4.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数一般式\(y=ax²+bx+c\)的图象与性质，核心涵盖配方法转化顶点式、顶点坐标及对称轴公式、图象开口方向与增减性等。导入通过回顾顶点式性质对比表及具体函数实例，搭建旧知到新知的支架，引导学生发现一般式问题。 其亮点是以合作探究驱动思维，通过详细的配方法推导步骤培养推理能力，典例精析结合系数\(a,b,c\)与图象关系判断强化模型意识，表格归纳性质助力系统掌握。学生能提升运算与抽象能力，教师可依托清晰流程与分层练习高效教学。

教学课件 2026 湘教版 · 九年级上册 · 新教材 4.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 第4章 二次函数 数学 湘教版 · 初中数学 4.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 1 第4章 二次函数 4.2.3 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 湘教版 · 初中数学 4.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 本节导航 导 新课导入 讲 讲授新课 练 当堂练习 结 课堂小结 湘教版 · 初中数学 4.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 3 新课导入 教学目标 教学重点 湘教版 · 初中数学 4.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 4 1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k.(难点） 2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.（重点） 学习目标 湘教版 · 初中数学 4.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 y=a(x-h)2+k a>0 a<0 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 向上 向下 (h ,k) (h ,k) x=h x=h 当x<h时，y随着x的增大而减小；当x>h时， y随着x的增大而增大. 当x<h时,y随着x的增大而增大；当x>h时， y随着x的增大而减小. x=h时,y最小=k x=h时,y最大=k 抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的. 新课导入 湘教版 · 初中数学 4.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 6 顶点坐标 对称轴 最值 y=-2x2 y=-2x2-5 y=-2(x+2)2 y=-2(x+2)2-4 y=(x-4)2+3 y=-x2+2x y=3x2+x-6 (0,0) y轴 0 (0,-5) y轴 -5 (-2,0) 直线x=-2 0 (-2,-4) 直线x=-2 -4 (4,3) 直线x=4 3 ? ? ? ? ? ? 新课导入 湘教版 · 初中数学 4.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 7 讲 讲授新课 典例精讲 · 归纳总结 湘教版 · 初中数学 4.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 8 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质 问题1 怎样将 化成y=a(x-h)2+k的形式？ 1 我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论 的图象和性质？ 合作探究 讲授新课 湘教版 · 初中数学 4.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 9 配方可得 想一想：配方的方法及步骤是什么？ 讲授新课 湘教版 · 初中数学 4.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 配方 你知道是怎样配方的吗？ (1)“提”：提出二次项系数； (2)“配”：括号内配成完全平方； (3)“化”：化成顶点式. 提示:配方后的解析式通常称为顶点式. 讲授新课 湘教版 · 初中数学 4.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 方法一：描点法 列表:自变量x从顶点的横坐标 开始取值. 有哪几种画图方法？ x 2 3 3 -1 故对称轴是直线 ，顶点坐标是 . 问题2 如何画二次函数 的图象？ 湘教版 · 初中数学 4.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 4 x y o 1 2 3 -1 -2 -3 -4 3 2 4 1 -5 -1 描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分. 利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分， 这样就得到了函数 的图象， 如图所示: 讲授新课 湘教版 · 初中数学 4.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 方法二：平移法 由于 ，所以我们也可以先画出二次函数 的图象，然后将其向右平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度，就可得到二次函数 的图象. -4 2 4 y -2 O -2 2 x 4 -4 y=-2x² 湘教版 · 初中数学 4.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 y=ax²+bx+c 二次函数y=ax2+bx+c 与y=a(x-h)2+k的关系? 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 通过配方可以转化成y=a(x-h)2+k形式. 湘教版 · 初中数学 4.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 求二次函数 的最大值. 解：配方可得 顶点坐标是（2，1），于是当x=2时，y达到最大值1. 典例精析 例1 讲授新课 湘教版 · 初中数学 4.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 根据下列关系你能发现二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质吗？ y=ax2+bx+c 讲授新课 湘教版 · 初中数学 4.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 y=ax2+bx+c 二次函数的顶点式 对称轴为 . 二次函数的一般式 因此，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是 ，顶点坐标是 . 显然，抛物线 的顶点坐标为 . 讲授新课 湘教版 · 初中数学 4.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 y O x （a>0） y O x （a<0） 二次函数y=ax2+bx+c的图象： 增减性？ 最小值 最大值 讲授新课 湘教版 · 初中数学 4.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质： y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 开口方向 向上 向下 顶点坐标 对称轴　 直线x＝ 直线x＝ 增减性　 当x＜ 时，y随x的增大而减小；当x＞ 时，y随x的增大而增大 当x＜ 时，y随x的增大而增大；当x＞ 时，y随x的增大而减小 最值　　 当x＝ 时，y有最小值， 为 . 当x＝ 时，y有最大值， 为 . 归纳总结 讲授新课 湘教版 · 初中数学 4.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 (　　) A．1　　　　　B．2　　　　　C．3　　　　　D．4 D 由图象上横坐标为 x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0， 故③正确； 由图象上x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－1的点在第 二象限得出 a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0， 可得(a＋c)2＜b2，故④正确． 二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数a,b,c的关系 【解析】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得c＞0，则abc＞0，故①正确； 由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确； 例2 2 湘教版 · 初中数学 4.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系 ①a决定开口方向：a＞0⇔开口向上；a＜0⇔开口向下； ②a，b同号对称轴在y轴的左侧； a，b异号对称轴在y轴的右侧； ③c＝0⇔经过原点； c＞0⇔与y轴的交点位于x轴的上方； c＜0⇔与y轴的交点位于x轴的下方； 归纳总结 讲授新课 湘教版 · 初中数学 4.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 ④当x＝1时，y的值为a＋b＋c， 当x＝－1时，y的值为a－b＋c． ⑤当对称轴x＝1时，x＝ ＝1，∴－b＝2a，此时2a＋b＝0； 当对称轴x＝－1时，x＝ ＝－1，∴b＝2a，此时2a－b＝0． 因此，判断2a＋b的符号，需判断对称轴x＝ 与1的大小， 若对称轴在直线x＝1的左边，则 ，再根据a的符号即可得出结果；判断2a－b的符号，同理需判断对称轴与-1的大小. 讲授新课 湘教版 · 初中数学 4.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 练 当堂练习 当堂反馈 · 即学即用 湘教版 · 初中数学 4.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 24 当堂练习 知识点1 用配方法将二次函数y=ax²+bx+c 化为顶点式 答案　y=(x-2)²+1 湘教版 · 初中数学 4.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 当堂练习 知识点2 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0) 的图象与性质 答案　< 湘教版 · 初中数学 4.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 当堂练习 知识点3 求二次函数y=ax²+bx+c(a≠0) 的最值 3.（教材习题变式）求下列函数的最大（小）值： （1） ； 解：， 当 时，函数有最小 值 . （2） . 解： 当 时，函数有最大值 . 湘教版 · 初中数学 4.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 当堂练习 易错点化二次函数为y=a(x-h)²+k 形式时，漏掉二次项系数 答案　(2,-9)　-5 湘教版 · 初中数学 4.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 结 课堂小结 构建脉络 · 归纳总结 湘教版 · 初中数学 4.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 29 顶点： 对称轴： y=ax2+bx+c（a ≠0) (一般式) 配方法 公式法 (顶点式) 课堂小结 湘教版 · 初中数学 4.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 THANKS FOR WATCHING 感谢观看 湘教版 · 初中数学 第4章 二次函数 湘教版 · 初中数学 4.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 31 $