4.3二次函数的表达式的求法 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数表达式的求法，以待定系数法为核心，系统讲解顶点式、一般形式、交点式三种类型。通过“感悟新知”环节的步骤梳理，衔接二次函数基本概念，搭建从已知条件选择表达式类型的学习支架。 其亮点在于一题多解（如例1用顶点式、一般形式、交点式）培养推理意识，技巧提醒（特殊位置抛物线设法）发展抽象能力，综合应用（对称变换、面积问题）强化模型意识。采用逐点导讲练结合结构化小结，学生能掌握方法，教师可提升教学效率。

4.3二次函数的表达式的求法 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 学习目标 课时讲解 1 课时流程 2 用待定系数法求二次函数的表达式 感悟新知 知1－讲 知识点 1 1. 用待定系数法求二次函数表达式的一般步骤 (1)设：根据题中已知条件，合理设出二次函数的表达式； (2)列：把已知点的坐标代入所设的二次函数的表达式，列出关于表达式中待定系数的方程或方程组； (3)解：解方程或方程组，求出待定系数的值； (4) 写：将求出的待定系数还原到表达式中，写出表达式. 用待定系数法求二次函数的表达式 感悟新知 知1－讲 2. 二次函数表达式的类型 表达式类型 形式 适用情况 顶点式 y=a(x-h)2+k(a，h，k 是常数，a ≠ 0) 当已知抛物线的顶点或对称轴和函数最大(小) 值时，通常设顶点式求解 感悟新知 知1－讲 表达式类型 形式 适用情况 一般形式 y=ax2+bx+c (a，b，c 是常数，a ≠ 0) 当已知抛物线上任意三个点的坐标时，通常设一般形式求解 交点式 y=a(x-x1)(x-x2)(a，x1，x2 是常数，a ≠ 0，x1，x2 是抛物线与x 轴的两 个交点的横坐标) 当已知抛物线与x 轴的两个交点坐标或已知抛物线与x 轴的一个交点的坐标和对称轴时，通常设交点式求解 感悟新知 知1－讲 技巧提醒 特殊位置抛物线的表达式的设法技巧： (1)顶点在原点，可设为 y=ax2； (2)对称轴是y 轴(或顶点在 y 轴上) ，可设为 y=ax2+k； (3)顶点在 x 轴上，可设为 y=a（x － h）2； (4)抛物线过原点，可设为 y=ax2+bx. 知1－练 感悟新知 [一题多解] 已知某二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： 求这个二次函数的表达式. 例1 x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 … y … - 0 2 0 － … 知1－练 感悟新知 思路导引： 知1－练 感悟新知 解：方法一(顶点式)因为抛物线经过点( -2，)，(0，)， 所以抛物线的对称轴为直线 x==-1. 又抛物线经过点(-1，2)，所以顶点坐标为(-1，2). 设二次函数的表达式为 y=a(x+1)2+2. 把点(1，0)的坐标代入，得 a(1+1)2+2=0，解得 a=-. 所以这个二次函数的表达式为 y=-(x+1)2+2. 知1－练 感悟新知 方法二(一般形式)设二次函数的表达式为 y=ax2+bx+c. 把点(-3，0)，(-1，2)，(1，0)的坐标代入， 得解得 所以这个二次函数的表达式为 y=-x2-x+ . 知1－练 感悟新知 方法三(交点式)因为抛物线与 x 轴交于点(-3，0)， (1，0)，所以设二次函数的表达式为 y=a(x+3)(x-1). 把点(-1，2)的坐标代入，得 2=a(-1+3)×(-1-1)，解得 a=-. 所以这个二次函数的表达式为 y=-(x+3)(x-1)，即 y=-x2- x+ . 知1－练 感悟新知 1-1.(1)已知抛物线的顶点为(1，-3)，且经过点(-2，0)，则该抛物线的表达式为_________________； (2)已知抛物线经过点(-1，0)，(1，8)和(3，0)，则该抛物线的表达式为_________________ ； (3)已知抛物线经过(-1，10)，(0，6)，(1，4) 三点，则该抛物线的表达式为_________________ . y=x2-x- y=-2x2+4x+6 y=x2-3x+6 知1－练 感悟新知 1-2. 一个二次函数的图象经过点A(-1，1)，B(3，1)，最小值为-3. (1)求函数图象的顶点坐标； 解：因为点A(-1，1)，B(3，1)的纵坐标相同，所以函数图象的对称轴为直线x=1.由题知二次函数的最小值 为-3，所以函数图象的顶点坐标为(1，-3). 知1－练 感悟新知 (2)求函数的表达式. 解：由(1)知函数图象的顶点坐标为(1，-3)， 所以设函数的表达式为y=a(x-1)2-3. 把A(-1，1)的坐标代入，得1=a×(-1-1)2-3，解得a=1. 所以函数的表达式为y=(x-1)2-3，即y=x2-2x-2. 二次函数的表达式的求法 关键 二次函数的表达式 一般形式 顶点式 交点式 已知条件的呈现方式 课堂小结 题型 1 利用对称变换法求二次函数的表达式 已知抛物线y=2x2-4x+1.求下列变换后的抛物线的表达式： (1)关于 x 轴对称； (2)关于 y 轴对称； (3)绕顶点旋转 180°. 例2 综合应用创新 解题秘方：紧扣对称变换的特征，关键是顶点坐标的变化 . 综合应用创新 解：y=2x2-4x+1=2(x-1)2-1. (1)关于 x 轴对称，开口方向改变，顶点坐标为(1，1)，则 y=-2(x-1)2+1=-2x2+4x-1. (2)关于 y 轴对称，开口方向不变，顶点坐标为(-1，-1)， 则 y=2(x+1)2-1=2x2+4x+1. (3)绕顶点旋转 180°，开口方向改变，顶点坐标为(1，-1)，则 y=-2(x-1)2-1=-2x2+4x-3. 综合应用创新 方法点拨 求对称变换后的抛物线的表达式关键注意两点：一是开口方向是否发生改变；二是顶点坐标的变化情况. 综合应用创新 题型 2 利用等量关系法求二次函数的表达式 如图 4.3-1，已知抛物线与x轴交于A(-1，0)，B(3，0)两点，与 y 轴交于点C(0，3). (1)求抛物线的表达式； (2)点P是BC上方抛物线上的一个动 点，设点P的横坐标为m，△PBC 的面积为 S，求 S 与m之间的函数表达式 . 例3 综合应用创新 解题秘方：利用待定系数法和等量关系法求二次函数的表达式 . 综合应用创新 解：(1)因为抛物线与 x 轴交于A(-1，0)，B(3，0)两点， 所以设抛物线的表达式为 y=a(x+1)(x-3). 因为抛物线与 y 轴交于点C(0，3)， 所以 a(0+1)(0-3)=3，解得 a=-1. 所以抛物线的表达式为 y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3. 综合应用创新 (2)如图 4.3-1，过点P作PE⊥ x 轴，垂足为E，交BC于点F. 因为B(3，0)，C(0，3)，所以易得直线BC的表达式为 y=-x+3.因为点P的横坐标为m，所以P(m，-m2+2m+3)， F(m，-m+3).所以PF=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m. 所以 S=×3×(-m2+3m)=-m2+ m(0<m<3). 综合应用创新 方法点拨 利用点的坐标表示图形的面积时，通常过某点作x轴(或 y轴)的垂线，将图形进行分割. 综合应用创新 易错题 1 用顶点式求二次函数表达式时，符号出现错误 已知一个二次函数的图象的顶点坐标为(-2，-3)，且经过点(-3，-2)，求这个二次函数的表达式 . 例4 综合应用创新 错解：因为抛物线的顶点坐标为(-2，-3)， 所以设抛物线的表达式为 y=a(x-2)2-3. 把(-3，-2)代入，得 -2=a(-3-2)2-3，解得 a= . 所以二次函数的表达式为y= (x-2)2-3. 综合应用创新 正解：因为抛物线的顶点坐标为(-2，-3)， 所以设抛物线的表达式为y=a(x+2)2-3. 把(-3，-2)代入，得-2=a(-3+2)2-3，解得a=1. 所以二次函数的表达式为y=(x+2)2-3. 综合应用创新 诊误区： 二次函数的顶点式为 y=a(x-h)2+k，当顶点的横坐标为负数时，设函数表达式时应注意符号 . 综合应用创新 $