23.4 数据的方差 (课件) 2026-2027学年冀教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“数据的方差”，通过射击队选选手的真实问题导入，衔接已学的平均数、中位数，引导学生计算成绩偏差，比较绝对值与平方处理方式，逐步建构方差概念，搭建数据波动刻画的学习支架。 其亮点在于情境化探究与核心素养融合，以射击成绩、上班路线等实例引导学生用数学眼光观察数据波动，通过偏差处理推理方差合理性培养数学思维，结合折线图分析、方差性质探究提升数据观念和应用意识。学生能理解方差本质与应用，教师可依托完整探究流程提升教学效果。

第二十三章　数据分析与统计估计 23.4 数据的方差 更多模板请关注：https：//haosc.taobao.com 学校射击队要从甲、乙两名选手中选一人参加市级比赛.两人成绩的平均数和中位数都是7 环，该选谁呢？ 甲：4，8，6，7，9，7，10，5； 乙：5，7，6，8，7，8，6，7，9，7. 问题：观察数据，如果必须选一人，该选谁？为什么？ 甲成绩起伏大，乙发挥稳定. 导入新课 2 活动一：感知波动，建构概念——从“教练的难题”说起 高效课堂 任务：深入探究射击成绩，共同建构方差概念 问题1：分别计算甲、乙每次的射击成绩与他们平均成绩的偏差，并将结果填入下面的表格中.(单位：环) 3 高效课堂 问题2：观察这些偏差，有什么发现？如果直接用所有偏差的和来比较两组数据的波动，可行吗？为什么？ 偏差有正有负，甲、乙成绩的偏差和都为0. 怎么处理这些偏差才能避免正负抵消呢？ 取绝对值、平方等. 高效课堂 问题3：现有以下两种观点. 观点1：把甲、乙射击成绩的偏差的绝对值分别相加，再进行比较. 观点2：把甲、乙射击成绩的偏差的平方分别相加，再进行比较. 如何评价这两种观点呢？ 这两种观点各有哪些合理的地方？还需要进一步修正吗？ 绝对值或平方都能使每个偏差变成正数或0，可以相加；甲和乙的射击次数不同，直接相加的结果受次数影响. 高效课堂 直接相加的结果会受到数据个数的影响，怎样消除这个影响呢？ 除以次数，求平均数. “偏差绝对值的平均数”和“偏差平方的平均数”都能衡量波动，为什么最终选择了“平方”而不是“绝对值”呢？ 观察下面两组数据，它们的平均数都是0. 第一组：－0.1，＋0.1； 第二组：－2，＋2. 计算两组数据的“偏差绝对值的平均数”和“偏差平方的平均数”. 高效课堂 偏差绝对值的平均数：第一组为(0.1＋0.1)÷2＝0.1；第二组为(2＋2)÷2＝2. 偏差平方的平均数：第一组为(0.01＋0.01)÷2＝0.01；第二组为(4＋4)÷2＝4. 观察这两组结果，发现了什么？ 平方把差距放大了：从20 倍变成了400 倍. 平方能放大较大的偏差，使波动的差异更加灵敏地被捕捉到.因此最终选择了“偏差平方的平均数”来刻画波动，将其叫作方差(s2). 高效课堂 问题4：计算甲、乙射击成绩的方差，看看结果是否与最初的设想一致. s ＝3.5，s ＝1.2. 甲的射击成绩方差大、波动大，乙的射击成绩方差小、更稳定. 2 甲 2 乙 活动二：例题精讲——上班路线怎么选？ 高效课堂 任务：分析教材例题，体会平均数与方差的综合运用 例 张老师乘公交车上班，从家到学校有 A，B两条路线可选择.前两周(10 个工作日)选择 A路线，后两周(10 个工作日)选择B路线，所用时间如下表： 9 高效课堂 根据上表数据绘制的折线统计图，如图所示. 高效课堂 问题1：从图形看，A，B两条路线各有什么特点？请先直观判断，再通过计算验证. A路线平均用时少但是用时波动大，B路线平均用时多但是用时稳定. A＝42 min，s ＝63.2； B＝47 min，s ＝4.2，与直观判断一致. 2 A 2 B 高效课堂 问题2：如果某天张老师上班可用时间只有40 min，应选哪条路线？如果某天上班可用时间为50 min，又该选哪条路线？请说明理由. 对于40 min的情况，A路线有6 次用时不超过40 min，B路线所有用时都超过40 min，所以选 A路线. 对于50 min的情况，选B路线更稳妥，因为B路线用时稳定，几乎都能在50 min内到达，而 A路线有时会超时. 高效课堂 问题3：回顾解决问题2的思路过程，除了看平均数和方差这两个数据，还考虑了哪些因素？ 考虑了折线统计图. 如果某天上班可用时间为45 min，又该怎么选？为什么？ 选 A路线，因为平均用时少，45 min还有机会； 选B路线，因为用时稳，45 minB路线基本都能到. 这个问题没有标准答案，重要的是通过看图形、算数据、想情境，让数字为自己的决策服务，而不是被数字牵着走. 活动三：巩固应用——小麦品种比较与方差性质探究 高效课堂 任务1：方差公式的应用 为考察两个品种小麦的长势，分别测量了8 株麦苗的高(单位：cm)，结果如下： A品种：21 21 22 23 23 24 25 25 B品种：18 20 21 23 24 26 26 27 14 高效课堂 问题1：先估算一下，哪个品种的麦苗长得更整齐？再通过计算验证判断. A品种小麦的数据更集中，所以长得更整齐. A＝23，s ＝2.25；B＝23.125，s ≈9.11. A品种小麦方差小，长得更整齐，与估算一致. 2 A 2 B 高效课堂 问题2：这两组数据的平均数不同，能直接用方差比较波动吗？为什么？ 方差反映的是相对于自身平均数的波动，与平均数大小无关.平均数不同时，仍可以用方差比较哪组数据更稳定. 高效课堂 任务2：探究方差的性质 用某车床加工标准内径为50 mm 的轴承，现测量了8 个轴承的内径(单位：mm)，数据如下： 50.1 50.0 49.9 49.8 50.1 50.3 50.0 49.8 问题1：计算这组数据的方差. 方差为0.025. 问题2：将各数据分别减50后再计算方差，结果有变化吗？ 方差不变. 高效课堂 问题3：将各数据分别减50后再乘10，然后计算方差，结果有怎样的变化？ 减50后再乘10，方差变为原来的100倍. 问题4：通过这个探究，能发现什么规律？ 一组数据加上或减去同一个数，方差不变；一组数据乘一个数k(k≠0)，方差变为原来的k² 倍. 数据的平移不会改变其波动程度，但数据的缩放会改变其波动程度，而且是平方倍的关系. 问题1：方差用来刻画数据的什么特征？它和平均数在描述数据时有什么不同？ 问题2：回顾建构方差的过程，在这个过程中，哪一个步骤最关键？为什么？ 问题3：学习了方差之后，对“波动”和“离散”这两个词有了哪些新的认识？是不是所有情况下方差都是越小越好？ 课堂总结 19 基础性作业：教材练习第1，2 题. 提高性作业：教材习题第1，4，5 题. 拓展性作业：记录自己一周内每天完成数学作业所用的时间(单位：分钟)，计算这组数据的平均数和方差.说说你从方差中读到了什么信息，写一段简短的分析. 作业设计 20 $