第一章 勾股定理单元复习题 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学勾股定理单元复习卷，通过古算题（《九章算术》《算法统宗》）、实际应用（旗杆折断、蚂蚁爬行）及数学文化（赵爽弦图），全面覆盖勾股定理核心知识，适配单元复习巩固与素养提升。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|勾股定理应用、勾股数、最短路径、规律探究|结合《九章算术》古算题，培养数学文化理解与建模意识| |填空题|4|圆柱表面最短路径、古算题、角平分线与勾股定理|以《算法统宗》田地丈量题，强化数学眼光观察现实世界| |解答题|9|实际问题解决、综合证明、数学文化验证|设计赵爽弦图验证勾股定理、对角互补四边形探究，发展推理能力与创新意识|

北师大版八年级数学上册第一章 勾股定理单元复习题 一、单选题 1．《九章算术》中有题曰：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多少步？若设甲、乙二人从出发到相遇的时间为，根据题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． 2．下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（　　） A．3、4、5 B．3、4、6 C．6、8、10 D．5、12、13 3．以下列各组线段为边，不能作出直角三角形的是（　　） A．1，2， B．6，8，10 C．3，7，8 D．3，4，5 4．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．30，40，50 B．12，8，5 C．9，13，15 D． 5．如图，元音中学郭师傅要在靠近操场的墙壁上点P处安装一盏灯，墙面与地面垂直，，测量得米，米，现需从B点处引电线至点P（电线藏在地表和墙面的管中），至少需要（ ）米长的电线． A．16 B． C．15 D．14 6．如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”： 经观察可以发现：图（1）中共有3个正方形，图（2）在图（1）的基础上增加了4个正方形，图（3）在图（2）的基础上增加了8个正方形，……，照此规律“生长”下去，图（6）应在图（5）的基础上增加的正方形的个数是（　　） A．12 B．32 C．64 D．128 7．如图，长方体的高为，底面是边长为的正方形，一只蚂蚁从顶点沿长方体的外表面爬到顶点处，那么它爬行的最短路程为（　　） A． B． C． D． 8．如图，已知△ABC，∠C=90°，按以下步骤作图：以点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交边AC，AB于点M，N；分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧在△ABC的内部相交于点P；作射线AP交BC于点D；分别以A，D为圆心，以大于AD的长为半径画弧，两弧相交于点G，H；作直线GH分别交AC，AB于点E，F.若AF=3，CE=1，则△ACD的面积是（　　） A． B． C． D． 9．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为 b、若大正方形的面积为，小正方形的面积是 ，则等于（　　） A．19 B．13 C．42 D．29 10．如图，在中，，，，平分交于点，点，分别是，上的动点，则的最小值为（　　） A． B．5 C． D．4 二、填空题 11．如图所示，圆柱高为米，在底面周长为米的圆柱上，有一条彩带从柱底点沿圆柱表面缠绕圈到达圆柱顶正上方的点，则彩带长至少为　 　． 12．《算法统宗》记载古人丈量田地的诗：“昨日丈量地回，记得长步整三十．广斜相并五十步，不知几亩及分厘．”其大意是：昨天丈量了田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽和对角线之和为50步．不知该田有几亩？请我帮他算一算，该田有　 　亩（1亩＝240平方步）． 13． 如图 所示，在Rt△ABC 中， ∠C=90°，AC=8，BC=6.若BD 平 分 ∠ABC， 交AC 于点D，则AD=　 　. 14． 美术课上，同学们要在长方形画框中粘贴两个全等的正方形图案，图和图是两位同学的设计．如图．两正方形的顶点，分别在，上，且三点共线，点，分别在，上；如图，仅改变正方形的位置，点在上，点在上，且．已知长方形的面积为，则正方形的边长为　 　． 三、解答题 15．如图，一根垂直于地面的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离． （1）求旗杆折断处点距离地面的高度； （2）工人在修复的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将修复好的旗杆从点处吹断，旗杆的顶点落在水平地面上的处，形成一个直角，请求出的长． 16．某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度AD，如图，通过勘测得到水平距离BC的长为12米，BC⊥AD于点C，根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为13米，小明牵线放风筝的手B到地面的距离为1.8米(即CD=1.8米)，他们发现根据全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度 AD.请求出线段AD的长. 17．如图，甲乙两船从港口P同时出发，甲船以16海里/小时的速度向北偏东航行，乙船向南偏东航行.3小时后，甲船到达A岛，乙船到达B岛．若A、B两岛相距60海里，问：乙船的航速是多少？ 18．如图，在中，是边上的高线，已知，，． （1）求的长； （2）判断的形状，并说明理由． 19．【问题背景】 如图①，在四边形中，和称为它的对角，若这个四边形满足：，则这个四边形叫做“对角互补四边形”． 【问题解决】 （1）若四边形是“对角互补四边形”，且，求的度数； （2）如图②，，平分，A是射线上一动点，C是射线上的动点，且四边形是“对角互补四边形”． ①若是等腰三角形，求的度数； ②若，若，求的长． 20．阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积为这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，我国南宋时期数学家秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦——秦九韶公式”．完成以下问题：如图，在中，，，． （1）直接写出p的值，p=　 　． （2）求的面积； （3）过点A作，垂足为D，求线段的长． 21．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地，如图所示的四边形进行改建，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板，已知运动型塑胶地板每平方米200元．经测量． （1）求、两点之间的距离． （2）求购买运动型塑胶地板的费用． 22．为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，． （1）求出该空地的面积； （2）该校计划在此空地上种植花卉，若每种植花卉需要花费200元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？ 23．【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？请你帮忙完成。 （1）【探索新知】从面积的角度思考，大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积。 请用含有a，b，c的代数式表示以上面积： 大正方形的面积=　 　， 小正方形的面积+4个直角三角形的面积=　 　， 从而得出数学等式：　 　， 化简证得勾股定理 （2）【知识迁移】将图1中上方的两直角三角形纸片向内折叠，如图2，若a=4，b=6，求此时空白部分的面积。 （3）【知识迁移】将这四个直角三角形纸片紧密地拼接，形成飞镖状，如图3，已知外围轮廓(实线)的周长为24，OC=3，求该飞镖状图案的面积。 答案解析部分 1．【答案】A 2．【答案】B 【解析】【解答】解：A：32+42=52，能作为直角三角形三边长度，符合题意； B：32+42≠62，不能作为直角三角形三边长度，不符合题意； C：62+82=102，能作为直角三角形三边长度，符合题意； D：52+122=132，能作为直角三角形三边长度，符合题意； 故答案为：B 【分析】根据勾股定理逆定理逐项进行判断即可求出答案. 3．【答案】C 4．【答案】A 5．【答案】C 6．【答案】C 7．【答案】D 8．【答案】A 【解析】【解答】解：由作法得AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，连接DE，EF交AD于O点，如图， ∵EF垂直平分AD， ∴EA=ED， AO⊥EF ∴∠EAD=∠EDA， ∵AD平分∠BAC， ∴∠FAD=∠EAD， 在△AOF和△AOE中， ∴△AOF≌△AOE(ASA) ∴AF=AE=3 ∴DE=3 在Rt△CDE中，， ∴△ACD的面积 故答案为：A. 【分析】由作法得AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，连接DE，EF交AD于O点，如图，根据线段垂直平分线的性质得到EA=ED，AO⊥EF，再证明△AOF≌△AOE得到AF=AE=3，则DE=3，然后利用勾股定理计算出CD，最后利用三角形面积公式计算. 9．【答案】D 10．【答案】C 【解析】【解答】解：如图所示：在上取点，使，过点C作，垂足为H． 在中，，，， ． ， ， ∵， ∴当C、E、共线，且点与H重合时，的值最小，最小值为的长， ∴的值最小为． 故答案为：C． 【分析】在上取点，使，过点C作，垂足为H，先利用勾股定理求出AB的长，再利用三角形的面积公式可得，再求出当C、E、共线，且点与H重合时，的值最小，最小值为的长，最后求出的值最小为即可． 11．【答案】米 12．【答案】2 【解析】【解答】解：设该田的宽为x步，则对角线的长为（50-x）步，根据题意得： 302+x2=（50-x）2 解方程，得：x=16， ∴该田的面积为：（平方步）=2亩 故第1空答案为：2. 【分析】设该田的宽为x步，则对角线的长为（50-x）步，根据长方形的四个角都是直角，则可得长方形的长，宽和对角线构成直角三角形，根据股股定理可列方程302+x2=（50-x）2，解方程即可求得长方形的宽，进一步求出长方形的面积，并把平方步转化为亩即可。 13．【答案】5 【解析】【解答】解：∵ ∠C=90°，AC=8，BC=6， ∴， 过点D作DE⊥AB于点E， 则∠C=∠DEB=90°， 又∵ BD平分∠ABC， ∴∠DCE=∠CBD， ∵BD=BD， ∴△BDE≌△BDC， ∴BC=BE=6， ∴AE=AB-BE=10-6=4， 在Rt△ADE中，AE2+DE2=AD2，即42+(8-AD)2=AD2， 解得AD=5， 故答案为：5 . 【分析】根据勾股定理得到AB=10，然后证明△BDE≌△BDC，即可得到BC=BE=6，进而得到AE=4，再根据勾股定理求出AD长即可. 14．【答案】10 【解析】【解答】解：如图1，过点P作RS⊥AD于点R，交BC于点S，如图2，作PT⊥BC于点T， ∵∠GEB+∠BGE=90°，∠GEB+∠PES=90° ∴∠BGE=∠PES 又∵EG=EP，∠B=∠PSE ∴△BGE≌△SEP(AAS) 同理得△EPS≌△FPR≌△HFD，△BEG≌△TPE，△PMT≌△MHC， 设DH=a，DF=b，则PR=b，PS=b，BE=b，ES=a， BC=a+b+a+b=2a+2b，CD=RS=2b， 而EM=CM得b=2a SABCD=(2a+2b)2b=480，得a=2，b=4 GE= 故答案：10. 【分析】如图1，过点P作RS⊥AD于点R，交BC于点S，如图2，作PT⊥BC于点T，由全等可得BC=2a+2b，AB=2b，由EM=MC得b=2a，根据面积可得a、b的值，即可得NGEP的边长. 15．【答案】（1）米 （2）米 16．【答案】解：由勾股定理得， (米)， ∴AD=5+1.8=6.8(米)， ∴线段AD的长为6.8米. 【解析】【分析】由勾股定理得，AC=5，根据AD=5+1.8，计算求解即可. 17．【答案】解：由题知，， 海里， 海里， 由勾股定理得， 海里， 乙船的航速是 海里/小时． 【解析】【分析】首先理解方位角的概念，根据所给的方位角得到 .根据勾股定理求得乙船所走的路程，再根据速度=路程÷时间，计算即可. 18．【答案】（1）解：∵是边上的高线， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴． ​​​​​​​ （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵，，， ∴， ∴是直角三角形． 【解析】【分析】（1）通过勾股定理，分别计算出线段和线段的长度，进一步就能得到的长度； （2）利用勾股定理的逆定理，就可以判断是否为直角三角形. （1）解：∵是边上的高线， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴． （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵，，， ∴， ∴是直角三角形． 19．【答案】（1）解：∵四边形是“对角互补四边形”， ∴， ∵， ∴ ， ∴； （2）①∵四边形是“对角互补四边形”，， ∴， ∵平分， ∴， 当时， ∴（不符合题意，舍去）， 当时， ∴， ∴； 当时， ∴，， ∴． 综上所述：的度数为或； ②如图②，过点B作于G，于H， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是“对角互补四边形”， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】【分析】 （1）根据题目给出 “对角互补四边形” 的定义，得到一组对角，结合题意， 计算出相关角的度数，得到结论。（2）①根据“对角互补四边形”的定义得到，根据角平分线的定义得到，分当时，当时，当时，三种情况进行讨论，求得， 舍去不符合题意的值， 即可解答； ②如图②，过点B作于G，于H，根据已知条件得到，根据四边形是“对角互补四边形”，可得，根据两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，得，根据全等三角形的性质得到，解方程即可得到结论． （2）①根据“对角互补四边形”的定义得到，根据角平分线的定义得到，当时，求得（不符合题意，舍去），当时，求得；当时，求得； ②如图②，过点B作于G，于H，根据已知条件得到，根据四边形是“对角互补四边形”，求得，根据全等三角形的性质得到，进而可得，解之，即可解答． （1）解：∵四边形是“对角互补四边形”， ∴， ∵， ∴ ， ∴； （2）①∵四边形是“对角互补四边形”，， ∴， ∵平分， ∴， 当时， ∴（不符合题意，舍去）， 当时， ∴， ∴； 当时， ∴，， ∴． 综上所述：的度数为或； ②如图②，过点B作于G，于H， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是“对角互补四边形”， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．【答案】（1）10 （2）△ABC的面积 （3）如图， ∵的面积， ∴， 解得． 在中，，， ∴ 【解析】【解答】（1）解：∵， ∴． 故答案为：10； 【分析】（1）将三角形三边a=8，b=5，c=7代入该公式进行计算即可； （2）已经计算出了p=10，可以使用海伦公式来计算ABC的面积即可； （3）已经计算出了△ABC的面积S=10，利用三角形的面积公式可求出AD，在Rt△ACD中，利用勾股定理即可求出CD的长。 21．【答案】（1）解：如图，连接， ∵， ∴， 答：、两点之间的距离． （2）解：由（1）已得：， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴四边形的面积为 ， ∵运动型塑胶地板每平方米200元， ∴购买运动型塑胶地板的费用为（元）， 答：购买运动型塑胶地板的费用为22800元． 【解析】【分析】（1）两点间的距离就是连接这两点的线段的长，故连接AC，直接利用勾股定理求解即可得； （2）先根据勾股定理的逆定理判断出△ACD是直角三角形，且，再由S四边形ABCD=，结合直角三角形的面积计算公式求出四边形ABCD的面积，最后根据购买运动型塑胶地板的费用等于单价乘以数量列式计算即可. （1）解：如图，连接， ∵， ∴， 答：、两点之间的距离． （2）解：如图，连接， 由（1）已得：， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴四边形的面积为 ， ∵运动型塑胶地板每平方米200元， ∴购买运动型塑胶地板的费用为（元）， 答：购买运动型塑胶地板的费用为22800元． 22．【答案】（1）该空地的面积为； （2）此块空地全部种植花卉共需花费元． 23．【答案】（1）；； （2）解：由题意得空白部分的面积为 。 （3）24÷4=6， 解：设AC=x，依题意有( ，解得x=1， =24. 故该飞镖状图案的面积是24。 【解析】【解答】（1）【探索新知】大正方形的面积： 小正方形的面积+4个直角三角形的面积： 从而得出数学等式： 化简证得勾股定理 。 故答案为 。 【分析】（1）根据整体和局部两种方法表示大正方形的面积解答即可； （2）根据空白部分的面积=小正方形的面积-2个直角三角形的面积计算即可； （3）可设AC=x，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解； 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $