第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 分层训练 2026--2027学年沪科版数学八年级上册

**基本信息** 沪科版八年级数学第13章分层训练，分A（★）、B（★★）、C（★★★）三层共36题，覆盖全章知识点，梯度从基础应用到综合探究，助力知识巩固与数学思维发展。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A层（★）|三角形概念、边角关系等单一知识点|直接应用教材知识，如判断三角形组成、计算内角和，培养抽象能力与运算能力| |B层（★★）|两步推理或分类讨论，如等腰三角形分类、角平分线与外角性质结合|需分类讨论与多步推理，发展推理意识与几何直观| |C层（★★★）|多步综合与规律探究，如重心坐标、五角星角度和证明|综合应用与规律探究，提升创新意识与模型观念|

沪科版八年级数学上册第13章《三角形中的边角关系、命题与证明》分层训练 （A基础巩固 ★ / B能力提升 ★★ / C拓展探究 ★★★，共36题，附参考答案与解析） 使用说明：本练习覆盖第13章全部知识点，共36题，按难度分三层并逐题标注星级——★为直接应用教材知识的基础题；★★为需要两步以上推理或分类讨论的提升题；★★★为多步综合、证明与规律探究的拓展题。教师可按学情分层布置，答案与解析附于文末。 知识点覆盖一览 知识点 A层(★) B层(★★) C层(★★★) 三角形的概念与三边关系 1、2、3 1、2 1、10 内角和与按角分类 4、5、7、13 8 9 外角性质 6、14 3 9、12 中线、角平分线、高 8、9 5、9 6、7、8 命题与真假判断 10、11 6 — 证明与推理 12 7 2、11、12 坐标与面积、规律探究 — 10 4、5 A层·基础巩固（★） 1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　） A．1、2、3　　B．2、3、4　　C．2、2、5　　D．3、3、6 2．已知三角形的两边长分别为3和7，则第三边x的取值范围是　　　　　　。 3．等腰三角形两边长分别为5和8，则它的周长为　　　　　　。 4．在△ABC中，∠A=55°，∠B=70°，则∠C=　　　　　　。 5．直角三角形的一个锐角为36°，则另一个锐角为　　　　　　。 6．△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，BC边延长至D，则外角∠ACD=　　　　　　。 7．一个三角形有一个内角为95°，则它是　　　　　　三角形（按角分类）。 8．在△ABC中，AD是中线，AB=7，AC=5，则△ABD与△ACD的周长之差为　　　　　　。 9．判断：三角形的三条高所在直线交于一点。（　） 10．判断：命题"对顶角相等"是真命题。（　） 11．命题"如果两个角是对顶角，那么它们相等"的题设是　　　　　　，结论是　　　　　　。 12．直线a∥b，直线c与a、b相交，∠1=48°（∠1与∠2是同位角），则∠2=　　　　　　。 13．下列三角形中，是直角三角形的是（　） A．三内角之比为1:2:3　　B．三内角之比为2:3:4　　C．有一个内角为95°　　D．有两个锐角 14．如右图，△ABC中，∠A=40°，∠B=50°，BC边延长至D，则外角∠ACD=　　　　　　，△ABC按角分类是　　　　　　三角形。 B层·能力提升（★★） 1．等腰三角形的周长为20，其中一边长为6，则其他两边的长为　　　　　　。 2．三角形的三边长是三个连续整数，且周长为18，则三边长分别为　　　　　　。 3．△ABC中，∠A=60°，∠C=70°，BD平分∠ABC交AC于D，则∠BDC=　　　　　　。 4．如右图：△ABC中，∠A=60°，∠B=70°，沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点D处，折痕为BE，求∠BED的度数。 5．△ABC中，AD是中线，△ABD的面积为6，则△ABC的面积为　　　　　　。 6．判断命题"两个锐角的和一定是锐角"的真假，若是假命题请举出反例。 7．已知：∠1=∠2，∠2=∠3，求证：∠1=∠3。（写出推理过程） 8．△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，求三个内角的度数。 9．△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠B=40°，∠C=70°。求∠DAE的度数。 10．三角形的三边长均为整数，且周长为11，这样的三角形共有多少个？ C层·拓展探究（★★★） 1．三角形的三边长均为整数，且周长为13。这样的三角形共有多少个？（按三边长度组合计数） 2．△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I。探究∠BIC与∠A的数量关系，并写出证明过程。 3．在△ABC中，∠A=80°，D、E分别在AB、AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在三角形内部的点A′处，设∠A′DB=100°，求∠A′EC的度数。 4．在△ABC的边BC上取n个点（不含B、C），分别与顶点A相连。探究：图中三角形的个数与n的关系。 5．如右图，在平面直角坐标系中，A(1,1)、B(5,1)、C(3,4)。（1）求△ABC的面积；（2）过点C作AB边上的高CH，求CH的长；（3）在直线x=3上找一点D（不与C重合），使△ABD的面积等于△ABC的面积，求点D的坐标。 6．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，F是CE的中点。（1）若S△DEF=2，求S△ABC；（2）若S△ABC=32，求S△BEF。 7．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点I，△ABC在顶点B、C处的两个外角的平分线相交于点P。（1）若∠A=80°，求∠BIC与∠BPC；（2）探究∠BIC+∠BPC是否为定值，并说明理由。 8．如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上。（1）在图中标出△ABC的重心G（三条中线的交点）；（2）若A(7，4)、B(1，1)、C(4，1)，写出重心G的坐标。 9．如图是一个五角星图案，五个尖角分别为∠A、∠B、∠C、∠D、∠E。（1）求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；（2）若点B移动到AC边上（如图的退化情形），上述结论是否仍然成立？说明理由。 10．已知等腰三角形一腰上的中线把三角形的周长分成12和15两部分，求这个等腰三角形的三边长。 11．如图，在△ABC中，DE∥BC，点P在△ABC内部。（1）若DP平分∠ADE，CP平分∠ACB，∠A=46°，∠B=64°，求∠DPC；（2）过C作CQ⊥CP交直线DP于Q，求∠Q；（3）猜想∠DPC、∠Q与∠A之间的数量关系，并加以证明。 12．如图，B、C、D在同一直线上，从点C出发作射线CE。（1）若CE∥AB，求证：∠A+∠B+∠ACB=180°；（2）若CP平分∠ACE，∠A=∠B，试判断CP与AB的位置关系并证明。 参考答案与解析 A层（★） 1．B（2+3＞4） 2．4＜x＜10 3．18或21（5、5、8或8、8、5均满足三边关系） 4．55° 5．54° 6．110°（外角=不相邻两内角之和） 7．钝角 8．2（△ABD周长−△ACD周长=AB−AC=2） 9．正确（三条高所在直线交于一点，锐角三角形交于内部、直角三角形交于直角顶点、钝角三角形交于外部） 10．正确 11．题设：两个角是对顶角；结论：它们相等 12．48°（两直线平行，同位角相等） 13．A（1:2:3即30°、60°、90°） 14．90°；直角（∠ACD=∠A+∠B=90°） B层（★★） 1．6和8，或7和7（若腰为6，则三边6、6、8；若底为6，则三边7、7、6） 2．5、6、7（设x−1、x、x+1，3x=18，x=6） 3．85°（∠ABC=50°，∠ABD=25°，∠BDC=∠A+∠ABD=85°） 4．由折叠，∠ABE=∠EBD=∠B/2=35°，∠BDE=∠A=60°；在△BDE中，∠BED=180°−35°−60°=85°。 5．12（中线平分面积） 6．假命题。反例：60°+60°=120°，是钝角。 7．∵∠1=∠2（已知），∠2=∠3（已知），∴∠1=∠3（等量代换）。 8．设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，x+2x+3x=180°，x=30°，∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°。 9．∠BAC=70°，∠BAE=35°，∠BAD=90°−∠B=50°，∠DAE=50°−35°=15°。 10．枚举：三边（a≤b≤c，a+b＞c，a+b+c=11），得（1,5,5）、（2,4,5）、（3,3,5）、（3,4,4），共4个。 C层（★★★） 1．5个：（1,6,6）、（2,5,6）、（3,4,6）、（3,5,5）、（4,4,5）。 2．∠BIC=90°+∠A/2。证明：∠IBC+∠ICB=(∠ABC+∠ACB)/2=(180°−∠A)/2=90°−∠A/2，∠BIC=180°−(∠IBC+∠ICB)=90°+∠A/2。 3．∠A′EC=60°。由折叠，∠A′DA=2∠ADE，∠A′EA=2∠AED。∠A′DB=180°−2∠ADE=100°，得∠ADE=40°；又∠ADE+∠AED=180°−∠A=100°，得∠AED=60°；故∠A′EC=180°−2∠AED=60°。 4．取n个点，连同B、C共n+2个分点，规律：共有(n+1)(n+2)/2个三角形（n=1时为3个，n=2时为6个，n=3时为10个）。 5．（1）AB=4，AB边上的高为3，S=½×4×3=6；（2）CH=3；（3）设D(3,d)，S△ABD=½×4×|d−1|=6，|d−1|=3，d=4或−2；d=4时D与C重合（舍去），故D(3,−2)。 6．（1）F是CE中点，S△DEC=2S△DEF=4；E是AD中点，S△ADC=2S△DEC=8；D是BC中点，S△ABC=2S△ADC=16。（2）E为AD中点，S△BEC=½S△ABC=16；F为CE中点，S△BEF=½S△BEC=8。 7．（1）∠BIC=90°+½∠A=130°；两个外角平分线的交点P满足∠BPC=90°−½∠A=50°。（2）∠BIC+∠BPC=(90°+½∠A)+(90°−½∠A)=180°，为定值。 8．（1）分别取三边中点并与对顶点相连，三条中线的交点即重心G，图略；（2）G((7+1+4)/3，(4+1+1)/3)=(4，2)。 9．（1）利用三角形外角性质，把五个尖角转化到同一个三角形中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。（2）结论仍成立，此时五个角恰好是某个三角形的内角与外角组合，仍可由外角性质化为180°。 10．设腰长为2x、底边长为y，中线把周长分为3x与x+y两部分。①3x=12、x+y=15时x=4、y=11，三边为8、8、11（满足三边关系）；②3x=15、x+y=12时x=5、y=7，三边为10、10、7（满足三边关系）。故三边长为8、8、11或10、10、7。 11．（1）∠C=180°−46°−64°=70°；DE∥BC，∠ADE=∠B=64°，DP平分∠ADE得∠ADP=32°；延长DP交AC于G，∠PGC=∠A+∠ADG=78°，∠PCG=½∠C=35°，∠GPC=67°，故∠DPC=180°−67°=113°。（2）CQ⊥CP，∠PCQ=90°，∠CPQ=∠GPC=67°，∠Q=23°。（3）一般地∠DPC=90°+½∠A，∠Q=½∠A，证明同（1）（2），把46°换成∠A即可。 12．（1）CE∥AB，故∠A=∠ACE的内错角、∠B=∠ECD的同位角，而∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（B、C、D共线），等量代换得∠A+∠B+∠ACB=180°。（2）CP∥AB。理由：∠ACE=∠A+∠B（外角），∠A=∠B，CP平分∠ACE，故∠PCE=½(∠A+∠B)=∠B，∠PCE与∠B是同位角且相等，所以CP∥AB。 1 学科网（北京）股份有限公司 $