第二十四章 一元二次方程（复习课件）数学新教材冀教版九年级上册

该初中数学一元二次方程复习课件系统梳理了概念、解法、根的判别式、根与系数关系及应用等核心知识，通过知识图谱将定义、四种解法、判别式、韦达定理与实际问题串联，构建完整知识网络，体现各知识点内在逻辑联系。 其亮点在于采用“考点串讲-题型全解-针对训练”分层模式，如题型全解从定义辨析到综合应用，针对训练设计增长率、面积等实际问题，培养抽象能力、运算能力和模型意识。这种设计让不同水平学生收获提升，教师能精准把握学情，提高复习针对性。

第二十四章 一元二次方程 复习课件 冀教版·九年级数学上册（新教材） 复习内容导览 1 复习目标 2 重点难点 3 知识图谱 4 考点串讲 5 题型全解 6 针对训练 7 课堂总结 复习内容导览 单元复习目标 01 识别一元二次方程；识别一元二次方程的二次项、一次项、常数项；判别方程是不是一元二次方程；理解一元二次方程根的含义；认识根的判别式。 02 工具掌握 会把一元二次方程化成一般形式；熟练掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程；会用判别式判断一元二次方程根的情况；会用韦达定理求两根之和、两根之积。 深化理解 理解配方法的转化思想；理解求根公式推导过程；理解根与系数的关系推导；能根据实际问题对方程的根进行取舍。 思想与应用 体会降次转化的数学思想；会列一元二次方程解决增长率、面积、销售利润等实际问题；能结合实际情境检验方程解的合理性。 概念识别 03 04 基础达标 能力提升 素养目标 3 单元重点难点 重 点 难 点 重点 1.配方法的原理，二次项系数不为 1 时的配方变形； 2.根据方程特点，灵活选择恰当的方法解一元二次方程； 3.根的判别式、根与系数关系的综合运用； 4.从实际问题中抽象等量关系，列出一元二次方程； 5.实际问题中对方程解的取舍，结合现实条件检验根的合理性。 1.理解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，识别二次项、一次项、常数项及对应系数； 2.熟练掌握解一元二次方程的三种解法：配方法、公式法、因式分解法； 3.掌握根的判别式，会判断一元二次方程实数根的情况；4.掌握一元二次方程根与系数（韦达定理）的关系，会利用关系进行简单计算； 5.能建立一元二次方程模型，解决增长率、面积、营销利润等实际应用问题，并会检验结果是否符合实际意义。 4 知识图谱 一元二次方程 一元二次方程的解 解一元二次方程 公式法 因式分解法 一元二次方程根的判别式 配方法 一元二次方程根与系数的关系 实际问题 检验 5 考点串讲 ——1：一元二次方程的定义 1.定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． 6 考点串讲 ——1：一元二次方程的定义 2.一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式 ().这种形式叫一元二次方程的一般形式． () 二次项 一次项 常数项 叫作二次项系数 叫作一次项系数 叫作常数项系数 只要满足即可，可以为任意实数.即一元二次方程可以没有一次项和常数项。 7 考点串讲 ——1：一元二次方程的定义 3.一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解． 这，是一元二次方程的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． 8 考点串讲 ——2：解一元二次方程 1.直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤: （1）移项，将方程变成左边是未知数的平方，右边是非负数的形式（形如）； （2）开平方，将方程化为两个一元一次方程（降次）； （3）解这两个一元一次方程，得一元二次方程的两个根. 9 注意： ①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 归纳总结 考点串讲 ——2：解一元二次方程 10 考点串讲 ——2：解一元二次方程 2.配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 用配方法解一元二次方程的一般步骤: ①把原方程化为的一般形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 11 考点串讲 ——2：解一元二次方程 3.公式法：一般地，对于一元二次方程，如果，那么方程的两个根为 , 即.将一元二次方程的系数的值直接代入上式求得方程的根的方法叫作公式法。 其中，式子叫作求根公式. 式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“”来表示. 12 对于一元二次方程： 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根. 归纳总结 考点串讲 ——2：解一元二次方程 13 考点串讲 ——2：解一元二次方程 使用公式法求解一元二次方程的步骤： (1) 把方程化为一般形式，确定 的值，必须包含符号； (2) 求出 的值； (3) 若，把 及 的值代入一元二次方程的求根公式，求出方程的根；若 ，此时方程无实数解. 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个： ． 14 考点串讲 ——2：解一元二次方程 4.因式分解法：把一元二次方程的一边化为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，进而转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根的方法，叫作因式分解法。 ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 原理：如果，那么. 使用因式分解法求解一元二次方程的步骤： 15 5.方法的选用 考点串讲 ——2：解一元二次方程 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 因式分解法 配方法 公式法 x2 = a 或 (mx + n)2 = a (m ≠ 0，a ≥ 0) 一边化为 0，另一边易分解成两个一次因式的积的一元二次方程(有公因式可提取或缺项等). 所有的一元二次方程，但二次项系数为 1，一次 项系数为偶数的一元二次方程解起来较简单. 所有的一元二次方程. 配方法和公式法是通用方法，但计算量可能较大。对于不同方程，先观察，选用合适的方法。 16 考点串讲 ——3：一元二次方程根与系数的关系 1.根与系数的关系（韦达定理）:如果一元二次方程的两根为，那么. 求一元二次方程两根之和与两根之积的步骤： (1) 一化：把方程化为一般形式； (2) 二找：确定系数的值； (3) 三判：计算的值，判断方程是否有实数根； (4) 四算：若方程有实数根，则根据根与系数的关系计算. 17 考点串讲 ——4：一元二次方程的应用 1.列方程解决实际问题的一般步骤是:审清题意，设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为，十位数是，则这个两位数表示为． （2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是，每次增长的百分率为，则第一次增长后为；第二次增长后为，即原数×（1+增长百分率）2=后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． 18 列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程. 归纳总结 考点串讲 ——4：一元二次方程的应用 19 题型全解 题型01 一元二次方程的定义 例1 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【解析】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、当时，不是一元二次方程，不符合题意； C、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 20 题型全解 例2 关于x的方程是一元二次方程，则为__________． 【解析】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴ ∴． 3 题型01 一元二次方程的定义 21 题型全解 方法总结 总结1：一元二次方程定义 ①定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程。②一般形式： 总结2：一元二次方程求参数题型 解题规则：①二次项系数；②未知数最高次数等于2。 做题两步：根据次数条件列等式，求出参数候选值；代入检验二次项系数不为0，舍去使的解。 题型01 一元二次方程的定义 题型全解 题型02 一元二次方程的解 例3 若，则一元二次方程的一个根为 _____． 【解析】解：将代入， 得， ， 当时，成立， 根据一元二次方程的解的定义，可知该一元二次方程一定有一个根为2． 2 23 题型全解 例4若关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则一元二次方程必有一个实数根为___________． 【解析】解：∵， ∴， 设， 则方程可化为 ∵关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴， ∴， ∴一元二次方程必有一个实数根为． 2027 题型02 一元二次方程的解 24 题型全解 方法总结 总结1：一元二次方程的解 代入法：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫方程的根。 总结2：利用方程的解求参数题型 解题规则： ①把方程的解代入原方程； ②化简计算，求解参数的值。 题型02 一元二次方程的解 题型全解 题型03 配方法解一元二次方程 例5 将一元二次方程配方，得到方程，其中“”表示的数为（     ） A．16 B．4 C．2 D．1 【解析】解：∵ 对一元二次方程配方时，需要给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，原方程中一次项系数为， ∴ 一次项系数一半的平方为 ，因此表示的数为. 4 26 题型全解 例6用配方法解方程 (1)； (2)． 【解析】（1）解： ， ， ， ， ， . （2）解： ， ， ， ， ，． 题型03 配方法解一元二次方程 27 题型全解 方法总结 总结1：配方法解方程原理 核心：把一元二次方程转化为的完全平方形式，再开平方求解。 总结2：配方法解题题型 解题规则： ①二次项系数化为1； ②常数项移到右边，两边同时加上一次项系数一半的平方。 题型03 配方法解一元二次方程 题型全解 题型04 公式法解一元二次方程 例7 方程的解为（  ） A． B． C． D．以上结论都不对 【解析】解：∵原方程为， 展开左边得， 整理为标准形式得， 计算判别式得， 由求根公式得方程的解为，该解不等于或， ∴选项A，B，C都错误，故选D． D 29 题型全解 题型05 利用根的判别式判断根的情况 例8 已知关于的一元二次方程，下列说法中正确的个数有（     ） ①若，则方程总有实数根； ②若，则方程有两个相等的实数根； ③若，则方程无实数根； ④若，则方程总有实数根． A．个 B．个 C．个 D．个 C 30 题型全解 题型05 利用根的判别式判断根的情况 【解析】解：∵一元二次方程的根的判别式为， ①当时，， 若，则，此时方程无实数根，故①错误； ②当时，，此时方程有两个相等的实数根，故②正确； ③当时，， ∵， ∴， ∴，此时方程无实数根，故③正确； ④当时，， 此时方程总有实数根，故④正确； 综上所述，正确的个数有个． 31 题型全解 方法总结 总结1：公式法解一元二次方程 (1) 把方程化为一般形式，确定 的值，必须包含符号； (2) 求出 的值； (3) 若，把 及 的值代入一元二次方程的求根公式，求出方程的根；若 ，此时方程无实数解. 总结2：根的判别式判断根的情况题型 解题规则： ①计算； ②根据Δ的正负，判断方程实数根的个数。 题型05 利用根的判别式判断根的情况 题型全解 例9 对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为____________． 【解析】解：由题意得， 方程两边同乘最简公分母，得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得，， 经检验，当和时，且，均为原方程的解． 或 题型06 因式分解法解一元二次方程 33 题型全解 方法总结 总结1：因式分解法解方程原理 若，则或。 总结2：因式分解法解题题型 解题规则： ①方程右边化为 0； ②左边因式分解成两个一次因式相乘。 题型06 因式分解法解一元二次方程 题型全解 例10 已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（     ） A．3 B．4 C．5 D．15 【解析】解：∵是一元二次方程的根， ∴，即， ∵，是方程的两个根， ∴由根与系数的关系可得，， ∴ ． 题型07 根与系数的关系 35 题型全解 方法总结 总结1：根与系数的关系（韦达定理） 如果一元二次方程的两根为，那么. 总结2：根与系数关系应用题型 解题规则： ①确认Δ≥0方程才有实根； ②变形代数式，整体代入两根和与两根积计算 题型07 根与系数的关系 题型全解 例11 黄河入海，万鸟齐飞．东营黄河口湿地作为“鸟类国际机场”，秋冬观鸟热潮持续升温，东方白鹳主题文创销量节节攀升．某文创店月“东方白鹳”挂件销量为万件，月销量达万件．若每月的增长率相同，则这款挂件销量的月平均增长率为________． 【解析】设这款挂件销量的月平均增长率为， 根据题意列方程得：， ∴， 解得，（舍去）， ∴这款挂件销量的月平均增长率为． 题型08 一元二次方程的应用 37 题型全解 例12 南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？其大意是：一块长方形田地的面积为平方步，宽比长小步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？若设长方形的长为步，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【解析】解：∵设长方形的长为步，宽比长小步， ∴宽为步， ∵长方形面积为平方步，且长方形面积长宽， ∴可得方程． 题型08 一元二次方程的应用 38 题型全解 例13 山西某品牌老陈醋改进了包装，采用标志性的古建筑作为主视觉元素，直观传递山西地域文化底蕴．某特产店购入的新款包装的老陈醋每瓶进价为40元．市场调查发现，当售价为50元时，平均每天可销售500瓶；售价每上涨1元，平均每天销量减少10瓶．该特产店要想使平均每天销售新包装老陈醋的利润达到8000元，则售价应定为________元． 【解析】解：每瓶售价定为元， 由题意得，， 整理得， 解得， ∴每瓶售价定为60或80元． 题型08 一元二次方程的应用 39 题型全解 方法总结 总结1：一元二次方程应用解题步骤 步骤：审、设、列、解、验、答，检验解是否符合实际意义。 总结2：一元二次方程常见应用题型 解题规则： ①找准等量关系列出方程； ②舍去负数、不符合现实的解。 题型08 一元二次方程的应用 1．将方程化为一般形式为 ，其中二次项系数为 ，一次项为 ． 针对训练 解：∵， ∴， 整理得：， ∴二次项系数为6，一次项为， 故答案为：，6，． 针对训练 2．若m是方程的一个根，则代数式的值是 ． 解：是方程的一个根， ， ， ． 故答案为：． 针对训练 3．小明解一元二次方程的过程如下，请你仔细阅读，并回答问题： 解：原方程可变形为，（第一步） ∴，（第二步） ∴，（第三步） ∴，（第四步） ∴，（第五步） ∴，．（第六步） (1)小明解此方程使用的是______法；小明的解答过程是从第______步开始出错的． (2)请写出此题正确的解答过程． 配方 三 针对训练 （2）原方程可变形为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 针对训练 4．设，是一元二次方程的两个根，则 . 解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 11 针对训练 5．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． （1）解：∵该一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得； 针对训练 5．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． （2）解：由一元二次方程的根与系数的关系，得 ，． ， ， 整理，得， 解得或． 又， ． 针对训练 6．一纸侨批，半生守望，作为一部以世界记忆遗产“侨批”文化为底色的方言电影，《给阿嬷的情书》自国内上映以来，凭借细腻的情感刻画与真挚的故事内核，唤起了广泛而深刻的社会共鸣．截至月初，《给阿嬷的情书》票房已超亿元． (1)已知月日至月日这三天的日票房增长率相同，第一天日票房为万，第三天日票房为万，那么这三天日票房的平均增长率是多少？ (2)随着电影的热映，取景地广东揭阳也吸引了众多游客前来“打卡”，片中信差落水的石板桥成了火爆的打卡地之一，游客可以沉浸式体验“扛标旗、骑单车、写桥批”等同款打卡活动，据统计，当扛标旗单价定为元时，每天约有名游客参与，当扛标旗单价每上涨一元时，参与的游客数量减少人，经涨价后发现每天营收增加了元，则扛标旗单价上涨了多少元？ 针对训练 （1）解：设这三天票房的平均增长率为 解得：， （舍去） 答：这三天票房的平均增长率为． （2）解：设单价上涨了元， 解得：， 答：扛标旗单价上涨了2元或5元． 单元总结/易错复盘 ·分类规则 1.一元二次方程按解法分类：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。 2.根的情况分类：Δ>0两个不等实数根；Δ=0两个相等实数根；Δ<0无实数根。 3.实际应用题型分类：增长率问题、面积几何问题、销售利润问题。 ·核心概念 1.一元二次方程：只含一个未知数，未知数最高次数为2的整式方程，一般形式()。 2.判别式：，用来判断一元二次方程实数根的个数。 3.韦达定理（根与系数关系）：当Δ≥0时，两根、满足， 。 ·答题注意事项 1.化为一般形式时，务必保证二次项系数，含参数题目要检验。 2.使用韦达定理之前，必须先确认Δ≥0，方程才有实数根。 3.解实际应用题，求出方程解后，舍去负数、不符合现实条件的解。 50 冀教版·九年级数学上册（新教材） 谢谢聆听 $