精品解析：天津市第四十一中学2026-2027学年高三上学期开学考数学试卷

天津市第四十一中学2026-2027学年高三上学期开学考数学试卷 一、单选题（每小题5分，共60分） 1. 已知集合，集合，则集合C的子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 下列条件中，使得“”成立的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，既是偶函数，又在区间内是增函数的为（ ） A. ， B. ， C. ， D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 6. 若复数满足，则复平面内表示的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 已知，则（ ） A. 25 B. 5 C. D. 8. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设，，，则的大小关系是 A. B. C. D. 11. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是　　 A. B. C. D. 12. 若，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数为奇函数 B. 函数在上单调递增 C. D. 函数在上单调递减 二、填空题（每小题5分，共45分） 13. 命题“”的否定是___________． 14. 设，，若是的必要条件，则实数m的取值范围是________． 15. 的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的系数是___________．（请用数字作答） 16. 随机变量的分布列如表所示，且，则______． a 0 3 P b 17. －的值为　________　. 18. 若，，则________________． 19. 若抛物线y＝x2－x＋c上的一点P的横坐标是－2，抛物线在点P处的切线恰好过坐标原点，则实数c的值为________． 20. 若，且，则的最小值为___________． 21. 已知函数若方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围是___________. 三、解答题：（每小题15分，共45分） 22. 设函数的定义域为 （1）求集合； （2）已知函数，不等式的解集为 （i）求实数a，b的值； （ii）若对，恒成立，求实数k的取值范围. 23. 已知． （1）求的值； （2）若，求的值． 24. 已知函数，（为自然对数的底数）. （1）求函数的单调区间： （2）设在处的切线方程为，求证：当时，； （3）若，存在，使得，且，求证：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市第四十一中学2026-2027学年高三上学期开学考数学试卷 一、单选题（每小题5分，共60分） 1. 已知集合，集合，则集合C的子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】集合， 所以， 所以集合C的子集个数为. 2. 下列条件中，使得“”成立的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】对于A：因为在定义域上单调递增， 所以由可以得到，故充分性成立， 由可以推得出，故必要性成立， 所以是的充要条件，故A错误； 对于B：因为在定义域上单调递减，由可得，故充分性成立， 由不一定得到，故必要性不成立， 故是的充分不必要条件，故B正确； 对于C：当，时满足，但是不成立，即充分性不成立， 当，时满足，但是，故必要性不成立， 所以是的既不充分又不必要条件，故C错误； 对于D：当，时满足，但是不成立，即充分性不成立， 当，时满足，但是不成立，即必要性不成立， 所以是的既不充分又不必要条件，故D错误. 故选：B 3. 下列函数中，既是偶函数，又在区间内是增函数的为（ ） A. ， B. ， C. ， D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用函数的奇偶性的定义判断每个选项的奇偶性，进而判断单调性即可. 【详解】对于A，函数为偶函数，由，， 所以在上先单调递减再单调递增，故A错误， 对于B，函数为非奇非偶函数，故B错误； 对于C，，可得为奇函数，故C错误， 对于D，函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以函数为偶函数， 当时，函数在上为增函数． 故选:：D． 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式可得，即可得出答案. 【详解】因为，所以. 故选：B. 5. 函数的图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性可排除A，利用定义域可排除C，根据时的函数值的正负可排除D，进而即得. 【详解】由题可得函数的图象关于原点对称，定义域为， 对于A，，函数关于y轴对称，故A错误； 对于C，因为的定义域为，故C错误； 对于D，当，时，，不符合图象，故D错误； 对于B，，函数的图象关于原点对称，且时，，符合题意，所以B正确. 故选：B. 6. 若复数满足，则复平面内表示的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，先求，再求，根据复数的几何意义进行判断. 【详解】由， 所以.对应的点在第一象限.. 故选：A 7. 已知，则（ ） A. 25 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 【详解】因为，，即，所以． 故选：C. 8. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平方关系，结合同角三角函数关系式，即可求解. 【详解】，，，，， ，所以. 故选：C 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由余弦和差公式及齐次式化弦为切即可求. 【详解】. 故选：D 10. 已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设，，，则的大小关系是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用函数为偶函数得到在上是单调减函数，而，故根据可得的大小关系. 【详解】因为为偶函数且在为增函数，故在上是单调减函数，又，故， 也就是，因此，故选D. 【点睛】本题是函数的奇偶性和单调性的综合，注意偶函数两侧的单调性相反，奇函数两侧的单调性一致.另外，对于偶函数，有等式，它可以把不在同一单调区间的变量的函数值统一到同一一个单调区间中，从而利用已知的单调性比较函数值的大小. 11. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，当时需，解得即可； 【详解】解：由题意，当，解得， 当时，原不等式即为对一切都成立，符合题意； 当时，原不等式即，不符合题意； 当时，要使不等式的解集为， 则成立，解得， 综上可得. 故选：D 12. 若，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数为奇函数 B. 函数在上单调递增 C. D. 函数在上单调递减 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数对称性可得的解析式，由此可得的单调性，再依次判断各个选项即可. 【详解】若，则函数的图象关于对称. 当时，； 当时，， 所以. 因此，函数在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增. 且的最小值为. 故B，D错误，C正确. 又，所以函数不是奇函数，所以A错误. 二、填空题（每小题5分，共45分） 13. 命题“”的否定是___________． 【答案】 【解析】 【详解】根据全称量词命题的否定形式可知，需要将全称量词替换成存在量词，变量的范围保持不变， 所以题中命题的否定为. 14. 设，，若是的必要条件，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】由得，得， 因为是的必要条件，所以，得， 故实数m的取值范围是. 15. 的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的系数是___________．（请用数字作答） 【答案】#### 【解析】 【分析】先得到，从而利用的展开式通项公式进行求解，得到答案 【详解】只有第六项的二项式系数最大，则的展开式共11项，所以， 其中展开式通项公式为， 令得，故， 所以展开式中的系数是. 16. 随机变量的分布列如表所示，且，则______． a 0 3 P b 【答案】2 【解析】 【分析】利用分布列性质来求参数，再利用期望和方差公式计算即可求解. 【详解】由题意得：，解得：， 所以. 17. －的值为　________　. 【答案】4 【解析】 【详解】 . 18. 若，，则________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用三角函数的定义，准确运算，即可求解. 【详解】因为，且， 可令，则，设终边上一点的坐标， 则，可得． 故答案为：． 19. 若抛物线y＝x2－x＋c上的一点P的横坐标是－2，抛物线在点P处的切线恰好过坐标原点，则实数c的值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】先求y＝x2－x＋c在x=﹣2处的导数，从而求出切线的斜率，根据切线恰好过坐标原点建立 等量关系即可． 【详解】∵y′=2x﹣1，∴y′|x=﹣2=﹣5，又P（﹣2，6+c），抛物线在点P的切线恰好过坐标原点， ∴ =﹣5．∴c=4； 故答案为4． 【点睛】本题考查了求函数的切线方程问题，利用了导数的几何意义，属于基础题． 20. 若，且，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】换元可得，，利用基本不等式“1”的妙用进行求解 【详解】令，则，， 则， 其中， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以， 所以的最小值为. 21. 已知函数若方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】直接研究方程的解，分类讨论，是一个根，时，是具体的函数式，其方程根的情况容易讨论，时，方程的根容易求得，这样结合起来即可得结论． 【详解】，因此是方程的一个实根， 时，方程有三个不等实根， 时，，即，，函数在时是减函数， ，，，， 时，有小于0的一根，时，无小于0的实根， 时，，，， 此方程最多有两个实根，或（时）， 综上所述，时，方程有4个不同的实数根． 故答案为：． 三、解答题：（每小题15分，共45分） 22. 设函数的定义域为 （1）求集合； （2）已知函数，不等式的解集为 （i）求实数a，b的值； （ii）若对，恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数及根式有意义计算求出定义域； （2）（i）由不等式与方程的关系，根据一元二次方程的解与系数关系，可得答案； （ii）根据不等式恒成立，结合二次函数的单调性求得最值，可得答案. 【小问1详解】 要使得函数有意义，只需要 解得，所以集合； 【小问2详解】 （i）因为的解集为， 所以的两根为和3， 所以解得. （ii）由（1）得， ，，即， 因为当时，单调递增， 所以，即，解得. 23. 已知． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据，得到，由利用平方关系求得，然后由求解. （2）由（1）知，然后由求解. 【详解】（1）因为， 所以，又， 所以， 所以， . （2）由（1）知， 所以， 因为， 所以 【点睛】本题主要考查两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 24. 已知函数，（为自然对数的底数）. （1）求函数的单调区间： （2）设在处的切线方程为，求证：当时，； （3）若，存在，使得，且，求证：当时，. 【答案】（1）单调递增区间，单调递减区间 （2）证明：因为，所以，而， 所以在点处的切线方程为：， 当时，令， 由，，当时，，当时，， 所以在递减，在上单调递增，故，即， 所以，所以， 所以在时恒成立， 即时，得证. （3）证明：由题意可知， 因为时，， 令，所以在时单调递减， 所以，所以在上为减函数，且，此时， 则由（1）有在上单调递减，在上单调递增，且，此时， 由题意，设， 设与交点的横坐标为，则，有， 因为，且， 所以，又， 所以， 令，则 ， 令，则， 所以时，，时，， 所以函数在上递增，在上递减， 所以，即， 所以，， 所以在单调递增. 在时，， 所以， 所以. 【解析】 【分析】（1）求出导数，解不等式即可得解； （2）求出切线方程，令，利用导数求出函数的单调性，即可得证； （3）由的单调性，得出的单调性，转化为，可转化为，构造函数利用导数求最值即可得证. 【小问1详解】 因为，定义域为， 令，即， 所以递减区间为，递增区间为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第三步证明困难，关键在于由，转化为，再利用导数求出在上的最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $