广东深圳南方科技大学附属中学2024-2025学年高二下学期第二次月考数学试卷

南科大附中2025年春季学期高二年级第二次月考 数学 （本试卷共5页．满分150分．考试用时120分钟．） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场和座位号填写在答题卡上．将条形码粘贴在答题卡左上角“条形码粘贴处”． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，请将试卷妥善保管，答题卡统一交回． 一、选择题（本大题包括8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一个选项是正确的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，且，则（ ） A. 11 B. C. D. 3. 从1，2，3，4，5这5个数中任取两个数，则这两个数的乘积为偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则（ ） A. 有2个极值点 B. 在处取得极小值 C. 有极大值，没有极小值 D. 在上单调递减 5. 一只蚂蚁从点出发沿着水平面的网格线爬行到点，再由点沿着长方体的棱爬行至顶点处，则它可以爬行的不同最短路径条数有（ ） A. 40 B. 60 C. 80 D. 120 6. 下对于两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据：，，，，则下列说法正确的是（ ） ①由样本数据得到的回归直线必经过样本点中心 ②用来刻画回归效果，的值越小，说明模型的拟合效果越好 ③残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 ④用相关系数来衡量两个变量之间线性关系的强弱时，越接近于，相关性越弱； A. ①② B. ①③④ C. ①②③ D. ①③ 7. 已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为 A. B. C. D. 8. 已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据2，1，3，4，2，5，4，1的第45百分位数是4 B. 若数据，，，，的标准差为s，则数据，，，，的标准差为4s C. 随机变量X服从正态分布，若，则 D. 随机变量Y服从二项分布，若方差，则 10. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点满足，则（ ） A. 当时，平面 B. 任意，三棱锥的体积是定值 C. 存在，使得与平面所成的角为 D. 当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若均为奇函数，则下列说法中一定正确的是（    ） A. B. 的图象关于点对称 C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的展开式中含项的系数为______． 13. 期中考卷有8道单选题，小明对其中5道题有思路，3道题完全没思路．有思路的题做对的概率是0.9，没思路的题只能猜答案，猜对的概率为0.25，则小明从这8道题中随机抽取1道做对的概率为__________． 14. 已知棱长为的正四面体，且 ，为侧面内的一动点，若，则点的轨迹长为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 为了研究学生每天整理数学错题的情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”. 已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占.    数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理 不经常整理 合计 （1）求图1中的值； （2）根据图1、图2中的数据，补全上方列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关? 附： 16. 数列满足：，． （1）数列满足：，试判断是否是等比数列，并说明理由； （2）数列满足：，求数列的前项和． 17. 深圳市仙湖植物园统计连续5天入园参观的人数（单位：千人）如下： （1）建立关于的回归直线方程，预测第13天入园参观人数； （2）仙湖植物园只开放南门、北门供游客出入，游客从南门、北门入园的概率相同，且从同一个门出园的概率为，从不同门出园的概率为．假设游客从南门、北门出入公园互不影响，如果甲、乙两名游客从南门出园求他们从同一个门入园的概率． 日期 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 第天 1 2 3 4 5 参观人数 2.4 2.7 4.1 6.4 7.9 附：参考数据：，，，． 参考公式：回归直线方程，其中，． 18. 已知数列满足，并且对任意的，取或的概率均为． （1）求的概率； （2）设的值为随机变量X． ①求X的分布列； ②求随机变量的数学期望． 19. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在区间上的最大值的表达式； （3）若函数有两个零点，求实数的取值范围. 南科大附中2025年春季学期高二年级第二次月考 数学 （本试卷共5页．满分150分．考试用时120分钟．） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场和座位号填写在答题卡上．将条形码粘贴在答题卡左上角“条形码粘贴处”． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，请将试卷妥善保管，答题卡统一交回． 一、选择题（本大题包括8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一个选项是正确的） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 【9题答案】 【答案】CD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 【15题答案】 【答案】（1） （2）列联表为： 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理 35 25 60 不经常整理 15 25 40 合计 50 50 100 可认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联，此推断犯错误的概率不大于. 【16题答案】 【答案】（1） 是等比数列，理由如下： 因为，故， 又，故， 因为，所以，故是以为首项，为公比的等比数列． （2） 【17题答案】 【答案】（1）回归直线方程为，第13天入园参观人数约为19.4千人； （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）① 的概率分布可表示为. ② 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $