河南开封市求实中学2026-2027学年上学期八年级数学开学自测

**基本信息** 初二年级开学检查数学试卷，以马年春晚纹样、闸机双翼等文化与生活情境为载体，融合几何直观、推理能力与模型意识，检测前阶段知识掌握与核心素养发展，适配开学学情诊断。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12题42分|轴对称、全等三角形判定、平方差公式|第1题结合春晚纹样考轴对称（文化传承），第9题动点问题考全等分类讨论（能力提升）| |填空题|6题18分|因式分解、中线取值范围、尺规作图|第17题闸机双翼距离计算（生活情境），第18题等腰三角形动态分类（创新应用）| |解答题|7题40分|换元法、动态几何、全等证明|第25题以换元法为载体考代数转化（数学思维），第26题三角尺滑动考等腰三角形存在性（几何直观）|

初二年级第一学期开学检查数学试卷 一.选择题 (每小题3分，共42分) 1.纹样承载着中华民族数千年的历史沉淀与文化传承，2026年丙午马年春晚的标识巧妙融合了云纹、回纹等经典元素.下面纹样中，是轴对称图形的是( ) 2.下列计算正确的是( A. a⁶÷ 2a²-a 3.下列从左到右的变形，是因式分解的是 ( ) C. (y+1) (3-y) == - (y+1)(y-3) 4.如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是△ABC的( ) A.中线、角平分线、高线 B.高线、中线、角平分线 C.角平分线、高线、中线 D.角平分线、中线、高线 5.下列各式中，不能用平方差公式计算的是 ( ) A. (2m-3n)(2m+3n) B.(a-b)(a+b) C.(-a-b)(b-a) D. (-3a+b)(3a-b) 6.下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是( ) A.两条直角边分别相等 B.斜边和一个锐角分别相等 C.两个锐角分别相等D.斜边和一条直角边分别相等 7. 如图, 已知AD是△ABC的中线,E,F分别是AD和AD延长线上的点,连接BF,CE,且BF//CE, 有下列说法: ①BD=CD; ②∠BAD=∠CAD; ⑧△BDF≌△CDE; ④CE=AE;⑤∠BAF+∠ABC+∠ECB =∠AEC.其中正确的是 A.①②③ B.①②⑤ C.①③⑤ D.①③④ 8. 如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,点D,P 分别是图中所作直线和射线与AB,CD的交点.根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是( ) A. ∠ABP=∠CBP B. AD=CD C. ∠DPB=65° D. ∠PBC=∠PCB 9. 如图,在长方形ABCD的中, 已知AB=6cm,BC=10cm, 点P 以4cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q以 acm/s的速度由点C向点D 运动，若以A，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，则a的值为( A. 4或 B. 6 C.或1 D. 4 10.如图所示是4个相同的小正方形，则图中∠1+∠2+∠3的度数是( ) A,130° B 145° C.135° D. 150° 11. 如图, Rt△ABC中, ∠ACB=90°, D为△ABC内一点, 满足AD=AC, BD=CD, 则下列结论一定成立的是( ) A. ∠CAD=2∠CBD B. ∠ADC=2∠ABD C. ∠ABD=2CBD, D.∠ADC=2∠ABC 12. 如图, 在四边形ABCD中,AB=AD=12, BC=DC,∠A=60°,点E在边AD上, CE∥AB, 连接BD, 交CE于点 F. 若CE=7, 则EF的长为( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 二.填空题 (每小题3分，共18分) 13.分解因式： 14.已知关于x的整式 与x-2的乘积中不含x²项和x项,则 mn= . 15. 已知AD是△ABC的边BC上的中线,AB=12,AC=8,则中线AD 的取值范围是 16.如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC 长为半径画弧，两弧相交于点 M、N. 作直线MN,交AC于点D,交BC 于点E,连接BD. 若AB=7,AC=12,BC=6,则△ABD的周长为_____. 17.如图，某市地铁站入口的闸机双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC=BD=52cm，且与闸机侧立面夹角∠FPCA=∠BDQ=30°,那么两机箱之间的距离CD为 cm. 18. 如图, 已知∠AOB=30°, ∠ABM=60°, 点P是射线OM 上一动点(P 与B不重合),当以A、O、B三点中某两点与P 点构成的三角形是等腰三角形时，∠OAP 的度数为 三.解答 19. (9分)(1) 计算: (2) 化简: (9分) 20. 在等腰三角形ABC中, AB=22, BC=10, AC=2m+2, 求m的值和▲ABC的周长 (6分) 21.如图,在 Rt▲A B C中∠BAC=90°,AD 是中线,AE 是边 BC上的高,点F 在 AD 上且AF=3DF,FG⊥BC 于点 G (9分) (1)若∠B=∠BAD,∠C=60°,求/∠DFG 的度数; (2)若 AE=8.求 FG 的长 22. 如图所示, 已知△ABC和△ADE,AB=AD, ∠BAD=∠CAE, ∠B=∠D,AD与BC交于点 P, 点C在 DE上. (8分) (1) 求证: BC=DE; (2) 若∠B=30°, ∠APC=70°. 求∠E的度数. 23. 如图所示, 在平面直角坐标系中, 点A (1, 2), B (3, 0), C (6, 4). (8分) (1)请在图中作出 关于y轴对称的 并写出点A',B',C'的坐标； (2) 求 的面积： (3)已知P为x轴上一点，若 的面积为8，直接写出点 P 的坐标. 24. 如图, 在△ABC中, BD, CE是 的高，在BD 上取一点 P，使BP=AC,在CE的延长线上取一点 Q，使(CQ=AB,连接AQ与AP.(8分) (1)求证: (2)判断AP 与AQ 的位置关系，并证明你的结论. 25.阅读下列材料：已知实数m，n满足 试求 的值. 解：设 则原方程变为(t+1)(t-1) =80,整理得 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化. 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程. (1)已知实数x，y满足 求 的值. (2) 设a, b满足等式 则 的值.(8分) 26. 如图, 已知在△ABC中,AC=BC=4, ∠ACB=120°, 将一块足够大的直角三角尺PMN(∠M=90°,∠MPN=30°) 按如图放置,顶点P在线段AB 上滑动(且不与A、B 重合),三角尺的直角边 PM始终经过点C，并且与CB的夹角∠PCB=α，斜边 PN交AC于点D. (1) 当α= .°, PN∥BC, 此时∠APD= °; (2) 点 P 在滑动时,当AP长为多少时,△ADP与△BPC全等,为什么? (3)点P在滑动时，△PCD的形状可以是等腰三角形吗?若可以，直接写出夹角α的大小；若不可以，请说明理由.(10分) 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二年级第一学期开学检查数学试卷参考答案 一.选择题 (每小题3分，共42分) 1.C 2.D 3.B 4.C 5.D 6.C 7.C 8.D 9.A 10.C 11.A 12.B 二.填空题 (每小题3分，共18分) 13. 14.-8 15.2<AD<10 16.19 17.62 18.300或750或900或1200 三.解答题 (共60分) 19.(1) = (2) = = 20.解：AC不可能是10，因为10+10<22,所以AC=22 2m+2=22 m=10,周长22+10+22=54 21.解：(1)因为在 Rt△ABC 中， ∠BAC=90∘， ∠C=60∘，所以 ∠B=90∘−60∘=30∘， 所以 ∠B=∠BAD=30∘， 所以 ∠ADB=180∘−30∘−30∘=120∘， 所以 ∠FDG=60∘， 因为 FG⟂BC， 所以 ∠FGD=90∘， 所以 ∠DDFG=30∘； (2)如解图，连接 BF，设 CD=a，则 BD=CD=a， S△ADC=12CD·AE=12×a×8=4a， 因为 AD 是中线， 所以 S△ADB=S△ADC=4a， 因为 AF=3DF。 所以 S△BDF=14S△ADB=14×4a=a, 所以 S△BDF=12BD·FG=12a·FG=a, 所以FG=2. 22.(1)证明：∵ ∠BAD = ∠CAE, ∴ ∠BAD + ∠DAC = ∠CAE + ∠DAC, 即 ∠BAC = ∠DAE, 在△BAC和△DAE 中, ∴△BAC△DAE (ASA), ∴BC=DE; (2) ①解：∵ ∠B=30∘, ∠APC=70∘, ∴∠BAP=∠APC−∠B=70∘−30∘=40∘, ∴∠CAE=40∘, ∵△BAC≅△DAE, ∴AC=AE, ∴∠ACE=∠E=12×180∘−∠CAE= 12×180∘−40∘=70∘. 23.解: (I)如图, △A'B'C'即为所求 . 由图可得, A'(-1, 2), B'(-3, 0), C'(-6,4) . (Ⅱ)△A'B'C'|的面积为 12×2+4×5−12×2×2−12×3×4=15-2-6=7 . (Ⅲ)沿点P的坐标为由图可得，A'(-1,2),B'(-3,0),C'(-6,4). (Π)△A′B′C′的面积为 12×2+4×5−12×2×2−12×3×4=15-2-6=7. (Ⅲ)设点P的坐标为(m, 0), ∵△ABP的面积为8, ∴12×∣m−3∣×2=8, 解得m=11或-5, ∴点P的坐标为(11, 0)或(-5, 0) . 24.解: (1)∵∠ADB=∠AEC=90°, ∴∠ABP+∠BAD=90°, ∠ACE+∠CAE=90°, ∴∠ABP=∠QCA, 在△ABP和△QCA中, {BP=AC∠ABP=∠QCA,CQ=AB ∴△ABP≌△QCA(SAS); (2)AP⊥AQ, 理由为: 由(1)得∠BAP=∠Q, ∠Q+∠QAE=90°, ∴∠BAP+∠QAE=90°, 则AQ⊥AP. 25.解:(1)设 则原方程变为(a+3)(a-3)=27，整理得 (2)设 (m-8)(m+10)=0 =8 =-10 -10舍去 ∴9 答： 2a2+b2+1的值为9. 26.解:(1)30 30 (2)当AP=4时,△ADP≌△BPC.理由如下: ∵∠ACB=120°,AC=BC, ∴∠A=∠B=30°. ∵∠APC是△BPC的一个外角, ∴∠APC=∠B+α=30°+α. ∵∠APC=∠DPC+∠APD=30°+∠APD, ∴∠APD=α. 又AP=BC=4, ∴在△ADP和△BPC中, ∴△ADP≌△BPC(ASA). (3)点P在滑动时，△PCD的形状可以是等腰三角形,此时α=α=15°或45°或90°. 学科网（北京）股份有限公司 $