28.4 垂径定理（课件）2026--2027学年冀教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“垂径定理”及推论，通过回顾轴对称图形，引导学生折叠圆形纸片探究圆的轴对称性，搭建从旧知到新知的学习支架，逐步深入核心内容。 其亮点在于以探究活动培养几何直观与推理意识，如折叠实验、推论自证，结合赵州桥实例发展应用意识。分层练习巩固知识，助力学生提升数学思维，教师可高效开展教学。

第二十八章 圆 28.4 垂径定理 1.通过探究了解圆的轴对称性. 2.理解垂径定理及其推论，并能运用其定理和推论解决问题. 学习目标 学习重难点 重点 理解垂径定理及其推论. 难点 能够运用垂径定理及其推论解决问题. 回顾复习 什么是轴对称图形？ 如果一个图形沿某条直线 后，直线两旁的部分能够完全 ，那么这个图形就叫作轴对称图形. 对折 重合 线段 角 矩形 等腰三角形 等腰梯形 菱形 正方形 我们学过哪些轴对称图形？ … … 圆是轴对称图形吗？ 把一张圆形纸片沿着它的任意一条直径对折，直径两侧的半圆能够互相重合吗？重复做几次，你发现了什么？ 探究 能够互相重合　 下面我们来证明这个结论. 圆的轴对称性 知识点1 探索新知 发现：圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴．　 4 已知：CD是⊙O 中任意一条直径， AB是弦， CD⊥AB，垂足为E. B O A C D E 连接OA，OB.则OA＝OB． ∴△OAB是等腰三角形. 又∵CD⊥AB， ∴AE=BE. 即CD 是AB 的垂直平分线. 这就是说对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线CD 的对称点，即⊙O关于直线CD 对称. 5 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴. O 直径是是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”. 圆有无数条对称轴. 解读 6 下列说法中，不正确的是( ) A. 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B. 圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与它自身重合 C. 圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 D. 圆的每一条直径都是它的对称轴 解析：圆的每条直径所在的直线都是它的对称轴，D错误.故选D. D 练习 7 垂径定理 探索新知 如图，在⊙O中，CD为直径，AB为弦，且CD⊥AB，垂足为E. 如果将⊙O沿CD所在的直线对折，哪些线段重合，哪些弧重合？由此你能得出什么结论. 知识点2 探究 重合的弧：AD与BD，AC与BC 重合的线段：AE与BE ︵ ︵ ︵ ︵ 通过探究，我们发现： 重直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧. 8 已知：如图，在⊙O中，CD为直径，AB为弦，且CD⊥AB，垂足为E. 求证：AE=BE，AD=BD，AC=BC. 证明：如图，连接OA，OB. 在△OAB中，∵OA=OB，OE⟂AB， ∴AE=BE，∠AOE=∠BOE. ∴AD=BD. ∵∠AOC=180°-∠AOE，∠BOC=180°-∠BOE， ∴∠AOC=∠BOC. ∴AC=BC. 下面我们来证明这个结论. 9 直径 垂直于弦 平分弦 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 条件 结论 垂径定理 几何语言： ∴AE=BE, AD=BD, AC=BC. ∵CD是直径, CD⊥AB， C D . O A E B ∟ ● 垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧. 10 垂径定理的几个基本图形： 垂径指垂直于弦的直径、半径、过圆心的直线或线段. 11 如图，在⊙O中，直径CD与弦AB（非直径）相交于点E. （1）若AE=BE，能判断CD与AB垂直？AD与BD（或AC与BC）相等吗?请说明理由. （2）若AD＝BD（或AC＝BC），能判断CD与AB垂直，AE与BE相等吗？请说明理由. 又∵AE=BE，OE=OE, ∴△AOE≌△BOE（SSS）， ∴∠AEO=∠BEO=90°， ∴CD⊥AB. 由垂径定理，得AD =BD，AC =BC. 垂径定理的推论 知识点3 探索新知 解：（1）如图，连接AO,BO,则AO=BO. （2）请同学们自证. 12 在⊙O中，设直径CD与弦AB(非直径)相交于点E．若把AE=BE，CD⊥AB，AD=BD中的一项作为条件，则可得到另外两项结论: 平分弦（非直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 实际上，垂直于弦，平分弦，直径，平分弦所对的一条弧，平分弦所对的另一条弧这5个条件中，任知2个，可得另3个。 补充说明 已知：如图，CD为⊙O的直径，AB为弦，且AB⟂CD，垂足为E.若ED=2，AB=8，求直径CD的长. 例1 设⊙O的半径为r. ∵CD为⊙O的直径，AB⟂CD， ∴AE=BE. ∵AB=8,∴AE=BE=4. 在Rt △ OAE中，OA2=OE2+AE2，OE=OD-ED， 即r2=（r-2）2+42. 解得r=5，从而2r=10. 所以直径CD的长为10. 例题示范 解：如图，连接OA. 已知：如图，CD为⊙O 的直径，AB为弦，且AB⟂CD，垂足为E.若ED=2，AB=8，求直径CD 的长. 例1 设⊙O的半径为r. ∵CD为⊙O的直径，AB⟂CD， ∴AE=BE. ∵AB=8,∴AE=BE=4. 在Rt △ OAE中，OA2=OE2+AE2，OE=OD-ED， 即r2=（r-2）2+42. 解得r=5，从而2r=10. 所以直径CD的长为10. 例题示范 解：如图，连接OA. 在河北省赵县境内，有一座建于隋代的石拱桥——赵州桥，距今已有1 400多年的历史．赵州桥开创了中国桥梁建造的崭新局面，是我国古代劳动人民智慧的结晶．赵州桥的桥拱是圆弧形的，拱高(弧的中点到弦的距离，也叫弓形高)为7.2 m，跨度(弧所对弦的长)为37.4 m，求桥拱所在圆的半径.(结果精确到0.1 m) 例2 解：如图，设桥拱所在圆的半径为r m，用AB表示桥拱，AB所在圆的圆心为O.经过点O作弦AB的垂线，垂足为D，与AB交于点C．连接OA，OB. ∵OC⊥AB， ∴D是线段AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高. ∵AB=37.4 m，CD=7.2 m， ∴AD=AB=×37.4=18.7(m)，OD=OC-CD=(r-7.2)m. 在Rt△ODA中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2， 即r2=18.72+(r-7.2)2.解这个方程，得r≈27.9. 所以，赵州桥桥拱所在圆的半径约为27.9 m. 随堂演练 1.如 图，在 ⊙O 中，弦 AB 的长为 8，圆心 O 到 AB 的距离为 3，则 ⊙O的半径为 （ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 B 19 2.如图，矩形ABCD的 边 AB 过 ⊙O的圆心， E，F 分别为 AB，CD 与 ⊙O的 交 点 ，若 AE=3 cm，AD=4 cm，DF= 5 cm，则⊙O的直径等于______. 10 cm 20 3.如图，在⊙ O 中，AB 为⊙ O 的弦，C，D 是直线AB 上的两点，且AC=BD. 求证：△ OCD 为等腰三角形. 证明：如图，过点O 作OM ⊥ AB，垂足为M. ∵ OM ⊥ AB，∴ AM=BM. ∵ AC=BD，∴ CM=DM. 又∵ OM ⊥ CD，∴ OC=OD. ∴△ OCD 为等腰三角形. 21 如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E,并且CD=4m,EM=6m.求⊙O的半径. 解：连接OC. ∵OM平分CD,∴OM⊥CD且CM=MD= CD=2m. 设半径为r，在Rt△OCM中，OC=r，OM=EM-OE=6-r, 由勾股定理得OC2=CM2+OM2，即r2=22+(6-r)2.解得r= . 即⊙O的半径为 m. 拓展提升 课堂小结 垂径定理的推论 垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧. 垂径定理 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理 圆的轴对称性 23 $