广东省汕尾市海丰县2026-2027学年九年级上学期第一次月考数学模拟练习1

**基本信息** 结合亚运选拔赛、赵爽弦图等真实情境与文化素材，覆盖一元二次方程、二次函数、图形变换等核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，考查数学抽象、推理运算及模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程定义、二次函数平移与性质、实际应用|第5题以亚运选拔赛为背景考查单循环赛制，体现应用意识| |填空题|5/15|方程根、二次函数增减性、抛物线平移、动点问题|第15题结合抛物线动点与矩形性质，考查几何直观与空间观念| |解答题|8/75|解方程、二次函数综合、实际应用、勾股定理证明、旋转与抛物线综合|21题通过赵爽弦图探究勾股定理，渗透文化传承；23题旋转线段与抛物线结合，考查创新思维|

2026-2027广东省汕尾市海丰县九年级（上） 第一次月考数学模拟练习 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．3x+2y﹣1＝0 B． C．2x+6＝0 D．x2﹣1＝0 2．（3分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一解为x＝2024，则一元二次方程a（x﹣2）2+bx＝2b﹣2必有一解为（　　） A．x＝2026 B．x＝2025 C．x＝2024 D．x＝2022 3．（3分）将二次函数y＝x2的图象向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的二次函数的表达式是（　　） A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x+3）2﹣2 C．y＝（x+2）2+3 D．y＝（x+2）2﹣3 4．（3分）已知点A（﹣5，y1）、B（﹣2，y2）和C（1，y3）都在二次函数y＝ax2+2ax+c（a＜0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1 5．（3分）在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一场比赛）制，每组x人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程为（　　） A．x（x﹣1）＝15 B．x（x+1）＝15 C．x（x﹣1）＝15 D．x（x+1）＝15 6．（3分）二次函数y＝﹣（x﹣1）（x+3）的最大值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（3分）点P1（﹣1，y1），，P3（6，y3）均在二次函数y＝mx2﹣2mx+1（m＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2 8．（3分）已知a、b为实数，且满足（a2+b2）2+2（a2+b2）﹣15＝0，则代数式a2+b2的值为（　　） A．3或﹣5 B．3 C．﹣3或5 D．5 9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，与y轴交于（0，﹣1），对称轴为直线x＝1．以下结论： ①； ②若（﹣2，y1），（0.5，y2），（2，y3）在该函数图象上，则y3＜y2＜y1； ③对于任意实数m，都有m（am+b）＞a+b成立； ④方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k为常数）的所有根的和为4． 其中正确结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）若是方程x4+ax2+b＝0的两根，则关于x的方程ax2+bx+2＝0的两根分别是　 　 ． 12．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3（a为实数，a≠0），当x＞m时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是　 　 ． 13．（3分）已知抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1，将该抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，请写出新抛物线的解析式为 　 　 ． 14．（3分）若关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 　 　 ． 15．（3分）如图，动点A在抛物线y＝﹣x2+2x+3（0≤x≤3）上运动，直线l经过点（0，6），且与y轴垂直，过点A作AC⊥l于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，则另一对角线BD的取值范围是 　 　 ． 三．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分） 16．（7分）解方程：x2﹣2x﹣1＝0． 17．（7分）已知抛物线与交于A、B两点（A在B点左侧）． （1）请求出y1＜y2时x的取值范围； （2）求抛物线顶点C的坐标，并求△ABC面积． 18．（7分）已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且4，求实数k的值． 四．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分） 19．（9分）已知，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如表： x … ﹣1 2 3 … y … 3 0 3 … （1）求二次函数的解析式． （2）当﹣1＜x＜2时，y的取值范围是　 　 ；当y≥0时，x的取值范围是　 　 ． 20．（9分）小区计划利用一片空地建一个花圃，花圃为矩形，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12m，另三面用总长28m的篱笆材料围成，且计划建造花圃的面积为80m2．设垂直于墙的边长为xm． （1）求这个花圃的长和宽．（设矩形较长的边为长，较短的边为宽） （2）该小区计划购进A，B两种树苗共17棵种在花圃里，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元．若购进A，B两种树苗刚好用去1220元，求购进A，B两种树苗的数量． 21．（9分）综合与实践． 【教材呈现】七年级教材下册“第8章整式乘法”中，通过拼图、推演，得到了整式乘法法则和公式，在学习过程中让同学们了解到了公式的几何背景，感受了数形结合的思想方法．如课本38页，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形（如图1）． 通过计算图中的阴影面积，小明发现了一个重要的乘法公式：　 　 ． 其实，通过拼图算面积这种方法不仅能得到许多公式，还可以证明很多重要的定理． 【实践活动】 活动材料：如图2，4张A型直角三角形纸片． 活动要求：利用这些纸片（每种纸片需全部使用）拼成一个正方形，通过不同的方法计算图形的面积，从而探究出相应的等式． 活动内容： （1）图2是我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”，也称“赵爽弦图”，它是由4张A型直角三角形纸片与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，最长的斜边为c．试探究a2、b2、c2之间的数量关系并说明理由． （2）利用上述结论计算：若（a+b）2＝23，大正方形的面积为17，求小正方形的面积． 【拓展探究】如图3，是一幅未画完的“弦图”，仅用无刻度的直尺，画完这幅“弦图”．（用铅笔画图，保留画图痕迹，辅助线用虚线，确定答案后将所有线加粗加黑） 五．解答题（共2小题，满分27分） 22．（13分）如图，取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下： （1）【探究发现】： 操作一：先把矩形ABCD对折，折痕为EF； 操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，连接PM，BM． 根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中∠ABP＝　 　 °； （2）【类比应用】：小明将矩形纸片换成边长为4cm的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ． ①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝　 　 °，CQ＝　 　 ； ②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由． （3）【拓展延伸】：在（2）的探究中，当QF＝1cm，请直接写出AP的长． 23．（14分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝6，对称轴是直线x＝﹣2，点F在对称轴上运动． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在一点F，使得∠BFC为直角？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由； （3）将线段BC绕着点F逆时针方向旋转90°后得到线段B1C1，当点B1与C1恰有一点落在抛物线上时，求点F的坐标． 2026-2027广东省汕尾市海丰县九年级（上） 第一次月考数学模拟练习 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．3x+2y﹣1＝0 B． C．2x+6＝0 D．x2﹣1＝0 【分析】根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断各选项． 【解答】解：A、方程3x+2y﹣1＝0含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、方程0含有根号，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、方程2x+6＝0最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意； D、方程x2﹣1＝0只含一个未知数x，最高次数为2，且为整式方程，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键． 2．（3分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一解为x＝2024，则一元二次方程a（x﹣2）2+bx＝2b﹣2必有一解为（　　） A．x＝2026 B．x＝2025 C．x＝2024 D．x＝2022 【分析】先将方程a（x﹣2）2+bx＝2b﹣2，整理得：a（x﹣2）2+b（x﹣2）+2＝0，然后设x﹣2＝m，则am2+bm+2＝0，再根据x＝2024，从而进行计算即可解答． 【解答】解：a（x﹣2）2+bx＝2b﹣2， 整理得：a（x﹣2）2+b（x﹣2）+2＝0， 设x﹣2＝m， ∴am2+bm+2＝0， ∵关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024， ∴am2+bm+2＝0有一个根为m＝2024， ∴x﹣2＝2024， 解得x＝2026， ∴一元二次方程a（x﹣2）2+bx＝2b﹣2必有一根为2026， 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行是进行计算是解题的关键． 3．（3分）将二次函数y＝x2的图象向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的二次函数的表达式是（　　） A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x+3）2﹣2 C．y＝（x+2）2+3 D．y＝（x+2）2﹣3 【分析】根据二次函数平移规律左加右减，上加下减，得出平移后解析式即可． 【解答】解：将二次函数y＝x2的图象向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度， 得到的抛物线相应的函数表达式为：y＝（x+3）2+2，即y＝（x+3）2+2， 故选：A． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 4．（3分）已知点A（﹣5，y1）、B（﹣2，y2）和C（1，y3）都在二次函数y＝ax2+2ax+c（a＜0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1 【分析】利用二次函数的增减性比较大小即可． 【解答】解：由题知：抛物线的对称轴为直线， ∵a＜0， ∴抛物线开口向下， ∴离对称轴越远则函数值越小， 题中三个点离直线x＝﹣1距离由远及近为A、C、B， ∴y1＜y3＜y2， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能够理解在二次函数中比较函数值大小的方法并灵活运用是解决问题的关键． 5．（3分）在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一场比赛）制，每组x人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程为（　　） A．x（x﹣1）＝15 B．x（x+1）＝15 C．x（x﹣1）＝15 D．x（x+1）＝15 【分析】设一共邀请了x支球队参加比赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间都进行一场比赛），则每个队参加（x﹣1）场比赛，则共有场比赛，可以列出一元二次方程． 【解答】解：由题意得，15． 故选：A． 【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数＝队数×（队数﹣1）÷2，进而得出方程是解题关键． 6．（3分）二次函数y＝﹣（x﹣1）（x+3）的最大值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】将二次函数化为顶点式y＝﹣（x+1）2+4，即可求解． 【解答】解：将二次函数化为顶点式可得： y＝﹣（x﹣1）（x+3） ＝﹣x2﹣2x+3 ＝﹣（x+1）2+4， ∴当x＝﹣1时，y最大＝4； 故选：C． 【点评】本题考查了求二次函数最值，熟练掌握该知识点是关键． 7．（3分）点P1（﹣1，y1），，P3（6，y3）均在二次函数y＝mx2﹣2mx+1（m＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2 【分析】根据二次函数解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，再求出P1、P2、P3到对称轴的距离，进行比较即可得出答案． 【解答】解：由条件可知：抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵1﹣（﹣1）＝2，，6﹣1＝5，， ∴y3＞y1＞y2， 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的性质、比较二次函数的函数值的大小，熟练掌握以上知识点是关键． 8．（3分）已知a、b为实数，且满足（a2+b2）2+2（a2+b2）﹣15＝0，则代数式a2+b2的值为（　　） A．3或﹣5 B．3 C．﹣3或5 D．5 【分析】设x＝a2+b2，方程化为关于x的一元二次方程，求出方程的解即可得到a2+b2的值． 【解答】解：设x＝a2+b2，方程化为x2+2x﹣15＝0， 分解因式得：（x﹣3）（x+5）＝0， 可得x﹣3＝0或x+5＝0， 解得：x＝3或x＝﹣5， ∵a2+b2≥0， ∴a2+b2＝3． 故选：B． 【点评】此题考查了换元法解一元二次方程，做题时注意a2+b2的值为非负数这个隐含条件． 9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，与y轴交于（0，﹣1），对称轴为直线x＝1．以下结论： ①； ②若（﹣2，y1），（0.5，y2），（2，y3）在该函数图象上，则y3＜y2＜y1； ③对于任意实数m，都有m（am+b）＞a+b成立； ④方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k为常数）的所有根的和为4． 其中正确结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】令x＝﹣1，根据a﹣b+c＞0，即可求出a的范围，即可判断①正确；由b＝﹣2a代入变形计算即可判断③错误；由抛物线的增减性和对称性即可判断②错误；将所求的方程解的问题转化为抛物线与两直线的交点问题，根据交点的个数，以及抛物线的对称性可知④正确． 【解答】解：当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0， 即a+2a﹣1＞0， 解得a，故①正确； ∵am2+bm+c≥a+b+c， 对于任意实数m，都有m（am+b）≥a+b成立，故③不正确； 当x＜1时，y随x的增大而减小， ∵﹣2＜0.5， ∴y1＞y2， ∵对称轴为直线x＝1， ∴x＝2时与x＝0时所对应的y值相等， ∴y2＜y3＜y1，故②错误； 如图所示 则|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k为常数）解的个数可能有2个，3个或4个，设交点的横坐标分别为x1，x2，x3，x4， ∵对称轴为直线x＝1，根据抛物线的对称性可知，， 当有2个交点时，|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k为常数）的所有解的和是2， 同理可得，当有3个交点时，|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k为常数）的所有解的和是3， 当有4个交点时，|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k为常数）的所有解的和是4，故④错误； 综上，正确的个数为1， 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数图象和性质，一元二次方程求根公式，根与系数的关系等，熟悉这些结论是解题的关键． 10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4 【分析】连接AC交y轴于点P，过A作AH⊥x轴于H，根据正方形的性质得到∠AOB＝45°，得到AH＝OH，利用待定系数法求得a、c的值，即可求得结论． 【解答】解：连接AC交y轴于点P，过A作AH⊥x轴于H，过C作CQ⊥x轴于Q，如图， 由条件可知∠AOB＝45°，AC⊥OB，OP＝PB＝PC＝PA， ∴∠AOH＝45°， ∴AH＝OH， 设A（m，﹣m）， ∴AH＝OH＝m， ∵AC⊥OB，AH⊥x轴， ∴∠APO＝∠POH＝∠OHA＝90°， ∴四边形APOH是矩形， ∴OP＝AH＝m，AP＝HO＝m， 同理得CQ﹣PO＝m，OQ＝PC＝PA＝m， ∴C（﹣m，﹣m）， 又BO＝2OP＝2m， ∴B（0，﹣2m）， 由条件可得： ∴， 解得am＝1，， ∴ac的值为﹣2， 故选：B． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握该知识点是关键． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）若是方程x4+ax2+b＝0的两根，则关于x的方程ax2+bx+2＝0的两根分别是x或x　 ． 【分析】依据题意，由是方程x4+ax2+b＝0的两根，则，从而a＝﹣10，b＝1，进而方程ax2+bx+2＝0为﹣10x2+x+2＝0，最后计算可以得解． 【解答】解：由题意，∵是方程x4+ax2+b＝0的两根， ∴， ∴a＝﹣10，b＝1． ∴方程ax2+bx+2＝0为﹣10x2+x+2＝0， ∴（2x﹣1）（5x+2）＝0． ∴2x﹣1＝0或5x+2＝0． ∴x或x． 故答案为：x或x． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的解法，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 12．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3（a为实数，a≠0），当x＞m时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是m≥1　 ． 【分析】根据题意，得出抛物线的对称轴为直线x＝1，再结合当x＞m时，y随x的增大而增大，得出m的取值范围即可． 【解答】解：由题知， 因为二次函数解析式为y＝ax2﹣2ax﹣3（a为实数，a≠0）， 所以抛物线的对称轴为直线x． 又因为当x＞m时，y随x的增大而增大， 所以抛物线的开口一定向上，即a＞0， 所以m≥1． 故答案为：m≥1． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 13．（3分）已知抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1，将该抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，请写出新抛物线的解析式为 y＝﹣（x﹣4）2+3　 ． 【分析】根据“左加右减，上加下减”原则进行解析式变形即可． 【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1，将该抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度， ∴新抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣4）2+3． 故答案为：y＝﹣（x﹣4）2+3． 【点评】本题考查了二次函数图象变换，解答本题的关键是熟练掌握图象平移中的“左加右减，上加下减”． 14．（3分）若关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 m＜0且m≠﹣1　 ． 【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×（m+1）×1＝﹣4m＞0，且m+1≠0， 解得m＜0且m≠﹣1， 故答案为：m＜0且m≠﹣1． 【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的情况与根的判别式Δ＝b2﹣4ac的关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．本题还考查了一元二次方程的定义，容易忽视二次项系数不为0这一隐含条件． 15．（3分）如图，动点A在抛物线y＝﹣x2+2x+3（0≤x≤3）上运动，直线l经过点（0，6），且与y轴垂直，过点A作AC⊥l于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，则另一对角线BD的取值范围是 　2≤BD≤6　 ． 【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（1，4），再根据矩形的性质得BD＝AC，由于2≤AC≤6，从而得到BD的取值范围． 【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为（1，4）， ∵四边形ABCD为矩形， ∴BD＝AC， ∵直线l经过点（0，6），且与y轴垂直，抛物线y＝﹣x2+2x+3（0≤x≤3）， ∴2≤AC≤6， ∴另一对角线BD的取值范围为：2≤BD≤6． 故答案为：2≤BD≤6． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了矩形的性质． 三．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分） 16．（7分）解方程：x2﹣2x﹣1＝0． 【分析】利用配方法解方程即可． 【解答】解：x2﹣2x﹣1＝0， x2﹣2x＝1， x2﹣2x+1＝2， （x﹣1）2＝2， ， ，． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程，熟练运用配方法解方程是解题的关键， 17．（7分）已知抛物线与交于A、B两点（A在B点左侧）． （1）请求出y1＜y2时x的取值范围； （2）求抛物线顶点C的坐标，并求△ABC面积． 【分析】（1）联立一次函数二次函数解方程，求出A、B坐标，根据函数图象及A、B两点坐标，选择直线下方部分的自变量的范围，即可得到答案； （2）连接CA，CB，根据二次函数的性质求出顶点C的坐标，过点C作CD∥y轴交AB于点D，根据S△ABC＝S△ACD+S△BCD，即可得到答案． 【解答】解：（1）联立方程组， 解得或， ∴A（2，1），， 由函数图象可得， B点左侧与A点右侧二次函数图象在一次函数下方，即：y1＜y2， ∴当y1＜y2时，2＜x＜7； （2） ， ∴顶点C坐标为（4，﹣1）， 过点C作CD∥y轴交AB于点D， 则点D的横坐标为4， ∴， ∴D（4，2）， ∴CD＝3， ∴S△ABC＝S△ACD+S△BCD ． 【点评】本题考查二次函数的性质，利用二次函数图象解一元二次不等式及二次函数上点围成图形面积，解题关键是联立函数解一元二次方程． 18．（7分）已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且4，求实数k的值． 【分析】（1）根据一元二次方程有实数根得到Δ＝（﹣4）2﹣4（k+1）＝﹣4k+12≥0，解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝4，x1x2＝k+1，将等式左侧展开代入计算即可得到k值． 【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两个实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4（k+1）＝﹣4k+12≥0， ∴k≤3； （2）依题意得，x1+x2＝4，x1x2＝k+1， ∵4， ∴， ∴， ∴k1＝5，k2＝﹣3， 又k≤3， ∴k＝﹣3， 经检验k＝﹣3是分式方程的解． 所以k＝﹣3． 【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 四．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分） 19．（9分）已知，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如表： x … ﹣1 2 3 … y … 3 0 3 … （1）求二次函数的解析式． （2）当﹣1＜x＜2时，y的取值范围是　﹣1≤y＜3　 ；当y≥0时，x的取值范围是x≤0或x≥2　 ． 【分析】（1）依据题意，结合表格数据可得，，从而计算可以得解； （2）依据题意，由y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，则当x＝1时，y取最小值为﹣1，结合当x＝﹣1时，y＝3；当x＝2时，y＝0，从而当﹣1＜x＜2时，可得﹣1≤y＜3；令y＝x2﹣2x＝0，则x＝0或x＝2，又抛物线的开口向上，从而当y≥0时，x≤0或x≥2，即可得解． 【解答】解：（1）由题意，结合表格数据可得， ． ∴． ∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x； （2）由题意，∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1， ∴当x＝1时，y取最小值为﹣1． 又∵当x＝﹣1时，y＝3；当x＝2时，y＝0， ∴当﹣1＜x＜2时，﹣1≤y＜3． 令y＝x2﹣2x＝0，则x＝0或x＝2， 又∵抛物线的开口向上， ∴当y≥0时，x≤0或x≥2． 故答案为：﹣1≤y＜3；x≤0或x≥2． 【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 20．（9分）小区计划利用一片空地建一个花圃，花圃为矩形，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12m，另三面用总长28m的篱笆材料围成，且计划建造花圃的面积为80m2．设垂直于墙的边长为xm． （1）求这个花圃的长和宽．（设矩形较长的边为长，较短的边为宽） （2）该小区计划购进A，B两种树苗共17棵种在花圃里，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元．若购进A，B两种树苗刚好用去1220元，求购进A，B两种树苗的数量． 【分析】（1）设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（28﹣2x）米，根据花圃的面积为80平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙的长度为12米，即可得出结论． （2）设购进A种树苗m棵，B种树苗n棵，根据购进A，B两种树苗共17棵，刚好用去1220元列出二元一次方程组，求解方程组即可． 【解答】解：（1）设垂直于墙的边长为x米， 依题意得：x（28﹣2x）＝80， x2﹣14x+40＝0， 解得x1＝4，x2＝10． 当x＝4时，28﹣2x＝20＞12，不符合题意，舍去； 当x＝10时，28﹣2x＝8，符合题意． 答：这个花圃的长为10米，宽为8米． （2）设购进A种树苗m棵，B种树苗n棵， ， 解得， 答：购进A种树苗10棵，B种树苗7棵． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用和一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． 21．（9分）综合与实践． 【教材呈现】七年级教材下册“第8章整式乘法”中，通过拼图、推演，得到了整式乘法法则和公式，在学习过程中让同学们了解到了公式的几何背景，感受了数形结合的思想方法．如课本38页，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形（如图1）． 通过计算图中的阴影面积，小明发现了一个重要的乘法公式：　（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 ． 其实，通过拼图算面积这种方法不仅能得到许多公式，还可以证明很多重要的定理． 【实践活动】 活动材料：如图2，4张A型直角三角形纸片． 活动要求：利用这些纸片（每种纸片需全部使用）拼成一个正方形，通过不同的方法计算图形的面积，从而探究出相应的等式． 活动内容： （1）图2是我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”，也称“赵爽弦图”，它是由4张A型直角三角形纸片与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，最长的斜边为c．试探究a2、b2、c2之间的数量关系并说明理由． （2）利用上述结论计算：若（a+b）2＝23，大正方形的面积为17，求小正方形的面积． 【拓展探究】如图3，是一幅未画完的“弦图”，仅用无刻度的直尺，画完这幅“弦图”．（用铅笔画图，保留画图痕迹，辅助线用虚线，确定答案后将所有线加粗加黑） 【分析】【教材呈现】根据正方形的面积公式与长方形的面积公式求解即可； 【实践活动】（1）根据大正方形的面积的两种不同表示方法求解即可； （2）根据已知条件求出a2+b2＝c2＝17，再求出小正方形的面积＝（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4，进而代入计算可以得解； 【拓展探究】先作出正方形的中心，再根据中心对称图形的定义作出图形即可． 【解答】解：【教材呈现】由题意得，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2， 故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； 【实践活动】（1）a2+b2＝c2，理由如下： ∵大正方形的面积＝c2＝4ab+（b﹣a）2， ∴c2＝a2+b2； （2）由题意，∵大正方形的面积为17， ∴a2+b2＝c2＝17． ∴小正方形的面积＝（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4 ＝23﹣4（23﹣17） ＝11； 【拓展探究】如图所示： 【点评】本题考查了勾股定理的证明，根据大正方形的面积的两种不同表示方法求解是解题的关键． 五．解答题（共2小题，满分27分） 22．（13分）如图，取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下： （1）【探究发现】： 操作一：先把矩形ABCD对折，折痕为EF； 操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，连接PM，BM． 根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中∠ABP＝　30　 °； （2）【类比应用】：小明将矩形纸片换成边长为4cm的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ． ①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝　15　 °，CQ＝　　 ； ②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由． （3）【拓展延伸】：在（2）的探究中，当QF＝1cm，请直接写出AP的长． 【分析】（1）根据折叠的性质，得，取BM的中点O，连接EO，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到EO＝BO＝BE，可证△BEO为等边三角形，进而可结果； （2）①根据折叠的性质，可证Rt△BQM≌Rt△BQC（HL）即可求解； ②证明Rt△BQM≌Rt△BQC（HL），即可； （3）由（2）可得QM＝QC，分两种情况：当点Q 在点F的下方时，当点Q在点F的上方时，设AP＝PM＝x，分别表示出 PD，DQ，PQ，由勾股定理即可求解 【解答】解：（1）∵， ∴， ∴∠BEM＝90°， 如图1，取BM的中点O，连接EO， ∴， ∴△BEO为等边三角形， ∴∠BME＝30°， ∴∠ABM＝60°， ∴∠ABP＝∠PBM＝30°， 故答案为：30； （2）①四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°， 由折叠性质得：AB＝BM，∠PMB＝∠BMQ＝∠A＝90°， ∴BM＝BC， ∵BM＝BC，BQ＝BQ， ∴Rt△BQM≌Rt△BQC（HL）， ∴∠MBQ＝∠CBQ，QM＝QC， 同法（1）可得：∠MBC＝30°， ∴∠MBQ＝∠CBQ＝15°， ∴∠ABM＝90°﹣30°＝60°， ∴∠APM＝180°﹣60°＝120°， ∴∠QPD＝180°﹣120°＝60°， 在Rt△ABP中，BP＝2AP， 根据勾股定理：BP2﹣AP2＝AB2， 即3AP2＝16， 解得：， ∴， 在Rt△PDQ中，PQ＝2PD， 根据勾股定理：DQ2＝PQ2﹣PD2，即DQ2＝3PD2， ∴， ∴， 故答案为：15，； ②∠MBQ＝∠CBQ，理由如下： ∵BM＝BC，BQ＝BQ， ∴Rt△BQM≌Rt△BQC（HL）， ∴∠MBQ＝∠CBQ； （3）当点Q在点F的下方时，如图3.1， ∵FQ＝lcm，DF＝FC＝2cm，AB＝4cm， ∴QC＝CD﹣DF﹣FQ＝4﹣2﹣1＝l（cm），DQ＝DF+FQ＝2+1＝3（cm）， 由（2）可知，QM＝QC， 设AP＝PM＝x，PD＝4﹣x， ∴PD2+DQ2＝PQ2， 即（4﹣x）2+32＝（x+1）2， 解得：， ∴； 当点Q在点F的上方时，如图3.2， ∵FQ＝lcm，DF＝FC＝2cm，AB＝4cm， ∴QC＝3cm，DQ＝lcm， 由（2）可知，QM＝QC， 设AP＝PM＝x，PD＝4﹣x， ∴PD2+DQ2＝PQ2， 即（4﹣x）2+12＝（x+3）2， 解得：， ∴． 综上所述，或． 【点评】本题考查了矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 23．（14分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝6，对称轴是直线x＝﹣2，点F在对称轴上运动． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在一点F，使得∠BFC为直角？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由； （3）将线段BC绕着点F逆时针方向旋转90°后得到线段B1C1，当点B1与C1恰有一点落在抛物线上时，求点F的坐标． 【分析】（1）由题意得出A（﹣6，0），C（0，6）．结合轴对称的性质得出B（2，0），再利用待定系数法求解即可； （2）由勾股定理得出．设BC中点为D，则D（1，3），连接DF．设点F（﹣2，t），则．当DF＝DC＝BD时，点B，C，F三点在以D为圆心，BC为直径的圆上，由圆周角定理得出此时∠BFC为直角，由直角三角形的性质得出，即，解方程即可得解； （3）设点F（﹣2，t）．则点B逆时针方向旋转90°后的坐标为B1（t﹣2，t+4），点C逆时针方向旋转90°后的坐标为C1（t﹣8，t+2），再分两种情况：当B1（t﹣2，t+4）在抛物线上时，当C1（t﹣8，t+2）在抛物线上时，分别求解即可． 【解答】解：（1）抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝6，对称轴是直线x＝﹣2， ∴A（﹣6，0），C（0，6），B（2，0）． 设抛物线解析式为y＝ax2+bx+6（a≠0），将A，B点的坐标代入得： 题意得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）存在一点F，使得∠BFC为直角；理由如下： ∵B（2，0），C（0，6）， ∴． 设BC中点为D，则D（1，3），连接DF．如图1， 设点F（﹣2，t），则． 当DF＝DC＝BD时，点B，C，F三点在以D为圆心，BC为直径的圆上， 此时，∠BFC为直角，，则， ∴t2﹣6t+18＝10， 化简得t2﹣6t+8＝0， 解得t1＝2，t2＝4． ∴F的坐标为（﹣2，2）或（﹣2，4）时，∠BFC为直角． （3）设点F（﹣2，t）． 则点B逆时针方向旋转90°后的坐标为B1（t﹣2，t+4），点C逆时针方向旋转90°后的坐标为C1（t﹣8，t+2）， 当B1（t﹣2，t+4）在抛物线上时，， 化简得t2+2t﹣8＝0， 解得t1＝2，t2＝﹣4． ∴t1＝2时，F（﹣2，2），t2＝﹣4时，F（﹣2，﹣4）． 经检验，此时点C1不在抛物线上． 当C1（t﹣8，t+2）在抛物线上时，， 化简得t2﹣10t+24＝0， 解得t1＝4，t2＝6． ∴当t1＝4时，F（﹣2，4），当t2＝6时，F（﹣2，6）． 经检验，此时点B1不在抛物线上． 综上，满足题意的点F的坐标为（﹣2，2），（﹣2，﹣4），（﹣2，4），（﹣2，6）． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、圆周角定理、直角三角形的性质、坐标与图形—旋转变换、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键 学科网（北京）股份有限公司 $