5.4二次函数与一元二次方程（课时1）（教学课件） 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的关系，核心讲解二次函数图象与x轴交点个数和一元二次方程根的个数的联系。课堂导入通过复习一元二次方程根的判别式，搭建旧知支架，为新知探究奠定基础。 其亮点是以问题驱动和实例探究（如小球竖直上抛、实心球运动轨迹），结合几何直观与推理意识，用表格归纳交点、根与判别式的关系，培养模型意识。学生能深化知识联系，教师可借助清晰结构与分层练习提升教学效率。

5.4二次函数与一元二次方程 （课时1） 第五章 二次函数 北师大版(2024) 1 素养目标 2.理解二次函数的图象和横轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系. 1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系； 2 复习导入 一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式是什么？ 式子b2-4ac叫作方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母Δ表示. (1)当Δ>0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根. (2)当Δ=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根. (3)当Δ<0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根. 3 探究新知 我们已经知道，竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以近似地用公式h=-5t2+v0t+h0表示，其中h0 (m)是抛出时的高度，v0 (m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面被以40 m/s的速度竖直向上抛起，小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如下图所示. 4 探究新知 【问题1】h与t的关系式是什么？ 将点(0，0)，(8，0)代入h=-5t2+v0t+h0 可得，h＝-5t2+40t. 【问题2】小球经过多少秒后落地？ 你有几种求解方法？与同伴进行交流. ①由图象可知8秒后小球落地. ②将h=0代入二次函数h＝-5t2+40t， 解得t=0或t=8 ， 所以，小球经过8s落地. 5 探究新知 二次函数y=x2+2x，y=x2-2x+1，y=x2-2x+2的图象如图所示. （1） （2） （3） 6 探究新知 二次函数y=x2+2x的图象与x轴有几个交点？ 两个交点 一元二次方程x2+2x=0有几个根？ 两个根 解：x2+2x=0 x(x+2)=0 x=0或x+2=0 x1=0，x2=-2 7 探究新知 二次函数y=x2-2x+1的图象与x轴有几个交点？ 一个交点 一元二次方程x2-2x+1=0有几个根？ 两个相同的根 解：x2-2x+1=0 (x-1)2=0 x-1=0 ∴x1 = x2 =1 8 探究新知 二次函数y=x2-2x+2的图象与x轴有几个交点？ 没有交点 一元二次方程x2-2x+2＝0有几个根？ 解：∵Δ=b2-4ac =(-2)2-4×1×2 =-4＜0 ∴原方程无实数根 没有实数根 9 探究新知 抛物线与x轴交点个数 交点横坐标 相应的一元二次方程的根 y=x2+2x y=x2-2x+1 y=x2-2x+2 2个 1个 0个 x2-2x+2=0无解 1 x2-2x+1=0，x1=x2=1 -2， 0 x2+2x=0，x1=-2，x2=0 无 通过上述探究，你能总结出二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的坐标和一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？ 10 归纳总结 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0根. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 Δ=b2-4ac 有两个交点 有两个不相等的实数根 Δ=b2-4ac > 0 有一个交点 有两个相等的实数根 Δ=b2-4ac = 0 没有交点 没有实数根 Δ=b2-4ac < 0 11 探究新知 何时小球离地面的高度是60m？你是如何知道的？ h = -5t2+40t 【分析】已知h＝-5t2+40t，把h＝60代入即可求出时间． 解：由 -5t2+40t=60， 解得t1=2，t2=6. 即当小球经过2s和6s时小球离地面60m. 【总结】一般地，当y取定值h且 a≠0 时，二次函数y=ax2+bx+c可以看作是一元二次方程ax2+bx+c=h. 12 A 13 A 14 A 15 D 16 C 17 B 18 两 19 小结 二次函数与一元二次方程 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数与一元二次方程根的情况 20 谢谢同学们的聆听 21 练习1 已知二次函数 的图像经过点 ， ，则关于x的方程 的根是( ) A. ， B. ， C. ， D. ， 解析：∵二次函数 的图像经过点 ， ， ∴关于x的方程 的根是 ， . 故选：A. 练习2 抛物线 与x轴相交于点 ，点 ，则关于x的一元二次方程 的根是( ) A. B. C. D. 解析：∵当 时，抛物线 对应的方程为 ， ∴方程的解就是抛物线与x轴交点的横坐标. ∴点 和点 的横坐标分别为 和3， ∴关于x的一元二次方程 的根是 ， ，故选A. 解析：∵二次函数 顶点的纵坐标为3， ∴二次函数 的图像与直线 只有1个交点， ∴方程 有两个相等的实数根.故选：A. 练习3 如图，已知二次函数 顶点的纵坐标为3，则关于x的方程 的根的情况是( ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有两个不相等的负根 D.有两个不相等的正根 练习4 如图，若 的部分图像如图所示，则关于x的方程 的另一个解为( ) A.1 B.0 C.-0.5 D.-1 解析：∵根据图像知，抛物线与x轴的一个交点是 ，且对称轴为 ， ∴根据对称性，抛物线与x轴的另一交点为 ， ∴令 ，即 ， ∴方程 的解是 ， ， 即方程的另一解为-1.故选：D. 练习5 若关于x的一元二次方程 的两个根分别为 ， ，那么抛物线 的对称轴为直线( ) A. B. C. D. 解析：∵抛物线 与x轴的两个交点的横坐标为方程 的两个根， ∴抛物线 与x轴的两个交点坐标为： ， ， ∴抛物线 的对称轴为直线 ，故选：C. 解析：令 ，则 ， 解得： ， （舍去）故选B. 练习6 小康在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为 ，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离，则小康此次掷球的成绩（即 的长度）是( ) A. B. C. D. 练习7 根据方程 的根的情况可以知道二次函数 与x轴有________个交点. 解析：将方程化为标准形式： ， ∵ ， ， ， ∴ 故方程有两个不相等的实数根，∴二次函数与x轴有2个交点. 故答案为：两. $