第1章一元二次方程闯关练习卷-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 苏科版九年级上册一元二次方程单元卷，覆盖定义、解法、判别式及应用，通过科技、生活情境考查数学眼光、思维与语言，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|9题|定义、系数、解的判断|结合惠州期末等真题，基础巩固| |填空题|7题|根与系数关系、新定义（倒方程）|融入平行四边形、矩形面积，能力提升| |解答题|5题|方程求解、利润问题、创新应用（邻根方程）|芯片研发、电影玩偶等情境，综合应用|

第1章一元二次方程闯关练习卷-2026-2027学年数学九年级上册苏科版（2024） 一．选择题（共9小题） 1．（2026春•惠州期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．x2﹣2x+1＝0 B． C．x2﹣2y+4＝0 D．ax2+bx+c＝0 2．（2026•沙坪坝区校级一模）一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的一次项系数是（　　） A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．2 3．（2026•沧州模拟）下列数中，能使等式x（x﹣2）＝3成立的x的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2025秋•社旗县期末）已知代数式﹣ax2+bx的取值如下所示，由数据可得，关于x的一元二次方程﹣ax2+bx+2＝0的解是（　　） x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … ﹣ax2+bx … ﹣4 ﹣2 0 0 ﹣2 ﹣4 … A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝﹣1，x2＝2 C．x1＝﹣2，x2＝2 D．x1＝﹣1，x2＝﹣2 5．（2026•北京二模）若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围为（　　） A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1 6．（2026•海淀区校级开学）为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入．该企业2023年研发投入30亿元，2025年研发投入达到50亿元，那么这两年研发投入的平均年增长率为多少？设研发投入的平均年增长率为x，则下列方程正确的是（　　） A．30（1+2x）＝50 B．30（1﹣2x）＝50 C．30（1﹣x）2＝50 D．30（1+x）2＝50 7．（2026•海淀区校级开学）若﹣2是关于x的方程ax2+bx+2＝0的一个解，则代数式的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 8．（2025秋•白云区期末）如图所示，某小区规划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD上修建同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．如果使草坪部分的总面积为112m2，设小路的宽为xm，那x满足的方程是（　　） A．2x2﹣25x+16＝0 B．x2﹣25x+32＝0 C．x2﹣17x+16＝0 D．x2﹣17x﹣16＝0 9．（2025秋•江汉区校级月考）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）．下列结论：①若b＞a+c，则一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根；②若a+b+c＞0，a﹣b+c＜0，则方程ax2+bx+c＝0一定有两个不相等的实数根；③若b2+4ac＜0，则方程ax2+bx+c＝0一定有两个不相等的实数根；④若ac＜0，且b＝0，则方程两个实数根一定互为相反数．以上结论正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二．填空题（共7小题） 10．（2026春•柯桥区期末）关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是0，则a的值为 　 　 ． 11．（2026春•苏州校级期中）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+1＝0的两个实数根，则的值为　 　 ． 12．（2026•沧州模拟）若一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两根之和与两根之积分别为m，n，在平行四边形ABCD中，已知AB＝m，BC＝n，则对角线AC长的最大整数值为 　 　 ． 13．（2026•越秀区校级三模）一个矩形内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为8cm2；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11cm2，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为　 　 ． 14．（2026•遵义二模）定义一种新运算，规定：a⊗b＝a2﹣2a+b，例如2⊗3＝22﹣2×2+3＝3，若x⊗1＝9，则x的值是　 　 ． 15．（2026•渭南模拟）某化学实验中，一种反应物的质量随反应时间不断减少，已知初始质量为100g，经过2分钟反应时间后，总质量变为64g，设该反应物这2分钟内每分钟减少的百分率均为x，则可列方程为　 　 ． 16．（2025秋•漳州期末）定义：cx2+bx+a＝0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的倒方程．则下列四个结论： ①如果x＝2是x2+2x+c＝0的倒方程的解，则； ②如果ac＜0，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程ax2﹣2x+c＝0无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根． 其中正确的有　 　 ．（填正确的序号） 三．解答题（共5小题） 17．（2026春•沙坪坝区校级同步）解方程： （1）x（x+1）＝2x+2； （2）2x2+6x﹣1＝0． 18．（2026•海淀区校级开学）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（3m+1）x+2m+1＝0（m≠0）． （1）求证：对于任意非零实数m，该方程总有两个实数根； （2）若此方程有两个不等实根，且均为整数，求整数m的值． 19．（2025秋•西宁期末）电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 20．（2025秋•呼伦贝尔期末）如图，某中学准备在校园里利用25m长的旧围墙MN的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（其中墙CD留宽2m的入口），现已备足可以砌60m长的墙的材料（全部用完），设AB的长为xm． （1）BC的长为　 　 m，x的取值范围是　 　 ； （2）当x为何值时，可使矩形花园ABCD的面积为336m2？ （3）亮亮说：“矩形花园ABCD的面积可以为500m2．”请你判断亮亮的说法正确吗？并说明理由． 21．（2026春•下城区期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”． （1）通过计算，判断方程x2﹣5x+6＝0是否是“邻根方程”； （2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值； （3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a、b是常数，a＞0）是“邻根方程”，令t＝8a﹣b2，试求t的最大值． 第1章一元二次方程闯关练习卷-2026-2027学年数学九年级上册苏科版（2024） 参考答案与试题解析 一．选择题（共9小题） 1．（2026春•惠州期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．x2﹣2x+1＝0 B． C．x2﹣2y+4＝0 D．ax2+bx+c＝0 【分析】利用一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论． 【解答】解：A．方程x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，选项A符合题意； B．∵方程x2+3不是整式方程， ∴方程x2+3不是一元二次方程，选项B不符合题意； C．∵方程x2﹣2y+4＝0含有两个未知数， ∴方程x2﹣2y+4＝0不是一元二次方程，选项C不符合题意； D．当a＝0时，方程ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，选项D不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键． 2．（2026•沙坪坝区校级一模）一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的一次项系数是（　　） A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．2 【分析】根据一元二次方程的一般形式ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）中，ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣1＝0的一次项为﹣2x， ∴一次项系数为﹣2． 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 3．（2026•沧州模拟）下列数中，能使等式x（x﹣2）＝3成立的x的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】先将方程整理为一元二次方程一般形式，然后通过因式分解法求解方程即可． 【解答】解：原方程整理可得：x2﹣2x﹣3＝0， （x﹣3）（x+1）＝0， x﹣3＝0或x+1＝0， 解得x＝3或x＝﹣1， 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法，掌握知识点的应用是解题的关键． 4．（2025秋•社旗县期末）已知代数式﹣ax2+bx的取值如下所示，由数据可得，关于x的一元二次方程﹣ax2+bx+2＝0的解是（　　） x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … ﹣ax2+bx … ﹣4 ﹣2 0 0 ﹣2 ﹣4 … A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝﹣1，x2＝2 C．x1＝﹣2，x2＝2 D．x1＝﹣1，x2＝﹣2 【分析】根据表格数据即可求解． 【解答】解：由数据可得，当x＝﹣1或2时，﹣ax2+bx＝﹣2， ∴关于x的一元二次方程﹣ax2+bx+2＝0的解是x1＝﹣1，x2＝2． 故选：B． 【点评】本题考查代数式求值和一元二次方程的解，关键是观察表格，理解代数式﹣ax2+bx值和一元二次方程﹣ax2+bx+2＝0的解的关系． 5．（2026•北京二模）若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围为（　　） A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1 【分析】根据判别式的意义得到Δ＝22﹣4m≥0，然后解关于m的不等式即可． 【解答】解：根据题意得Δ＝22﹣4m≥0， 解得m≤1， 故选：B． 【点评】本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解题的关键． 6．（2026•海淀区校级开学）为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入．该企业2023年研发投入30亿元，2025年研发投入达到50亿元，那么这两年研发投入的平均年增长率为多少？设研发投入的平均年增长率为x，则下列方程正确的是（　　） A．30（1+2x）＝50 B．30（1﹣2x）＝50 C．30（1﹣x）2＝50 D．30（1+x）2＝50 【分析】根据该企业2023年研发投入30亿元，2025年研发投入达到50亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：由题意得：30（1+x）2＝50， 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7．（2026•海淀区校级开学）若﹣2是关于x的方程ax2+bx+2＝0的一个解，则代数式的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 【分析】根据一元二次方程的解的定义把x＝﹣2代入方程得出4a﹣2b+2＝0，化简得2a﹣b＝﹣1，再计算分式，然后代入求值即可． 【解答】解：∵﹣2是关于x的方程ax2+bx+2＝0的一个解， ∴4a﹣2b+2＝0， ∴2a﹣b＝﹣1， ∴1， 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，正确计算是解题的关键． 8．（2025秋•白云区期末）如图所示，某小区规划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD上修建同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．如果使草坪部分的总面积为112m2，设小路的宽为xm，那x满足的方程是（　　） A．2x2﹣25x+16＝0 B．x2﹣25x+32＝0 C．x2﹣17x+16＝0 D．x2﹣17x﹣16＝0 【分析】如果设小路的宽度为xm，那么草坪的总长度和总宽度分别为（16﹣2x）m，（9﹣x）m，再根据草坪部分的总面积为112m2即可得出方程． 【解答】解：由题意可得， （16﹣2x）（9﹣x）＝112， 整理得：x2﹣17x+16＝0， 故选：C． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键． 9．（2025秋•江汉区校级月考）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）．下列结论：①若b＞a+c，则一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根；②若a+b+c＞0，a﹣b+c＜0，则方程ax2+bx+c＝0一定有两个不相等的实数根；③若b2+4ac＜0，则方程ax2+bx+c＝0一定有两个不相等的实数根；④若ac＜0，且b＝0，则方程两个实数根一定互为相反数．以上结论正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】根据条件分别进行变形和计算得到b2﹣4ac与0的关系，进行判断即可得到答案． 【解答】解：①由b＞a+c可以得到|b|＞|a+c|或|b|＝|a+c|或|b|＜|a+c|， ∴b2﹣4ac＞（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0或b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2＝0或b2﹣4ac＜（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≤0， 即存在Δ＞0或Δ＝0或Δ＜0的三种情况． ∴方程可能无实数根或有两个相等实数根或两个不相等的实数根．（也可取特值判断），①错误，不符合题意； ②若a+b+c＞0，a﹣b+c＜0， 则（a+b+c）（a﹣b+c）＜0， ∴（a+c）2﹣b2＜0， 则b2﹣4ac＞（a﹣c）2≥0， ∴方程有两个不相等的实数根．②正确，符合题意； ③若b2+4ac＜0， ∴0≤b2＜﹣4ac，0≤2b2＜b2﹣4ac， ∴b2﹣4ac＞0， ∴方程有两个不相等的实数根．③正确，符合题意； ④若ac＜0，则b2﹣4ac＞0，方程有两个不相等的实数根． ∵b＝0，x1+x2＝0，两根一定互为相反数．④正确，符合题意； 故选：B． 【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式的应用．熟练掌握该知识点是关键． 二．填空题（共7小题） 10．（2026春•柯桥区期末）关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是0，则a的值为 　﹣2　 ． 【分析】把x＝0，代入方程，结合一元二次方程的二次项系数不为0，进行求解即可． 【解答】解：由条件可知a2﹣4＝0， 解得：a＝±2， ∵a﹣2≠0， ∴a＝﹣2； 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程的定义，熟练掌握以上知识点是关键． 11．（2026春•苏州校级期中）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+1＝0的两个实数根，则的值为　0　 ． 【分析】先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后代入求值即可． 【解答】解：由题意可知：x1+x2＝2，x1•x2＝1， ∵， ∴， 故答案为：0． 【点评】本题考查了根与系数的关系，熟记根与系数的关系是解题的关键． 12．（2026•沧州模拟）若一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两根之和与两根之积分别为m，n，在平行四边形ABCD中，已知AB＝m，BC＝n，则对角线AC长的最大整数值为 　10　 ． 【分析】先根据根与系数的关系AB＝m＝5，BC＝n＝6，再根据平行四边形的性质he1三角形三边关系得到AC得到范围，然后在此范围内找出最大整数即可． 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两根之和与两根之积分别为m，n， ∴，， ∴AB＝m＝5，BC＝n＝6， ∵AC为平行四边形ABCD的对角线， ∴6﹣5＜AC＜6+5， 即 1＜AC＜11． ∴AC长的最大整数值为10． 故答案为：10． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了解一元二次方程、三角形三边的关系和平行四边形的性质． 13．（2026•越秀区校级三模）一个矩形内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为8cm2；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11cm2，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为　7cm2 ． 【分析】设矩形的长为xcm，宽为ycm，根据矩形的面积公式结合按图①②两种放置时未覆盖部分的面积，即可得出关于x、y的方程组，利用（②﹣①）÷3可得出x＝y+1③，将③代入②中可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值，即可得到y值，进而得出x的值，再利用矩形面积公式得出图3摆放位置时未覆盖的面积即可得出答案． 【解答】解：设矩形的长为xcm，宽为ycm，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为8cm2； 由题意可得：， （②﹣①）÷3得：x＝y+1③， 将③代入②，得：y（y+1）＝16+3（y﹣4）+11， 整理，得y2﹣2y﹣15＝0， 解得：y1＝5，y2＝﹣3（舍去）， 所以x＝6， 所以按图3放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为：（x﹣4）（y﹣3）+（x﹣3）（y﹣4）＝2×2+3×1＝7． 故答案为：7cm2． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，正确进行计算是解题关键． 14．（2026•遵义二模）定义一种新运算，规定：a⊗b＝a2﹣2a+b，例如2⊗3＝22﹣2×2+3＝3，若x⊗1＝9，则x的值是　4或﹣2　 ． 【分析】理解新运算规则，根据规则列出关于x的一元二次方程，再解方程即可得到结果． 【解答】解：由已知可得，x⊗1＝x2﹣2x+1 ∵x⊗1＝9， ∴x2﹣2x+1＝9， ∴（x﹣1）2＝9 开平方得x﹣1＝±3， ∴x＝4或x＝﹣2． 故答案为：4或﹣2． 【点评】本题主要考查有理数的混合运算，理解题意是解题的关键． 15．（2026•渭南模拟）某化学实验中，一种反应物的质量随反应时间不断减少，已知初始质量为100g，经过2分钟反应时间后，总质量变为64g，设该反应物这2分钟内每分钟减少的百分率均为x，则可列方程为　100（1﹣x）2＝64　 ． 【分析】已知初始质量，平均减少率和变化后的质量，根据平均变化率的数量关系列方程即可． 【解答】解：根据题意可得：100（1﹣x）2＝64． 故答案为：100（1﹣x）2＝64． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意是关键． 16．（2025秋•漳州期末）定义：cx2+bx+a＝0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的倒方程．则下列四个结论： ①如果x＝2是x2+2x+c＝0的倒方程的解，则； ②如果ac＜0，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程ax2﹣2x+c＝0无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根． 其中正确的有　①②③　 ．（填正确的序号） 【分析】根据倒方程的定义和一元二次方程根的定义对①进行判断；利用倒方程的定义和根的判别式的意义对②③进行判断；利用反例对④进行判断． 【解答】解：x2+2x+c＝0的倒方程为cx2+2x+1＝0，把x＝2代入方程cx2+2x+1＝0得4c+4+1＝0，解得，所以①正确，符合题意； 当ac＜0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，cx2+bx+a＝0也为一元二次方程，此方程的根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，所以这两个方程都有两个不相等的实数根，所以②正确，符合题意； 一元二次方程ax2﹣2x+c＝0无解，则Δ＝（﹣2）2﹣4ac＜0，即ac＞1，一元二次方程ax2﹣2x+c＝0的倒方程为cx2﹣2x+a＝0的根的判别式Δ＝（﹣2）2﹣4ac＜0，则它的倒方程也无解，所以③正确，符合题意； 一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，则Δ＝b2﹣4ac＞0， 当c＝0，b≠0时，cx2+bx+a＝0为一元一次方程，它的倒方程只有一个实数解，所以④错误，不符合题意． 故答案为：①②③． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，以及根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 三．解答题（共5小题） 17．（2026春•沙坪坝区校级同步）解方程： （1）x（x+1）＝2x+2； （2）2x2+6x﹣1＝0． 【分析】（1）找到公因式（x+1），进行因式分解法计算； （2）根据公式法解一元二次方程． 【解答】解：（1）x（x+1）＝2x+2， x（x+1）﹣2（x+1）＝0， （x﹣2）（x+1）＝0， ∴x+1＝0或x﹣2＝0， ∴x1＝﹣1，x2＝2． （2）2x2+6x﹣1＝0， a＝2，b＝6，c＝﹣1， x， ∴x1，x2． 【点评】本题考查了解一元二次方程，解题的关键掌握因式分解法和公式法． 18．（2026•海淀区校级开学）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（3m+1）x+2m+1＝0（m≠0）． （1）求证：对于任意非零实数m，该方程总有两个实数根； （2）若此方程有两个不等实根，且均为整数，求整数m的值． 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式进行证明即可； （2）根据题意，用m表示出该方程的根，再结合两根均为整数求出整数m的值即可． 【解答】（1）证明：因为关于x的一元二次方程为mx2﹣（3m+1）x+2m+1＝0（m≠0）， 所以Δ＝[﹣（3m+1）]2﹣4m（2m+1）＝m2+2m+1＝（m+1）2≥0， 所以方程总有两个实数根； （2）解：由mx2﹣（3m+1）x+2m+1＝0得， （x﹣1）[mx﹣（2m+1）]＝0， 所以x＝1或． 因为方程两根均为整数， 所以为整数，即为整数， 所以整数m＝±1． 因为此方程有两个不等实根， 所以（m+1）2≠0， 即m≠﹣1， 所以m＝1． 【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 19．（2025秋•西宁期末）电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【分析】（1）设日平均增长率为x，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每个玩偶降价y元，根据当日总利润可达到5940元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：（1）设日平均增长率为x， 由题意列一元二次方程得：200（1+x）2＝338， 整理得，200x2+400x﹣138＝0， 解得x1＝0.3，x2＝﹣2.3（舍）， 答：日平均增长率为30%； （2）设每个玩偶降价y元， 由题意列一元二次方程得：（50﹣y﹣30）（320+5y）＝5940， 解得y1＝2，y2＝﹣46（舍）， 答：每个玩偶降价2元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 20．（2025秋•呼伦贝尔期末）如图，某中学准备在校园里利用25m长的旧围墙MN的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（其中墙CD留宽2m的入口），现已备足可以砌60m长的墙的材料（全部用完），设AB的长为xm． （1）BC的长为　（62﹣2x）　 m，x的取值范围是　x＜31　 ； （2）当x为何值时，可使矩形花园ABCD的面积为336m2？ （3）亮亮说：“矩形花园ABCD的面积可以为500m2．”请你判断亮亮的说法正确吗？并说明理由． 【分析】（1）利用BC的长＝60+入口的宽度﹣2×AB的长，可用含x的代数式表示出BC的长，由各边长度为正值及旧围墙MN的长度，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围； （2）根据矩形花园ABCD的面积为336m2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （3）假设矩形花园ABCD的面积可以为500m2，根据矩形花园ABCD的面积可以为500m2，可列出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣39＜0，可得出原方程无实数根，进而可得出假设不成立，即亮亮的说法不正确． 【解答】解：（1）设AB的长为xm，则BC的长为60+2﹣2x＝（62﹣2x）m， ∵， ∴x＜31． 故答案为：（62﹣2x），x＜31； （2）根据题意得：x（62﹣2x）＝336， 整理得：x2﹣31x+168＝0， 解得：x1＝7（不符合题意，舍去），x2＝24． 答：当x为24时，矩形花园ABCD的面积为336m2； （3）亮亮的说法不正确，理由如下： 假设矩形花园ABCD的面积可以为500m2， 根据题意得：x（62﹣2x）＝500， 整理得：x2﹣31x+250＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣31）2﹣4×1×250＝﹣39＜0， ∴原方程无实数根， ∴假设不成立， 即矩形花园ABCD的面积不可以为500m2， ∴亮亮的说法不正确． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式、根的判别式以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出BC的长；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”． 21．（2026春•下城区期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”． （1）通过计算，判断方程x2﹣5x+6＝0是否是“邻根方程”； （2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值； （3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a、b是常数，a＞0）是“邻根方程”，令t＝8a﹣b2，试求t的最大值． 【分析】（1）先利用公式法解出一元二次方程的两个根，再根据两个根的差是否为“1”得结论； （2）利用因式分解法求出一元二次方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义得结论； （3）利用公式法解出一元二次方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义即可列出a与b的关系式，再由t＝8a﹣b2，可列出t与a的关系式，最后利用完全平方公式求出最大值． 【解答】解：（1）x2﹣5x+6＝0， （x﹣2）（x﹣3）＝0， ∴x1＝3，x2＝2， ∴x1﹣x2＝3﹣2＝1， ∴方程x2﹣5x+6＝0是“邻根方程”． （2）x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0， ∴x2﹣mx+x﹣m＝0， ∴（x﹣m）（x+1）＝0， ∴x＝m或x＝﹣1， ∵方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”， ∴m﹣（﹣1）＝1或﹣1﹣m＝1， ∴m＝﹣1+1或m＝﹣1﹣1， ∴m＝0或﹣2； （3）ax2+bx+1＝0， ∴x， ∵关于x的方程ax2+bx+1＝0（a、b是常数，a＞0）是“邻根方程”， ∴1， ∴b2＝a2+4a， ∵t＝8a﹣b2， ∴a2+4a＝8a﹣t． ∴t＝4a﹣a2＝﹣（a﹣2）2+4， ∵a＞0， ∴当a＝2时，t的最大值为4． 【点评】本题考查一元二次方程，掌握一元二次方程的解法，读懂题意、理解“邻根方程”，掌握利用完全平方式确定最大值、最小值等知识点是解决本题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $