=∠FPE=∠DPB,∠ACM=∠FEP =∠BDP =90°,MC=EP=DP, ∴△AMC≌△FPE≌△BPD, ∴AM=PB, ∴PM=AB. 故选 A. 4.解:(1)连接AC 和BD,则它们的交点为旋转中心O， 延长EO 到点 F,使 FO=EO,点O和△CDF 为所求; C (2)延长 BE 交CF 于点G,由(1)得AE=CF,∠BAE=∠DCF. ∵∠ABE +∠BAE = ∠ABE +∠CBG=90°, ∴∠BAE=∠CBG=∠DCF, ∵∠DCF+∠BCF=90°, ∴∠CBG+∠BCF=90°, ∴∠BGC=∠EGF=90°. ∵AB=BC, ∴△ABE≌△BCG, ∴AE=BG=CF=12, ∴EG=FG=7, 拆分突破4 旋转的性 质(四)分类讨论 1.50°或130° 解:分两种情况讨论: ①如图1，当CA 绕点C 顺时针旋转时,∠ADB=50°; ②如图2，当CA 绕点C 逆时针旋转时,∠ADB=130°. 故答案为50°或130°. 2.40°或55°或70°解:连接CD. ∵∠ACB=90°,D 是AB 的中点, ∴∠DCA=∠BAC=35°,∠DCB=∠B=55°, ∴∠BDC=2∠BAC=70°,∠ADC=110°. 由旋转得∠BDB'=α,B'D=BD. 如图1,当 B'C=AC时,△B'CD≌△ACD, 如图2，当B'C=B'A时,△B'DC≌△B'DA, =55°; 如图3,当AB'=AC 时,△ADB'≌△ADC, ∴∠BDB'=α=∠B'DC-∠BDC=70°. 综上所述,α的值为40°或55°或70°. 或 解：如图1，当点 E 落在边AB 上时，由旋转得 PA=PE,∠APE=90°,此时点 P 落在边AC 上. ∵AC=BC=5, ∴PA=PE=AC-PC=3, 如图2，当点 E 落在边BC 上时，在AC 上取点 Q,使 AQ = CE,证△PAQ≌△PEC, ∴CE=AQ,PQ=PC=2,∠APQ=∠CPE, ∴∠CPQ=∠APE=90°, 综上所述，CE 的长为 或5—2 拆分突破5 旋转的性 质(五)知旋转60° 1.解:由旋转得△BCD≌△ACE,∠DCE=60°,DC=CE, ∴∠AEC=∠BDC = 90°,AE=BD,△CDE 为等边三角形, ∴∠DEC=∠CDE=60°, ∴∠AED=30°,∠EDF=30°, ∴DF=EF. ∵AD∥CE, ∴∠DAE=90°, ∴DF=2AF, ∴BD=AE=3AF, 2.解:(1)由旋转得△ACE≌△ABD, ∴∠ACE=∠ABD, ∵△ABC 为等边三角形, ∴∠ABC=60°, ∴∠ACE=60°, 由旋转得AD=AE,∠DAE=60°, ∴△ADE 为等边三角形, ∴∠ADE=∠ACE=60°, ∴∠DAC=∠DEC; (2)过点 D 作DH∥AC,交 AB.于点H,则△BDH 为等边三角形, ∴AH=CD,. 又∵DG⊥AB, 即 3.解:连接BE,过点 E 作EH⊥AB 于点 H. 由旋转得∠DAE=60°,AD=AE. ∵△ABC 是等边三角形, ∴AB=AC, ∠BAC=∠DAE=60°, ∴∠CAD=∠BAE, ∴△ACD≌△ABE, ∴BE=CD=6, ∠ABE=∠ACD=60°. ∵EF∥BC, ∴∠EFB=∠ABC, ∴△BEF 为等边三角形, ∴EF=BE=6. ∵EH⊥AB, ∴∠FEH=30°, ∵AF=AB-BF=2, 拆分突破6 旋转的性 质(六)知旋转90° 1.解:过点 C 作CG⊥CF,交 BF 于点G.由旋转得∠CBE=∠CAD、 ∵CG⊥CF, ∴∠FCG=∠ACB=90°, ∴∠ACF=∠BCG, ∴△ACF≌△BCG, ∴BG=AF,CG=CF, ∴△FCG 为等腰直角三角形， ∴BF-AF=BF-BG=FG, 2.解:作AH⊥GF 于点 H.由旋转得△BDG 为等腰直角三角形， ∴BD=DG,∠BDG=90. ∵△BED≌△GFD, ∴∠FGD=∠EBD=75°,GF=BE=5, ∴∠AGF=180°-∠BGD-∠FGD=60°. ∵AC⊥BC,∠ABC=45°, ∵AH⊥FG, ∴HF=FG-GH=3, 3.证明:延长 CB 至点 H,使 BH=BC,连接 DH,AH,HD 的延长线交AC 于点O,交CE 于点Q. ∵∠ABC=90°, ∴AB⊥CH. ∵BH=BC, ∴AH=AC, ∴∠AHC=∠ACB=45°, ∴∠CAH=90°. 由旋转得AD=AE,∠DAE=90°, ∴∠CAH=∠DAE, ∴∠DAH=∠CAE, ∴△DAH≌△EAC, ∴DH=CE,∠AHD=∠ACE. ∵∠AOH=∠COQ, ∴∠CQH=∠CAH=90°, ∴DH⊥CE. ∵G是CD 的中点, ∴DH=2BG,BG∥DH, ∴BG⊥CE,CE=2BG. 拆分突破7 旋转的性 质(七) 知旋转120° 1.解:CD=2AQ.理由如下:在 AC 上截取CE=BD,连接BE 交AD 于点 P. ∵AB=BC,∠ABC=∠C=60°, ∴△ABD≌△BCE, ∴BE=AD=AF, ∠EBC=∠BAD, ∴∠APE = ∠BAD +∠ABE =∠EBC+∠ABE=∠ABC=60°. ∵∠DAF=120°, ∴∠APE+∠DAF=180°, ∴AF∥BE, ∴∠F=∠QBE. ∵∠AQF=∠EQB, BE=AD=FA, ∴△AQF≌△EQB、 ∴AQ=EQ, ∴AE=2AQ, ∵AE=AC-CE=BC-BD=CD, ∴CD=2AQ. 2.解:在线段 NC 上取点K,连接EK,使EK=EN. ∵∠BAC=120°,AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB=30°. 由旋转得∠DAE=120°,AD=AE, ∴∠ADE=∠AED=30°. ∵EK=EN, ∴∠ENK=∠EKN, ∴∠ENA=∠EKC. ∵AC∥BM, ∴∠BMD=∠ANE=∠CKE.由旋转得△ABD≌△ACE, ∴CE=BD,∠ACE=∠ABD=30°, ∵BM∥AC, ∴∠MBD=∠ACB=∠KCE, ∴△CKE≌△BMD, ∴EK=MD, ∵EK=EN, ∴DM=EN. 3.50° 解:连接DE,作AF⊥ED 于点F.由旋转得△ABD≌△ACE,∴AD=AE,∠CAE=∠BAD,BD=CE,∠CEA=∠BDA=50°. ∵∠DAE=∠BAC=120°, ∴∠ADF=∠AEF=30°, ∴∠CED=20°, ∵AF⊥DE, ∴ED=BD=CE, ∴∠EDC=∠ECD=80°. ∵∠ACB=∠ABC=30°, ∴∠BCD+∠ACE=50°, ∴∠ABD+∠BCD=50°. 拆分突破8 旋转的性 质(八)坐标系中的旋转 解：如图，连接BC，过点A作AD⊥BC 于点D,过点C作CF⊥ x轴于点 F、作CE⊥y轴于点 E. 根据题意、得AO=4,OB=2,AB=AC,∠CAB=120°, ∵AB=AC, ∵AD⊥BC, 设点C 坐标为(x,y), ∴AE=y-AO=y-4,CE=x,CF=y,BF=x-2, 在 Rt△AEC 中，根据勾股定理得 在 Rt△BFC 中，根据勾股定理得 即 将 代入②中，得 60,解得 1(舍去), ∴点 C 的横坐标 解：如图，在x轴上截OD=OA,连接AD,过点 C 作CF⊥x轴于点 F,在 CF 左侧截取 EF =CF,连接CE. ∴∠ADO=∠CEF=45°, ∴∠ADB=∠BEC=135°=∠ABC, ∴∠DAB=∠EBC, ∴△ABD≌△BCE, ∴BD=CE=OB-OD=1,AD= 故答案为 拆分突破9 旋转的性质(九)抛物线中的旋转 1.解:(1)∵抛物线 经过点A(-1,0),(3,2), ∴0=a+3a+b,2=9a-9a+b, ∴抛物线解析式为y=- x²+ (2)∵△AEF 绕平面内某点旋转180°后得到△MNQ,连接AN,EM,则四边形AEMN 为平行四边形， ∴AN∥EM且AN=EM. ∵E(1,-1),A(-1,0), ∴设M(m,n),则 N(m-2,n+1) ∵点M，N 在抛物线上， ∴m=3,n=2. ∴M(3,2),N(1,3). 2.解: (2)设点 D'的坐标为(p,q), ∵△ADO 绕平面内某一点顺时针旋转90°得到△A'D'O', 轴,A'O'⊥x.轴, O'A'=2,O'D'=1. 将点 A'、D'的坐标代入抛物线解析 式 彳 解得 故点 D'的坐标为（ ， ）. 学科网（北京）股份有限公司 $