广东省湛江市麻章区2026-2027学年八年级上册第一次月考数学模拟练习

**基本信息** 本试卷聚焦八年级上册三角形与全等核心知识，以石墨烯分子结构、完美五边形等真实情境为载体，通过基础判断、综合推理与实践应用，考查几何直观、推理能力及数学应用意识，适配月考诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角形三边关系、稳定性、全等判定|结合太阳能支架（稳定性）、石墨烯结构（正多边形内角）考查数学眼光| |填空题|6/18|四边形对角线、三角形外角、中线性质|以儿童推车（平行线性质）、直角三角形（角平分线）体现生活应用| |解答题|8/63|全等证明、勾股定理、项目化学习|综合实践（测量池塘距离）、动态几何（翻折问题）培养推理与创新思维|

2026-2027学年广东省湛江市麻章区八年级（上） 第一次月考数学模拟练习 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）如图，为估计池塘岸边A，B两点的距离，小方同学在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝14m，OB＝9m，则点A，B间的距离不可能是（　　） A．5m B．10m C．15m D．20m 2．（3分）如图，太阳能热水器的支架形状通常为三角形，其数学原理是（　　） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．对顶角相等 D．三角形具有稳定性 3．（3分）石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则∠ABC的度数为（　　） A．135° B．120° C．105° D．60° 4．（3分）如图，△ABC≌△DEC，点D在AB上，∠A＝70°，则∠BDE的度数为（　　） A．40° B．45° C．60° D．70° 5．（3分）下列四个图形中，BD是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）如图，AB＝AC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，CF与BE交于点D，有下列结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上；④AB＝DF+DB．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．下列结论不一定正确的是（　　） A．∠B＝∠C B．∠1＝∠2 C．BD＝CD D．AD＝BC 8．（3分）如图，△DEF是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AD，设AC与DE交于点G．那么下列结论：①AD＝CF；②CE＝AD；③S四边形ABED＝S△DEF；④四边形ABEG与四边形DFCG全等；⑤∠AGE＝∠B+∠F．其中正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（3分）如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．SSS D．HL 10．（3分）完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中∠5＝35°，则∠1+∠2+∠3+∠4的度数和为（　　） A．180° B．360° C．325° D．145° 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）一个四边形的对角线共有　 　 条． 12．（3分）如图是一款儿童小推车的示意图．若AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝40°，则∠3＝　 　 °． 13．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点E在边AC上，点G在边BC上，连接BE、AG交于点F，∠CAG＝2∠EBA，若EC+CG，GB，则AF的长为 　 　 ． 14．（3分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB＝8，AC＝6，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接CE，则AD的长的取值范围是　 　 ． 15．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若CD＝2，AB＝6，则△ABD的面积为　 　 ． 16．（3分）如图，在△ABC中，AD，BE分别是边BC，AC上的高线，两条高线相交于点H，连接DE，过点D作DF⊥DE，交BE于点F．若AD＝BD，则下列结论：①∠CAD＝∠CBE；②△AED≌△BFD；③∠CDE＝45°；④∠EHD＝∠BFD，其中正确的是　 　 （只填写序号）． 三．解答题（共8小题，满分63分） 17．（9分）在△ABC中，∠A∠B∠ACB，∠CDB＝90°，CE是∠ACB的角平分线，求∠DCE的度数． 18．（9分）综合与实践： 【问题情境】如图1所示，池塘的两端有A，B两点，现需要测量该池塘的两端A，B之间的距离，需要如何进行呢？ 【提出方案】如图2所示，先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至点D，BC至点E，使DC＝AC，EC＝BC，最后量出DE的距离就是AB的距离． 【问题解决】请你判断此方案是否可行，并说明理由． 19．（9分）如图，点D在BC上，AC，DE交于点F，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE．（1）证明：△ABC≌△ADE； （2）若∠BAD＝20°，求∠CDF的度数． 20．（9分）在一个4×5的正方形网格中，△ABC为格点三角形（三角形的三个顶点都在网格点上的三角形） （1）在图1中画出△ABC的中线BM； （2）在图2中画出与△ABC全等的格点△ABD； （3）如图1，在一个4×5的正方形网格中，△ABC为格点三角形（三角形的三个顶点都在网格点上的三角形），在所给的网格中，与△ABC全等的格点三角形（△ABC除外）共有 　 　 个． 21．（9分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于点E，点F在边AC上，连接DF，若DF＝DB． （1）求证：∠B+∠AFD＝180°； （2）若AB＝8，AF＝5，求BE的长． 22．（9分）如图1，四边形OABC是矩形，A，B，D三点的坐标分别是（0，3），（5，3），（2，0）．点P是矩形OABC上的一点，点P从点D出发，沿D→O→A→B以每秒1个单位长度的速度运动，作∠PDQ＝90°，DQ交边AB或边BC于点Q，当点Q与点C重合时，点P停止运动．连接PQ，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）当点P运动到点O时，求线段PQ的长； （2）如图2，当点P在边AB上运动时，求证：△PDQ是等腰直角三角形； （3）将△PDQ沿直线PQ翻折，当点D的对应点F落在矩形OABC的边上时，求t的值． 23．（9分）（1）课本习题回放： “如图①，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm．求BE的长”．请直接写出此题答案：BE的长为 　 　 cm． （2）探索证明： 如图②，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，AB＝AC，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，且∠BED＝∠CFD＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF． （3）拓展应用： 如图③，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．点D在边BC上，点E在线段AD上，∠BED＝∠BAC．若DE：BE：AE＝1：2：5，则S△BDE：S△ACD＝　 　 .（图中画出分析思路；直接填写结果） 24．学习了《勾股定理》一章后，同学们发现，利用勾股定理不仅可以绘制出各种不同的美丽图案，还可以用于计算．某校八年级数学兴趣小组开展了“利用勾股定理求面积”的主题项目化学习活动： 活动主题：求三角形（四边形）的面积； 活动任务一： （1）如图1，等边△ABC的边长为4，则它的面积是　 　 ； 活动任务二： （2）如图2，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝75°，BC＝4，求△ABC的面积； （3）如图3，四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝3，DC＝1，∠A＝90°，求四边形ABCD的面积． 2026-2027学年广东省湛江市麻章区八年级（上） 第一次月考数学模拟练习 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）如图，为估计池塘岸边A，B两点的距离，小方同学在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝14m，OB＝9m，则点A，B间的距离不可能是（　　） A．5m B．10m C．15m D．20m 【分析】三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此得到5＜AB＜23，即可得到答案． 【解答】解：由三角形三边关系定理得：14﹣9＜AB＜14+9， ∴5＜AB＜23， ∴A，B间的距离不可能是5m． 故选：A． 【点评】本题考查三角形三边关系，关键是由三角形三边关系定理得到5＜AB＜23， 2．（3分）如图，太阳能热水器的支架形状通常为三角形，其数学原理是（　　） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．对顶角相等 D．三角形具有稳定性 【分析】根据三角形具有稳定性解答即可． 【解答】解：由题意得，这样设计依据的数学道理是三角形具有稳定性． 故选：D． 【点评】本题主要考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形具有稳定性是解题的关键． 3．（3分）石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则∠ABC的度数为（　　） A．135° B．120° C．105° D．60° 【分析】根据题意求得正六边形的外角，进而即可求得∠ABC的度数． 【解答】解：∵正六边形的外角和为360°， ∴每一个外角为， ∴∠ABC＝180°﹣60°＝120°， 故选：B． 【点评】本题考查了正多边形的内角与外角，关键是多边形外交和定理的熟练掌握． 4．（3分）如图，△ABC≌△DEC，点D在AB上，∠A＝70°，则∠BDE的度数为（　　） A．40° B．45° C．60° D．70° 【分析】先根据全等三角形性质求出∠DEC，然后根据等边对等角求出∠ADC，再利用平角性质求解即可． 【解答】解：∵△ABC≌△DEC，点D在AB上，∠A＝70°， ∴∠EDC＝∠A＝70°，CD＝AC， ∴∠ADC＝∠A＝70°， ∴∠BDE＝180°﹣∠EDC﹣∠CDA＝40°． 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等是解题的关键． 5．（3分）下列四个图形中，BD是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角形的高的定义分析判断即可得到答案． 【解答】解：A、BD不是△ABC的高，说法错误，故不符合题意； B、BD不是△ABC的高，说法错误，故不符合题意； C、线段BD是△ABC的高，说法正确，故符合题意； D、BD不是△ABC的高，说法错误，故不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查三角形的高的定义，牢记相关的知识点是解题关键． 6．（3分）如图，AB＝AC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，CF与BE交于点D，有下列结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上；④AB＝DF+DB．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【分析】根据垂直的定义得到∠AFC＝∠AEB＝90°，根据三角形的内角和得到∠B＝∠C，由全等三角形的判定定理得到△ABE≌△ACF（ASA），故①选项正确，由AE＝AF，AC＝AB，得BF＝CE，于是得到△BDF≌△CDE（AAS），选项②正确，根据全等三角形的性质得到AE＝AF，AC＝AB，连接AD，证得Rt△AFD≌Rt△AED（HL），根据全等三角形的性质得到∠DAF＝∠DAE，即点D在∠BAC的平分线上，选项③正确，由DE＝DF，得到DF+BD＝DE+BD＝BE，根据AB＞BE，AB＞DF+DB，选项④错误，进而得到答案． 【解答】解：∵AB＝AC，BE⊥AC，CF⊥AB， ∴∠AFC＝∠AEB＝90°， 在Rt△AEB中，∠B＝90°﹣∠A，在Rt△AFC中∠C＝90°﹣∠A， ∴∠B＝∠C， 在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（ASA），故①选项正确； ∵△ABE≌△ACF， ∴AE＝AF， ∵AC＝AB， 得BF＝CE， 在△BDF和△CDE中， ， ∴△BDF≌△CDE（AAS），选项②正确； ∵△ABE≌△ACF， ∴AE＝AF，AC＝AB， 连接AD， 在Rt△AFD和Rt△AED中， ， ∴Rt△AFD≌Rt△AED（HL）， ∴∠DAF＝∠DAE，即点D在∠BAC的平分线上，选项③正确； ∵△BDF≌△CDE， ∴DE＝DF， ∴DF+BD＝DE+BD＝BE， ∵AB＞BE， ∴AB＞DF+DB，选项④错误； 故正确的为①②③， 故选：C． 【点评】本题主要考查了垂直定义，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，熟记三角形判定定理是解决问题的关键． 7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．下列结论不一定正确的是（　　） A．∠B＝∠C B．∠1＝∠2 C．BD＝CD D．AD＝BC 【分析】由在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，根据等边对等角与三线合一的性质求解即可求得答案． 【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD，∠1＝∠2，∠B＝∠C． 所以选项D错误，符合题意，选项A，B，C正确，不符合题意． 故选：D． 【点评】此题考查了等腰三角形的性质．注意掌握三线合一性质的应用是解此题的关键． 8．（3分）如图，△DEF是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AD，设AC与DE交于点G．那么下列结论：①AD＝CF；②CE＝AD；③S四边形ABED＝S△DEF；④四边形ABEG与四边形DFCG全等；⑤∠AGE＝∠B+∠F．其中正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】由平移的性质可得AD＝BE＝CF，AB＝DE，AC＝DF，AB∥DE，AC∥DF，AD∥BF，由此逐项分析即可得解． 【解答】解：AD＝BE＝CF，AB＝DE，AC＝DF，AB∥DE，AC∥DF，AD∥BF，故①正确，②错误； ∴∠B＝∠DEC，∠F＝∠ACB， 由条件可知S四边形ABED＝S四边形ACFD， ∵由已知条件不能说明S△AGD＝S△CEG， ∴S四边形ABED≠S△DEF，故③错误； ∵由已知条件不等说明CE＝CG，AB＝DF， ∴四边形ABEG与四边形DFCG不一定全等，故④错误； 由三角形外角的定义及性质可得：∠AGE＝∠GCE+∠GEC＝∠B+∠F，故⑤正确； 故选：A． 【点评】本题考查了平移的性质、三角形外角的定义及性质，熟练掌握平移的性质是解此题的关键． 9．（3分）如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．SSS D．HL 【分析】两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，由此即可判断． 【解答】解：∵直角三角形未被遮挡的部分是两角及其夹边， ∴这两个三角形全等的依据是ASA． 故选：B． 【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：ASA． 10．（3分）完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中∠5＝35°，则∠1+∠2+∠3+∠4的度数和为（　　） A．180° B．360° C．325° D．145° 【分析】直接利用多边形的外角和为360°即可得出答案． 【解答】解：∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，∠5＝35°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝360°﹣35°＝325°， 故选：C． 【点评】本题考查了多边形的外角和，熟练掌握多边形的外角和为360°是关键． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）一个四边形的对角线共有　2　 条． 【分析】根据多边形对角线条数的特点求解即可． 【解答】解：对角线共有2条． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了多边形的对角线，解题的关键是熟练掌握多边形对角线条数的特点． 12．（3分）如图是一款儿童小推车的示意图．若AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝40°，则∠3＝　70　 °． 【分析】根据平行线的性质及三角形的外角性质即可解答． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠1＝∠A＝30°， ∴∠3＝∠A+∠2＝∠1+∠2＝30°+40°＝70°， 故答案为：70． 【点评】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 13．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点E在边AC上，点G在边BC上，连接BE、AG交于点F，∠CAG＝2∠EBA，若EC+CG，GB，则AF的长为 　　 ． 【分析】延长AC到D，使CD＝CG，连接BD，根据EC+CG＝25/6，可得出DE，设∠EBA＝α，则∠CAG＝2α，则∠GAB＝45°﹣2α，∠2＝45°﹣α，∠AGC＝90°﹣2α，再由∠AGC＝∠1+∠2可得出∠1＝45°﹣α，进而得∠1＝∠2，则GB＝GF，然后证△ACG和△BCD全等，得DB＝AG，∠CAG＝∠CBD＝2α，据此可得∠DBE＝∠2+∠CBD＝45°+α，∠DEB＝∠CAB+∠EBA＝45°+α，则∠DBE＝∠DEB，进而得DE＝DB＝AG，最后再由AF＝AG﹣GF可得出答案． 【解答】解：延长AC到D，使CD＝CG，连接BD，如图所示： ∵EC+CG， ∴EC+CD，即DE， 设∠EBA＝α，则∠CAG＝2α， ∵∠AGB＝90°，AC＝BC， ∴∠CAB＝∠CBA＝45°， ∴∠GAB＝∠CAB﹣∠CAG＝45°﹣2α，∠2＝∠CBA﹣∠EBA＝45°﹣α， 在Rt△ACG中，∠ACG＝90°，∠CAG＝2α， ∴∠AGC＝90°﹣2α， ∵∠AGC是△GBBF的一个外角， ∴∠AGC＝∠1+∠2， 即90°﹣2α＝∠1+45°﹣α， ∴∠1＝45°﹣α， ∴∠1＝∠2， ∴GB＝GF， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACG＝∠BCD＝90°， 在△ACG和△BCD中， ， ∴△ACG≌△BCD（SAS）， ∴DB＝AG，∠CAG＝∠CBD＝2α， ∴∠DBE＝∠2+∠CBD＝45°﹣α+2α＝45°+α， 又∵∠DEB＝∠CAB+∠EBA＝45°+α， ∴∠DBE＝∠DEB， ∴DE＝DB＝AG， ∴AF＝AG﹣GF． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 14．（3分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB＝8，AC＝6，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接CE，则AD的长的取值范围是　1＜AD＜7　 ． 【分析】由题意，倍长中线构造全等，把AB转移到CE，再利用三角形三边关系求出AE范围，AE＝2AD，换算得到AD取值． 【解答】解：∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， ∵DE＝AD，∠ADB＝∠EDC， ∴△ABD≌△ECD， ∴CE＝AB＝8， ∵AE＝AD+DE＝2AD， ∵在△ACE中，CE﹣AC＜AE＜CE+AC， ∴8﹣6＜2AD＜8+6， ∴2＜2AD＜14， ∴1＜AD＜7． 故答案为：1＜AD＜7． 【点评】题目考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 15．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若CD＝2，AB＝6，则△ABD的面积为　6　 ． 【分析】过D作DH⊥AB于H，由角平分线的性质推出DH＝CD＝2，于是得到△ABD的面积AB•DH＝6． 【解答】解：过D作DH⊥AB于H， ∵∠C＝90°， ∴DC⊥AC， ∵AD平分∠BAC， ∴DH＝CD＝2， ∵AB＝6， ∴△ABD的面积AB•DH6×2＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由角平分线的性质推出DH＝CD． 16．（3分）如图，在△ABC中，AD，BE分别是边BC，AC上的高线，两条高线相交于点H，连接DE，过点D作DF⊥DE，交BE于点F．若AD＝BD，则下列结论：①∠CAD＝∠CBE；②△AED≌△BFD；③∠CDE＝45°；④∠EHD＝∠BFD，其中正确的是　①②　 （只填写序号）． 【分析】由余角的性质可证∠CAD＝∠CBE，故①正确；由ASA可证△AED≌△BFD，故②正确；由等腰直角三角形的性质可求∠DEF＝∠DFE＝45°，由外角的性质可判断∠DHF＞∠DEF，∠BFD≠∠DHE，故③④错误． 【解答】解：∵AD，BE分别是边BC，AC上的高线， ∴∠ADB＝∠AEB＝90°， ∴∠C+∠CBE＝90°＝∠C+∠CAD， ∴∠CAD＝∠CBE，故①正确； ∵DF⊥DE， ∴∠EDF＝∠BDA＝90°， ∴∠ADE＝∠BDF， 又∵AD＝BD， ∴△AED≌△BFD（ASA），故②正确； ∴DE＝DF， 又∵DF⊥DE， ∴∠DEF＝∠DFE＝45°， ∴∠CDE＝∠DEF+∠DBE≠45°，∠DHF＞∠DEF，故③错误； ∴∠BFD≠∠DHE，故④错误； 故答案为：①②． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握三角形的判定方法是解题的关键． 三．解答题（共8小题，满分63分） 17．（9分）在△ABC中，∠A∠B∠ACB，∠CDB＝90°，CE是∠ACB的角平分线，求∠DCE的度数． 【分析】由∠A∠B∠ACB，得∠B＝2∠A，∠ACB＝3∠A，根据三角形内角和定理得∠A+2∠A+3∠A＝180°，求得∠A＝30°，则∠B＝60°，∠ACB＝90°，因为∠CDB＝90°，所以∠BCD＝90°﹣∠B＝30°，而∠BCE∠ACB＝45°，则∠DCE＝∠BCE﹣∠BCD＝15°． 【解答】解：∵∠A∠B∠ACB， ∴∠B＝2∠A，∠ACB＝3∠A， ∵∠A+∠B+∠ACB＝180°， ∴∠A+2∠A+3∠A＝180°， ∴∠A＝30°， ∴∠B＝2∠A＝2×30°＝60°，∠ACB＝3∠A＝3×30°＝90°， ∵点D在AB上，∠CDB＝90°， ∴∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°， ∵CE是∠ACB的角平分线， ∴∠BCE∠ACB90°＝45°， ∴∠DCE＝∠BCE﹣∠BCD＝45°﹣30°＝15°， ∴∠DCE的度数是15°． 【点评】此题重点考查三角形的内角和等于180°、直角三角形的两个锐角互余、角平分线的定义等知识，正确理解和应用三角形内角和定理及其推论是解题的关键． 18．（9分）综合与实践： 【问题情境】如图1所示，池塘的两端有A，B两点，现需要测量该池塘的两端A，B之间的距离，需要如何进行呢？ 【提出方案】如图2所示，先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至点D，BC至点E，使DC＝AC，EC＝BC，最后量出DE的距离就是AB的距离． 【问题解决】请你判断此方案是否可行，并说明理由． 【分析】根据SAS证明△DCE≌△ACB，再根据全等三角形的性质即可证明结论． 【解答】解：此方案可行．理由如下： 在△ACB和△DCE中， ， ∴△ACB≌△DCE（SAS）， ∴AB＝DE， 故量出DE的距离就是AB的距离． 【点评】本题主要考查了全等三角形的应用，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 19．（9分）如图，点D在BC上，AC，DE交于点F，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE．（1）证明：△ABC≌△ADE； （2）若∠BAD＝20°，求∠CDF的度数． 【分析】（1）由SAS可证△ABC≌△ADE； （2）由全等三角形的性质可得∠ADE＝∠B，由等腰三角形的性质可求∠ADB＝∠B＝80°，即可求解． 【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAC＝∠DAE， 在△ABC与△ADE中， ∴△ABC≌△ADE（SAS）； （2）解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠ADE＝∠B， ∵∠BAD＝20°，AB＝AD， ∴∠ADB＝∠B＝80°， ∴∠ADE＝80°， ∴∠CDF＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝20°． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 20．（9分）在一个4×5的正方形网格中，△ABC为格点三角形（三角形的三个顶点都在网格点上的三角形） （1）在图1中画出△ABC的中线BM； （2）在图2中画出与△ABC全等的格点△ABD； （3）如图1，在一个4×5的正方形网格中，△ABC为格点三角形（三角形的三个顶点都在网格点上的三角形），在所给的网格中，与△ABC全等的格点三角形（△ABC除外）共有 　27　 个． 【分析】（1）根据网格特点，取AC的中点M，连接BM即可； （2）根据网格特点，利用全等三角形的判定和勾股定理可画出图形； （3）根据全等三角形的判定，结合平移性质求解即可． 【解答】解：（1）如图1，线段BM即为所求： （2）如图2，△ABD即为所求： 理由如下： ∵，， 又∵AB＝AB＝4， ∴△ABD≌△BAC（SSS）； （3）如图3，在3×4网格中，与△ABC全等的格点三角形有以下情况： ，，，， ，，，， ∴由平移性质，与△ABC全等的格点三角形有3+4+3+3+4+4+3+3＝27（个）， 故答案为：27． 【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，全等三角形的判定，勾股定理，熟知相关知识的运用是解答的关键． 21．（9分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于点E，点F在边AC上，连接DF，若DF＝DB． （1）求证：∠B+∠AFD＝180°； （2）若AB＝8，AF＝5，求BE的长． 【分析】（1）由角平分线的性质可得DC＝DE，进一步可证△DCF≌△DEB（HL），得到∠CFD＝∠B，即可求解； （2）证△ACD≌△AED（HL）得AC＝AE，结合CF＝BE可得AB＝AF+2BE即可求解． 【解答】（1）证明：∵AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴DC＝DE， 在Rt△DCF和Rt△DEB中， ， ∴Rt△DCF≌Rt△DEB（HL）， ∴∠CFD＝∠B， ∵∠CFD+∠AFD＝180°， ∴∠B+∠AFD＝180°； （2）解：∵∠ACD＝∠AED＝90°， ∴△ACD和△AED是直角三角形， 在Rt△ACD和Rt△AED中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AC＝AE， ∵△DCF≌△DEB， ∴CF＝BE， ∵AB＝AE+BE， ∴AB＝AC+BE＝AF+CF+BE＝AF+2BE， ∵AB＝8，AF＝5， ∴． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 22．（9分）如图1，四边形OABC是矩形，A，B，D三点的坐标分别是（0，3），（5，3），（2，0）．点P是矩形OABC上的一点，点P从点D出发，沿D→O→A→B以每秒1个单位长度的速度运动，作∠PDQ＝90°，DQ交边AB或边BC于点Q，当点Q与点C重合时，点P停止运动．连接PQ，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）当点P运动到点O时，求线段PQ的长； （2）如图2，当点P在边AB上运动时，求证：△PDQ是等腰直角三角形； （3）将△PDQ沿直线PQ翻折，当点D的对应点F落在矩形OABC的边上时，求t的值． 【分析】（1）先作出当点P运动到点O时的图形，根据A，D两点的坐标得DQ＝PA＝3，PD＝2，在Rt△PDQ中，根据勾股定理得，即可求PQ的长； （2）过P作PH⊥OC于H，得四边形OAPH是矩形，根据A，B，D三点的坐标计算得PH＝CD＝3，根据ASA证明△HPD≌△CDQ，得PD＝DQ，结合∠PDQ＝90°，即可证明△PDQ是等腰直角三角形； （3）分三种情况讨论，分别是：①当P在OD上时，点D的对应点F落在OA上；②当P在OA上时，点F，A重合；③当P在AB上时，点F，B重合，点Q，C重合，按照以上三种情况讨论即可． 【解答】（1）解：当点P运动到点O时，如图， ∵四边形OABC是矩形，∠PDQ＝90°， ∴四边形PAQD是矩形， ∴DQ＝PA， ∵A，D两点的坐标分别是（0，3），（2，0）， ∴DQ＝PA＝3，PD＝2， 在Rt△PDQ中，， ∴； （2）证明：如图，过P作PH⊥OC于H， 则四边形OAPH是矩形， ∴PH＝OA， ∵A，B，D三点的坐标分别是（0，3），（5，3），（2，0），四边形OABC是矩形， ∴C（5，0），∠OCB＝90°， ∴PH＝OA＝3，CD＝3， ∴PH＝CD， ∵∠PDQ＝90°， ∴∠PDH+∠QDC＝90°， ∵∠PHD＝90°， ∴∠PDH+∠HPD＝90°， ∴∠HPD＝∠QDC，∠PHD＝∠DCQ＝90°， ∴△HPD≌△CDQ（ASA）， ∴PD＝DQ， ∵∠PDQ＝90°， ∴△PDQ是等腰直角三角形； （3）解：①当点P在OD上时，点D的对应点F落在OA上，如图， 由翻折得FQ＝DQ＝3，FP＝DP＝t， 在Rt△AFQ中，AQ＝OD＝2， ∴， ∴， 在Rt△OPF中，OP＝2﹣t，，FP＝t， ∴OP2+OF2＝FP2， 即， 解得：， ∴当时，点D的对应点F落在矩形OABC的边OA上，符合题意； ②当点P在OA上时，折叠后∠PDQ＝∠PFQ＝90°，则点F，A重合，如图， ∴OP＝t﹣2， 由翻折得PD＝PF＝3﹣（t﹣2）＝5﹣t， 在Rt△OPD中，OP2+OD2＝PD2， 即（t﹣2）2+22＝（5﹣t）2， 解得， ∴当时，点D的对应点F落在矩形OABC的边OA上，符合题意； ③当点P在AB上时，折叠后∠PDQ＝∠PFQ＝90°，点F，B重合，点Q，C重合，如图， 则四边形OAPD是矩形， ∴AP＝OD＝2， ∴t＝2+3+2＝7， ∴当t＝7时，点D的对应点F落在矩形OABC的边AB上，符合题意； 综上，当或或t＝7时，点D的对应点F落在矩形OABC的边上． 【点评】本题考查四边形的综合应用，主要考查矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，勾股定理，掌握分类讨论的思想方法是解题的关键． 23．（9分）（1）课本习题回放： “如图①，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm．求BE的长”．请直接写出此题答案：BE的长为 　0.8　 cm． （2）探索证明： 如图②，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，AB＝AC，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，且∠BED＝∠CFD＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF． （3）拓展应用： 如图③，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．点D在边BC上，点E在线段AD上，∠BED＝∠BAC．若DE：BE：AE＝1：2：5，则S△BDE：S△ACD＝　1：15　 .（图中画出分析思路；直接填写结果） 【分析】（1）由BE⊥CE，AD⊥CE，得∠E＝∠ADC＝∠ACB＝90°，则∠CBE＝∠ACD＝90°﹣∠BCE，而BC＝CA，即可根据“AAS”证明△CBE≌△ACD，得CE＝AD＝2.5cm，BE＝CD，因为DE＝1.7cm，所以BE＝CD＝CE﹣DE＝0.8cm，于是得到问题的答案； （2）由∠BED＝∠CFD，推导出∠AEB＝∠CFA，由∠BED＝∠BAC，得∠ABE＝∠BED﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE＝∠CAF，而AB＝CA，即可根据“AAS”证明△ABE≌△CAF； （3）在AD上截取AL＝BE，连接CL，由∠BED＝∠BAC，得∠ABE＝∠BED﹣∠BAD＝∠BAC﹣∠BAD＝∠CAL，而AB＝CA，即可根据“SAS“证明△ABE≌△CAL，则S△ABE＝S△CAL，由DE：BE：AE＝DE：AL：AE＝1：2：5，设DE＝m，则AL＝2m，AE＝5m，求得AD＝6m，则，所以S△ABE＝S△CAL＝5S△BDE，而3，则S△ACD＝3S△CAL＝15S△BDE，所以，于是得到问题的答案． 【解答】（1）解：如图①，∵BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠E＝∠ADC＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠CBE＝∠ACD＝90°﹣∠BCE， 在△CBE和△ACD中， ， ∴△CBE≌△ACD（AAS）， ∴CE＝AD＝2.5cm，BE＝CD， ∵DE＝1.7cm， ∴BE＝CD＝CE﹣DE＝2.5﹣1.7＝0.8（cm）， 故答案为：0.8． （2）证明：如图②，∵∠AEB+∠BED＝180°，∠CFA+∠CFD＝180°，且∠BED＝∠CFD， ∴∠AEB＝∠CFA， ∵∠BED＝∠BAC， ∴∠ABE＝∠BED﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE＝∠CAF， 在△ABE和△CAF中， ， ∴△ABE≌△CAF（AAS）． （3）解：如图③，在AD上截取AL＝BE，连接CL， ∵∠BED＝∠BAC， ∴∠ABE＝∠BED﹣∠BAD＝∠BAC﹣∠BAD＝∠CAL， 在△ABE和△CAL中， ， ∴△ABE≌△CAL（SAS）， ∴S△ABE＝S△CAL， ∵DE：BE：AE＝1：2：5， ∴DE：AL：AE＝1：2：5， 设DE＝m，则AL＝2m，AE＝5m， ∴AD＝DE+AE＝m+5m＝6m， ∵， ∴S△ABE＝S△CAL＝5S△BDE， ∵3， ∴S△ACD＝3S△CAL＝3×5S△BDE＝15S△BDE， ∴，即S△BDE：S△ACD＝1：15， 故答案为：1：15． 【点评】此题重点考查同角的余角相等、等角的补角相等、全等三角形的判定与性质、数形结合及类比等数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 24．学习了《勾股定理》一章后，同学们发现，利用勾股定理不仅可以绘制出各种不同的美丽图案，还可以用于计算．某校八年级数学兴趣小组开展了“利用勾股定理求面积”的主题项目化学习活动： 活动主题：求三角形（四边形）的面积； 活动任务一： （1）如图1，等边△ABC的边长为4，则它的面积是　　 ； 活动任务二： （2）如图2，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝75°，BC＝4，求△ABC的面积； （3）如图3，四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝3，DC＝1，∠A＝90°，求四边形ABCD的面积． 【分析】（1）过点A作AD⊥BC，由等边三角形的性质和勾股定理求出AD的长，再根据三角形面积公式计算即可； （2）过点C作CD⊥AB于点D，由勾股定理先求出CD的长，由三角形内角和求出∠A的度数，根据等角对等边，求出AD的长，最后根据三角形面积公式计算即可； （3）连接BD，由勾股定理先求出BD的长，由勾股定理的逆定理先求出∠BDC＝90°，分别求出S△BDA、S△BDC，即可得答案． 【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥BC， ∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC， ∴， ∴， ∴； （2）过点C作CD⊥AB于点D， ∴∠BDC＝∠ADC＝90°， 在Rt△BDC中，∠B＝60°，BC＝4， ∴∠BCD＝30°， ∴BD＝2 ∴， 在Rt△ADC中，∠A＝180°﹣（∠B+∠ACB）＝45°， ∴， ∴， ∴； （3）四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝3，DC＝1，∠A＝90°，连接BD， ∴， ∵， ∴BD2+CD2＝BC2， ∴∠BDC＝90°， ∴，， ∴． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，正确计算是解题关键 学科网（北京）股份有限公司 $