精品解析：陕西省西安中学2026-2027学年高三上学期摸底考试数学试卷

西安中学高2027届高三摸底考试 数学学科 （满分：150 时间：120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简，再根据共轭复数的定义即可求解． 【详解】， 所以复数的共轭复数为． 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】集合中单调递增，时，故； 等价于，解得，故， 故． 3. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出的图象，结合图象可知在上单调递减，即可得到，再由对数的运算比较的关系，即可得解. 【详解】，作出函数的图象如图： 在上单调递减， ，，即， 又，， ，， . 故选：D. 4. 在下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的性质及函数图象的变换一一判断即可. 【详解】对A：对A：的图象是由的图象将轴下方的图象关于轴对称上去， 轴及轴上方部分不变所得，其函数图象如下所示： 则的最小正周期为，且在上单调递减，故A正确； 对B：的最小正周期为，故B错误； 对C：的最小正周期为，但是在上单调递增，故C错误； 对D：的最小正周期为，故D错误. 故选：A. 5. 若平面向量两两的夹角相等，且，，，则（ ） A. 2 B. 5 C. 2或5 D. 或 【答案】C 【解析】 【详解】由向量两两所成的角相等，故向量两两所成的角都等于0或， 当两两所成的角为时，，， ，则 ， ， 当两两所成的角为0时， ． 6. 已知，，则的值（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【详解】将两边平方，得，所以. 因为且，所以，即，所以. ，且，所以. 于是，，. 所以. 7. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 【答案】B 【解析】 【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解 【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式， 故选：B 8. 已知函数，若方程有三个实数解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定方程在上有一个解，从而得在上必有两个不同解，即必有两个非正数解，由二次函数根的分布情况列出不等式组求解即可. 【详解】当时，,单调递增且值域为， 所以此时直线与函数的图象始终有一个交点， 即方程在上有一个解； 由题意可得在上必有两个不同解， 即在上必有两个非正数解， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错或不选的得0分． 9. 设，则下列说法正确的有（ ） A. 的图象关于轴对称 B. （） C. 的值域为 D. 在上单调递增 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A：∵的定义域为, 且， ∴为偶函数，即图像关于轴对称，A正确. 对于B：∵，∴，B正确. 对于C：∵， 又，∴， 即， ∴，即的值域为，C正确. 对于D：∵在上单调递减， ∴在上单调递增， ∴在上单调递减，即在上单调递减，D错误. 10. 已知函数的最小正周期为，将其图象向右平移个单位得到一个偶函数图象，则（ ） A. 函数的图象关于点中心对称 B. 函数在上单调递增 C. 当时，函数的最大值为 D. 函数在上恰有三个不同的零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】 由已知求得函数的解析式，代入验证是否成立可判断A；求出函数的单调递增区间可判断B；求出在给定区间上的最大值可判断C；解方程可判断D. 【详解】由题意得，，所以， 将其图象向右平移个单位得到得到偶函数，所以 ， 所以， 因为，所以，所以， 对于A， ，正确； 对于B，由于函数的单调递增区间为， 即，当时，， 因为，所以函数在上是单调递增函数，正确； 对于C；当时，，所以 函数的最大值为1，错误； 对于D，函数， 所以或， 或，所以时， 在上恰有3个不同的零点，正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查了三角函数的图象和性质，其中解答中利用已知条件求出的解析式，再利用三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考了学生的计算能力，属于基础题. 11. 体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止，设某学生一次发球成功的概率为，发球次数为，若的均值，则的取值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由题意得到的所有的可能取值为，求得相应的概率，利用，列出不等式，即可求解. 【详解】由题意，随机变量的所有的可能取值为， 可得 则， 因为，即，解得或， 又由，所以，即. 结合选项，可得选项A、B符合题意. 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 假设，，且与相互独立，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用条件概率公式或相互独立事件的性质求得，再代入概率加法公式计算即可. 【详解】因为，， 所以， 又因为与相互独立， 所以， 所以. 13. 在的展开式中，的系数是__________. 【答案】0 【解析】 【分析】由，利用二项式定理求出和的展开式中的系数，相加即可得出结果. 【详解】， 的展开式通项为， 的展开式通项为， 令，得，， 因此，的系数为. 故答案为：0. 【点睛】本题考查利用二项式定理求指定项的系数，考查计算能力，属于中等题. 14. 已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为________． 【答案】144π 【解析】 【分析】易知当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球O的半径为R，列方程求解即可. 【详解】如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥的体积最大， 设球O的半径为R，此时VO－ABC＝VC－AOB＝×R2×R＝R3＝36， 故R＝6，则球O的表面积为S＝4πR2＝144π. 故答案为144π. 【点睛】本题主要考查了三棱锥体积的求解,球的几何特征和面积公式，属于基础题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了筛选数学竞赛培训对象，某校开学初进行了一场数学竞赛考试，甲乙两个学习小组的考试成绩统计如下： 甲组：60 65 68 71 72 78 81 88 88 90 95 98 乙组：62 68 70 73 77 79 82 85 86 92 （1）求甲、乙两组组员成绩的第60百分位数； （2）从甲、乙两组各自独立地选取一个组员，求两人成绩中一人在80分以上且另一人在80分以下的概率； （3）为使两组人数相同，从甲组中调派一个队员到乙组．是否存在甲组的一个组员，将他调派至乙组后，甲、乙两组的平均成绩都增大？ 【答案】（1） 甲组第60百分位数为88，乙组第60百分位数为80.5； （2） ； （3） 存在，调派甲组成绩为78分的组员即可. 【解析】 【分析】(1)根据百分位数公式算出第60百分位数； (2)分别计算甲、乙两组各选一人，选到的是80分以上和80分以下的概率，再计算甲组在80分以上且乙组在80分以下的概率和乙组在80分以上且甲组在80分以下的概率并相加； (3)先算出甲、乙两组的平均分，假设调派人员的分数，算出将他调派至乙组后，甲、乙两组的平均成绩都增大的分数所在区间并进行判断. 【小问1详解】 甲组共有12名队员，成绩已按从小到大排列： ，， 因为7.2不是整数，所以第60百分位数是第8个数， 因为甲组第8个数是88，所以甲组成绩的第60百分位数为88. 乙组共有10名队员，成绩已按从小到大排列： ，， 因为6是整数，所以第60百分位数是第6个数和第7个数的平均值， 因为乙组第6个数是79，第7个数是82，， 所以乙组成绩的第60百分位数为80.5. 【小问2详解】 因为甲组80分以上共6人，80分以下共6人， 所以甲组选一人，选到的是80分以上的概率是，80分以下的概率是； 因为乙组80分以上共4人，80分以下共6人， 所以乙组选一人，选到的是80分以上的概率是，80分以下的概率是， 因为从甲、乙两组各选一人的事件相互独立， 若甲组在80分以上且乙组在80分以下，， 若乙组在80分以上且甲组在80分以下，， 所以两人成绩中一人在80分以上且另一人在80分以下的概率为. 【小问3详解】 存在，理由如下： 甲组总分：， 甲组平均分：； 乙组总分：， 乙组平均分：， 假设调派人员的分数为，由题意得，解得， 甲组中符合要求的有78分， 所以存在，调派甲组成绩为78分的组员即可. 16. 已知分别为三个内角的对边，且 （1）求； （2）若，且△ABC的面积为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）采用边化角结合内角和恒等变换，利用余弦型三角式求解内角； （2）联立面积公式与余弦定理构造方程组，直接求解边长. 【小问1详解】 由， 结合正弦定理可得， 展开右侧三角式得， 消去同类项后化简为， 整理得， 由，得，解得. 【小问2详解】 由三角形面积公式， 代入，得， 由余弦定理， 代入、，得， 联立，解得. 17. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若存在，使得有解，求实数的取值范围． 【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）. 【解析】 【分析】（1）求出，分别解与即得单调区间. （2）将化为关于的二次函数，由求其值域，即为的取值范围. 【小问1详解】 的定义域为. . 令，得，即. 当时，，；当时，. 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 设，则. 因为，所以. 设，由基本不等式得，当且仅当时取等号， 则，. 二次函数的图象开口向上，对称轴为， 所以在上单调递增，. 所以的取值范围为， 即存在，使得有解时，实数的取值范围是. 18. 如图，在边长为2的正方形中，点、分别是和的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点． （1）求证； （2）求二面角的平面角的余弦值； （3）设动点在线段上，是否存在一点，使得直线与平面所成夹角的正弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在请说明理由． 【答案】（1）由折叠的性质，，且两两垂直， 以为坐标原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系， 则，则， ， 故，即． （2） （3）存在，为线段的中点 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质得出相关线段长度和垂直关系，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出相关点和向量坐标，计算得出，从而证明结论； （2）求出相关平面法向量，利用向量夹角余弦公式计算求解； （3）设在线段上，令，得出，利用向量夹角余弦公式结合已知条件构造方程求出，进而求出的坐标，得出点的位置． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面中，，设平面法向量为， 则，令，则； 平面中，，设平面法向量为 则，令，则， 设二面角为，则． 【小问3详解】 设在线段上，令， 则向量， 直线与平面所成角为，由线面角公式： ， 已知，故， 化简整理得，解得或（舍去）， 故点，即为线段的中点． 19. 在某届世界杯足球赛上，，，，四支球队进入了最后的四强比赛．半决赛有两场比赛，对，对，这两场比赛的负者，决出季军和第四名；这两场比赛的胜者将进入决赛争夺冠亚军，假设各场比赛结果相互独立且没有平局．已知进入四强的四支球队，经评估，在任意一场比赛中，若队对阵队，则队获胜的概率为，其中，为两队的实力系数，已知，，，． （1）已知队进入决赛，求队最终夺得冠军的概率； （2）设随机变量表示队最终得分，冠军记3分，亚军记2分，季军记1分，第四名记0分，求随机变量的分布列和数学期望； （3）根据第（2）问记分规则，求、队得分之和大于、队得分之和的概率． 【答案】（1） （2）分布列为： 3 2 1 0 （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知分析出队夺冠的情况有两种：①胜，且胜；②胜，且胜，求得队夺得冠军的概率和队进入决赛的概率，由条件概率求解即可； （2）的可能取值为3,2,1,0，分别求得对应概率即可得出分布列和数学期望； （3）记得分之和为，得分之和为，因总分为6，故，再分类求得对应概率，即可求解． 【小问1详解】 设事件为“队进入决赛”，事件为“队夺得冠军”，， 队夺冠的情况有两种： ①胜，且胜：， ②胜，且胜：， 所以， 易知夺冠必然进入决赛，故所求概率． 【小问2详解】 的可能取值为3,2,1,0， ①当，得冠军夺冠路径：半决赛胜，且决赛胜对手， 对手是（胜）：， 对手是（胜）：， ； ②：得亚军，得亚军路径：半决赛胜，但决赛输给对手， 对手是（胜）：， 对手是（胜）：， ； ③：得季军，得季军路径：半决赛输给，但在三四名决赛中战胜对手，此时对手是半决赛2的负者， 情形1：输，胜，胜， 此时概率， 情形2：输，胜，胜， 此时概率， ； ④：得第四名得第四名路径：半决赛输给，且三四名决赛输给对手， 情形1：输，胜，输， 此时概率， 情形2：输，胜，输， 此时概率， ； 分布列为： 3 2 1 0 ． 【小问3详解】 记得分之和为，得分之和为，因总分为6，故， ①若均进入决赛，此时概率， 则获冠亚军，，满足条件； ②若进决赛，进决赛，要，需夺冠(分)且获季军(分)， 此时概率， ③若进决赛，进决赛，要，需夺冠(分)且获季军(分)， 此时概率， ④若进决赛，则争夺三四名，，不满足， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安中学高2027届高三摸底考试 数学学科 （满分：150 时间：120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 在下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 5. 若平面向量两两的夹角相等，且，，，则（ ） A. 2 B. 5 C. 2或5 D. 或 6. 已知，，则的值（ ） A. B. C. D. 或 7. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 8. 已知函数，若方程有三个实数解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错或不选的得0分． 9. 设，则下列说法正确的有（ ） A. 的图象关于轴对称 B. （） C. 的值域为 D. 在上单调递增 10. 已知函数的最小正周期为，将其图象向右平移个单位得到一个偶函数图象，则（ ） A. 函数的图象关于点中心对称 B. 函数在上单调递增 C. 当时，函数的最大值为 D. 函数在上恰有三个不同的零点 11. 体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止，设某学生一次发球成功的概率为，发球次数为，若的均值，则的取值可以为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 假设，，且与相互独立，则______． 13. 在的展开式中，的系数是__________. 14. 已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了筛选数学竞赛培训对象，某校开学初进行了一场数学竞赛考试，甲乙两个学习小组的考试成绩统计如下： 甲组：60 65 68 71 72 78 81 88 88 90 95 98 乙组：62 68 70 73 77 79 82 85 86 92 （1）求甲、乙两组组员成绩的第60百分位数； （2）从甲、乙两组各自独立地选取一个组员，求两人成绩中一人在80分以上且另一人在80分以下的概率； （3）为使两组人数相同，从甲组中调派一个队员到乙组．是否存在甲组的一个组员，将他调派至乙组后，甲、乙两组的平均成绩都增大？ 16. 已知分别为三个内角的对边，且 （1）求； （2）若，且△ABC的面积为，求. 17. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若存在，使得有解，求实数的取值范围． 18. 如图，在边长为2的正方形中，点、分别是和的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点． （1）求证； （2）求二面角的平面角的余弦值； （3）设动点在线段上，是否存在一点，使得直线与平面所成夹角的正弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在请说明理由． 19. 在某届世界杯足球赛上，，，，四支球队进入了最后的四强比赛．半决赛有两场比赛，对，对，这两场比赛的负者，决出季军和第四名；这两场比赛的胜者将进入决赛争夺冠亚军，假设各场比赛结果相互独立且没有平局．已知进入四强的四支球队，经评估，在任意一场比赛中，若队对阵队，则队获胜的概率为，其中，为两队的实力系数，已知，，，． （1）已知队进入决赛，求队最终夺得冠军的概率； （2）设随机变量表示队最终得分，冠军记3分，亚军记2分，季军记1分，第四名记0分，求随机变量的分布列和数学期望； （3）根据第（2）问记分规则，求、队得分之和大于、队得分之和的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $