14.3 角的平分线（第1课时）课件 2026--2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦八年级上册“角的平分线（第1课时）”，以全等三角形性质和判定为基础，通过问题链引导学生观察特殊情形（OM=ON时PM=PN），结合尺规作图操作，搭建从旧知到角平分线性质探究的学习支架。 其亮点在于以问题驱动和动手实践为主，通过观察发现、逻辑推理证明性质，培养学生数学眼光中的几何直观和数学思维中的推理意识。规范符号语言表达与例题应用，帮助学生形成严谨思维，教师可借助结构化小结提升教学效率。

第十四章　全等三角形 14.3　角的平分线（第 1 课时） 新课导入 角的平分线 作用 全等三角形的 性质和判定 线段相等、角 相等 证明三角形全等 性质 判定 　　问题 1　如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是 OC 上的任意一点，M， N 分别是 OA，OB 上的点，我们研究 PM 与 PN 的关系． 　　研究几何图形的关系时，我们往往关注其中的一些特殊情况．下图中，当 OM 与 ON 满足什么关系时，PM＝PN？ 证明三角形全等→线段相等 △OPM≌△OPN OP＝OP（公共边） (SAS) PM＝PN OM＝ON 新课导入 ∠POM＝∠PON A M P C B N O ∠POM＝∠PON 证明三角形全等→角相等 △OPM≌△OPN（SSS） OP＝OP，OM＝ON，PM＝PN ∠POM＝∠PON 新课导入 　　追问　反过来，如果M，N 分别是∠AOB 的边 OA，OB 上的点，OM＝ON，点 P 在∠AOB 的内部，PM＝PN，那么点 P 在∠AOB 的平分线上吗？ 　　问题 2　由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗？ A M P C B N O A B O 　　作法： 　　（1）以点 O 为圆心，适当长为半径作弧， 交 OA 于点 M，交 OB 于点 N； 　　（2）分别以点 M，N 为圆心，大于 MN 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点 C ； 　　（3）作射线 OC，则射线 OC 为∠AOB 的 平分线． M N C 新课导入 　　追问　请任意作一个角∠AOB，用直尺和圆规作出∠AOB 的平分线 OC． 为什么？ 性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 新课导入 　　问题 3　如图，OC 是∠AOB 的平分线．点 P1，P2，P3，… 在 OC 上， 过点 P1，P2，P3，… 分别画 OA 与 OB 的垂线，垂足分别为 D1 与 E1、D2 与 E2、D3 与 E3……．分别比较 P1D1 与 P1E1、P2D2 与 P2E2、P3D3 与 P3E3……，你有什么发现？ 　　追问 1　你能通过严格的逻辑推理证明这个结论吗？ 新课导入 　　证明：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 　　（1）明确“已知”和“求证” 　　如果一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角两边的距离 相等. 　　（2）画图与符号表示 　　已知：OC 是∠AOB的平分线，点 P 在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E． 　　求证：PD=PE． A 　　（3）分析与写证明过程 OC 是∠AOB 的平分线 PD⊥OA，PE⊥OB ∠POD＝∠POE ∠PDO＝∠PEO＝90° OP=OP(公共边) △OPD≌△OPE PD＝PE 新课导入 A (AAS) 　　证明：∵　OC 是∠AOB的平分线， 　　∴　∠AOC＝∠BOC． 　　 ∵　PD⊥OA，PE⊥OB， 　　 ∴　∠PDO＝∠PEO＝90°． 　　在△OPD 和△OPE 中， 　　　　∠AOC＝∠BOC， 　　　　∠PDO＝∠PEO， 　　　　OP＝OP， 　　∴　△OPD≌△OPE（AAS）． 　　∴　PD＝PE． 新课导入 A 新课导入 　　追问 2　由角的平分线的性质的证明过程，你能概括出证明几何命题 的一般步骤吗？ 　　（1）明确命题中的已知和求证； 　　（2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 　　（3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程． 　　性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等． 　　符号语言： 　　∵　OP 是∠AOB 的平分线， 　　PD⊥OA，PE⊥OB， 　　∴　PD＝PE． 新知探究 点在角的平分线上 垂线段相等 　　追问 3　角的平分线的性质的作用是什么？ 　　可以直接用角的平分线的性质得出角的平分线上的点到角两边的垂线 段相等． A 　　例　已知：如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且 BD＝CD， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F．求证：EB＝FC． AD 平分∠BAC DE⊥AB，DF⊥AC △BED≌△CFD BD＝CD DE＝DF Rt△BED≌Rt△CFD（HL） 例题精讲 角的平分线的性质 　　例　已知：如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且 BD＝CD， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F．求证：EB＝FC． 例题精讲 　　证明：∵　AD 平分∠BAC， 　　且 DE⊥AB，DF⊥AC， 　　∴　DE＝DF． 　　 在 Rt△BED 和 Rt△CFD 中， 　　　　 BD＝CD， 　　　　 DE＝DF， 　　 ∴　Rt△BED≌Rt△CFD（HL）． 　　 ∴　EB＝FC ． 　　1. 如图，在直线 MN 上求作一点 P，使点 P 在∠AOB 的内部，且点 P 到射线 OA 和 OB 的距离相等．　 点 P 在∠AOB 的平分线上 点 P 在直线 MN 上 解：如图所示，点 P 即为所求． 课堂练习 O M A B N Ｐ 课堂练习 　　2. 如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足分别为 D，E．点 F，G 分别在 OA，OB 上，DF＝EG，连接 PF，PG． 　　求证 PF＝PG． 　　证明：∵　OC 是∠AOB 的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB， 　　∴　PD＝PE． 　　∵　PD⊥OA，PE⊥OB， 　　∴　∠PDF＝∠PEG＝90°． 　　在△PDF 和△PEG 中， 　　　　DF＝EG， 　　　　∠PDF＝∠PEG， 　　　　PD＝PE， 　　∴　△PDF≌△PEG（SAS）． 　　∴　PF＝PG． 课堂练习 课堂小结 　　回顾本节课的内容，请思考以下问题： 　　（1）如何作一个角的平分线？ 　　（2）本节课是通过什么方式探究角的平分线的性质的？角的平分线 的性质具有什么作用？ 　　（3）你能举例说明证明一个几何命题的一般过程吗？ 课堂小结 　　（1）如何作一个角的平分线？ A B O M N C 　　作法： 　　（1）以点 O 为圆心，适当长为半径作 弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N； 　　（2）分别以点 M，N 为圆心，大于 MN 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 的内部相交 于点 C； 　　（3）作射线 OC，则射线 OC 为∠AOB 的平分线． 　　（2）本节课是通过什么方式探究角的平分线的性质的？角的平分线 的性质具有什么作用？ 　　作用：可以直接用角的平分线的性质得出角的平分线上的点到角两 边的垂线段相等． 课堂小结 从特殊情形 入手观察 数量关系 位置关系 通过操作 发现规律 用逻辑 推理证明 课堂小结 　　（3）你能举例说明证明一个几何命题的一般过程吗？ 　　对顶角相等 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． （1）明确已知和求证 已知：直线 AB 与直线 CD 相 交于点 O，∠AOC 与 ∠BOD 是对顶角． 求证：∠AOC＝∠BOD． （2）画图与符号表示 证明：∵ ∠AOB是平角， ∴　∠AOD＋∠BOD＝180°. ∵　∠COD是平角， ∴　∠AOC＋∠AOD＝180°． ∴　∠AOC＝∠BOD. （3）分析与写证明过程 D A B C O 课后任务 教科书习题 14.3 第 4，5 题． $