28.3 圆心角、弧、弦之间的关系 课件 2026-2027学年冀教版九年级数学上册

该初中数学课件围绕圆的圆心角、圆周角及圆内接四边形展开，涵盖圆心角与弧弦关系、圆周角定理及推论、圆内接四边形性质。导入通过圆的对称性复习、足球射门情境、三角形到四边形迁移，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于以生活情境和问题驱动培养数学眼光，如足球射门引出圆周角比较，通过分类探究（圆周角三种位置关系证明）发展数学思维，分层作业（基础练习到生活实例搜集）提升数学语言应用能力。助力学生理解知识本质，教师可高效开展探究式教学。

第二十八章 圆 28.3 圆心角和圆周角 第1课时 圆心角、弧、弦之间的关系 更多模板请关注：https：//haosc.taobao.com 导入新课 1.圆是轴对称图形吗？它的对称轴在哪？ 圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线(或过圆心的直线). 2.如图所示，将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形能与原图形重合吗？由此能得到什么结论呢？ 能重合；圆是中心对称图形. 2 导入新课 3.如图所示，把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？ 圆是中心对称图形，对称中心是圆心，而且把圆绕圆心旋转任意一个角度，都能与圆重合，所以圆具有旋转不变性. 3 高效课堂 任务一：掌握圆心角的定义 如图所示，顶点在圆心的角叫作圆心角，如∠AOB. 4 高效课堂 做一做： 1.判断下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由. 图(1)和图(4)中的角是圆心角. 5 高效课堂 2.如图所示，图中有几个圆心角？分别是什么？ 有三个圆心角，分别是∠AOB，∠BOC，∠AOC. 总结：圆的每个圆心角都对应唯一的一条弧和一条弦，即圆心角确定时，它所对的弧及弦也确定下来. 当圆心角确定时，它所对的弧及弦就确定下来，那当两个圆心角相等时，它们所对的弧及弦之间会具有怎样的关系呢？ 6 高效课堂 任务二：探究同圆或等圆中，两个圆心角相等时，它们所对的弧及弦之间会具有怎样的关系 如图，在☉O中，∠AOB＝∠COD. (1)猜想弦AB，CD，以及AB，CD之间各有怎样 的关系. (2)请用图形的旋转说明你的猜想的正确性. ︵ ︵ 设∠AOC＝α，将△AOB顺时针旋转α，则AO与CO重合，BO与DO重合.从而AB与CD重合，AB与CD重合.所以，AB＝CD，AB＝CD. ︵ ︵ ︵ ︵ 7 高效课堂 能用理论依据证明这些结论吗？ 通过证三角形全等的方法易得AB＝CD. 那么怎样证明弧相等呢？ 若想证明弧相等，可以根据圆的旋转不变性. 圆是中心对称图形，圆心为对称中心，绕圆心旋转任意角度，都能与自身重合. 所以在同圆中，相等的圆心角旋转后能使所对的弧完全重合，进而证明圆心角相等，那么它所对的弧也相等. 8 高效课堂 在两个等圆中，如果圆心角∠AOB＝∠A'O'B'，你能否得到相同的 结论？能用语言叙述上面的命题吗？ 小组合作探究，说出对问题的思考过程，掌握解并做好记录. 通过探究可以得出什么结论？ 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等. 9 高效课堂 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等.可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？ 不可以，如图所示. 10 高效课堂 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，能得到什么结论？在同圆或等圆中，如果两条弦相等，又能得到什么结论？ 在同圆或等圆中，若两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等； 在同圆或等圆中，若两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等. 11 高效课堂 在同圆或等圆中，两个圆心角及所对应的两条弦和所对应的两条弧这三组量中，只要有一组量相等，那么其他两组量是否相等？ 经过以上证明，得到：在同圆或等圆中，两个圆心角及所对应的两条弦和所对应的两条弧这三组量中，只要有一组量相等，其他两组量就分别相等(如图). 12 高效课堂 任务三：例题讲解，规范应用 ∴∠AOD＝∠COB. ∴∠AOD－∠COD＝∠COB－∠COD， 例 如图所示，已知AB为☉O的直径，点M，N分别在AO，BO上，CM⊥AB，DN⊥AB，分别交☉O于点C，D，且 . 求证：CM＝DN. 证明：如图所示，连接OC，OD. ∵ ， AD BC ＝ ︵ ︵ 13 高效课堂 即∠AOC＝∠BOD. 在△CMO和△DNO中， ∵CM⊥AB，DN⊥AB， ∴∠CMO＝∠DNO＝90°. 又∵OC＝OD，∠AOC＝∠BOD， ∴△CMO≌△DNO. ∴CM＝DN. 14 高效课堂 归纳总结：在同圆或等圆中，两个圆心角及其所对应的两条弦和所对应的两条弧这三组量中，只要有一组量相等，其他两组量就分别相等. 15 做一做： 1.如图1所示，AB，CD是☉O的两条弦. (1)如果AB＝CD，那么 ， . (2)如果AB＝CD，那么 ， . (3)如果∠AOB＝∠COD，那么 ， . ︵ ︵ 2.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 . 高效课堂 60° AB＝CD ∠AOB＝∠COD AB＝CD ∠AOB＝∠COD AB＝CD ︵ ︵ AB＝CD ︵ ︵ 16 3.如图2所示，AB是☉O的直径，BC，CD，DE相等∠COD＝34°，则∠AEO的度数是( ) A.51° B.56° C.68° D.78° ︵ ︵ ︵ 高效课堂 A 17 课堂总结 1.通过本节课的学习，你学到了哪些内容？ 2.学习了本节课，你有何感想，请畅所欲言. 18 作业设计 基础性作业：教材练习第1，2 题；教材习题A组第1，2 题. 提高性作业：教材习题B组第3，4 题，C组第5 题. 拓展性作业：请搜集生活中的圆心角、弦、弧之间的关系的实例，尝试运用今天所学的知识解决相应的数学问题，下一节课班内可以进行分享. 19 第二十八章 圆 28.3 圆心角和圆周角 第2课时 圆周角定理及其推论 更多模板请关注：https：//haosc.taobao.com 导入新课 足球场上有句顺口溜：“冲着球门跑，越近就越好；歪着球门跑，射点要选好”.足球训练场上教练在球门前画了一个圆圈 进行无人防守的射门训练，如图所示，甲、乙两名运动 员分别在C，D两处，他们争论不休，都说自己所在位置 对球门AB的张角大，如果你是教练，请评一评他们两个 人谁的位置对球门AB的张角大？ 观察足球射门图片.讨论C，D两处谁对球门AB的张角大，并说明理由. 21 高效课堂 任务一：掌握圆周角的定义 圆心角顶点发生变化时，能得到几种情况？ 三个图中的∠BAC的顶点A各在圆的什么位置？角的两边和圆是什么关系？ 22 高效课堂 顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫作圆周角. 角的顶点在圆上；角的两边都与圆相交. ︵ 如图，∠APB就是一个圆周角，∠APB所对的弧是AB. 图中还有哪些角是圆周角？它们分别对应哪条弧？ 23 高效课堂 练习：根据圆周角的定义，请判断下列各图形中的角是不是圆周角并说明理由. 只有C中是圆周角. 24 高效课堂 任务二：探究圆周角定理及其推论 用量角器测量∠AOB和∠APB的大小，它们有怎样的数量关系？ ∠AOB＝2∠APB. 如图，在☉O上取两点A，B，P为AEB上的动点(不与A，B重合)，圆心角∠AOB，圆周角∠APB所对的弧都是AB. 25 高效课堂 当点P移动后，再测量∠AP'B的大小，并与∠AOB的大小进行比较.由此猜想，AB所对圆心角和圆周角有怎样的大小关系. 随着点P的移动，圆心O和圆周角的位置可以分为几种不同的情形？说出判断，并画出相应的图形. 虽然一条弧所对的圆周角有无数个，但它们与圆心的位置关系，归纳起来却只有三种情况. 26 高效课堂 证明1：如图1所示，圆心在圆周角的一边上. ∵∠AOB是△AOP的外角， ∴∠AOB＝∠APB＋∠OAP. ∵OA＝OP， ∴∠OAP＝∠APB. ∴∠AOB＝2∠APB，即∠APB＝∠AOB. 27 高效课堂 证明2：圆心在圆周角的内部. 能否转化为上述证明1中的情况？ 如图2所示，过点P作直径PD.易得： ∠APD＝∠AOD，∠BPD＝∠BOD. ∴∠APB＝∠AOB. 28 高效课堂 证明3：圆心在圆周角的外部. 当点O在∠APB外部时，仍然是作出直径PD，将这个角转化成上述情形的两个角的差即可. 如图3所示，易得∠APD＝∠AOD，∠BPD＝∠BOD. ∴∠BPD－∠APD＝(∠BOD－∠AOD)， 即∠APB＝∠AOB. 29 高效课堂 圆周角定理：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半. 30 高效课堂 探究： 1.一条圆弧对应几个圆周角？ 同一条弧所对的圆周角有无数个. 2.同一条弧所对的圆周角有什么关系？ 这些圆周角都是同一条弧所对的圆周角，因此它们都相等. 如图，∠P，∠P'，∠P″都是☉O上同一条弧(即AB)所对的圆周角.这些圆周角之间有怎样的关系？请说明理由. 31 高效课堂 归纳：同弧(或等弧)所对的圆周角相等.同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧也相等. “同弧”能否改成“同弦”呢？同弦所对的圆周角一定相等吗？ 因为一条弦对着两条弧，所以同弦所对的圆周角相等或互补. 32 高效课堂 例 如图，点A，B，C均在☉O上，∠OAB＝46°， 求∠ACB的度数. 解：∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA＝46°， ∴∠AOB＝180°－2∠OAB＝180°－2×46°＝88°， ∴∠ACB＝∠AOB＝44°. 33 高效课堂 如图，弦AB是☉O的直径，半圆AEB所对的圆周角∠ACB是多少度？ 半圆所对的圆周角是90°. 34 高效课堂 反过来，若∠ACB是直角，则其所对的弦是直径吗？ ∠ACB是直角，那么它所对的弦就是直径. 定理：直径所对的圆周角是直角. 定理：90°的圆周角所对的弦是直径. 因为弦AB是直径，半圆AEB所对的圆心角∠AOB是平角，由圆周角定理，∠ACB是直角.反过来，若∠ACB是直角，则∠AOB＝180°，所以点A，O，B在一条直线上，AB是直径. 35 课堂总结 1.通过本节课的学习，你学到了哪些内容？ 2.学习了本节课，你有何感想，请畅所欲言. 36 作业设计 基础性作业：教材练习第2 题；教材习题A组第1~3 题. 提高性作业：教材习题B组第4，5 题，C组第6 题. 拓展性作业：结合本课开始时足球射门的例题，观察校园或生活中的类似场景(如投篮)，用圆周角定理分析不同位置的瞄准角度差异，绘制示意图并简要说明. 37 第二十八章 圆 28.3 圆心角和圆周角 第3课时 圆内接四边形 更多模板请关注：https：//haosc.taobao.com 导入新课 什么叫作圆的内接三角形？什么叫作三角形的外接圆？ 三个顶点都在同一个圆上的三角形，叫作这个圆的内接三角形.这个圆叫作三角形的外接圆. 能模仿圆内接三角形的定义，归纳出圆内接四边形的定义吗？ 四个顶点都在同一个圆上的四边形叫作圆的内接四边形，这个圆叫作四边形的外接圆. 39 导入新课 请拿出圆形卡纸，利用直尺画一个圆的内接四边形ABCD. 如图，四边形ABCD为☉O的内接四边形，☉O为四边形ABCD的外接圆. 40 高效课堂 任务一：掌握圆的内接四边形的定义 如图1，2所示，四边形ABCD为☉O的内接四边形. 41 高效课堂 如图1所示，当圆心O在对角线AC上时，∠ABC与∠ADC的和是多少度？∠DAB与∠DCB的和是多少度？ 经过测量，∠ABC与∠ADC的和是180°，∠DAB与∠DCB的和也是180°. 如果不通过测量，能否通过理论证明得出结论？ 因为圆心O在对角线AC上，AC就是圆的直径，直径所对的圆周角是90°，所以∠ABC与∠ADC都为90°，二者和是180°，又因为四边形内角和是360°，故∠DAB与∠DCB的和也是180° 42 高效课堂 当圆心O不在对角线AC上时，连接OA，OC(如图2). ②∠DAB与∠DCB的和是多少度？提出猜想，并相互交流. ∠DAB与∠DCB的和是180°. ①ADC和ABC所对的圆心角的和是多少度？∠ABC与∠ADC的和是多少度？ ADC和ABC所对的圆心角的和是360°，∠ABC与∠ADC的和是180°. 43 高效课堂 已知：如图1，四边形ABCD为☉O的内接四边形. 求证：∠BCD＋∠BAD＝180°， 求证：∠ABC＋∠ADC＝180°. 证明：如图2，连接OB，OD. ∴∠BCD＋∠BAD＝180°. 同理可证，∠ABC＋∠ADC＝180°. ∵BAD与BCD所对的圆心角之和为360°. ∵∠BCD和∠BAD分别为BAD和BCD所对的圆周角， 44 高效课堂 通过探究可以发现：圆内接四边形的对角互补. 如何用几何语言表达出上述结论？ ∵如图1，四边形ABCD内接于☉O， ∴∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°. 45 高效课堂 做一做： 1.如图，四边形ABCD内接于☉O，若∠A＝80°， 则∠C的度数是( ) A.100° B.110° C.120° D.130 A 46 高效课堂 2.若ABCD 为圆内接四边形，则下列选项可能成立的是( ) A.∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3∶4 B.∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝3∶2∶1∶4 C.∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝2∶1∶3∶4 D.∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝4∶3∶3∶2 C 47 高效课堂 任务二：例题讲解，规范应用 例 已知：如图，四边形ABCD为☉O的内接四边形，∠DCE为四边形ABCD的一个外角. 求证：∠DCE＝∠BAD. 证明：∵四边形ABCD为☉O的内接四边形， ∴∠BAD＋∠BCD＝180°. ∵∠BCD＋∠DCE＝180°， ∴∠DCE＝∠BAD. 48 高效课堂 圆内接四边形的外角等于它的内对角. 49 高效课堂 做一做： 1.如图1，四边形ABCD内接于☉O，若∠BOD＝130°，则∠DCE＝ . 2.如图2，四边形ABCD内接于☉O，如果它的一个外角∠DCE＝64°，那么∠BOD＝( ) A.128° B.100° C.64° D.32 65° A 50 课堂总结 1.通过本节课的学习，你学到了哪些内容？ 2.学习了本节课，你有何感想，请畅所欲言. 51 作业设计 基础性作业：教材练习第1，2 题；教材习题A组第1~3 题. 提高性作业：教材习题B组第4，5 题，C组第6 题. 拓展性作业：结合本节知识思考并记录：是不是所有的四边形都能找到一个外接圆？尝试用身边的工具验证(如画出任意不规则四边形，看能否作一个圆经过其四个顶点)，并查阅资料初步了解“四点共圆”的条件，下一节课班内可以进行分享. 52 感 谢 观 看 $