25.2.3 因式分解法【分层练】2026-2027学年数学人教版九年级上册

**基本信息** 聚焦因式分解法，通过基础巩固、综合应用、创新拓展三层设计，实现从概念理解到数学思维的递进，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|因式分解法基本应用|含解法选择（题1）、错误辨析（题2），夯实概念理解| |提升|跨知识综合应用|结合新运算（题3）、三角形边长（题9），培养模型意识| |拓展|数学思想方法|通过“倍根方程”（题13）、转化思想（题14），发展创新意识|

25.2.3 因式分解法 1.解方程，最适当的解法是( ) A.直接开平方法 B.因式分解法 C.配方法 D.公式法 2.某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程，解答过程如下所示： 甲 乙 两边同时除以，得. 移项，得. . 或，解得. 其中完全正确的是( ) A.甲 B.甲和乙 C.乙 D.都不正确 3.定义一种新运算，规定：，如：，则方程的解为( ) A. B.， C.， D.， 4.已知是一元二次方程的一个根，则m的值为( ) A.或2 B. C.2 D.0 5.对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎.例如：1◎.若◎，则m的值为( ) A.-3 B.4 C.-3或4 D.无法计算 6.关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为( ) A.-2 B.2 C.3 D.5 7.方程的解为__________. 8.用因式分解法解方程，将左边分解因式后有一个因式是，则p的值是__________. 9.一个三角形的两边长分别为2和3，第三边的长是方程的根，则该三角形的第三边的长为__________. 10.用合适的方法解方程： （1）. （2）. （3）. （4）. 11.当时，一次函数有最大值6，则实数m的值为( ) A.或0 B.0或1 C.或 D.或1 12.若关于x的方程有两个互不相等的实数根，且满足，则所有可能的整数a的和是( ) A.3 B.7 C.12 D.18 13.如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”.以下关于“倍根方程”的说法，正确的有______（填序号）. ①方程是“倍根方程”； ②若是“倍根方程”，则； ③若p，q满足，则关于x的方程是“倍根方程”； ④若方程是“倍根方程”，则必有. 14.阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知.用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程.例如，一元三次方程通过因式分解可以转化为，解方程和，可得方程的解. 问题： （1）方程的解是，______，______. （2）求方程的解. 拓展： （3）用“转化”思想求方程的解. 答案及解析 1.答案：B 解析：由得，可得或，最适当的解法是因式分解法，故选B. 2.答案：C 解析：依题意，甲的解法错误，方程两边不能同时除以，这样会漏解； 乙利用解一元二次方程因式分解法，计算正确； 故选：C. 3.答案：B 解析：根据题意得，， 原方程可化为， ， 或， 解得，. 4.答案：B 解析：把代入，得，即，解得，.是关于x的一元二次方程，，，. 5.答案：C 解析：◎， ◎即为，整理得，解得或4.故选C. 6.答案：D 解析：方程变形为，左边分解因式，得，于是得或.，，，又，，解得. 7.答案：， 解析：，整理得，因式分解得，或，解得，. 8.答案： 解析：由题意，设，，，，，. 9.答案：3 解析：方程可化为：， 解得：，， 当第三边长为7时，由，得到三边不能构成三角形，舍去； 所以第三边长为3， 故答案为：3 10.答案：（1）， （2）， （3）， （4）， 解析：（1）两边同时开平方，得，，. （2）移项，得，配方，得，即，两边同时开平方，得，，. （3）整理，得，因式分解，得，则或，，. （4）由原方程可得，，，，，，. 11.答案：A 解析：①当，即时，y的值随x值的增大而增大，当时，，，解得或（舍去）；②当，即时，y的值随x值的增大而减小，当时，，，解得或（舍去）.综上，或. 12.答案：C 解析：，，或.当时，，，不符合，舍去；当时，，，，，解得，整数a为3，4，5，所有可能的整数a的和为.故选C. 13.答案：②③④ 解析：①，，.，方程不是“倍根方程”，故①不正确，不符合题意.②是“倍根方程”，且，或.当时，；当时，，，故②正确，符合题意.③，，，，，因此0是“倍根方程”，故③正确，符合题意.④方程的根为，，若，则，即，，，，，；若，则，，，，，，故④正确，符合题意.故答案为②③④. 14.答案：（1）3；或；3 （2），， （3） 解析：（1）由材料可知，， 因式分解得. 解得或-1.故答案为3；或；3. （2），整理得. 提公因式得，. ，，. （3）两边同时平方得. 整理得， 分组提公因式得， .，，. ， ，均不符合题意. ∴方程的解为. 学科网（北京）股份有限公司 $