精品解析：陕西(渭南市瑞泉中学2026-2027学年度上学期第一次教学质量检测高三数学试题

瑞泉中学2026-2027学年度上学期第一次教学质量检测 高三数学试题 说明：本试卷考查内容与高考范围相同． 第Ⅰ卷 选择题 共58分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】当时，，解得， 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】必要性：若，则可得，所以可得，必要性成立； 若，则，而，故充分性不成立， “”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3. 若数列为等差数列，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列通项公式求出，再利用诱导公式及特殊角的三角函数值求解. 【详解】等差数列中，由，，得该数列公差， 因此，所以. 故选：C 4. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】由不等式的基本性质，赋值法逐项判断即可. 【详解】对于A，可以取，，，此时，所以A错误. 对于B：∵，∴，因为，所以，故B正确； 对于C：取，时，则，，，则，故C错误； 对于D：当，时，，，则，故D错误； 故选：B. 5. 已知点是曲线上的点，若该曲线有两条斜率为的切线，则这两条切线间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将点的坐标代入曲线方程，求出的值，令，求出两切点的坐标，利用导数求出两切线方程，再利用平行线间的距离公式求解即可. 【详解】因为点是曲线上的点，所以，故曲线对应的函数解析式为， 对函数求导得，令，解得， 当时，，记点， 曲线在点处的切线方程为，即， 曲线在点处的切线方程为，即， 故这两条切线间的距离为. 6. 已知向量，满足，，且满足，若正实数m，n，满足，最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的模的运算性质求出，再由基本不等式求最值即可. 【详解】因为， 所以，即， 又，，代入上式得， 所以可得，即， ， 当且仅当，即时等号成立. 7. 若是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据分段函数的单调递增所满足的三个条件计算可得. 【详解】因为分段函数在上单调递增，需要同时满足三个条件： ①当时，指数函数单调递增，所以底数需满足； ②当时，一次函数单调递增：所以斜率需满足，解得； ③在分界点处，左段的函数值不能超过右段在处的起始值， 即当时： ，化简得，解得. 联立三个条件，解得，即. 因此实数的取值范围为. 8. 某品牌可降解塑料袋经自然降解后残留量y与时间t（单位：年）之间的关系为．其中为初始量，k为降解系数．已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的．若该品牌塑料袋需要经过n年，使其残留量为初始量的，则n的值约为（ ）（参考数据：，） A. 20 B. 16 C. 12 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】由可得，再代入，求解即可. 【详解】根据题意可得， 则，， 则经过n年时，有， 即，则， 所以， 则. 故选：B. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 设等比数列的公比为，前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则数列是等差数列 B. 若，则 C. 若，则数列是递减数列 D. 记的前项中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用可得数列是等差数列；利用特殊数列可判断；利用，当时，即可；利用即可. 【详解】由已知可得，. 对于选项A，因为， 所以数列是公差为的等差数列，故A正确； 对于选项B，当时，， 则，但，故B错误； 对于选项C，， 当时，，所以数列是递增数列，故C错误； 对于选项D，可得， ，故D正确. 10. 已知的展开式一共有7项，则（ ） A. B. 展开式中常数项为 C. 展开式中的系数为 D. 展开式的各项系数之和为64 【答案】AC 【解析】 【分析】先由展开式的项数确定二项式的指数并写出通项公式以求得特定项的系数，再利用赋值法求出各项系数之和. 【详解】由题意得展开式共项，所以，故A正确， ， 令，则常数项的系数为，故B错误， 令，则含的项为， 即的系数为，故C正确， 令，则各项系数之和为，故D错误. 11. 已知函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，且，则下列说法正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 2是的一个周期 C. 图象关于对称 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，由与，得，是偶函数，A正确.选项B，由，推出，周期为，不是，B错误.选项C，有对称中心，周期为，半个周期平移后得到对称中心，C 正确.选项D，每项函数值之和为，前项和为，剩余两项得；除以余，故，D正确. 【详解】令， 因为为奇函数，所以， 即， 令，解得，即， 得到，即， 所以关于点中心对称. 因为为偶函数，所以， 即，关于直线轴对称. 由轴对称得， 由中心对称得， 联立得， 把换成得到， 则，所以的周期，故B错误. 因为的对称中心为，所以， 又周期， ，， 由， 令得到，即， 即， 所以图象关于对称，C正确. 由，则， 又，则， 则，对比， 得到 ，即， 所以是偶函数，A正确. 周期，先看一个周期内， 由， 令得到， 由为奇函数，令得到， 又都是对称中心，故， 一个周期：， 中，有项，包含个完整周期加上， 个周期的和为， 又，，故， 所以每项之和为，前项和为， 余下两项， 因为，所以，解得， 则，D正确. 第Ⅱ卷 非选择题 共92分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的图像向左平移个单位长度后，得到的新函数为偶函数，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【详解】函数向左平移后的新函数为： ， 若正弦型函数为偶函数，则需满足， 则，解得， ， 当时，． 13. 定义域在上的函数，满足，若当时，的图象如图所示，则不等式的解集为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数的性质结合一元二次不等式的解法可求不等式的解集. 【详解】因为满足，所以为奇函数，结合图象可知， 当或时，；当或时，. 对于可分为两种情况： 情况一：，即，解得， 情况二：，即，解得， 所以不等式的解集为. 14. 若关于的不等式在上恒成立，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】结合题设，转化不等式恒成立，分类讨论即可求出答案. 【详解】不等式在上恒成立， 当，即时， ，即恒成立，所以； 当，即时， ，即恒成立，所以； 综上. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知为等差数列，且，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得，解之得，从而可得的通项公式； （2）由可得，，利用错位相减法即可得结果. 【小问1详解】 由已知条件可得，解之得，，所以，. 【小问2详解】 由可得，，设数列的前项和为. 则， ∴， 以上二式相减得， 所以，. 16. 在中，已知． （1）求角； （2）若，且，求的面积； （3）若，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 已知， 由余弦定理， 即，代入得：， 又，故. 【小问2详解】 由正弦定理，得：代入，得. 三角形面积公式：， 代入， . 【小问3详解】 由余弦定理：， 由，得， 代入上式：. 由基本不等式，时：， 当且仅当时取等号. 因此：，又， 结合三角形两边之和大于第三边，得：. 17. 如图，在直四棱柱中，底面为梯形，，，，，与交于点． （1）证明：直线平面． （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：取的中点，连接、、， 则，且，即， 又因为，，所以，， 所以四边形为平行四边形，则，， 又平面，平面，所以直线平面. （2） 【解析】 【分析】取的中点，连接、、，通过证明四边形为平行四边形得到，最后证得直线平面； （2）分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，再求平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在直四棱柱中，底面，且， 如图，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 设是平面一个法向量，则，， ，取得为平面的一个法向量， 设是平面的一个法向量，， 取得为平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为，那么， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若时，恒成立，求实数的值． 【答案】（1） 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）1 【解析】 【分析】（1）求出导数，分类讨论，利用导数判断单调性； （2）根据的单调性求得的最小值，则将恒成立问题转化为，构造函数，利用导数研究其值域得，进而得，即可得解. 【小问1详解】 由题意的定义域为，， 当时，恒成立，在上单调递减， 当时，由解得，由解得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 由（1）知当时，在上单调递增，在上单调递减. 所以函数的最小值为，所以恒成立， 整理得，令， 则， 由解得，由解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又，所以，所以. 19. 已知定义在上的函数满足：①；②当时，． （1）求的值，并证明在上是增函数； （2）若， （ⅰ）求的值； （ⅱ）解关于的不等式． 【答案】（1）令， 任取， 则， ， ，则可得是上的单调增函数. （2）（ⅰ）；（ⅱ）或 【解析】 【分析】（1）令，代入即可解出的值．利用函数单调性的定义证明利用等式化简判断正负即可． （2）（ⅰ）依题意得，，由累加法，即可求解； （ⅱ）由题意转化条件为，利用单调性等价变形为，解出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）令，得， 由得，， 则 ． （ⅱ）由得， 所以， 又函数f (x)在R上是增函数，故，解得或， 故原不等式的解集为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 瑞泉中学2026-2027学年度上学期第一次教学质量检测 高三数学试题 说明：本试卷考查内容与高考范围相同． 第Ⅰ卷 选择题 共58分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若数列为等差数列，且，，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知点是曲线上的点，若该曲线有两条斜率为的切线，则这两条切线间的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，满足，，且满足，若正实数m，n，满足，最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 若是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 8. 某品牌可降解塑料袋经自然降解后残留量y与时间t（单位：年）之间的关系为．其中为初始量，k为降解系数．已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的．若该品牌塑料袋需要经过n年，使其残留量为初始量的，则n的值约为（ ）（参考数据：，） A. 20 B. 16 C. 12 D. 7 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 设等比数列的公比为，前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则数列是等差数列 B. 若，则 C. 若，则数列是递减数列 D. 记的前项中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则 10. 已知的展开式一共有7项，则（ ） A. B. 展开式中常数项为 C. 展开式中的系数为 D. 展开式的各项系数之和为64 11. 已知函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，且，则下列说法正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 2是的一个周期 C. 图象关于对称 D. 第Ⅱ卷 非选择题 共92分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的图像向左平移个单位长度后，得到的新函数为偶函数，若，则的值为______． 13. 定义域在上的函数，满足，若当时，的图象如图所示，则不等式的解集为_________． 14. 若关于的不等式在上恒成立，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知为等差数列，且，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 在中，已知． （1）求角； （2）若，且，求的面积； （3）若，求a的取值范围． 17. 如图，在直四棱柱中，底面为梯形，，，，，与交于点． （1）证明：直线平面． （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若时，恒成立，求实数的值． 19. 已知定义在上的函数满足：①；②当时，． （1）求的值，并证明在上是增函数； （2）若， （ⅰ）求的值； （ⅱ）解关于的不等式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $