精品解析：广东深圳南方科技大学附属中学2024-2025学年高二下学期第二次月考数学试卷

南科大附中2025年春季学期高二年级第二次月考 数学 （本试卷共5页．满分150分．考试用时120分钟．） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场和座位号填写在答题卡上．将条形码粘贴在答题卡左上角“条形码粘贴处”． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，请将试卷妥善保管，答题卡统一交回． 一、选择题（本大题包括8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一个选项是正确的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，， 所以. 2. 已知向量，且，则（ ） A. 11 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由向量垂直的坐标表示，代入计算，即可求解. 【详解】因为向量，则， 且，则，解得. 故选：D 3. 从1，2，3，4，5这5个数中任取两个数，则这两个数的乘积为偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用列举法，结合古典概型的概率公式，可得答案. 【详解】从1，2，3，4，5这5个数中任取两个数的情况有： ，共种； 符合题意的有，共种. 所以概率为. 故选：D. 4. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则（ ） A. 有2个极值点 B. 在处取得极小值 C. 有极大值，没有极小值 D. 在上单调递减 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数的图象得出导函数的符号分布情况，进而可得出函数的单调区间，再根据极值的定义即可得解. 【详解】由导函数的图象可知， 当时，，仅时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数只有一个极值大点，无极小值点， 所以有极大值，没有极小值， 故ABD错误，C正确. 故选：C. 5. 一只蚂蚁从点出发沿着水平面的网格线爬行到点，再由点沿着长方体的棱爬行至顶点处，则它可以爬行的不同最短路径条数有（ ） A. 40 B. 60 C. 80 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】先求到的最短路径条数，再求到处的最短路径条数，由分步计数原理求爬行的不同最短路径条数. 【详解】从出发沿着水平面的网格线爬行到，需要走五段路，其中三纵二横，最短路径有条， 由点沿着长方体的棱爬行至顶点处，点处出发有3条路径，爬过一条棱后又各有2条最短路径到处，最短路径有条， 所以从到可以爬行的不同最短路径条数有条. 故选：B. 6. 下对于两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据：，，，，则下列说法正确的是（ ） ①由样本数据得到的回归直线必经过样本点中心 ②用来刻画回归效果，的值越小，说明模型的拟合效果越好 ③残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 ④用相关系数来衡量两个变量之间线性关系的强弱时，越接近于，相关性越弱； A. ①② B. ①③④ C. ①②③ D. ①③ 【答案】D 【解析】 【分析】根据回归方程的基本特征，相关系数与线性关系的强弱，残差及决定系数与模型拟合效果的关系，对每一个命题逐项判断即可. 【详解】解：由题意得： 样本中心点在回归直线上，故①正确； 越大拟合效果越好，故②不正确； 残差平方和越小的模型，拟合效果越好，故③正确； 用相关系数来衡量两个变量之间线性关系的强弱时，越接近于，相关性越强，故④不正确． 故选：D 7. 已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可设，则，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，从而可求解. 【详解】法一：如图，由已知可设，则， 由椭圆的定义有． 在中，由余弦定理推论得． 在中，由余弦定理得，解得． 所求椭圆方程为， 故选B． 法二：由已知可设，则， 由椭圆的定义有． 在和中，由余弦定理得，又互补， ，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为， 故选B． 【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养． 8. 已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先令，根据题中条件，判断其单调递减；将所求不等式化为，结合单调性，得到，求解即可. 【详解】令，因为，所以， 所以在上单调递减； 又，所以， 因此不等式可化为， 所以，解得， 即不等式的解集为. 故选：A 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据2，1，3，4，2，5，4，1的第45百分位数是4 B. 若数据，，，，的标准差为s，则数据，，，，的标准差为4s C. 随机变量X服从正态分布，若，则 D. 随机变量Y服从二项分布，若方差，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据百分位数的计算方法，可判定A错误；根据方差的性质，可判定B正确；根据正态分布曲线的对称性，可判定C正确；根据二项分布性质和概率的计算公式，可判定D正确. 【详解】对于A中，数据从小到大排列为，共有8个数据， 因为，所以数据的第45分位数为第4个数据，即为2，所以A错误； 对于B中，数据的标准差为， 由数据方差的性质，可得数据的标准差为，所以B错误； 对于C中，随机变量服从正态分布，且， 根据正态分布曲线的对称性，可得，所以C正确； 对于D中，随机变量服从二项分布，且， 可得，解得或， 当时，可得； 当时，可得， 综上可得，，所以D正确. 故选：CD. 10. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点满足，则（ ） A. 当时，平面 B. 任意，三棱锥的体积是定值 C. 存在，使得与平面所成的角为 D. 当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立适当的空间直角坐标系，对于A，时，与重合，故只需验证面是否成立即可，对于B，由不与平面平行，即点到面的距离不为定值，由此即可推翻B，对于C，考虑两种极端情况的线面角，由于是连续变化的，故与平面所成的角也是连续变化的，由此即可判断；对于D，求出平面的法向量，而显然球心坐标为，求出球心到平面的距离，然后结合球的半径、勾股定理可得截面圆的半径，进一步可得截面圆的面积. 【详解】如图所示建系，， 所以， 从而， 所以， 又面， 所以面， 时，与重合，平面为平面， 因为面，平面，A对. 不与平面平行，到面的距离不为定值， 三棱锥的体积不为定值，B错. 设面的法向量为， 则，令，解得， 即可取， 而， 所以与平面所成角的正弦值为， 又， 所以， 所以， 又面， 所以面， 当在时，与平面所成角的正弦值为，此时与平面所成角小于， 当在时，与平面所成角为， 所以存在使与平面所成角为，C正确. ， 设平面的法向量为， 不妨设，则. ，则，平面的法向量，显然球心， 到面的距离，外接球半径， 截面圆半径的平方为，所以，D对. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键是利用向量法求出球心到截面的距离，由此即可顺利得解. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若均为奇函数，则下列说法中一定正确的是（    ） A. B. 的图象关于点对称 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数的对称性可判断；对求导，分析的对称性可判断；分析的周期性可判断；分析的对称性、周期性可判断. 【详解】对于：为奇函数，所以， 令得，故正确； 对于：对求导得， 即，所以的图象关于对称，故错误； 对于：为奇函数，所以，所以， 由，可得，即， 所以，故正确； 对于：为奇函数，所以关于对称， 则， 为奇函数，即关于对称，所以关于对称， 则， 所以，即， 所以，所以为周期函数，且周期， ，， 所以， 所以，故正确. 故选：. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的展开式中含项的系数为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理即可求解. 【详解】的通项公式为， 所以的展开式中含项为， 所以展开式中含项的系数为． 故答案为：. 13. 期中考卷有8道单选题，小明对其中5道题有思路，3道题完全没思路．有思路的题做对的概率是0.9，没思路的题只能猜答案，猜对的概率为0.25，则小明从这8道题中随机抽取1道做对的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据全概率公式求解即可. 【详解】设事件表示“考生答对”，设事件表示“考生选到有思路的题” 则小明从这道题目中随机抽取道做对的概率为： . 故答案为：. 14. 已知棱长为的正四面体，且 ，为侧面内的一动点，若，则点的轨迹长为______． 【答案】 【解析】 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，设，由，得到，得到点在空间中的轨迹为一个球，进而点在侧面内的轨迹为以为圆心，以为半径的圆的一部分，求得，得到，进而求得点的轨迹长度. 【详解】以为原点，以的方向为轴，建立空间直角坐标系， 可得，因为，可得， 设，因为，即， 可得，整理得， 所以点在空间中的轨迹是以为球心，半径为的球， 又因为在侧面内，过点作平面于点，则为的中心， 点在侧面内的轨迹为以为圆心，以为半径的圆的一部分， （如图所示的圆的虚线部分）， 因为，所以， 所以，则， 所以点的轨迹长度为. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 为了研究学生每天整理数学错题的情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”. 已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占.    数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理 不经常整理 合计 （1）求图1中的值； （2）根据图1、图2中的数据，补全上方列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关? 附： 【答案】（1） （2）列联表为： 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理 35 25 60 不经常整理 15 25 40 合计 50 50 100 可认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联，此推断犯错误的概率不大于. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中各矩形面积和为1建立方程求解即可； （2）根据题目数据补全列联表，代入公式求出观测值，将其与临界值进行对比，进而求解即可. 【小问1详解】 由题意可得，解得； 【小问2详解】 数学成绩优秀的有人，不优秀的人人， 经常整理错题的有人， 不经常整理错题的是人，经常整理错题且成绩优秀的有人， 则列联表为： 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理 35 25 60 不经常整理 15 25 40 合计 50 50 100 零假设为：数学成绩优秀与经常整理数学错题无关， 根据列联表中的数据，经计算得到可得， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联，此推断犯错误的概率不大于. 16. 数列满足：，． （1）数列满足：，试判断是否是等比数列，并说明理由； （2）数列满足：，求数列的前项和． 【答案】（1） 是等比数列，理由如下： 因为，故， 又，故， 因为，所以，故是以为首项，为公比的等比数列． （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，结合等比数列的定义即可说明； （2）由（1）可知，从而得到，再由分组求和法及并项求和法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，所以， 所以， 所以 ． 17. 深圳市仙湖植物园统计连续5天入园参观的人数（单位：千人）如下： （1）建立关于的回归直线方程，预测第13天入园参观人数； （2）仙湖植物园只开放南门、北门供游客出入，游客从南门、北门入园的概率相同，且从同一个门出园的概率为，从不同门出园的概率为．假设游客从南门、北门出入公园互不影响，如果甲、乙两名游客从南门出园求他们从同一个门入园的概率． 日期 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 第天 1 2 3 4 5 参观人数 2.4 2.7 4.1 6.4 7.9 附：参考数据：，，，． 参考公式：回归直线方程，其中，． 【答案】（1）回归直线方程为，第13天入园参观人数约为19.4千人； （2） 【解析】 【分析】（1）将相关数据代入最小二乘法公式，求出、的值，可得出回归直线方程，将代入回归直线方程，可预测出第13天入园参观人数； （2）记事件：甲、乙两名游客从南门出园，事件：甲、乙两名游客从同一个门入园，计算出的值，利用条件概率公式可求解. 【小问1详解】 由最小二乘法公式可得， 则， 所以，关于的回归直线方程为， 当时，， 因此，预测第13天入园参观人数约为19.4千人. 【小问2详解】 记事件：甲、乙两名游客从南门出园，事件：甲、乙两名游客从同一个门入园， 则， 如果甲、乙都从南门入园，且都从南门出园，其概率为， 如果甲、乙都从北门入园，且都从南门出园，其概率为， 如果甲从南门入园，乙从北门入园，且都从南门出园，其概率为， 如果甲从北门入园，乙从南门入园，且都从南门出园，其概率为， 所以， 由条件概率公式可得. 因此，如果甲、乙两名游客从南门出园，则他们从同一个门入园的概率为. 18. 已知数列满足，并且对任意的，取或的概率均为． （1）求的概率； （2）设的值为随机变量X． ①求X的分布列； ②求随机变量的数学期望． 【答案】（1） （2）① 的概率分布可表示为. ② 【解析】 【分析】（1）分别求得和时概率，结合互斥事件的概率加法，即可求解； （2）（ⅰ）设，得到，设且此时中有个个，得到，求得，得到事件的含义，即可求得的概率分布，得到答案.. （ⅱ）对任意，得到，结合组合数的运算公式，进而求得的表达式，得到答案. 【小问1详解】 当时概率为， 当时概率为， 所以的概率为． 【小问2详解】 ①设， 则对任意正整数，取1或1的概率均为，且， 设．显然， 再设此时中有个个，则， 因此只能取之间的偶数值，所以， 对于偶数， 事件相当于在个数中，有个取1，个取， 所以的概率分布可表示为. ② 对任意，可得． 所以， 则 . 19. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在区间上的最大值的表达式； （3）若函数有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）求导后，分及讨论函数的单调性，结合函数的单调性即可得函数的最大值，即可得解； （3）由函数的单调性，可设出，即有，结合零点的存在性定理得出极小值，从而解出的范围. 【小问1详解】 易知函数的定义域为. 当时，. ， 所以在点处的切线斜率， 又，即点坐标为， 所以点处的切线方程为； 【小问2详解】 因为. 所以， 当时，易知在上恒成立，所以在上单调递减， 故函数在区间上的最大值为. 当时，令， 则在上单调递增， 且当时，，当时，， 所以在上有唯一的一个零点. 令，则该方程有且只有一个正根，记为，则可得： 单调递减 单调递增 所以函数在区间上的最大值为， 由，有： 当时，； 当时，， 故； 【小问3详解】 由（2）可知，当时，在上单调递减， 故此时函数至多有一个零点，不符合题意； 当时，在时，单调递减，在时，单调递增； 且，所以，① 又时，，当时，， 为了满足有两个零点，则有.② 对①两边取对数可得，③ 将①③代入②可得，解得. 所以实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于设出，即有，结合零点的存在性定理得出极小值，从而解出的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南科大附中2025年春季学期高二年级第二次月考 数学 （本试卷共5页．满分150分．考试用时120分钟．） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场和座位号填写在答题卡上．将条形码粘贴在答题卡左上角“条形码粘贴处”． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，请将试卷妥善保管，答题卡统一交回． 一、选择题（本大题包括8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一个选项是正确的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，且，则（ ） A. 11 B. C. D. 3. 从1，2，3，4，5这5个数中任取两个数，则这两个数的乘积为偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则（ ） A. 有2个极值点 B. 在处取得极小值 C. 有极大值，没有极小值 D. 在上单调递减 5. 一只蚂蚁从点出发沿着水平面的网格线爬行到点，再由点沿着长方体的棱爬行至顶点处，则它可以爬行的不同最短路径条数有（ ） A. 40 B. 60 C. 80 D. 120 6. 下对于两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据：，，，，则下列说法正确的是（ ） ①由样本数据得到的回归直线必经过样本点中心 ②用来刻画回归效果，的值越小，说明模型的拟合效果越好 ③残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 ④用相关系数来衡量两个变量之间线性关系的强弱时，越接近于，相关性越弱； A. ①② B. ①③④ C. ①②③ D. ①③ 7. 已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为 A. B. C. D. 8. 已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据2，1，3，4，2，5，4，1的第45百分位数是4 B. 若数据，，，，的标准差为s，则数据，，，，的标准差为4s C. 随机变量X服从正态分布，若，则 D. 随机变量Y服从二项分布，若方差，则 10. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点满足，则（ ） A. 当时，平面 B. 任意，三棱锥的体积是定值 C. 存在，使得与平面所成的角为 D. 当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若均为奇函数，则下列说法中一定正确的是（    ） A. B. 的图象关于点对称 C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的展开式中含项的系数为______． 13. 期中考卷有8道单选题，小明对其中5道题有思路，3道题完全没思路．有思路的题做对的概率是0.9，没思路的题只能猜答案，猜对的概率为0.25，则小明从这8道题中随机抽取1道做对的概率为__________． 14. 已知棱长为的正四面体，且 ，为侧面内的一动点，若，则点的轨迹长为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 为了研究学生每天整理数学错题的情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”. 已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占.    数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理 不经常整理 合计 （1）求图1中的值； （2）根据图1、图2中的数据，补全上方列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关? 附： 16. 数列满足：，． （1）数列满足：，试判断是否是等比数列，并说明理由； （2）数列满足：，求数列的前项和． 17. 深圳市仙湖植物园统计连续5天入园参观的人数（单位：千人）如下： （1）建立关于的回归直线方程，预测第13天入园参观人数； （2）仙湖植物园只开放南门、北门供游客出入，游客从南门、北门入园的概率相同，且从同一个门出园的概率为，从不同门出园的概率为．假设游客从南门、北门出入公园互不影响，如果甲、乙两名游客从南门出园求他们从同一个门入园的概率． 日期 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 第天 1 2 3 4 5 参观人数 2.4 2.7 4.1 6.4 7.9 附：参考数据：，，，． 参考公式：回归直线方程，其中，． 18. 已知数列满足，并且对任意的，取或的概率均为． （1）求的概率； （2）设的值为随机变量X． ①求X的分布列； ②求随机变量的数学期望． 19. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在区间上的最大值的表达式； （3）若函数有两个零点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $