25.2.3 因式分解法（吃透教材）-【众相原创】2026-2027学年新教材九年级全一册数学分层练（人教版）广西专版

X 25.2.3 因式分解法 教材知识梳理 1.因式分解法的概念：通过分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于① 的形式，再使这两 个一次式分别等于0，从而实现② 这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 2.因式分解法的依据：如果a·b=0,那么③ 或④ 教材母题变式 教材母题1用因式分解法解一元二次方程 例1（教材P13问题改编)根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那 么物体经过xs后的离地高度（单位：m)约为10x-5x2.根据上述规律，物体经过s落回地面. 变式（教材P13例4改编）解下列方程： (1)3x2-6x=-3; (2)4x(x-1)=x2-1. 方法总结用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： 一般步骤 解题模板 (1)移项：将方程右边的项全部移至左边，使右边为① 解方程：x2+4x+6=-x. (2)化积：将左边的式子因式分解为两个一次因式的② x2+5x+6=0, (3)转化：分别令每个因式等于③，将方程转化为两个一元一次方程； (x+2)(x+3)=0, (4)求解：分别解这两个一元一次方程，得到的解就是一元二次方程的解。 ④ 【简记口诀】右化零，左分解，两因式，各求解 ⑤ 教材母题2用适当的方法解一元二次方程 例2（教材P27T1改编）用适当的方法解下列方程： (1)(2x+3)2-49=0: (2)2x2-7x-2=0; (3)(x+2)2=3(x+2) (4)x2-2x-3=0. 11 方法总结解一元二次方程的方法的选择技巧： (1)若一元二次方程为(r+n)2=p(m≠0，p≥0)的形式，则宜选用① 法； (2)若一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数，则宜选用② 法； (3)若一元二次方程整理后右边为0，且左边能进行因式分解，则宜选用③ 法； (4)若直接开平方法、配方法、因式分解法都不简便，则宜选用④ 法 A易错点解方程时，方程两边同时除以含有未知数的代数式导致漏解 例3【注重学习过程】在学习了解一元二次方程后，老师出示了这样一个题目： 解方程：(x-1)(x+2)=3(x+2). 佳琪同学的解答过程如下： 方程(x-1)(x+2)=3(x+2)两边同时除以x+2,得x-1=3,所以x=4,因此，方程的解为x=4. (1)试判断佳琪同学的解法是否正确.若不正确，请说明原因。 (2)根据你对一元二次方程解法的理解，写出你的解答过程. 易错提醒当方程两边含有相同的因式时，切记不可在方程两边同时约去含有未知数的项，一定 要将方程右边的式子移至左边后再进行因式分解 ◆课堂10分钟 1.完成下列几种常见的用因式分解法解关于x的方程的过程： (1)形如x2+bx=0的一元二次方程，将左边运用提公因式法因式分解为 则 或 ,即x= ,x2= (2)形如x2-a2=0的一元二次方程，将左边用平方差公式因式分解为 则 或 ,即x,= ,2= (3)形如x2±2a心+a2=0的一元二次方程，将左边用完全平方公式因式分解为 则①x+a=0,即x1=x2= :②x-a=0,即x1=x2= 2.一元二次方程(x-√2)(x-√3)=0的根是 3.一元二次方程x(2x-5)=4x-10的根是 4.选择合适的方法解下列方程： (1)x2+3x=0: (2)5x2-4x-1=0: (3)x2+2x-3=0. 12第2课时用画树状图法求概率 (2)解：①.：摸到黑球的频率稳定在0.4附近， 1.D 21 ∴.摸到白球的频率约为0.6，则估算袋子中两种颜色的球 3 共有4÷0.6≈7（个）. 3(1)甲坐在与小明相邻的座位上的概率为 ②：小明又将a个相同的黑球放进了这个不透明的袋子 里，则袋子中球的总个数约为(a+7)个，其中黑球的个数约 (2)甲，乙两人都坐在与小明相邻的座位上的概率为了 为7-4+a=(a+3)个， 4.A ·摸出黑球的概率约是+3 a+7 5.(1)2 101 (2)解：游戏不公平.理由如下： 第三十四章整合复习与对接中考 设4个半张牌分别用A,a,B,b表示，画树状图如下： 一阶关联知识整合练 第一次 1.(1)红 黑白(2)4 (3)①4②3③不放回 (4)x的值为4. 第二次a 共有12种等可能的结果，其中能拼成一张完整的扑克牌的 (5)P(摸出的两个球颜色相同)=3 结果有4种，不能拼成一张完整的扑克牌的结果有8种， 41 .小撒获胜的概率为 82 23,小尼获胜的概率为2了 (6)P(摸出的两个球颜色相同)= 6 (7)这个游戏规则公平.理由略. 3游戏不公平 二阶广西中考抢先练 1.B2.D3.B4. 2 6A7.C8B9D10.6 成3 4 6.(103 (2)甲，乙两辆车停在相同区域的概率为 (2)解：画树状图如下： 7(1) 4 (2)二人所选金属均能置换出氢气的概率为9 16 8.B9.3 第一次 综合与实践 第二次A B C D A B C D A B C D 1.(1)2.151.5(2)①柳②杨 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中李叔叔恰好 两次都从A闸口进人的有1种结果， (3)小颖和小娜同时被选中的概率为石 、李叔叔恰好两次都是从A闸口进人的概率为6 吃透教材 12.解：根据题意，画树状图如解图 A 九年级上册 第二十五章 一元二次方程 D.D.D,D D,D,D.D 25.1 一元二次方程的概念 由树状图可知，共有8种等可能的结果，其中落人③号槽 教材知识梳理 的结果有3种，P(落入③号槽)=3 ①一②整式③最高④ax2⑤a⑥bx⑦b⑧c 8 ⑨左右两边相等0解 34.3用频率估计概率 教材母题变式 1D2C3A4B5.C6.5 1 例1D A 例2解：去括号，得x2+2x+1+2x+4=1. 7.(1)1360.70(2)0.70 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为x2+4x+ (3)用10000粒该种油菜籽可得到油菜秧苗约6300棵. 4=0. 8.(1)0.25 它的二次项为x2,二次项系数为1，一次项为4x,一次项系 ●(2)盒子里有1个白球， 数为4，常数项为4. 9.(1)0.4 例3解：将x=-4代入一元二次方程x2+2x-8=0, 参考答案 左边=(-4)+2×(-4)-8=0，即左边=右边 故x=-4是一元二次方程x2+2x-8=0的根. 例2≥ 度式团k~日 变武2日 同理可得，x=-3,-2,-1,0,1,3,4,都不是一元二次方程 1 变式3k>- x2+2x-8=0的根； 8 x=2是一元二次方程x2+2x-8=0的根. 例3>-1且k≠0变式k的取值范围为k≥- 8 变式-2023 课堂10分钟 例4(1)x2-8x-12=0(2)x2+2x-4=0 1.A2.D3.A 例5此一元二次方程为4x2+3x+2=0. 4.(1)方程有两个不相等的实数根 变式a≠2a=2且b≠0 (2)方程有两个相等的实数根. 课堂10分钟 (3)方程没有实数根. 1.D2.18 (4)方程没有实数根. 3.3x2-x=03-10x2+x-8=011-87x2+4=0 第2课时公式法 704 教材知识梳理 25.2降次—解一元二次方程 ①x=-b±V-4ac ②求根公式 25.2.1配方法 2a 第1课时直接开平方法 教材母题变式 教材知识梳理 例1am2+br=-c+6x=-c+b 6 2=- ①降次②非负数③1④0⑤无 a a 2a 教材母题变式 (6)2 ±VB-4ac -b±VW6-4ac -b±√B-4ac(62- 例1x1=√7，x2=-√7 变式B 2a 2a 2a 2a 4ac≥0) 例2（1)x1=1,62=-4.（2)x1=3,x2=-1. 例2(1)x,=4+√2T,x,=4-√21. 3 1 例31=2少，=-4 (2)x1=x2=22. 课堂10分钟 (3)x,=*3 - 1.A2.D3.D4.A5.D 6 6 16 4 (4)方程无实数根. 6.(1)x1=√5，x2=-√5. (2)x1=3=7 方法总结①x2+4x-2=0②a=1,b=4,c=-2 第2课时配方法 ③42-4×1×(-2) 教材知识梳理 课堂10分钟 ①一次项系数一半②1③降次 1.C2.A 教材母题变式 3.3x2-5x-2=03-5-2495±72-1 例1A 6 3 √10+3 -w/10+3 1 5+√295-√29 例2(1)x1=1,x2=-9.(2)x1= 2x3 4.(1)x=4,6=-2（2)x=2 一，x2= 2 方法总结①常数项②左边③二次项系数 25.2.3因式分解法 ④一次项系数一半的平方 教材知识梳理 课堂10分钟 ①0②降次③a=0④b=0 1.A2.B 教材母题变式 31255(2366(3停；(45日 1 例12变式(1)x==1.(2)x=1x=3 1 4.75.(1)x1=1+√3，x2=1-√3. (2)x1=1,x2=2 方法总结①0②积③0④x+2=0或x+3=0 ⑤x1=-2,x2=-3 25.2.2公式法 例2(1)x1=2,x2=-5. 第1课时一元二次方程根的判别式 7+√657-√65 (2)x1= 教材知识梳理 4, 4 ①b2-4ac②4③4=62-4ac④两个相等⑤无 (3)x1=-2,x,=1. 教材母题变式 (4)x1=3,x2=-1. 例1(1)此方程有两个不相等的实数根 方法总结①直接开平方②配方③因式分解④公式 (2)此方程有两个相等的实数根. 例3解：(1)佳琪同学的解法不正确，原因是方程两边不能 (3)此方程没有实数根. 同时除以x+2. 参考答案 (2).(x-1)(x+2)=3(x+2), :4=(-20)2-4×120=-80<0,.该方程无实数根， .(x-1)(x+2)-3(x+2)=0 .不能围成面积为120cm2的矩形. ∴.(x+2)[(x-1)-3]=0,即(x+2)(x-4)=0, 例3解：封面的长、宽之比为4：3，则中央的矩形的长、宽之 .x+2=0或x-4=0,∴.方程的解为x1=-2,x2=4 比也应为4：3，设中央的矩形的长和宽分别是4xcm和 课堂10分钟 1.(1)x(x+b)=0x=0x+b=00-b 3m要使因周的边村所占面积是封面面积的行·喝中失 (2)(x+a)(x-a)=0x+a=0x-a=0-aa 矩形的面积是封面面积的手于是可列方程4：·3x= 4 (3)(x±a)2=0-aa 5 2.x1=2,2=√53.x1= 262 40×30,整理，得x2=80,解得x=4√5或x=-45(不符合题 4(1)x,=0,=-3.(2)x=1,=-5 意，合去)，则上，下边衬的宽分别为0165=(20-8w5)m. 2 (3)x1=1,x2=-3. 左，右边衬的宽分别为30-】25-(15-651m 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 2 教材知识梳理 变式B ①-b②c ③≥ 例4解：(1)设BC=xm,则AB=(33-3x)m, 依题意，得x(33-3x)=90,解得x1=6,x2=5. 教材母题变式 当x=6时，33-3x=15,符合题意； 1 例1(1)x1+x2=-3,x1x2=1.（2)x1+x2=- 35=-1. 当x=5时，33-3x=18,18>15,不符合题意，舍去。 例2解：设方程的另一根为x1, 答：养鸡场的长(AB)为15m,宽(BC)为6m. x1+3=1,.x1=-2. (2)不能，理由如下：设BC=ym,则AB=(33-3y)m, x1×3=-2×3=c,.c=-6. 依题意，得y(33-3y)=100,整理，得3y2-33y+100=0. 变式12变式21 .·△=(-33)2-4×3×100=-111<0， ∴.该方程无实数根，即该扶贫单位不能建成一个100m2的 例3（1)x+,-=2.(2)+好-2 11 (3)—+=5. 1 矩形养鸡场. 例4-3 课堂10分钟 课堂10分钟 1.312.23.108 1.D2.C3.C4.4-7 第2课时传播、平均变化率问题 5.解：(1)由题意，得x2-4x-2×5+5=0, 教材知识梳理 整理，得x2-4x-5=0,解得x1=5,x2=-1. ①a(1+x)2②a(1+x)2=b③a(1-x)2=b (2)x2-4x-2m+5=0有两个不相等的实数根x1,x2, 教材母题变式 .∴.x1x2=-2m+5. 例1每轮传染中平均一个人传染了6个人. x,x,>0,-2m+5>0,解得m<2 5 变式这种植物每个支干长出6个小分支. 例2每月生产成本的下降率为15%. :4=(-4)2-4(-2m+5)>0,解得m>2 变式解：(1)设该公司投递快递总件数的月平均增长率 m的取值范围为}<m<号 5 为x, 依题意，得20(1+x)2=33.8, 25.3实际问题与一元二次方程 解得，=0.3=30%，x2=-2.3(不符合题意，舍去). 第1课时数字、面积问题 答：该公司投递快递总件数的月平均增长率为30% 教材知识梳理 (2)33.8×(1+30%)=43.94(万件). ①x+1②x+2③x2+(x+1)2=(x+2)2④(a-2x)(b-2x) 43.94<45,.5月份投递快递总件数不能达到45万件。 ⑤(a-x)(b-x) ⑥(a-x)(b-x) 课堂10分钟 教材母题变式 例1(1)98(2)8.9,10 1.B2.D3.D4.10% 例2解：(1)设矩形的长为xcm,则宽为(20-x)cm, 5.每轮传播中平均一个人会传染给4个人，若病毒得不到有 依题意，得x(20-x)=75,解得x,=5,x2=15, 效控制，三轮传播后将有250人被感染. ∴.矩形的长为15cm,宽为5cm. 第3课时循环、比赛问题 (2)不能围成面积为120cm2的矩形，理由如下： 教材知识梳理 设矩形的长为ycm,则宽为(20-y)cm. ①n(n-1) 依题意，得y(20-y)=120,整理，得y2-20y+120=0. 2 ②n(n-1) 参考答案 教材母题变式 教材母题变式 例1(1)应该邀请6支球队参加比赛. 例1解：列表： (2)有11支球队参加比赛. -2 -1 0 例2A例35 0 1 例4解：设这个多边形是n边形，则(m-3》=20. 2 描点、连线： .n2-3n-40=0,解得n1=8,n2=-5(舍去)， 这个多边形是八边形. 不存在有15条对角线的多边形. 令n(n-3) =15,.n2-3n-30=0, 2 .b2-4ac=9+120=129. .·129不能开方为整数 6543210由23456x .不存在有15条对角线的多边形 课堂10分钟 1.C2.B3.B 第二十六章 二次函数 26.1二次函数的概念 (1)开口向上(2)对称轴是y轴(3)当x<0时，y随x的 增大而减小：当x>0时，y随x的增大而增大（答案不唯一） 教材知识梳理 例2解：画图如解图所示 ①y=ax2+bx+c②常数项③2④二次项 y 教材母题变式 y=2x2 例1解：(1)y=2x2-3是二次函数， 二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是-3. 6 (2)y=3x-1不是二次函数. (3)y=(2x-1)(1-x)=-2x2+3x-1是二次函数， 1 二次项系数是-2，一次项系数是3，常数项是-1. 1 (4y=+1不是二次函数 543-2 N2345 变式D 例2m=2n(n-1)是 2 Y= 例3y=50(1+x)2 例4解：(1)S=22+4×6x=2x2+24x,V=6x2. (2)S和V都是关于x的二次函数 -8y=-2x1 课堂10分钟 这些抛物线的特点：当a>0时，开口向上，有最小值，在对 是121是302是3-20是2 称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增 大而增大； -1-1否否 当a<0时，开口向下，有最大值，在对称轴左侧，y随x的增 2.解：(1)由题意，得m-2≠0，解得m≠2， 大而增大：在对称轴右侧，y随x的增大而减小 故当m≠2时，该函数是二次函数. (2)由题意，得m-2=0且m≠0，解得m=2, 变式①③② 故当m=2时，该函数是一次函数. 课堂10分钟 (3)该函数的常数项是-3，不可能为0。 1.D2.m<03.y=x2(答案不唯一) .该函数不可能是正比例函数 4.(1)②③⑤(2)①(3)①④5.4 26.2 二次函数的图象和性质 26.2.2二次函数y=a(x-h)2+h的图象和性质 26.2.1二次函数y=ax2的图象和性质 第1课时二次函数y=ax2+k的图象和性质 教材知识梳理 教材知识梳理 ①抛物线②抛物线③向上④向下⑤越小⑥y轴 ①向上②向下③y轴④(0，k)⑤减小⑥增大 ⑦低⑧高⑨减小⑩增大①增大2减小 ⑦增大⑧减小⑨k0k 参考答案