精品解析：陕西省渭南市瑞泉中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

瑞泉中学2025—2026学年度上学期第一次教学质量检测 高三数学试题 命题人：李小蕊 审核人：李维香 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第I卷 选择题（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合，，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解出集合A，再由集合的包含关系进行求解实数a的取值范围即可. 【详解】由题， 因为，所以且，故. 故选：A. 2. 已知，则“”是“”的（ ）条件． A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分又非必要 【答案】C 【解析】 【分析】集合角的范围和诱导公式计算出角的取值，再根据充分性和必要的用定义法进行判断. 【详解】充分性： 根据诱导公式，因为，所以或， 当时，；当时，； 所以由不能必然推出，充分性不成立； 必要性： 因为，所以，此时， 所以由可以推出，必要性成立； 综上，是的必要非充分条件； 故选：C. 3. 下列函数中既是奇函数又是增函数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】逐项判断函数的奇偶性和单调性即可. 【详解】对于A：函数为奇函数，在上单调递减，不符合； 对于B：函数为偶函数，不符合； 对于C：函数为奇函数，在和分别单调递增，但在整个定义域上不具有单调性，不符合； 对于D：函数为奇函数，在上单调递增，符合题意. 故选：D 4. 在中，角，，的对边分别为，，，若，则为 A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】 【详解】余弦定理得代入原式得 解得 则形状为等腰或直角三角形,选D. 点睛：判断三角形形状的方法 ①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． ②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用这个结论． 5. 已知函数，若函数恰有3个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将原问题转化为函数与的图象有3个交点，结合的图象可得答案. 【详解】若函数恰有3个零点， 即函数与的图象有3个交点， 而当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，由对数函数性质得单调递减， 当时，，当时，， 可得函数的图象如下， 结合图象可得，故A正确. 故选：A. 6. 设，若恒成立，则k的最小值为（ ） A. 9 B. 8 C. －1 D. －2 【答案】C 【解析】 【分析】用“1”的代换及基本不等式求得的最小值为9，解不等式，求出范围得最值. 【详解】因为，当且仅当时取等号， 所以，解得， 所以的最小值为. 故选：C. 7. 设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可． 【详解】解：依题意可得，因为，所以， 要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示： 则，解得，即． 故选：C． 8. 已知是定义在R上的偶函数，且，当x＞0时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意构造函数，判断出为奇函数，在上单调递增，且，在上单调递增，且.把原不等式转化为，即可求解. 【详解】令，则. 当x＞0时，，所以，所以在上单调递增. 因为， 所以为奇函数. 所以. 令，即. 因为为奇函数，在上单调递增，且， 所以在上单调递增，且， 所以当时，；当时，. 所以不等式的解集为. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）． A. 的最小正周期为 B. 直线是图象的一条对称轴 C. D. 在上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据辅助角公式化简可得，再由三角函数的图象变换可得，利用三角函数的周期性、对称性、单调性的判断方法依次判断各选项即可. 【详解】，则， 对于A，的最小正周期，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，令，解得， 当时，，而在的范围内，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数在处取得极值0，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 过点可作一条切线与曲线相切 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合题设，根据函数极值的定义可得，进而列出方程可得，，进而进行检验，得出函数的单调性，即可判断ABC；根据导数的几何意义求解判断D. 【详解】由，得， 因为函数在处取得极值0， 则，解得，， 此时，则， 令，得或；令，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 则函数在处取得极小值0，满足题意，则，故A正确； 当时，，则，故B错误； 当时，，则，故C正确； 设切点为，则， 所以切线方程为， 又点在切线上，所以，解得， 所以过点可作一条切线与曲线相切，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，的定义域均为，，是偶函数，且，若，则（ ） A. B. 的图象关于点中心对称 C. D. 为奇函数 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用赋值法推出函数的奇偶性，结合赋值法求出，即可求得，判断A；利用变量代换，推出，即可判断B；利用可推出函数周期，判断C；结合A的分析，可判断D. 【详解】由题意知函数，的定义域均为，， 则，因为是偶函数， 所以， 所以．即为偶函数， 令，则，又，所以， 又，令，所以， 所以，故A正确； 由，得， 两式相加得，所以， 又，所以，即， 所以的图象关于点中心对称，故B正确； 由得，故，故C正确； 由可知为偶函数，且，即不恒等于0， 即不是奇函数，D不正确， 故选：ABC． 【点睛】方法点睛：（1）涉及抽象函数的求值问题，往往采用赋值法，即令x取特殊值；（2）涉及到抽象函数的奇偶性、对称性以及周期性问题，往往要结合赋值和相应的定义去解决. 第II卷 非选择题（共92分） 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的真数为正和二次根号下非负可求定义域. 【详解】由题设有，故，故函数的定义域为， 故答案为：. 13. 已知，若，，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先利用同角的正余弦的平方关系可求得，，再根据两角差的正弦公式求值即可. 【详解】因为，所以， 因为，， 所以，， 所以 . 故答案为： 14. 已知函数恰有2个极值点，则实数a的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】由题可得有两个不同正根，利用分离参数法得到.令，，只需与有两个交点，利用导数研究的单调性与极值，利用数形结合即可求解. 【详解】因为函数的定义域为， 由，可得， 要使函数有两个极值点，只需有两个不同正根，并且在的两侧的单调性相反， 由得，，所以， 由题意可知与有两个不同的交点， 令，则， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以，当时，， 作出图形如图所示： 由图象可得实数a的取值范围为. 故答案为：. 三、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求; （2）设函数，求的值域和单调区间． 【答案】（1） （2）值域为，单调递减区间为，单调递增区间为. 【解析】 【分析】（1）直接由题意得，结合余弦函数的单调性即可得解； （2）由三角恒等变换得，由此可得值域，进一步由整体代入法可得函数的单调区间. 【小问1详解】 由题意，所以； 【小问2详解】 由（1）可知， 所以 ， 所以函数的值域为， 令，解得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为， 函数的单调递增区间为. 16. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）设函数的最小值是2，求实数a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入求出，再由导数的意义求出切线的斜率，然后由点斜式得到直线方程即可； （2）求导后分和讨论，当时找到零点，由单调性可得函数的最值进而可求. 【小问1详解】 当时，， 将代入得：， 函数的导数为， 曲线在点处切线的斜率为， 因此，曲线在点处的切线方程为： ，即：． 【小问2详解】 对求导：， ①当时，恒有， 于是在上单调递减， 此时，无最小值； ②当时，令，得， 当都有在上单调递减； 当都有在上单调递增 因此在处取得最小值， 依题意，，即： 解得：． 综上，当时，函数的最小值是2． 17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求B； （2）设D为边的中点，若，的面积为14，求的长 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由正弦定理边化角已知条件，再由两角和正弦公式和诱导公式化简已知条件即可求解； （2）先由题设求出，接着由正弦定理求出，进而由面积公式求出，再在三角形中由余弦定理即可计算求解. 【小问1详解】 由正弦定理可得， 即. 在中，由，得， 所以，又，，所以，所以. 【小问2详解】 因为，，所以， 所以， 所以，即， 因为，即，所以， 在三角形中，由余弦定理可得 ， 所以. 18. 已知函数是定义域为的奇函数，. （1）求的值； （2）用定义法证明的单调性； （3）当时，恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】（1）， （2） 由已知得，则， 任取，且令，则 ，得到， 故，则是减函数. （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数性质得，进而解得即可. （2）利用定义法得到函数的单调性即可. （3）利用奇函数性质得，再由单调性得，即，最后利用均值不等式求解参数范围即可. 【小问1详解】 因为函数是定义域为的奇函数， 所以，得， 又，即，解得， 则，经检验符合题意. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意得在时恒成立， 因为是单调递减的奇函数， 所以，即在时恒成立， 得到，且令，即恒成立， 又，当且仅当时等号成立， 得到，得到，即. 19. 已知函数，其中a为正实数. （1）求函数的单调区间； （2）若函数有两个极值点，，求证：. 【答案】（1）当时，的单调减区间为； 当时，的单调减区间为，， 单调增区间为. （2）由（1）知，当时，函数有两个极值点，，且，. 因为， ， ， 要证，只需证. 构造函数， 则， 在上单调递增，又，，且在定义域上不间断， 由零点存在定理，可知在上唯一实根，且. 则在上递减，上递增，所以的最小值为 因为， 当时，，则， 所以恒成立. 所以， 所以，得证. 【解析】 【分析】（1）根据函数，求导得到，然后根据，分讨论求解. （2）由（1）得到若函数有两个极值点，，则，且，，代入，得到，要证，只需证，构造函数，用导数法结合零点存在定理证明即可. 【小问1详解】 因为函数， 所以，函数的定义域为， 令， ①若，即时，则，此时的单调减区间为； ②若，即时， 令，得， 当或时，， 当时，， 此时的单调减区间为，， 单调增区间为. 综上：当时，的单调减区间为； 当时，的单调减区间为，， 单调增区间为. 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，导数与不等式证明问题，还考查了转化化归，分类讨论的思想和运算求解的能力，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 瑞泉中学2025—2026学年度上学期第一次教学质量检测 高三数学试题 命题人：李小蕊 审核人：李维香 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第I卷 选择题（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合，，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ）条件． A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分又非必要 3. 下列函数中既是奇函数又是增函数的为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，角，，的对边分别为，，，若，则为 A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 5. 已知函数，若函数恰有3个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 设，若恒成立，则k的最小值为（ ） A. 9 B. 8 C. －1 D. －2 7. 设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在R上的偶函数，且，当x＞0时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）． A. 的最小正周期为 B. 直线是图象的一条对称轴 C. D. 在上单调递增 10. 已知函数在处取得极值0，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 过点可作一条切线与曲线相切 11. 已知函数，的定义域均为，，是偶函数，且，若，则（ ） A. B. 的图象关于点中心对称 C. D. 为奇函数 第II卷 非选择题（共92分） 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为______ 13. 已知，若，，则的值为______. 14. 已知函数恰有2个极值点，则实数a的取值范围为________. 三、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求; （2）设函数，求的值域和单调区间． 16. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）设函数的最小值是2，求实数a的值． 17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求B； （2）设D为边的中点，若，的面积为14，求的长 18. 已知函数是定义域为的奇函数，. （1）求的值； （2）用定义法证明的单调性； （3）当时，恒成立，求实数k的取值范围. 19. 已知函数，其中a为正实数. （1）求函数的单调区间； （2）若函数有两个极值点，，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $