2026-2027学年八年级数学上学期第一次月考自编模拟卷（广东省深圳市适用）

**基本信息** 立足八年级上册实数与勾股定理核心内容，通过饮料罐吸管、景区拉船等生活情境，结合规律探究与“奇异三角形”新定义问题，分层考查数学抽象、几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|无理数识别、勾股定理应用、平方根性质|第4题以饮料罐为情境考查勾股定理实际应用，第5题结合数轴与垂线段体现数形结合| |填空题|5/15|算术平方根、坐标对称、无理数估算|第12题通过正方形面积关系深化勾股定理理解，第13题折叠问题培养空间观念| |解答题|7/61|实数计算、规律探究、新定义应用|第17题二次根式规律探究发展推理意识，第20题“奇异三角形”新定义问题提升创新意识，第18题景区拉船问题强化模型观念|

2026-2027学年八年级数学上学期第一次月考自编模拟卷 广东省深圳市适用 （本试卷共三大题20小题，满分100分，考试时间90分钟，不能使用计算器.） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列实数中，是无理数的是（   ） A． B． C．0 D． 2．在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是(    ) A．5，6，7 B．5，12，13 C．1，4，9 D．5，11，12 3．下列说法正确的是（    ） A．0的平方根与算术平方根都是0 B．的算术平方根是 C．的平方根是 D．的平方根是 4．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是3，高是4，上底面中心有一个小圆孔，则一条长10cm的直吸管露在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（    ） A． B． C． D． 5．如图，数轴上一点A，表示，过点A作数轴的垂线，并在垂线上截取，连结，以点O为圆心，为半径作弧交x轴的负半轴于点D，则点D表示的数为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在中，为边上的一个动点，，，则的最小值为（    ） A．10 B．8 C． D． 7．已知，满足，那么的平方根是（    ） A．1 B．3 C． D． 8．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点B的坐标为（    ） A．（1－，＋1） B．（－，＋1） C．（－1，＋1） D．（－1，） 第二部分（非选择题 共76分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 9．的算术平方根是_____． 10．点关于x轴对称的点的坐标是______． 11．若的值在两个整数与之间，则______． 12．如图，所有涂色四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形．若正方形，，的面积分别为，，，则正方形的面积为________． 13．如图，直角三角形纸片中，，将，分别沿着，折叠，使点B，C恰好都落在F点，且D，F，G三点共线．已知，，则______． 三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 14．（本题满分5分）计算： (1)． (2)． 15．（本题满分7分）已知一个正数a的两个不同的平方根分别是和，的立方根是3． (1)求a和b的值． (2)求的算术平方根． 16．（本题满分8分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1． (1)分别求出线段、的长度； (2)在图中画出线段，使得的长为． (3)如果以、、三条线段的长度为边，能否构成直角三角形，并说明理由． 17．（本题满分8分）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：_______________（填写运算结果）． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：_________________． (3)应用运算规律． ①化简___________； ②若（a，b均为正整数），则的值为_____________． 18．（本题满分9分）如图，某景区的划船观景处位于离水面A处高为4米的岸上（C处），在B处有一艘游船，工作人员用绳子在C处（于点A）拉船靠岸，开始时绳子的长度是的3倍． (1)求B处的游船到岸边的距离（即的长）；（结果保留根号） (2)为了让游船靠岸，工作人员以1米/秒的速度收绳，7秒后游船移动到点D处，求游船向岸边移动的距离．（结果保留根号） 19．（本题满分12分）阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，小数部分为．解答下列问题： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的值； (4)无理数也可以使用数轴上的点来表示，如图，面积为2的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为，若，直接写出点E所表示的数是 ． 20．（本题满分12分）课堂上，老师新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形． (1)思考 ①根据奇异三角形的定义，请你判断等边三角形是否为奇异三角形，并简要说明理由； ②若是奇异三角形，且其两边长分别为，，求的周长． (2)运用 如图，以为斜边分别在的两侧作，，且，若四边形内存在点，使得，． ①试说明：是奇异三角形； ②当时，若，求的面积． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期第一次月考自编模拟卷 广东省深圳市适用 （本试卷共三大题20小题，满分100分，考试时间90分钟，不能使用计算器.） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列实数中，是无理数的是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数． 【详解】解：A、是整数，属于有理数，故不符合题意； B、是无理数，故符合题意； C、0是整数，属于有理数，故不符合题意； D、是分数，属于有理数，故不符合题意； 故选：B． 2．在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是(    ) A．5，6，7 B．5，12，13 C．1，4，9 D．5，11，12 【答案】B 【详解】解：A、∵52+62≠72，故不能围成直角三角形，此选项错误； C、∵12+42≠92，故不能围成直角三角形，此选项错误； B、∵52+122=132，能围成直角三角形，此选项正确； D、∵52+112≠122，故不能围成直角三角形，此选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟知勾股数是解决本题的关键. 3．下列说法正确的是（    ） A．0的平方根与算术平方根都是0 B．的算术平方根是 C．的平方根是 D．的平方根是 【答案】A 【分析】本题考查平方根的定义及运算，根据平方根的定义逐项验证即可得到答案，熟记平方根的定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、0的平方根与算术平方根都是0，原说法正确，符合题意； B、由平方根定义，被开方数非负，故的算术平方根是，原说法错误，不符合题意； C、，则的平方根是，故的平方根是，原说法错误，不符合题意； D、由平方根定义，被开方数非负，故的平方根是，说法错误，不符合题意； 故选：A． 4．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是3，高是4，上底面中心有一个小圆孔，则一条长10cm的直吸管露在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别考虑直吸管在罐体内两种极端情况即可：直吸管下端恰好位于罐底的圆周上；直吸管下端恰好位于罐底的中心；分别计算出直吸管插在罐内部分长度，即可求得直吸管露在罐外部分a的长度范围． 【详解】当直吸管下端恰好位于罐底的圆周上时，如图所示， 则OA=3，AB=4，由勾股定理得：， ∴a=10-5=5； 当直吸管下端恰好位于罐底的中心时，则罐体内直吸管长为罐体的高即4，则a=10-4=6； 综上，直吸管露在罐外部分a的长度范围为． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，根据情况进行分类讨论、及勾股定理的应用是本题的关键． 5．如图，数轴上一点A，表示，过点A作数轴的垂线，并在垂线上截取，连结，以点O为圆心，为半径作弧交x轴的负半轴于点D，则点D表示的数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数和数轴，勾股定理，正确记忆勾股定理的公式解题关键． 先根据题意确定，再根据勾股定理求出，可得答案． 【详解】解：由题意可知， 根据勾股定理，得， ， 因为点在x轴负半轴， 所以点对应的实数为． 故选：C． 6．如图，在中，为边上的一个动点，，，则的最小值为（    ） A．10 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】根据垂线段最短，当时，最小，由面积法即可求出的最小值． 【详解】解：作过点A作于D，如图： ∵，， ∴， 由勾股定理得：， 当时，最小， ∵的面积， 即， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、垂线段最短、三角形面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，由三角形面积的计算方法求出的最小值是解决问题的关键． 7．已知，满足，那么的平方根是（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的有意义，以及一个数的平方的非负性，据此得出，，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， 那么， 即的平方根是， 所以的平方根是， 故选：C． 8．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点B的坐标为（    ） A．（1－，＋1） B．（－，＋1） C．（－1，＋1） D．（－1，） 【答案】A 【分析】过点A作AF⊥x轴，过点C作CD⊥x轴，过点B作BE⊥CE，根据题意得出△AOF≌△COD≌△BCE，从而得出BE、CD和OD的长度，从而得出点B的坐标． 【详解】过点A作AF⊥x轴，过点C作CD⊥x轴，过点B作BE⊥CE， ∵AO=CO=BC，∠AFO=∠ODC=∠E=90°，∠AOF=∠OCD=∠BCE， ∴△AOF≌△COD≌△BCE， ∴AF=OD=BE=，OF=CD=CE=1， ∴点B的坐标为(1－，1+)， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点． 第二部分（非选择题 共76分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 9．的算术平方根是_____． 【答案】3 【分析】本题考查了求算术平方根，先计算的值，再求其算术平方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， 故的算术平方根是， 故答案为：． 10．点关于x轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【分析】根据关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数解答即可． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了关于对称轴对称的点的坐标特点：关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，熟记特点是解题的关键． 11．若的值在两个整数与之间，则______． 【答案】3 【分析】利用估算无理数的方法得出接近无理数的整数，进而得出答案． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键． 12．如图，所有涂色四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形．若正方形，，的面积分别为，，，则正方形的面积为________． 【答案】18 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，理解并掌握勾股定理是解题关键．设正方形，，，的边长分别为，中间正方形的边长为，根据勾股定理可得，进而可得，即可获得答案． 【详解】解：如下图，设正方形，，，的边长分别为，中间正方形的边长为， 根据题意，可得， ∵所有三角形都是直角三角形， ∴， ∴， 即正方形的面积为18． 故答案为：18． 13．如图，直角三角形纸片中，，将，分别沿着，折叠，使点B，C恰好都落在F点，且D，F，G三点共线．已知，，则______． 【答案】/ 【分析】本题考查了折叠的性质， 勾股定理，三角形内角和，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 先根据折叠的性质得到，，，，再利用得到，所以，设，则，根据勾股定理得到，然后解方程即可． 【详解】解：，分别沿着，折叠，使点B，C恰好都落在F点， ，，，， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 解得， 即的长为 故答案为： 三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 14．（本题满分5分）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键. （1）先将二次根式化简为最简二次根式再进行求解； （2）先将二次根式化简为最简二次根式，先计算乘除再计算加减. 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 15．（本题满分7分）已知一个正数a的两个不同的平方根分别是和，的立方根是3． (1)求a和b的值． (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义，熟练掌握这些定义是解题的关键． （1）根据正数的两个平方根互为相反数求出，进而确定其中一个平方根，求出；再根据立方根的定义求出 （2）将、的值代入式子，先计算出被开方数，再求算术平方根． 【详解】（1）解：∵一个正数a的两个不同平方根分别是和， ∴， ， ， 则其中一个平方根为， ∴ 又∵的立方根是， ∴， ， ， ； （2）解：将，代入，得 ， 的算术平方根为， 故答案为： 16．（本题满分8分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1． (1)分别求出线段、的长度； (2)在图中画出线段，使得的长为． (3)如果以、、三条线段的长度为边，能否构成直角三角形，并说明理由． 【答案】(1)， (2)见详解 (3)能构成直角三角形，理由见详解 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的运用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求得、的长度即可； （2）根据，由此可画出； （3）利用勾股定理逆定理判定即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：如图所示，线段即为所求作． （3）解：能构成直角三角形． ∵，，， ∴， ∴以、、三条线段的长度为边，能构成直角三角形． 17．（本题满分8分）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：_______________（填写运算结果）． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：_________________． (3)应用运算规律． ①化简___________； ②若（a，b均为正整数），则的值为_____________． 【答案】(1)； (2)； (3)①20；②57. 【分析】（1）根据题目中的例子可以写出例5； （2）根据（1）中特例，可以写出相应的猜想； （3）①②根据（2）中的规律即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）， 证明： 左边， 又右边， 左边右边， 成立, 故答案为：； （3）① ， 故答案是：； ②， 根据， 得， 解得：，（舍去）， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查规律型、数字的变化类、二次根式的混合运算，解题的关键是明确题意，根据已知等式总结一般规律并应用规律解题． 18．（本题满分9分）如图，某景区的划船观景处位于离水面A处高为4米的岸上（C处），在B处有一艘游船，工作人员用绳子在C处（于点A）拉船靠岸，开始时绳子的长度是的3倍． (1)求B处的游船到岸边的距离（即的长）；（结果保留根号） (2)为了让游船靠岸，工作人员以1米/秒的速度收绳，7秒后游船移动到点D处，求游船向岸边移动的距离．（结果保留根号） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）在直角三角形中，利用勾股定理计算出长； （2）根据题意可得长，然后再利用勾股定理计算出长，再利用可得长． 【详解】（1）解：由题意知，（米）， ∵开始时的长度是的倍， ∴（米）， ∵， ∴， 在中，（米）， ∴处的游船到岸边的距离为米． （2）解：由题意知，（米）， 在中，（米）， ∵（米）， ∴游船向岸边移动的距离为米． 19．（本题满分12分）阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，小数部分为．解答下列问题： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的值； (4)无理数也可以使用数轴上的点来表示，如图，面积为2的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为，若，直接写出点E所表示的数是 ． 【答案】(1)3； (2)1 (3) (4) 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数与数轴，解题关键是熟练掌握如何估算无理数和两点间的距离公式． （1）先估算的大小，求出其整数部分和小数部分即可； （2）先估算的大小，求出它的整数部分和小数部分，从而求出，，再代入所求式子进行计算即可； （3）先估算的大小，求出其整数部分和小数部分，再根据已知条件求出，，最后代入所求式子进行计算即可； （4）根据正方形的面积公式求出，从而求出，再设点表示的数为，根据两点间的距离公式列出关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解： ， 的整数部分是3，小数部分是， 故答案为：3；． （2）解：， 的整数部分是2，小数部分是； 的整数部分是3，小数部分是， ， ． （3）解：， ， 的整数部分是13，小数部分为， ，其中是整数，且， ，， ； （4）解：正方形的面积为2， ， 设点表示的数为， ， ， ， 或（不合题意舍去）， 点表示的数是， 故答案为：． 20．（本题满分12分）课堂上，老师新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形． (1)思考 ①根据奇异三角形的定义，请你判断等边三角形是否为奇异三角形，并简要说明理由； ②若是奇异三角形，且其两边长分别为，，求的周长． (2)运用 如图，以为斜边分别在的两侧作，，且，若四边形内存在点，使得，． ①试说明：是奇异三角形； ②当时，若，求的面积． 【答案】(1) ①等边三角形是奇异三角形，理由如下： 设等边三角形边长为， 则两边的平方和为， 两边的平方和等于第三边平方的倍， 等边三角形是奇异三角形； (2)证明：， ，， ， ， ，， ， 是奇异三角形； 【分析】（1）设等边三角形边长为，则易推出两边的平方和等于第三边平方的倍，因而可得结论；设第三边是（），则分三种情况讨论：）当时；）当时；）当时；分别求出的值，然后根据勾股定理的逆定理判断其三边是否构成直角三角形，以及是否满足三角形三边之间的关系，如是，进而可求出的周长； （2）根据勾股定理可得，，由可得，由，可得，于是结论得证；根据勾股定理可得，由得，于是可得，因而可得，设（），则，，，在中根据勾股定理可得，即，于是可求得，进而可求得和，然后利用三角形的面积公式即可求出． 【详解】（1）解：略 设第三边是（）， 分三种情况： ）当时， 解得：， 但此时， 不是直角三角形，不符合题意； ）当时， 解得：， 此时， 是直角三角形，符合题意， ，符合三边关系， 的周长为：； ）当时， 此时无解， 此种情况不存在； 综上，的周长为：； （2）略 解：当时，根据勾股定理可得： ， 由得：， ， 整理，得：， ， 设（），则，， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， 解得：， ，， ． 【点睛】本题主要考查了合并同类项，求一个数的算术平方根，勾股定理的逆定理，三角形三边之间的关系，勾股定理，等式的性质，代数式求值，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握勾股定理及其逆定理并运用分类讨论思想是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $