4.5 二次函数的应用 第2课时 利用二次函数解决最值有关的实际问题 课件 2026--2027学年湘教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦利用二次函数解决面积与利润最值问题，通过商场打折的生活情境导入，连接二次函数性质，搭建从理论到实际应用的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点是以“日”字形窗框、玩具销售等实例培养数学眼光，通过面积四步法、利润三步法发展数学思维，用函数关系式表达实际问题强化数学语言。学生能提升解决实际问题能力，教师可借助清晰流程和实例提高教学效率。

教学课件 2026 湘教版 · 九年级上册 · 新教材 4.5 二次函数的应用 第2课时 利用二次函数解决最值有关的实际问题 第4章 二次函数 ／ 4.5 二次函数的应用 数学 湘教版 · 初中数学 4.5 二次函数的应用 第2课时 利用二次函数解决最值有关的实际问题 1 第4章 二次函数 4.5 二次函数的应用 第2课时 利用二次函数解决最值有关的实际问题 湘教版 · 初中数学 4.5 二次函数的应用 第2课时 利用二次函数解决最值有关的实际问题 本节导航 导 新课导入 讲 讲授新课 练 当堂练习 结 课堂小结 湘教版 · 初中数学 4.5 二次函数的应用 第2课时 利用二次函数解决最值有关的实际问题 3 新课导入 教学目标 教学重点 湘教版 · 初中数学 4.5 二次函数的应用 第2课时 利用二次函数解决最值有关的实际问题 4 1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.（难点） 2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值. 3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.（重点） 学习目标 湘教版 · 初中数学 4.5 二次函数的应用 第2课时 利用二次函数解决最值有关的实际问题 我们去商场买衣服时，售货员一般都鼓励顾客多买，这样可以给顾客打折或降价，相应的每件的利润就少了，但是老板的收入会受到影响吗？怎样调整价格才能让利益最大化呢？通过本课的学习，我们就可以解决这些问题. 新课导入 湘教版 · 初中数学 4.5 二次函数的应用 第2课时 利用二次函数解决最值有关的实际问题 6 讲 讲授新课 典例精讲 · 归纳总结 湘教版 · 初中数学 4.5 二次函数的应用 第2课时 利用二次函数解决最值有关的实际问题 7 如图，用8m长的铝材做一个“日”字形窗框.试问：窗框的宽和高各为多少时，窗框的透光面积最大？最大面积是多少？（假设铝材的宽度不计） 解：由于做窗框的铝材长度已确定，而窗框的透光面积S随矩形一边长的变化而变化. 因此设窗框的宽为xm，则窗框的高为 m，其中0＜x＜ . 则窗框的透光面积为 当 x = 时，S取最大值.这时高为 =2（m）. 则当窗框的宽为 m，高为2m时，窗框的透光面积最大，最大透光面积为 m2. 面积最值问题 1 例1 讲授新课 湘教版 · 初中数学 4.5 二次函数的应用 第2课时 利用二次函数解决最值有关的实际问题 方法总结 利用二次函数求几何图形的面积最值的一般步骤： (1)引入自变量； (2)用含有自变量的代数式分别表示与所求几何图形相关的量； (3)由几何图形的特征，列出其面积的计算公式，并且用函数表示这个面积； (4)根据函数的关系式及自变量的取值范围求出其最值． 讲授新课 湘教版 · 初中数学 4.5 二次函数的应用 第2课时 利用二次函数解决最值有关的实际问题 练一练 1.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？ 解:根据题意得 S=l(30-l), 即S=-l2+30l (0<l<30). 因此，当 时， S有最大值 也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大. 讲授新课 湘教版 · 初中数学 4.5 二次函数的应用 第2课时 利用二次函数解决最值有关的实际问题 2.如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,其中AB和CD分别在两直角边上. (1)如果设矩形的一边AB=xm，那么AD边的长度如何表示？ (2)设矩形的面积为ym2，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？ （1）因为四边形ABCD为矩形， 所以CD∥AB，CD＝AB，BC＝AD， 所以△EDC∽△EAF，所以 ． 因为AB＝x，所以DC＝x． 所以 ，所以DE＝ x， 所以AD＝30﹣ . 解： 湘教版 · 初中数学 4.5 二次函数的应用 第2课时 利用二次函数解决最值有关的实际问题 由题意，得 y＝x(30﹣ )， y＝- (x﹣20)2+300. 所以 a＝ ， 所以 x＝20时，y最大＝300． 答：当 x＝20时，面积的最大值为300平方米. （2） 讲授新课 湘教版 · 初中数学 4.5 二次函数的应用 第2课时 利用二次函数解决最值有关的实际问题 利润最值问题 2 某玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元出售，那么一个月内售出180件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10件，当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？ ①设每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取的商品总利润为y元，填空： 单件利润（元） 销售量（件） 每月利润（元） 正常销售 涨价销售 10 180 1800 10+x 180-10x y=(10+x)(180-10x) 建立函数关系式：y=(10+x)(180-10x), 即：y=-10x2+80x+1800. 例2 讲授新课 湘教版 · 初中数学 4.5 二次函数的应用 第2课时 利用二次函数解决最值有关的实际问题 营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故180-10x ≥0，因此自变量的取值范围是x ≤18. ③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ y=-10x2+80x+1800 =-10(x-4)2+1960. 当x=4时，即销售单价为34元时，y取最大值1960元. 答：当销售单价为34元时，该店在一个月内能获得最大利润1960元. ②自变量x的取值范围如何确定？ 讲授新课 湘教版 · 初中数学 4.5 二次函数的应用 第2课时 利用二次函数解决最值有关的实际问题 （1）建立利润与价格之间的函数关系式； 运用“总利润=总售价－总成本”或“总利润=单件利润×销售量” （2）结合实际意义，确定自变量的取值范围； （3）在自变量的取值范围内确定最大利润. 可以利用配方法或公式求出最大利润； 也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. 方法总结 求解最大利润问题的一般步骤： 讲授新课 湘教版 · 初中数学 4.5 二次函数的应用 第2课时 利用二次函数解决最值有关的实际问题 练一练 某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元. （1）当售价在40～50元时，每月销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元？ 解：由题意得：当40≤x≤50时， Q = 60(x－30)= 60x－1800 因为 y = 60 > 0，Q随x的增大而增大 所以当x最大= 50时，Q最大= 1200 答：此时每月的总利润最多是1200元. 讲授新课 湘教版 · 初中数学 4.5 二次函数的应用 第2课时 利用二次函数解决最值有关的实际问题 （2）当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？ 解：当50≤x≤70时， 设y与x函数关系式为y=kx+b, 因为线段过(50，60)和(70，20). 50k+b=60 70k+b=20 所以 所以 y =－2x +160（50≤x≤70） 解得： k =－2 b = 160 湘教版 · 初中数学 4.5 二次函数的应用 第2课时 利用二次函数解决最值有关的实际问题 所以Q=(x－30)y =(x－30)(－2x + 160) =－2x2 + 220x－ 4800 =－2(x－55)2 +1250 (50≤x≤70) 因为a = －2＜0，图象开口向下， 所以当x = 55时，Q最大= 1250 所以当售价在50～70元时，售价x是55元时，获利最大， 最大利润是1250元. 讲授新课 湘教版 · 初中数学 4.5 二次函数的应用 第2课时 利用二次函数解决最值有关的实际问题 解：因为当40≤x≤50时， Q最大= 1200＜1218， 当50≤x≤70时， Q最大= 1250＞1218， 所以售价x应在50~70元之间. 所以令：－2(x－55)2 +1250=1218， 解得：x1=51，x2=59. 当x1=51时，y1=－2x+160=－2×51+160= 58(件). 当x2=59时，y2=－2x+160=－2×59+160= 42(件). 所以若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价为51元或59元，当月的销售量分别为58件或42件. （3）若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价与当月的销售量各是多少？ 湘教版 · 初中数学 4.5 二次函数的应用 第2课时 利用二次函数解决最值有关的实际问题 用二次函数解决最值问题的一般步骤： (1)列出二次函数的表达式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围； (2)在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方法求出二次函数的最大值或最小值. 归纳 讲授新课 湘教版 · 初中数学 4.5 二次函数的应用 第2课时 利用二次函数解决最值有关的实际问题 练 当堂练习 当堂反馈 · 即学即用 湘教版 · 初中数学 4.5 二次函数的应用 第2课时 利用二次函数解决最值有关的实际问题 21 当堂练习 知识点1 面积最值问题 答案　8　64 湘教版 · 初中数学 4.5 二次函数的应用 第2课时 利用二次函数解决最值有关的实际问题 当堂练习 知识点1 面积最值问题（续） 答案　112.5 湘教版 · 初中数学 4.5 二次函数的应用 第2课时 利用二次函数解决最值有关的实际问题 当堂练习 知识点1 面积最值问题（续） 解：设窗户的面积为，长为，则宽为 .由题意得 .当时，取最大值 . 此时 当，分别为、 时，窗户的面 积最大. 湘教版 · 初中数学 4.5 二次函数的应用 第2课时 利用二次函数解决最值有关的实际问题 当堂练习 知识点2 利润最值问题 答案　25 湘教版 · 初中数学 4.5 二次函数的应用 第2课时 利用二次函数解决最值有关的实际问题 当堂练习 知识点2 利润最值问题（续） 5.为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出 多款文创产品.已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元 时，每天可以售出60件.经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售 出10件. （1）设该款巴小虎吉祥物降价 元，则每天售出的数量是__________ ______件； 湘教版 · 初中数学 4.5 二次函数的应用 第2课时 利用二次函数解决最值有关的实际问题 （2）设文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为 元，当售价为 多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 解：设该款巴小虎吉祥物降价元.根据题意，得， 当时， 取最大值，为640，此时售价为38元.答：当售价 为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元. 湘教版 · 初中数学 4.5 二次函数的应用 第2课时 利用二次函数解决最值有关的实际问题 结 课堂小结 构建脉络 · 归纳总结 湘教版 · 初中数学 4.5 二次函数的应用 第2课时 利用二次函数解决最值有关的实际问题 28 最值问题 建立函数关系式 常见几何图形的面积公式 总利润＝单件利润×销售量或总利润＝总售价－总成本. 确定自变量取值范围 涨价：要保证销售量≥0； 降件：要保证单件利润≥0. 确定最值 利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出. 课堂小结 湘教版 · 初中数学 4.5 二次函数的应用 第2课时 利用二次函数解决最值有关的实际问题 THANKS FOR WATCHING 感谢观看 湘教版 · 初中数学 第4章 二次函数 ／ 4.5 二次函数的应用 湘教版 · 初中数学 4.5 二次函数的应用 第2课时 利用二次函数解决最值有关的实际问题 30 $