精品解析：广东深圳南方科技大学附属中学2025-2026学年高二下学期第一次学情调研数学试卷

南科大附中2026年春季学期高二年级学情调研 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考场和座位号填写在答题卡上.将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，请将试卷妥善保管，答题卡统一交回. 一､单项选择题（本大题包括8小题､每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一个选项是正确的.） 1. 下列结论：①②③若，则.其中正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 2. 已知是等差数列的前项和，若，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 有六人排成一排，甲､乙两人必须相邻，则满足要求的排法有（ ） A. 120种 B. 180种 C. 240种 D. 360种 4. “冰雹猜想”数列满足：，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列的前项和，将该数列排成一个数阵（如图），其中第行有个数，则该数阵第行从左向右第个数是（ ） A. B. C. D. 7. 为了落实五育并举，全面发展学生素质，学校准备组建书法､音乐､美术､体育社团，现将5名同学分配到这4个社团进行培训，每名同学只分配到1个社团，每个社团至少分配1名同学，则不同的分配方案共有（ ） A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 480种 8. 设函数，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本大题包括3小题，每小题6分，共18分.在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 记为数列的前n项和，下列说法正确的是（ ） A. 若对，，有，则数列是等差数列 B. 若对，，有，则数列是等比数列 C. 已知，则是等差数列 D. 已知，则是等比数列 10. 已知，且第5项与第6项的二项式系数相等，则（ ） A. B. C. D. 11. 若，则（ ） A. B. C. D. 三､填空题（本大题包括3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若a1＝1，nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，则数列{an}的通项公式an＝________． 13. 已知展开式的二项式系数之和为64，则其展开式中含 项的系数为_______. 14. 已知为常数，函数，若关于的方程有且只有4个不同解，则实数的取值集合为__________． 四､解答题（本大题包括5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且. （1）求角C及边c的值； （2）求的最大值. 16. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求的零点个数． 17. 数列满足，. （1）求证：数列是等差数列； （2）若，求正整数的最小值. 18. 如图，内接于圆，为圆的直径，平面，为线段的中点． （1）求证：平面平面； （2）若，，，求平面与平面所成角的余弦值． 19. 已知函数. （Ⅰ）求函数的图象在点处的切线方程； （Ⅱ）若，且对任意恒成立，求的最大值； （Ⅲ）当时，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南科大附中2026年春季学期高二年级学情调研 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考场和座位号填写在答题卡上.将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，请将试卷妥善保管，答题卡统一交回. 一､单项选择题（本大题包括8小题､每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一个选项是正确的.） 1. 下列结论：①②③若，则.其中正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的运算公式进行判断即可. 【详解】①：因为，所以本结论不正确； ②：因为，所以本结论不正确； ③：由，因此，所以本结论正确， 故选：B 2. 已知是等差数列的前项和，若，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【详解】根据等差数列的前项和公式，，所以，解得. 3. 有六人排成一排，甲､乙两人必须相邻，则满足要求的排法有（ ） A. 120种 B. 180种 C. 240种 D. 360种 【答案】C 【解析】 【详解】将甲、乙两人捆绑为一个整体，两人内部的排列种数为， 将甲乙整体看成一个元素与剩余的4人共5个不同元素进行全排列，排列种数为， 总排法种数为种. 4. “冰雹猜想”数列满足：，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】由，结合递推规则， 倒推： 先求， 若为偶数，则，得，是偶数，符合前提； 若为奇数，则，得，不满足该分支的前提，舍去. 故，再求， 若为偶数，则，得，是正偶数，符合条件； 若为奇数，则，得，与矛盾，舍去. 综上，. 5. 若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导得到切线的斜率为，解方程即得解. 【详解】解：由题得，所以切线的斜率为， 因为切线与直线垂直，所以 故选：B 6. 已知数列的前项和，将该数列排成一个数阵（如图），其中第行有个数，则该数阵第行从左向右第个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用与之间关系可求得，结合等比数列前项和可确定所求项为，由通项公式可求得结果. 【详解】当时，； 当时，满足； 综上所述：； 该数阵前行共有：个数， 则第行从左向右第个数为. 7. 为了落实五育并举，全面发展学生素质，学校准备组建书法､音乐､美术､体育社团，现将5名同学分配到这4个社团进行培训，每名同学只分配到1个社团，每个社团至少分配1名同学，则不同的分配方案共有（ ） A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 480种 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，本题属于部分平均分配问题，可以将问题拆分为两步完成，先分组再分配，即可完成求解. 【详解】由题意，分步完成， 第一步，将5名同学按1，1，1，2分成4组，有种分组方法； 第二步，将分成4组的学生安置在4个社团，有种方法， 由分步乘法计数原理得，共有：不同的分配方案， 故选：C. 8. 设函数，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，定义域为R，得到为奇函数，即，求导，得到在R上单调递增，变形得到，从而，求出解集. 【详解】令，定义域为R， ， 故为奇函数，即， ， 故在R上单调递增， ， 故， 即， 所以，， 解得或. 故选：B 二､多项选择题（本大题包括3小题，每小题6分，共18分.在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 记为数列的前n项和，下列说法正确的是（ ） A. 若对，，有，则数列是等差数列 B. 若对，，有，则数列是等比数列 C. 已知，则是等差数列 D. 已知，则是等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用等差和等比数列的定义及性质，以及等差和等比数列前项和的形式，可逐一判断. 【详解】解：对A，由等差中项的性质，可知数列是等差数列，故A正确； 对B，若，满足，，但不为等比数列，故B错误； 对C，当时，，当时，，时符合该式，易知是以为首项，为公差的等差数列，故C正确； 对D，当时，，时，，时符合该式，易知是以为首项，为公比的等比数列，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知，且第5项与第6项的二项式系数相等，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】本题根据题目条件得出，从而求得，再根据各选项采用赋值法可求出相应的结果，从而判断各选项的正误. 【详解】因为第5项与第6项的二项式系数相等，所以，则， 令，得，故A不正确； 令，得，又， 所以，故B正确； 因为，所以，故C不正确； 令，得，所以， 所以，故D正确． 故选：BD. 11. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】作差比较可判断A；构造函数，利用导数求单调性可判断B；作商比较，结合基本不等式可判断C；构造函数，利用导数判断单调性可判断D. 【详解】对A：因为，则， 所以，所以，A错误； 对B：记，则， 所以在上单调递减， 又，所以，即，即，B正确； 对C：因为，所以，， ，因，故等号不成立， 则，所以，C正确； 对D：记，则， 记，则，故， 所以在上单调递减，， 则，所以在单调递减， 又，所以，即，即，D错误. 故选：BC. 三､填空题（本大题包括3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若a1＝1，nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，则数列{an}的通项公式an＝________． 【答案】 【解析】 【分析】 依题意，再利用累乘法求数列的通项公式； 【详解】解：由，得． 所以 又也满足式，所以． 故答案为： 【点睛】本题考查累乘法求数列的通项公式，属于基础题. 13. 已知展开式的二项式系数之和为64，则其展开式中含 项的系数为_______. 【答案】240 【解析】 【分析】根据二项式系数之和可得，结合展开式的通项运算求解即可. 【详解】由题意可知：，解得， 则的展开式的通项为， 令，解得， 所以展开式中项的系数为. 故答案为：240. 14. 已知为常数，函数，若关于的方程有且只有4个不同解，则实数的取值集合为__________． 【答案】 【解析】 【详解】画出函数的图象如图所示： ∵过点 ∴当时，显然不满足题意，故 ∵在上与函数有一个交点 ∴在上与函数有三个交点，且由图所示在上与函数有一个交点 设直线与的图象在相切的切点坐标为，则， ∵ ∴ ∴，， ∴实数的取值范围是 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路： (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 四､解答题（本大题包括5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且. （1）求角C及边c的值； （2）求的最大值. 【答案】（1）， （2）4 【解析】 【小问1详解】 由， 根据余弦定理，得， 因为，则. 由，得， 根据正弦定理，得，则. 【小问2详解】 由（1）知，， 则，即， 当且仅当时等号成立， 则的最大值为4. 16. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求的零点个数． 【答案】（1）的单调递减区间为；单调递增区间为，； （2）1个． 【解析】 【分析】本题考查了利用导数研究函数的单调性与零点问题，掌握通过导数符号判断单调性，结合单调性与函数值符号分析零点个数的方法是解题的关键． （1）对函数求导，令导数为零求出极值点，根据导数符号判断单调区间； （2）结合单调区间，分析各区间端点函数值符号，判断零点个数． 【小问1详解】 解：由题可得， 令，解得或， 令，解得；令0，解得或， 所以的单调递减区间为；单调递增区间为，． 【小问2详解】 解：由（1）知，在上单调递增，在上单调递减， 故在上的最大值为， 因此在上无零点 在区间上，单调递增，且，， 故在上存在唯一零点 综上，函数仅有1个零点． 17. 数列满足，. （1）求证：数列是等差数列； （2）若，求正整数的最小值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】 （1）将递推公式变形为，然后利用定义可证明出数列是等差数列； （2）求得，于是得出，利用裂项相消法求得，由此解出不等式，即可得出满足条件的正整数的最小值. 【详解】（1）对任意的，，， ，且， 所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列； （2）由（1）可得，， ， ，解得. 因此，正整数的最小值为. 【点睛】本题考查等差数列的证明，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题. 18. 如图，内接于圆，为圆的直径，平面，为线段的中点． （1）求证：平面平面； （2）若，，，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明如下： 因为内接于圆，为圆的直径，所以． 因为平面，平面， 所以． 又，平面，， 所以平面． 因为平面，所以平面平面． （2） 【解析】 【分析】第（1）问利用直径所对圆周角是直角和线面垂直的性质，先证线线垂直再证线面垂直，最后推出面面垂直； 第（2）问建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量夹角公式计算两个平面所成角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，，平面， 所以，． 以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，所以， 则，，，， 所以，． 设平面的法向量，由得 不妨设，则， 所以平面的一个法向量． 又，， 设平面的法向量， 由得 不妨设，则，， 所以平面的一个法向量． 所以， 即平面与平面所成角的余弦值为． 19. 已知函数. （Ⅰ）求函数的图象在点处的切线方程； （Ⅱ）若，且对任意恒成立，求的最大值； （Ⅲ）当时，证明：. 【答案】（Ⅰ）；（II）3；（Ⅲ）证明见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）对任意恒成立，等价于对任意恒成立，，利用导数求得，从而可求整数的最大值；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，是上的增函数， 当时，，利用对数的运算结合，化简即可得结论. 【详解】（Ⅰ）， 函数的图象在点处的切线方程； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，对任意恒成立， 即对任意恒成立． 令，则， 令，则， 所以函数在上单调递增． ， 方程在上存在唯一实根，且满足． 当时，，即， 当时，，即， 所以函数在上单调递减，在上单调递增． ， ， 故整数的最大值是3． （Ⅲ）由（Ⅱ）知，是上的增函数， 当时，． 即． 整理，得． ． 即． 即． ． 【点睛】本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题以及利用导数证明不等式，属于难题. 不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $