精品解析：山西省临汾第一中学2025-2026学年高三上学期数学周测（十五）

临汾一中2025—2026学年高三年级第一学期 数学周测（十五） （时间120分钟 满分150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合，则集合且的子集的个数为（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 2. 设的实部与虚部相等，其中为实数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，设，则是（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递增 C. 在上单调递减，上递增 D. 在上单调递增，上递减 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 5. 已知，，，则的大小关系是（   ） A. B. C. D. 6. 已知某比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为，平均数为，随机删去其任一轮的成绩，得到一组新数据，记为，平均数为，对新数据和原数据，下面说法正确的是（   ） A. 两组数据的极差不可能相等 B. 两组数据的中位数不可能相等 C. 若，则两组数据的方差不可能相等 D. 若，两组数据的第百分位数可能相等 7. 斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”.这一数列如下定义：设为斐波那契数列，，，，其通项公式为，设是的正整数解，则的最大值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 已知函数，则下列选项正确的是（  ） A. 是函数的一个周期 B. 是函数的一条对称轴 C. 函数的最大值为，最小值为 D. 函数在上单调递减 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 过点且在轴上的截距是在轴上截距的2倍的直线的方程为 B. 向量是直线的一个方向向量 C. 若直线与平行，则与的距离为 D. 圆与圆有两条公切线 10. 在学习了解三角形的知识后，为了锻炼实践能力，某同学搞了一次实地测量活动他位于河东岸，在靠近河岸不远处有一小湖，他于点处测得河对岸点位于点的南偏西的方向上，由于受到地势的限制，他又选了点，，，使点，，共线，点位于点的正西方向上，点位于点的正东方向上，测得，，，，并经过计算得到如下数据，则其中正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. D. 点在点的北偏西方向上 11. 如图，圆锥内有一个内切球，为底面圆的直径，球与母线，分别切于点，.若是边长为2的等边三角形，为底面圆的一条直径（与不重合），则下列说法正确的是（ ） A. 球的表面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 四面体的体积的取值范围是 D. 若为球面和圆锥侧面的交线上一点，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，且，则_______. 13. 过双曲线的左焦点作一条直线交双曲线左支于，两点，若，是双曲线的右焦点，则的周长是___________. 14. 已知，若，，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式，某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示，为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用按比例分配的分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流． （1）应抽取小吃类商家多少家？ （2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示． ①估计该直播平台商家平均日利润的第75百分位数； ②若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数． 16. 已知数列{an}满足a1+a2+…+an＝an+1﹣2. （1）若a1＝2，求数列{an}的通项公式； （2）若数列1，a2，a4，b1，b2，…bn，…成等差数列，求数列{bn}的前n项和为Sn. 17. 如图，底面是边长为2且的菱形，平面且 （1）求证：平面平面 （2）点在线段上，且三棱锥的体积是三棱锥的体积的两倍，求平面与平面所成角的余弦值. 18. 已知椭圆过点，其离心率. （1）求椭圆的方程； （2）若直线不经过点，且与椭圆相交于两点（、不重合），若直线与直线的斜率之积为.证明：直线过定点，并求出定点坐标. 19. 已知函数. （1）求函数在上的单调递减区间； （2）当时，，求的最大值； （3）证明：方程在上有唯一实数解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临汾一中2025—2026学年高三年级第一学期 数学周测（十五） （时间120分钟 满分150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合，则集合且的子集的个数为（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意求出集合，再求解子集个数即可. 【详解】因为，且集合且， 所以，则集合有个子集，故B正确. 故选：B 2. 设的实部与虚部相等，其中为实数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的四则运算与概念计算即得. 【详解】因， 由题意可得，得，解得. 【点睛】复数题是每年高考的必考内容,一般以客观题的形式出现,属得分题.高考中考查频率较高的内容有：复数相等、复数的几何意义、共轭复数、复数的模及复数的乘除运算.这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是中的负号易忽略,所以做复数题时要注意运算的准确性. 3. 已知函数，设，则是（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递增 C. 在上单调递减，上递增 D. 在上单调递增，上递减 【答案】B 【解析】 【分析】首先判断与的奇偶性，再画出的图像即可求出的单调性. 【详解】的定义域为， 因为，则， 所以为奇函数. 又，则也是奇函数. 由，可得图象如图所示： 所以函数在上单调递增. 故选：B 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据充分性和必要性的定义判断即可． 【详解】若，得， 若，则，解得或， 所以“”是“”的充分非必要条件． 故选：A． 5. 已知，，，则的大小关系是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据特殊角的正弦值，判断参数范围，再根据对数函数性质，判断函数值大小，判断结果即可. 【详解】可知，即， ，即， ，且，即， 所以，即． 故选：D. 6. 已知某比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为，平均数为，随机删去其任一轮的成绩，得到一组新数据，记为，平均数为，对新数据和原数据，下面说法正确的是（   ） A. 两组数据的极差不可能相等 B. 两组数据的中位数不可能相等 C. 若，则两组数据的方差不可能相等 D. 若，两组数据的第百分位数可能相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据极差、中位数、方差、百分位数的求法，通过举反例或对计算公式、所得数据的分析判断各项的正误. 【详解】A，若随机删去任一轮的成绩，恰好不是最高成绩和最低成绩，此时新数据的极差等于原数据的极差，A错误； B，不妨设，当时，若随机删去的成绩是，此时新数据的中位数等于原数据的中位数，B错误； C，若，即删去的数据恰为平均数，根据方差的计算公式，分子不变，分母变小，此时方差会变大，C正确 D，在按从小到大的顺序排列的个数据中， 此时原数据的分位数为第三个数和第四个数的平均数，即， 删去一个数据后的个数据，按从小到大的顺序排列，可得， 此时新数据的分位数为第三个数，即或，而，则， 显然新数据的分位数不等于原数据的分位数，D错误． 故选：C 7. 斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”.这一数列如下定义：设为斐波那契数列，，，，其通项公式为，设是的正整数解，则的最大值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】利用给定条件结合对数的性质将化为，结合，得到，根据递增，得到也是递增数列，得，即可求解. 【详解】由题知是的正整数解， 故，取指数得， 同除得，，故， 即，根据是递增数列可以得到也是递增数列， 于是原不等式转化为. 由斐波那契数列可得，，，， 可以得到满足要求的的最大值为，故A正确. 故选：A 【点睛】关键点点睛： 本题关键在于利用对数的运算将， 转化为，结合的表达式得到， 从而求解的最大值. 8. 已知函数，则下列选项正确的是（  ） A. 是函数的一个周期 B. 是函数的一条对称轴 C. 函数的最大值为，最小值为 D. 函数在上单调递减 【答案】B 【解析】 【分析】根据周期的定义、对称轴的定义，结合换元法、正弦型函数的最值性质、单调性逐一判断即可. 【详解】A：因为 ， 所以不是函数的一个周期，因此本选项说法不正确； B：因为 ， 所以是函数的一条对称轴，因此本选项说法正确； C：令， 则， 对两边同时平方，得 ，，该二次函数开口向上，对称轴为， 当时，当时，函数取得最大值， 因为， 所以当时，函数取得最小值，最小值为，因此本选项说法不正确； D： 当时，， 所以函数单调递减，且， 由上可知：函数的对称轴为，所以该函数在上先增后减， 因为函数在上不单调，所以本选项说法不正确. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 过点且在轴上的截距是在轴上截距的2倍的直线的方程为 B. 向量是直线的一个方向向量 C. 若直线与平行，则与的距离为 D. 圆与圆有两条公切线 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据点的坐标设出直线方程，求截距，列出方程组求解判断A，根据直线方向向量的概念判断B，利用两平行线间的距离公式判断C，根据圆与圆的位置关系判断D. 【详解】选项A：由题意可知直线斜率存在且不为，设直线方程为， 令解得，令解得， 因为该直线在轴上的截距是在轴上截距的倍， 所以，解得或， 所以直线方程为或，A错误； 选项B：直线的斜率为，方向向量为，当时，方向向量为，B正确； 选项C：因为直线与平行，所以， 由得， 则直线与直线之间的距离，C正确； 选项D：由题意圆圆心为，半径， 圆圆心为，半径， 因为，， 所以两圆相交，有且仅有两条公切线，D正确； 故选：BCD 10. 在学习了解三角形的知识后，为了锻炼实践能力，某同学搞了一次实地测量活动他位于河东岸，在靠近河岸不远处有一小湖，他于点处测得河对岸点位于点的南偏西的方向上，由于受到地势的限制，他又选了点，，，使点，，共线，点位于点的正西方向上，点位于点的正东方向上，测得，，，，并经过计算得到如下数据，则其中正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. D. 点在点的北偏西方向上 【答案】AC 【解析】 【分析】利用正余弦定理解三角形逐一求解即可； 对于，先求出，，，再根据，，即可判断； 对于，根据三角形的面积公式求解即可，即可判断； 对于，在中，由正弦定理，即可判断； 对于，过点作于点，易知，即可判断． 【详解】对于，因为，点位于点的南偏西的方向上， 所以，，， 又，，，， 在，中，，，所以，故A正确； 对于，的面积为，故B错误； 对于，在中，由正弦定理，得，解得，故C正确； 对于，过点作于点，易知，所以，故D错误， 故选：． 11. 如图，圆锥内有一个内切球，为底面圆的直径，球与母线，分别切于点，.若是边长为2的等边三角形，为底面圆的一条直径（与不重合），则下列说法正确的是（ ） A. 球的表面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 四面体的体积的取值范围是 D. 若为球面和圆锥侧面的交线上一点，则的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，正内切圆即为球的截面大圆，又正的边长为2，求出球的半径，得到球的表面积；B选项，利用圆锥侧面积公式进行求解；C选项，四面体被平面截成体积相等的两部分，设到平面的距离为，求出正三角形的边长和面积，求出；D选项，动点的轨迹是圆，可得，故，因此，由均值不等式得到，故D正确. 【详解】A选项，连接，等边三角形内切圆即为球的截面大圆，球心在线段上， 又等边三角形的边长为2，所以，， 则球的半径， 所以球的表面积，故A正确； B选项，圆锥的侧面积，故B错误； C选项，由题意可得四面体被平面截成体积相等的两部分， 设到平面的距离为， 球的半径，三角形为等边三角形，设其边长为， 则，故， 故三角形的面积为， 即，故C正确； D选项，依题意，动点的轨迹是圆，所在平面与圆锥底面平行，令其圆心为， ，故，是边，的中点，可得，， ， 则有，故， 又，故， 即，因此， 由均值不等式，得，即， 当且仅当时取“”，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，且，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示求得，再由模长公式即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以 故答案为： 13. 过双曲线的左焦点作一条直线交双曲线左支于，两点，若，是双曲线的右焦点，则的周长是___________. 【答案】24 【解析】 【分析】利用双曲线的定义求焦点三角形的周长即可. 【详解】由双曲线定义知：， 所以，，而， 故，故的周长为. 故答案为：24 14. 已知，若，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】变换得到，令，求导得到函数的单调区间，考虑和两种情况，得到，设，求导得到单调区间，计算最值得到答案. 【详解】不等式等价于，即， 令，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，分如下情况讨论， ①当时，由在单调递增， 可知恒成立，等价于恒成立 ②当时, ，又时，，得到恒成立， 综上所述，，即对任意恒成立. 令，则， 故在上单调递增，，即， 综上所述，实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式，某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示，为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用按比例分配的分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流． （1）应抽取小吃类商家多少家？ （2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示． ①估计该直播平台商家平均日利润的第75百分位数； ②若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数． 【答案】（1）28家 （2）① 487.5元；②280 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样的定义结合图①求解即可； （2）①先根据频率和为1求出，然后列方程求解第75百分位数，②根据频率分布直方图求出平均均日利润超过480元的频率，然后乘以1000可得答案. 【小问1详解】 根据分层抽样知：应抽取小吃类家； 【小问2详解】 ①根据题意可得，解得， 设75百分位数为x， 因为，， 所以，解得， 所以该直播平台商家平均日利润的75百分位数为487.5元． ②， 所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为280． 16. 已知数列{an}满足a1+a2+…+an＝an+1﹣2. （1）若a1＝2，求数列{an}的通项公式； （2）若数列1，a2，a4，b1，b2，…bn，…成等差数列，求数列{bn}的前n项和为Sn. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）Sn＝an+1﹣2，计算得到Sn＝an+1﹣2，根据等比数列公式计算得到答案. （2）根据1，a2，a4成等差数列，得到a2，得到数列{bn}是首项为，公差为的等差数列，计算得到答案. 【详解】（1）由题意，可知Sn＝an+1﹣2，则a2＝S1+2＝a1+2＝4. 当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝an+1﹣2﹣（an﹣2），整理，得an+1＝2an， 时，满足. ∴数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴an＝2n，n∈N*. （2）由题意，可知a1＝a2﹣2， ∵a1+a2＝a3﹣2，∴a3＝a1+a2+2＝a2﹣2+a2+2＝2a2. ∵1，a2，a4成等差数列，∴2a2＝a4+1，即a4＝2a2﹣1. ∵a1+a2+a3＝a4﹣2，∴a2﹣2+a2+2a2＝2a2﹣1﹣2，解得a2. 设等差数列的公差为d，则d＝a2﹣11. ∴b1＝1（4﹣1）. ∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列. ∴Sn•（）n2n. 【点睛】本题考查了等比数列，等差数列公式，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用. 17. 如图，底面是边长为2且的菱形，平面且 （1）求证：平面平面 （2）点在线段上，且三棱锥的体积是三棱锥的体积的两倍，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）因为平面所以平面 又平面故 又四边形为菱形，故 又平面，故平面， 又平面因此平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理和性质定理证得平面，再由面面垂直的判定定理可证得； （2）取线段中点，连接，以点为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，由三棱锥的体积是三棱锥的体积的两倍可得再求出平面与平面的法向量，再由二面角的向量公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取线段中点，连接，以点为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 因为所以 则点 设平面的法向量为则 可取 设平面的法向量为则 可取 故 所以平面与平面所成角的余弦值为 18. 已知椭圆过点，其离心率. （1）求椭圆的方程； （2）若直线不经过点，且与椭圆相交于两点（、不重合），若直线与直线的斜率之积为.证明：直线过定点，并求出定点坐标. 【答案】（1） （2） 当直线斜率不存在时，不符合题意； 设直线的方程为， 联立， 由韦达定理得：，， 因为直线与直线的斜率之积为， 所以， 即， 所以， 整理得， 故 即直线的方程为（舍去）或， 故过定点. 【解析】 【分析】（1）根据所给条件得到关于、、的方程组，解得即可； （2）分斜率不存在与存在两种情况分析，当直线斜率不存在时，不符合题意；可设直线的方程为，与椭圆方程联立，再根据直线与直线的斜率之积为，得到，再将和代入整理得，代入直线的方程得解. 【小问1详解】 因为椭圆过点，所以， 又因为，所以 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 略 19. 已知函数. （1）求函数在上的单调递减区间； （2）当时，，求的最大值； （3）证明：方程在上有唯一实数解. 【答案】（1） （2） e （3） 证明：设， 则， 设，则， 设，则， 而的导数， 所以在上单调递减. 因为，， 所以存在唯一，使得. 当时、，单调递增，当时，，单调递减. 又因为,,. 所以存在唯一，使得. 当时，即单调递增，当时，单调递减， 又因为，，， 所以存在唯一，使得. 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 又因为，，， 所以存在唯一，使得， 即方程在上有唯一实数解. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数与单调性的关系，即可求解； （2）由已知可得，将问题转化为不等式恒成立，讨论参数a的范围，分类求解即可； （3）设，连续构造函数并求导，结合零点存在定理，即可证明结论. 【小问1详解】 因为，所以,， 则， 当时，即时，，单调递增； 当时，即时，，单调递减； 当，即时，，单调递增. 故所求单调递减区间为. 【小问2详解】 因为，所以，故由得. 设，则. ①当时，则，所以在上单调递增. 从而，解得，此时，. ②当时，在上恒成立，单调递增， 则需，即，此时； 当时，则时，，单调递减； 时，，单调递增. 所以，变形可得. 此时，. 设，，则. 当时，，为增函数； 当时，，为减函数. 所以，即，当且仅当，时取等号. 综合可知的最大值为e. ③当时，在上单调递减. 从而，解得. 此时. 综上，的最大值为e. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $