精品解析：河南信阳市浉河中学2026-2027学年上学期开学自测试卷八年级数学

八年级数学 一、选择题（共10小题） 1. 直径为2个单位长度的半圆，从原点沿数轴向右无滑动地滚动到如图的位置，则点对应的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了半圆无滑动滚动的弧长计算与数轴对应关系，解题的关键是明确半圆仅沿弧长滚动时，水平移动距离等于半圆弧长． 半圆无滑动滚动半周时，其与数轴接触的弧长即为水平移动距离，无需额外增加直径长度；计算半圆弧长即可得到点对应的数． 【详解】解：已知半圆直径为，则半径， 半圆弧长为， 半圆无滑动滚动半周，水平移动距离等于半圆弧长， 因此点对应的数为， 故选：B． 2. 如果不等式的解集为，则a必须满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据解集的不等号方向改变，可判断x系数的正负，进而求解a的取值范围． 【详解】解：∵不等式的解集为，不等号方向发生改变， ∴， ∴． 3. 如果关于y的方程有正整数解，且关于x的不等式组的解集为，则所有符合条件的a的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解关于y的方程，根据y是正整数得到a的范围和性质，再解不等式组，根据已知解集确定a的取值范围，最后找出符合条件的整数a求和即可． 【详解】解：先解关于的方程 去分母得： 整理得： ∵为正整数 ，且为偶数，即，且为奇数，为整数， 再解不等式组 解第一个不等式得： 解第二个不等式得： ∵不等式组的解集为，根据同大取大原则，得 解得 综上可得，满足条件的满足，且为奇数，因此符合条件的整数为， 所有符合条件的的和为：． 4. 中国人是龙的传人，将龙视为文明象征、精神图腾．如图，将龙的剪纸图案放入平面直角坐标系中，它盖住的点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由图可知，龙的剪纸图案位于第三象限，  ∵第三象限内点的横坐标小于，纵坐标小于， ∴它盖住的点的坐标可能为 ． 5. 在平面直角坐标系中，某智能机器人从站点出发，按照“能源探测路线”依次经过探测点“”进行信号采集（每秒一条直角边）．已知，，，设第秒运动到点（为正整数），探测点的位置规律如图所示，，，是按规律摆放的等腰直角三角形，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过观察可知，每个点的横坐标比序号少2，纵坐标每6个点依次为：1，0，1，0，，0这样循环，即可得出答案． 【详解】解：由题意知，，，，，，， 观察可知，每个点的横坐标比序号少2，纵坐标每6个点依次为：1，0，1，0，，0这样循环， ∵， ∴点的坐标是． 6. 一小区门口升降杆如图所示，于点，当杆抬升到最高处时，，，那么此时的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】添加辅助线作平行线，根据平行线的性质求解角度即可． 【详解】解：过点作，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 7. 下列说法正确的有（ ） ①对顶角相等；②两条直线被第三条直线所截，所得的同位角相等； ③在同一平面内，不重合的两条直线若不相交，则必平行； ④若两个角不是对顶角，则这两个角一定不相等； ⑤同旁内角互补； ⑥经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【详解】解：①根据对顶角的性质得对顶角相等，故①正确； ②两条平行线被第三条直线所截，所得的同位角相等；故②不正确； ③在同一平面内，不重合的两条直线若不相交，则必平行；故③正确； ④例如两个直角不是对顶角，但这两个直角相等，故④不正确； ⑤两条平行线被第三条直线所截，所得的同旁内角互补，故⑤不正确； ⑥经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故⑥正确； 综上所述：正确的有①③⑥，共3个． 8. 如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、由折叠可知是的角平分线，故不符合题意； B、由折叠可知是的中线，故不符合题意； C、由折叠可知不是的高线，故不符合题意； D、由折叠可知是的高线，故符合题意． 9. 【传统文化】中华文明，上下五千载延绵不绝；甲骨惊世，跨越三千年历久弥新．安阳殷墟甲骨文成为对话世界的新地标．下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查图形的平移，根据平移前后图形的大小，形状和方向都不变，只是位置发生改变，进行判断即可． 【详解】解：∵平移前后图形的大小，形状和方向都不变，只是位置发生改变， ∴能用其中一部分平移得到的是：． 10. 在平面直角坐标系中，将横、纵坐标之和为6的点称为“幸运点”，已知点，现有以下结论： ①第一象限内有无数个“幸运点”； ②第三象限内不存在“幸运点”； ③若点是“幸运点”且在坐标轴上，则点到直线的距离为8； ④若点是“幸运点”且在第一象限或坐标轴上，将三角形的面积的最大值记为，最小值记为，则． ⑤若点是“幸运点”且在第二象限内，它的横坐标为，三角形的面积记为，则． 其中正确的有（ ） A. ①② B. ③④ C. ②③④⑤ D. ①②④⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】本题根据“幸运点”的定义即横纵坐标之和为6，结合平面直角坐标系中象限的坐标特征，点到直线的距离计算，三角形面积公式，逐一判断各结论即可． 【详解】∵ “幸运点”满足横纵坐标之和为6，即对任意“幸运点”，有 ① 第一象限内，满足的点有无数个，故①正确； ② 第三象限内， 则 ，不存在满足条件的点，故②正确； ③ ∵ ， ∴直线为，平行于y轴， ∵点是“幸运点”且在坐标轴上， 若在x轴，则，得，即 ，到的距离为 ； 若在轴，则，得，即 ，到的距离为； ∴点到直线的距离为或，故③错误； ④ ∵ ， ∴ ，平行于轴， 设 ，则，在第一象限或坐标轴上， 故，得， 三角形 的面积 ， 当最大为时，最大， ， 当最小为时，最小， ， ∴ ，故④正确； ⑤ ∵点在第二象限，横坐标为，是“幸运点”， ∴ 的纵坐标为 ， ， 整理得，故⑤正确； 综上，正确的结论为①②④⑤． 二、填空题（共5小题） 11. 下列说法中，正确的有________________________． ①三角形的中线、角平分线、高都是线段； ②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部； ③直角三角形只有一条高； ④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高所在的直线分别交于一点． 【答案】①④ 【解析】 【分析】根据三角形中线、角平分线、高的定义与性质，逐一判断各说法的正误，统计正确个数即可得到答案． 【详解】解：①：三角形的中线、角平分线、高都是两个端点确定的线段，三角形的中线是连接顶点与对边中点的线段；三角形的角平分线是指角平分线在三角形内部的部分，是线段；三角形的高是顶点到对边所在直线的垂线段．它们都是线段，因此①正确； ②：钝角三角形的两条高在三角形外部，直角三角形的两条高与直角边重合，并非所有高都在三角形内部，因此②错误； ③：直角三角形共有三条高，两条直角边本身就是两条高，斜边上还有第三条高，因此③错误； ④：三角形的三条角平分线、三条中线都分别交于三角形内部一点，而任意三角形的三条高所在的直线也都交于一点，因此④正确； 综上，正确的说法有①④共2个． 12. 定义：若三角形一条边上的高在三角形内部，且等于这条边长的一半，则称这个三角形为“半高三角形”．如图，在中，，，D为边上的一点．若为“半高三角形”，则的长为____． 【答案】2或 【解析】 【分析】过点A作，，设，则，，分情况讨论：①在中，当上的高在三角形内部，且等于的一半时，，可推得；②在中，当上的高在三角形内部，且等于的一半时，由和可推得；③在中，当上的高在三角形内部，且等于的一半时，D只能在P的左边，在中，，和可推得不满足，舍去． 【详解】解：如图，过点A作， ，， ， , 设，则，， 分情况讨论： ①在中，当上的高在三角形内部，且等于的一半时， , ，解得，即； ②在中，当上的高在三角形内部，且等于的一半时， ， ， ，解得，，即； ③在中，当上的高在三角形内部，且等于的一半时， 如图，当D在P的右边时，，上的高不在三角形内部， D只能在P的左边，如图，此时， ， ， 在中，， ，即， 化简得，，解得，不满足，舍去； 综上所述，或． 13. 如图，在中，D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积为________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了中点相关的面积问题，熟练掌握与中点相关面积的计算是解题的关键； 根据中点得到面积关系即可求得. 【详解】解：∵D为BC中点， ∴ 同理可得： ∴ ∵F是EC的中点， 故答案为：1 ． 14. 已知直线a，b，c在同一平面内，且，a与b之间的距离为，b与c之间的距离为，则a与c之间的距离是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况讨论直线的位置，分别计算得到与之间的距离. 【详解】解：分两种情况讨论： 当直线在，的外侧时， 已知与之间的距离为，与之间的距离为， 因此与之间的距离为. 当直线在，之间时， 已知与之间的距离为，与之间的距离为， 因此与之间的距离为. 综上，与之间的距离是或. 15. 如图，直线平行于，点是上一个动点，与距离等于线段长，，那么最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先以为边构造正方形，通过同角的余角相等推导等角，利用证明得到，再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半设线段长度，借助两点之间线段最短建立不等式，最后通过分式分母有理化化简，求出比值的最小值． 【详解】解：如图，以为边向点同侧构造正方形，过点作交于点，取中点为，连接、， 则与的距离为线段的长度，, ，， ， 又， 在和中， ， ∴， 设，则，， 在中，， ， ， ， 的最小值为． 三、解答题（共8小题） 16. 计算 （1）； （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）先计算算术平方根、立方根、去绝对值符号，再计算加减可得； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：， 解①得：， 解②得：， ∴． 在数轴上表示略． 17. 为提倡节约用水，自来水公司实行民用水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行加价收费．为更好地决策，自来水公司随机抽取部分用户的用水量数据，并绘制了如下不完整的统计图（每组数据包括右端点但不包括左端点），请你根据统计图解答下列问题： （1）此次调查共抽取______户用户的用水量数据，扇形统计图中“吨”部分的圆心角为______度． （2）补全频数直方图． （3）如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，请估计该地区150万用户中享受基本价格的用户数． 【答案】（1）100； （2）如图，频数直方图如下： （3）万 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体； （1）根据统计图可知“10吨吨”的用户10户占，从而可以求得此次调查抽取的户数；求出“吨”部分用户所占百分比即可求得圆心角度数； （2）根据统计图的信息求出“15吨吨”部分用户人数，然后补全图形即可； （3）先求出样本中享受基本价格的用户数，然后用样本估计总体即可． 解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 【小问1详解】 解：由统计图可得， （户） 即此次调查抽取了100户的用水量数据； 扇形统计图中“吨”部分的圆心角为： 故答案为：100； 【小问2详解】 （吨）； 【小问3详解】 由题意可得， （万人） 即该地区150万用户中享受基本价格的用户数有万． 18. 若一个正整数，它的各位数字是左右对称的，则称这个数是优雅数．如33，262，45654都是优雅数，最小的优雅数是11，但没有最大的优雅数，因为位数是无穷的． （1）若将任意一个四位优雅数分解为前两位数字表示的数和后两位数字表示的数，请你证明：这两个数的差一定能被9整除； （2）设一个三位优雅数为（），它与各数位上数字之和的差能被11整除，且该优雅数与11相乘后得到一个四位数，且该四位数各位数字之和为8，求这个三位优雅数． 【答案】（1）证明：设四位优雅数分解为前两位数字所表示的数为，则后两位数字所表示的数为， 由题意， ∵为整数， ∴是整数， ∴一定能被9整除， ∴这两个数的差一定能被9整除； （2）202 【解析】 【分析】（1）设四位优雅数分解为前两位数所表示的数为，用a、b的代数式表示这两个数的差即可解决问题； （2）设这个三位优雅数为，由题意，根据整除的定义解答即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵这个三位优雅数为， ∴由题意， ∵所得的结果能被11整除， ∴为整数， ∵为整数，且， ∴是整数， ∴，a有9种可能， ∴满足条件的三位优雅数共有9个，分别是101，202，303，404，505，606，707，808，909； 计算得只有202满足与11相乘后得到一个四位数且该四位数各位数字之和为8，， ∴这个三位优雅数是202． 19. 设的三边长是，周长是x，其中． （1）直接写出c及x的取值范围； （2）当c为奇数时，求x的最大值和最小值； （3）若x为小于18的偶数，试判断的形状． 【答案】（1）， （2）最大为19，最小为13 （3）是等腰三角形 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，三角形的分类等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． （1）利用三角形三边关系进而得出c的取值范围，进而得出答案； （2）根据奇数的定义和x的取值范围，可求解； （3）根据偶数的定义，以及x的取值范围即可求的值，利用等腰三角形的定义得出即可． 【小问1详解】 ， ， ， 周长x的取值范围为，即； 【小问2详解】 为奇数，， ∴c最大为9，最小为3， 最大为．最小为； 【小问3详解】 周长为小于18的偶数， 或． 当x为16时，；当x为14时．． 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 综上所述，是等腰三角形． 20. 按要求，画出图形并回答问题： （1）在下列三角形中，分别画出边上的高． （2）在方格纸中，过点C画线段的垂线，垂足为D，并量出C点到线段所在的直线的距离． 【答案】（1）如下图，即是要画的边上的高． （2） C点到线段所在的直线的距离是线段的长度，为． 【解析】 【分析】（1）画三角形的高关键是从对顶点向边（或延长线）作垂线，钝角三角形的高会落在图形外面． （2）点到直线的距离指垂线段的长度，不是线段本身，作图后测量垂线段即可得到结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 为迎接校园文化艺术节，浉河中学举办了“青春绘梦，艺彩飞扬”绘画比赛，并购买了A、B两种徽章作为奖品．已知购买2个A种徽章和3个B种徽章需156元；购买4个A种徽章和5个B种徽章需284元． （1）求每个A种徽章和每个B种徽章的价格各是多少元？请按如下分析写出解答过程： 解：设每个A种徽章的价格是x元，每个B种徽章的价格是y元，根据题目中的数量关系，列方程组：_______________． 解这个方程组，得_______________， 答：___________________________ （2）浉河中学计划购进A、B两种徽章共60个，已知购进的A种徽章数不少于B种徽章数的2倍，且总费用不超过2000元，那么购进A种徽章多少个？ 【答案】（1）；；每个A种徽章的价格是36元，每个B种徽章的价格是28元 （2）40个 【解析】 【分析】（1）设每个A种徽章的价格是x元，每个B种徽章的价格是y元，根据购买2个A种徽章和3个B种徽章需156元；购买4个A种徽章和5个B种徽章需284元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进A种徽章m个，则购进B种徽章个，根据购进的A种徽章数不少于B种徽章数的2倍，且总费用不超过2000元，列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【小问1详解】 解：设每个A种徽章的价格是x元，每个B种徽章的价格是y元， 根据题目中的数量关系，列方程组：， 解得：， 答：每个A种徽章的价格是36元，每个B种徽章的价格是28元； 【小问2详解】 解：设购进A种徽章m个，则购进B种徽章个， 根据题意得：， 解得：， ∴不等式组的解集为， 答：购进A种徽章40个． 22. （1）如图1，图中共有三角形 个；如图2，若增加一条线，则图中共有三角形 个； （2）如图3，若增加到10条线，请你求出图中的三角形的个数． 【答案】（1）10；24；（2）个 【解析】 【分析】（1）根据三角形的定义，三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形来判断图1和图2中三角形的个数即可； （2）通过数三角形的个数可知，图1中有10个三角形，图2中，增加一条线后三角形的个数为，增加2条线后，三角形的个数为，增加3条线后，三角形的个数为，依次类推即可推出增加条线后，三角形的个数，据此即可得到增加10条线后三角形的个数． 【详解】解：（1）根据三角形的定义可得图1中三角形个数为10； 根据三角形的定义可得图2中三角形个数为24； （2）增加1条线，三角形个数为：； 增加2条线，三角形个数为：； 增加3条线，三角形个数为：； 则增加条线，三角形个数为：， 所以增加10条线，三角形个数为个； 【点睛】本题考查了三角形的定义，列代数式，列整式，找规律等知识点，解答本题的关键是根据增加线段的数量找出增加三角形的个数与增加线段的关系． 23. 在平面直角坐标系中如图1，点的坐标为，点的坐标为，且满足，将线段平移至线段，点的对应点在轴上，点的对应点． （1）直接写出 （2）若点在轴上且满足，求点的坐标． （3）如图2，点为线段上一点，点为线段上一点，点为线段上一点，和的平分线交于点，试探究和之间的数量关系，并说明理由． （4）如图3，过点作直线轴，点为直线上一点，若的面积为12，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3） 解：当点E在直线左侧时，；当点E在直线右侧时，；理由如下： 设， ∵和的平分线交于点， ∴； 如图所示，当点E在直线左侧时，过点H作， 由平移的性质可得， ∴ ∴， ∴； 同理可得； ∵， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点E在直线右侧时， 同理可得， ， ∴； 综上所述，当点E在直线左侧时，；当点E在直线右侧时，； （4）或 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b的值得到点A和点B的坐标，则可判断出平移方式，进而可得c的值； （2）求出的面积，得到的面积，根据三角形的面积公式求出的长，即可得到答案； （3）分两种情况：点E在直线左侧和点E在直线右侧，画出示意图讨论求解即可； （4）根据（1）可求出点D的坐标，再分三种情况：点E在y轴左侧，点E在y轴右侧，且在直线的左侧，点E在直线的右侧，分别画出示意图讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵将线段平移至线段，点的对应点在轴上，点的对应点， ∴平移方式为向右平移4个单位长度，向上平移2个单位长度， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得点的坐标为，点的坐标为，点C的坐标为， ∴，， ∴， ∵点在轴上且满足， ∴， ∴， ∴， ∴点P的纵坐标为或点P的纵坐标为， ∴点P的坐标为或； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：由（1）可得点D的坐标为； 如图所示，当点E在y轴左侧时，连接， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点E的坐标为； 如图所示，当点E在y轴右侧，且在直线左侧时，连接， 此时 ，不符合题意； 如图所示，当点E在直线右侧时，连接， 此时 ， ∴， ∴点E的坐标为； 综上所述，点E的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 一、选择题（共10小题） 1. 直径为2个单位长度的半圆，从原点沿数轴向右无滑动地滚动到如图的位置，则点对应的数是（ ） A. B. C. D. 2. 如果不等式的解集为，则a必须满足的条件是（ ） A. B. C. D. 3. 如果关于y的方程有正整数解，且关于x的不等式组的解集为，则所有符合条件的a的和为（ ） A. B. C. D. 4. 中国人是龙的传人，将龙视为文明象征、精神图腾．如图，将龙的剪纸图案放入平面直角坐标系中，它盖住的点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，某智能机器人从站点出发，按照“能源探测路线”依次经过探测点“”进行信号采集（每秒一条直角边）．已知，，，设第秒运动到点（为正整数），探测点的位置规律如图所示，，，是按规律摆放的等腰直角三角形，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 一小区门口升降杆如图所示，于点，当杆抬升到最高处时，，，那么此时的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的有（ ） ①对顶角相等；②两条直线被第三条直线所截，所得的同位角相等； ③在同一平面内，不重合的两条直线若不相交，则必平行； ④若两个角不是对顶角，则这两个角一定不相等； ⑤同旁内角互补； ⑥经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 8. 如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（ ） A. B. C. D. 9. 【传统文化】中华文明，上下五千载延绵不绝；甲骨惊世，跨越三千年历久弥新．安阳殷墟甲骨文成为对话世界的新地标．下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，将横、纵坐标之和为6的点称为“幸运点”，已知点，现有以下结论： ①第一象限内有无数个“幸运点”； ②第三象限内不存在“幸运点”； ③若点是“幸运点”且在坐标轴上，则点到直线的距离为8； ④若点是“幸运点”且在第一象限或坐标轴上，将三角形的面积的最大值记为，最小值记为，则． ⑤若点是“幸运点”且在第二象限内，它的横坐标为，三角形的面积记为，则． 其中正确的有（ ） A. ①② B. ③④ C. ②③④⑤ D. ①②④⑤ 二、填空题（共5小题） 11. 下列说法中，正确的有________________________． ①三角形的中线、角平分线、高都是线段； ②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部； ③直角三角形只有一条高； ④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高所在的直线分别交于一点． 12. 定义：若三角形一条边上的高在三角形内部，且等于这条边长的一半，则称这个三角形为“半高三角形”．如图，在中，，，D为边上的一点．若为“半高三角形”，则的长为____． 13. 如图，在中，D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积为________． 14. 已知直线a，b，c在同一平面内，且，a与b之间的距离为，b与c之间的距离为，则a与c之间的距离是_____． 15. 如图，直线平行于，点是上一个动点，与距离等于线段长，，那么最小值为______． 三、解答题（共8小题） 16. 计算 （1）； （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 17. 为提倡节约用水，自来水公司实行民用水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行加价收费．为更好地决策，自来水公司随机抽取部分用户的用水量数据，并绘制了如下不完整的统计图（每组数据包括右端点但不包括左端点），请你根据统计图解答下列问题： （1）此次调查共抽取______户用户的用水量数据，扇形统计图中“吨”部分的圆心角为______度． （2）补全频数直方图． （3）如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，请估计该地区150万用户中享受基本价格的用户数． 18. 若一个正整数，它的各位数字是左右对称的，则称这个数是优雅数．如33，262，45654都是优雅数，最小的优雅数是11，但没有最大的优雅数，因为位数是无穷的． （1）若将任意一个四位优雅数分解为前两位数字表示的数和后两位数字表示的数，请你证明：这两个数的差一定能被9整除； （2）设一个三位优雅数为（），它与各数位上数字之和的差能被11整除，且该优雅数与11相乘后得到一个四位数，且该四位数各位数字之和为8，求这个三位优雅数． 19. 设的三边长是，周长是x，其中． （1）直接写出c及x的取值范围； （2）当c为奇数时，求x的最大值和最小值； （3）若x为小于18的偶数，试判断的形状． 20. 按要求，画出图形并回答问题： （1）在下列三角形中，分别画出边上的高． （2）在方格纸中，过点C画线段的垂线，垂足为D，并量出C点到线段所在的直线的距离． 21. 为迎接校园文化艺术节，浉河中学举办了“青春绘梦，艺彩飞扬”绘画比赛，并购买了A、B两种徽章作为奖品．已知购买2个A种徽章和3个B种徽章需156元；购买4个A种徽章和5个B种徽章需284元． （1）求每个A种徽章和每个B种徽章的价格各是多少元？请按如下分析写出解答过程： 解：设每个A种徽章的价格是x元，每个B种徽章的价格是y元，根据题目中的数量关系，列方程组：_______________． 解这个方程组，得_______________， 答：___________________________ （2）浉河中学计划购进A、B两种徽章共60个，已知购进的A种徽章数不少于B种徽章数的2倍，且总费用不超过2000元，那么购进A种徽章多少个？ 22. （1）如图1，图中共有三角形 个；如图2，若增加一条线，则图中共有三角形 个； （2）如图3，若增加到10条线，请你求出图中的三角形的个数． 23. 在平面直角坐标系中如图1，点的坐标为，点的坐标为，且满足，将线段平移至线段，点的对应点在轴上，点的对应点． （1）直接写出 （2）若点在轴上且满足，求点的坐标． （3）如图2，点为线段上一点，点为线段上一点，点为线段上一点，和的平分线交于点，试探究和之间的数量关系，并说明理由． （4）如图3，过点作直线轴，点为直线上一点，若的面积为12，直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $