精品解析：河南开封市求实中学2026-2027学年上学期八年级数学开学自测

初二年级第一学期开学检查数学试卷 一、选择题（每小题3分，共42分） 1. 纹样承载着中华民族数千年的历史沉淀与文化传承，2026年丙午马年春晚的标识巧妙融合了云纹、回纹等经典元素．下面纹样中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 5. 下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是（ ） A. 两条直角边分别相等 B. 斜边和一个锐角分别相等 C. 两个锐角分别相等 D. 斜边和一条直角边分别相等 7. 如图，已知AD是的中线，E、F分别是AD和AD延长线上的点，且连接BF，CE，下列说法中：①；②；③；④；⑤．正确的是（　　） A. ①②③ B. ①②⑤ C. ①③④ D. ①③⑤ 8. 如图，在中，，，点，分别是图中所作直线和射线与，的交点．根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在长方形的中，已知，点以的速度由点向点运动，同时点以的速度由点向点运动，若以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，则的值为（ ） A. 4或 B. 6 C. 或1 D. 4 10. 如图所示是4个相同的小正方形，则图中的度数是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，中，，D为内一点，满足，，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在四边形中，，，，点E在边上，，连接，交于点F．若，则的长为（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 二、填空题（每小题3分，共18分） 13. 分解因式：=______． 14. 已知关于x的整式与的乘积中不含项和x项，则______． 15. AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝12，AC＝8，则AD的取值范围是_____． 16. 如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线，交于点D，交于点E，连接BD．若，，，则的周长为_____________． 17. 如图，某市地铁站入口的闸机双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，那么两机箱之间的距离为____． 18. 如图，已知，，点是射线上一动点（P与不重合），当以、、三点中某两点与点构成的三角形是等腰三角形时，的度数为______． 三、解答 19. 计算与化简： （1）计算：． （2）化简：． （3）计算：． 20. 在等腰三角形中，，，．求的周长及的值 21. 如图，在中，是中线，是边上的高，点F在上且，于点G （1）若，，求的度数； （2）若．求的长 22. 如图，已知和，与交于点P，点C在上． （1）试说明：； （2）若．求的度数． 23. 如图所示，在平面直角坐标系中，点． （1）请在图中作出关于y轴对称的，并写出点的坐标； （2）求的面积； （3）已知P为x轴上一点，若的面积为8，求点P的坐标． 24. 如图，在中，分别是的高，在上取一点P，使，在的延长线上取一点Q，使，连接与． （1）求证：； （2）判断与的位置关系并证明你的结论． 25. 阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，， ．，． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． （1）已知实数x，y满足，求的值． （2）设a，b满足等式，求的值． 26. 如图，已知：在中，，，将一块足够大的直角三角尺按如图放置，顶点Р在线段上滑动（且不与A、B重合），三角尺的直角边始终经过点C，并且与的夹角，斜边交于点D． （1）当______°，，此时______° （2）点Р在滑动时，当长为多少时，与全等，为什么？ （3）点Р在滑动时，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，直接写出夹角的大小；若不可以，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二年级第一学期开学检查数学试卷 一、选择题（每小题3分，共42分） 1. 纹样承载着中华民族数千年的历史沉淀与文化传承，2026年丙午马年春晚的标识巧妙融合了云纹、回纹等经典元素．下面纹样中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、，此项错误； B、，此项错误； C、，此项错误； D、，此项正确． 3. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．根据因式分解的定义，判断每个选项的变形是否满足定义． 【详解】根据因式分解要求左边是多项式，右边是整式的乘积， 选项A：左边是乘积，右边是多项式，属于整式乘法，不符合因式分解的定义，故不符合题意； 选项B：左边是多项式，右边是乘积形式，且等式成立，符合因式分解的定义，故符合题意； 选项C：左边是乘积，右边是乘积，但属于恒等变形，并非因式分解，故不符合题意； 选项D：右边不是乘积形式，而是和的形式，不符合因式分解的定义，故不符合题意； 故选：B． 4. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图1得，， ∴是的角平分线； 由图2得，， ∵， ∴， ∴是的高线； 由图3得，， ∴是的中线； ∴依次是的角平分线、高线、中线． 5. 下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、，含一组相同项和一组相反项，符合平方差公式结构； B、含一组相同项和一组相反项，符合平方差公式结构； C、将变形为，含相同项与相反项、，符合平方差公式结构； D、中两项均互为相反数，无相同项，不符合平方差公式结构，故符合题意． 6. 下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是（ ） A. 两条直角边分别相等 B. 斜边和一个锐角分别相等 C. 两个锐角分别相等 D. 斜边和一条直角边分别相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理，，，逐项分析即可求解． 【详解】解：A、两条直角边分别相等的两个直角三角形，根据可证明这两个直角三角形是全等三角形，故A选项不符合题意； B、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形，根据可证明这两个直角三角形是全等三角形，故B选项不符合题意； C、两个锐角分别相等的两个直角三角形，不能得出这两个直角三角形是全等三角形，故C选项符合题意； D、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形，根据可证明这两个直角三角形是全等三角形，故D选项不符合题意； 故选： C． 7. 如图，已知AD是的中线，E、F分别是AD和AD延长线上的点，且连接BF，CE，下列说法中：①；②；③；④；⑤．正确的是（　　） A. ①②③ B. ①②⑤ C. ①③④ D. ①③⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形中线的定义可得，判断出①正确，② 错误，然后根据平行线的性质得出，利用“AAS”证明，根据全等三角形对应边相等可得，则③正确，④错误，根据三角形外角相似判定⑤正确． 【详解】∵AD是的中线， ∴，故①正确， ∵AD为的中线， ∴，和不一定相等，故② 错误， ∵， ∴， 在和中， ∴，故③正确， ∴，故④错误， ∵，， ∴，故⑤正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中线的定义，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键． 8. 如图，在中，，，点，分别是图中所作直线和射线与，的交点．根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过作图可知平分，垂直平分，可判断，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理判断． 【详解】解：、由作图可知平分， ∴，该选项正确，不符合题意； 、由作图可知垂直平分， ∴，该选项正确，不符合题意； 、∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，该选项正确，不符合题意； 、由上得，即，， ∴，该选项错误，符合题意． 9. 如图，在长方形的中，已知，点以的速度由点向点运动，同时点以的速度由点向点运动，若以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，则的值为（ ） A. 4或 B. 6 C. 或1 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．分两种情况分别计算，①若，②若，即可分别求得． 【详解】解：设点运动的时间为， 由题意知：，，则， 当时，， 即， 解得， 当时，，， 即，， 解得， 故， 解得， 故的值为或， 故选：A． 10. 如图所示是4个相同的小正方形，则图中的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据证明，从而可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得：，从而可得，再根据等腰直角三角形的性质可得，最后进行计算即可解答． 【详解】解：如图： 在和中， ， ∴， ， ， ∴， ∴， ∵， ， ． 11. 如图，中，，D为内一点，满足，，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，利用等边对等角结合三角形内角和定理即可判断． 【详解】解：设， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即，故A选项一定成立． 12. 如图，在四边形中，，，，点E在边上，，连接，交于点F．若，则的长为（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，平行线的判定和性质，等角对等边，先证是等边三角形，得，，由得 ，证是等边三角形即可解答． 【详解】解：如图所示，连接交于点G， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共18分） 13. 分解因式：=______． 【答案】x（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解： = =x（x+2）（x﹣2）． 故答案为：x（x+2）（x﹣2）． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握a2-b2=（a+b）（a-b）是解题的关键． 14. 已知关于x的整式与的乘积中不含项和x项，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多项式与多项式的乘积，熟练掌握合并同类项是解题的关键． 将两整式相乘，展开后合并同类项，根据不含项和项，即对应项系数为零，列方程组求解和，再计算即可． 【详解】解： ， ， 由于乘积中不含项和项， 则, 解得, 因此， 故答案为：． 15. AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝12，AC＝8，则AD的取值范围是_____． 【答案】2＜AD＜10． 【解析】 【分析】求中线AD的取值范围可延长AD至点E，使AD＝DE，得出△ACD≌△EBD，进而在△ABE中利用三角形三边关系求解． 【详解】解：如图，延长AD至点E，使AD＝DE，连接BE， ∵AD是△ABC的边BC上的中线， ∴BD＝CD， 又∠ADC＝∠BDE，AD＝DE ∴△ACD≌△EBD， ∴BE＝AC， 在△ABE中，AB−BE＜AE＜AB＋BE，即AB−AC＜AE＜AB＋AC，12−8＜AE＜12＋8， ∴4＜AE＜20， ∴2＜AD＜10， 故答案为2＜AD＜10. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系，要注意掌握出现中点的辅助线一般应延长中线所在的直线构造全等三角形，这是一种非常重要的方法. 16. 如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线，交于点D，交于点E，连接BD．若，，，则的周长为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得：垂直平分，则，即可求解． 【详解】解：由题意可得：垂直平分，则， 的周长 故答案为： 【点睛】此题考查了垂直平分线的尺规作图以及性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质． 17. 如图，某市地铁站入口的闸机双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，那么两机箱之间的距离为____． 【答案】62 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角直角三角形，解题的关键是熟练运用含30度角的直角直角三角形的性质，本题属于基础题型．过点作于点，过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质即可求出与的长度，然后求出的长度即可得出答案． 【详解】解：过点作于点，过点作于点， ，， ，， 两机箱之间的最大宽度为． 故答案为：62． 18. 如图，已知，，点是射线上一动点（P与不重合），当以、、三点中某两点与点构成的三角形是等腰三角形时，的度数为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】分三种情况讨论（1）是等腰三角形（2）是等腰三角形（3）是等腰三角形，在此基础上再分别讨论三角形三条边中哪两条边相等，留下符合题意的情况． 【详解】解：（1）是等腰三角形： （i）， 由外角性质可求得， ， 又点在射线上， 点与点重合，与题意不符故舍去； （ii），如图所示， ∴， 则； （iii），如图所示， ∴， 则； （2）是等腰三角形： 三点共线， 不可能构成三角形，故舍去； （3）是等腰三角形： ， 有角的等腰是等边三角形， ， ， 示意图如下： 综上所述，或或． 三、解答 19. 计算与化简： （1）计算：． （2）化简：． （3）计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ． 20. 在等腰三角形中，，，．求的周长及的值 【答案】的周长为， 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系，利用三角形的三边关系验证是解答本题的关键． 分和22两种情况利用三角形的三边关系验证后求得等腰三角形的周长即可． 【详解】解：当时，，不能组成三角形； 当时，，可以组成三角形， 可得， 解得 的周长为． 21. 如图，在中，是中线，是边上的高，点F在上且，于点G （1）若，，求的度数； （2）若．求的长 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形性质推出，，进而推出，再结合垂线定义，以及直角三角形性质推出，进而即可求出的度数； （2）连接，设，利用三角形中线性质得到，再根据三角形等高，面积比等于底边之比，推出，，最后结合三角形面积公式求解，即可解题． 【小问1详解】 解：，， ， ， ， 是边上的高， ， ， ， ， 于点G， ， ． 【小问2详解】 解：连接， 设， 是中线， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得． 22. 如图，已知和，与交于点P，点C在上． （1）试说明：； （2）若．求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， 即． 在和中， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键． （1）由，推导出，而，即可根据证明，则； （2）由，求得，由全等三角形的性质得A，则，即可求得结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， ， ． ， ， ． 23. 如图所示，在平面直角坐标系中，点． （1）请在图中作出关于y轴对称的，并写出点的坐标； （2）求的面积； （3）已知P为x轴上一点，若的面积为8，求点P的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求． ； （2）7 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查作图﹣轴对称变换、坐标与图形、三角形的面积、绝对值方程等知识，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质确定点关于y轴对称的点，然后顺次连接即可完成作图，再直接读出点的坐标即可； （2）利用割补法求三角形的面积即可． （3）设点P的坐标为，根据题意可列绝对值方程为，求出a的值，即可确定点P的坐标． 【小问1详解】 解：由图可得，． 【小问2详解】 解：． 【小问3详解】 解：设点P的坐标为， ∵的面积为8， ∴，解得：或， ∴点P的坐标为或． 24. 如图，在中，分别是的高，在上取一点P，使，在的延长线上取一点Q，使，连接与． （1）求证：； （2）判断与的位置关系并证明你的结论． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∴， 在和中， ∴； （2） ，理由为： 由（1）得 ∴， 又， ∴， 则． 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）由同角的余角相等得到一对角相等，再由已知两对边相等，利用即可得证； （2）与垂直，理由为：根据（1）的结论得到，，利用等角的余角相等即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，， ．，． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． （1）已知实数x，y满足，求的值． （2）设a，b满足等式，求的值． 【答案】（1）的值为 （2）的值为 【解析】 【分析】（1）观察等式左边为平方差结构，将两个括号中共有的视为整体换元，结合平方的非负性求解； （2）观察所求式子与等式中两个括号内式子的关系，将视为整体换元，利用平方差公式简化计算，结合非负性求解． 【小问1详解】 解：设 ， 原方程变为， 整理得，  ，  ， ，， ，即，  ，  ； 【小问2详解】 解：设， 则，， 原等式变为 ， 整理得， ，  ， ，，  ，  ，即，  ， 即的值为． 26. 如图，已知：在中，，，将一块足够大的直角三角尺按如图放置，顶点Р在线段上滑动（且不与A、B重合），三角尺的直角边始终经过点C，并且与的夹角，斜边交于点D． （1）当______°，，此时______° （2）点Р在滑动时，当长为多少时，与全等，为什么？ （3）点Р在滑动时，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，直接写出夹角的大小；若不可以，请说明理由． 【答案】（1）30，30 （2） 当时，，理由如下： ，， ， 是的一个外角， ， ， ， ， 在和中， ， ； （3）或时，的形状可以是等腰三角形 【解析】 【分析】（1）根据内错角相等两直线平行得时，，等腰三角形的性质可得，根据三角形外角定理即可解决问题； （2）当时，与全等，理由为：根据，且度数，求出与度数，再由外角性质得到，根据，利用即可得证； （3）点P在滑动时，的形状可以是等腰三角形，分三种情况考虑：当；；，分别求出夹角的大小即可． 【小问1详解】 若，则， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：30，30； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 是等腰三角形，，， ①当时， ， 即， ； ②当时，是等腰三角形， ，即， ； ③当时，是等腰三角形， ， ，即， ， 此时点P与点B重合，点D和A重合， ∵点P不与A，B重合， ，舍去， 综合所述：当是等腰三角形时，或． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形外角定理，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $