第13章 勾股定理 单元检测 2026-2027学年华东师大版八年级数学上册

**基本信息** 华东师大版八年级上册勾股定理单元卷，通过基础巩固、文化情境与创新应用的梯度设计，考查勾股定理及逆定理应用、空间观念与推理能力，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|直角三角形判定、反证法、网格计算|结合《九章算术》“折竹抵地”考查实际应用| |填空|4/20|勾股树面积、长方体表面最短路径|以“勾股树”“蚂蚁爬行”体现空间观念| |解答|6/60|三角形判定、四边形面积探究、动态几何|17题分三问设计问题链，从基础到创新，培养推理能力|

第13章勾股定理单元检测卷华东师大版2026—2027学年八年级上册 总分：120分 时间：90分钟 姓名：________ 班级：_____________成绩：___________ 一．单项选择题（每小题5分，满分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．下列各组线段中，能作为直角三角形三边的是（     ） A．3，4，6 B．6，8，10 C．5，12，15 D．7，23，24 2．用反证法证明命题结论“是负数”时，应先假设（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 4．如图，在正方形网格中，点A，B，C，D在格点上，点E在网格线上．下列选项错误的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，已知，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，以的长为半径作弧，则弧与数轴正半轴的交点表示的数为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，于点，于点，交于点．若，，则线段的长为（     ） A．1.2 B．1.6 C．2 D．2.4 7．《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，书中记载的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（1丈尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地（如图），抵地处点离竹子底部点3尺远，求折断后竹子的长．设的长为尺，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 8．如图，在“剪拼正方形”的数学活动中，将两个边长分别为a，b（）的大小不相等的正方形纸片，通过分割、拼接组成一个边长为c的大正方形（无重叠、无空隙）．下列说法错误的是（     ） A．拼接前后图形的总面积保持不变 B．拼接后大正方形的边长为 C．拼接过程中，分割出的所有三角形一定都是全等的直角三角形 D．该剪拼过程可直观验证勾股定理 二．填空题（每小题5分，满分20分） 9．如图，在中，，，，则正方形的面积是________． 10．如图，在三角形支架中，，垂足为，，，，则的长为_______． 11．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．正方形A，B，C，D的面积分别是，，，，则正方形G的面积是________． 12．如图1，实心长方体木块的长、宽、高分别为，，，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图2所示的几何体，一只蚂蚁沿着图2中的几何体表面从顶点爬行到顶点的最短距离为________． 三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程） 13．如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上． (1)直接写出______，______，______； (2)判断的形状，并说明理由． 14．如图，在中，，E是上的一点，，，． (1)求证：； (2)求线段的长． 15．如图，在中，E为边上的一点，连接并延长，过点A作，垂足为D，若，，，． (1)判断的形状，并证明； (2)记的面积为，的面积为，求的值． 16．如图，在中，，，是延长线上的一点，过点作交的延长线于点，是的中点，连接并延长交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 17．问题探究 (1)如图①，已知，，则的大小为 ； (2)如图②，在四边形中，，，对角线，求四边形的面积； (3)问题解决：如图③，四边形是正在建设的地铁站的施工围挡，受地方限制，要求；，对角线米，那么四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 18．如图，在等腰中，，又，连接． (1)若，求的长； (2)如图1，求证： ； (3)如图2，若平分交于F点，则________． 参考答案 1．B 2．A 3．B 4．B 5．A 6．A 7．A 8．C 9．5 10． 11． 12． 13．【详解】（1）解：由题意得，， ， (2)解：是直角三角形，理由如下； 由（1）得，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形． 14．(1)证明： ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， 即． （2）解：∵， ∴是直角三角形． 设， ∵，， ∴， 在中，，即， 解得， 即． 15．(1)是直角三角形． 证明：∵， ∴， 在中，，， 根据勾股定理得， 在中，， ∵， 根据勾股定理的逆定理得，， ∴是直角三角形； （2）在中， ， 在中， ． 16．(1)∵， ，， 又是的中点， ， ， ； （2）解：，， ， 又， ， ， 在中，， ， ， ． 17．【详解】（1）解：如图1，延长交于， ∵，， ∴； （2）解：如图2，将绕点逆时针旋转得到 ∴， ∴，，，，， ∵在四边形中，， ∴， ∴， ∴点，点，点三点共线， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； (3)存在；最小值为：；理由如下： 如图3，将绕点逆时针旋转，得到，连接，过点作于，利用等腰三角形的性质结合勾股定理求出和的长，进而得到的长，再利用勾股定理求出的长，分析出四边形的面积，即当的面积最大时，四边形的面积最小，结合面积公式运算求解即可． ∴， ∴，，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在四边形中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形的面积， ∴四边形的面积， ∴当的面积最大时，四边形的面积最小， ∴四边形的面积的最小值． 18．【详解】（1）解：是等腰直角三角形， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：或（舍去）； (2)证明：如图，在AP上截取，令与交于点E， 、， ， 、， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，即， 为等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ； （3）解：延长、交于点，过点F作于点M， ， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ， ， 平分、、， ， ， 设，则， ， 由（2）知， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点P是的中点， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $