3.2.3因式分解法(第1课时因式分解法)（教学课件）数学新教材湘教版九年级上册

该初中数学课件聚焦“因式分解法解一元二次方程”，通过复习因式分解概念及方法，对比公式法、配方法解x²-3x=0，引导学生发现新解法，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于以问题驱动培养数学思维，通过归纳“右化零、左分解、两因式、各求解”步骤及口诀，结合提取公因式、公式法等实例，发展学生运算能力与推理意识。纠错练习与实际应用（如三角形周长问题）助力模型意识形成，学生能掌握简便解法，教师可高效开展教学。

第3章 一元二次方程 3.2.3 因式分解法 第1课时 因式分解法 导入新课 我们学了因式分解，你还记得吗？ 问题1：什么叫做分解因式？ 问题2：因式分解的方法有哪些？ 把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做分解因式. (1)提取公因式法 (2)公式法: 平方差公式 a2－b2=(a + b) (a－b) 完全平方公式 a2±2ab+b2=(a±b)2 学 习 目 标 1 2 理解用因式分解法解一元二次方程的依据（重点） 掌握用因式分解法解一元二次方程的基本步骤（重点） 新知探究 解方程： x2-3x =0. 解法1：这里a=1,b=-3,c=0. 因而=(-3)2-4×1×0=9, 所以x==. 因此,原方程的根 x1=3 ,x2=0. 解法2：配方，得x2-3x+()2=()2, 因此 (x-)2=()2. 由此得x-=或x-=-. 解得x1=3, x2=0. 思考：还有没有其它的方法解这个方程？ 观察方程的左边有什么特点？你能不能将它进行因式分解？ 配方法： 公式法： 新知探究 因式分解 两个因式乘积为 0，说明什么？ 或 x-3 = 0 降次，化为两个一次方程 解两个一次方程，得出原方程的根 x2 -3x = 0 x(x-3) = 0 x = 0， x1=0 , x2=3 如果 a · b = 0， 那么 a = 0 或 b = 0. 因式分解法 与前面两种方法比较，哪种方法更简便？ 例7 用因式分解法解下列方程： (1) 𝑥(𝑥−5)=3𝑥; (2)2𝑥(5��−1)=3(5𝑥−1); (3) (35−2𝑥)2−900=0. 典例分析 解:(1)原方程可化为 把方程左边因式分解，得 x (x -8)=0, 由此得 x=0或 x -8=0. 解得 x1=0 ，x2 =8. x2-8x =0. 右化零 左分解 两因式 各求解 用因式分解法一元二次方程有哪些步骤吗？ 解:(2)原方程可化为 2x ( 5x -1 )-3 ( 5x -1 )=0. 把方程左边因式分解，得 (5x -1 )(2x -3 ) =0, 由此得5x -1 =0或2x -3 =0. 解得 x1= ，x2 =. 解:(3)原方程可化为 ( 35 -2x )2-302=0. 把方程左边因式分解，得 (35-2x +30 )(35-2x -30 ) =0. 由此得 65-2x =0或5-2x =0. 解得 x1=32.5，x2 =2.5. 右化零 左分解 两因式 各求解 例7 用因式分解法解下列方程： (2)2𝑥(5𝑥−1)=3(5𝑥−1); (3) (35−2𝑥)2−900=0. 用因式分解法一元二次方程的思路是什么？ 降次 典例分析 新知探究 总结归纳 因式分解法的基本步骤 1.移项：将方程的右边化为0; 2.化积：将方程的左边因式分解为两个一次式的乘积; 3.转化：方程转化为两个一元一次方程; 4.求解：解两个一元一次方程，写出方程两个解. 简记口诀： 右化零 左分解 两因式 各求解 因式分解法的基本思路 将一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程 . 例8 用因式分解法解方程： x2-10x+24=0. 典例分析 解：配方，得x2-10x+52-52+24=0, 因而(x-5)2-12=0 把方程左边因式分解可得(𝑥-5-1)(𝑥-5+1)=0, 即(𝑥-6)(𝑥-4)=0, 由此得x-6=0或𝑥-4=0。 因此,原方程的根 x1=6, x2=4. 因式分解 十字相乘法 观察这两个部分，思考：一元二次方程的根与因式分解有什么联系？ 新知探究 x2 + bx + c = (x - d)(x - h) = 0 d 和 h 就是方程 x2 + bx + c = 0的根 x2 + bx + c = (x - d)(x - h) 因式分解 因式分解 反过来 基础巩固题 新知应用 1.一元二次方程 的根是_________________. ， 2. 用因式分解法解方程2x (x+2)+3x+6=0，可得（ ） A. (x+2)(2x+3)=0 B. (x+2)(5x+6)=0 C. 2x²+7x+6=0 D. 6x(x+2)=0 A 解析 因式分解2x (x+2)+3x+6=2x(x+2)+3 (x+2)=(x+2)(2x+3)，则原方程可化为 (x+2)(2x+3)=0，故选A. 基础巩固题 新知应用 3.下列过程正确的是(　　) A．由(2x－3)(3x－4)＝0得2x－3＝0或3x－4＝0 B．由(x＋3)(x－1)＝1得x＋3＝0或x－1＝1 C．由(x－2)(x－3)＝2×3得x－2＝2或x－3＝3 D．由x(x＋2)＝0得x＋2＝0 A 4. 方程 x²-7x+10=0的两个根是 （ ） A. x₁=2，x₂=5 B. x₁=﹣2，x₂=﹣5 C. x₁=2，x₂=﹣5 D. x₁=﹣2，x₂=5 A 如果 a · b = 0， 那么 a = 0 或 b = 0. 十字相乘法 基础巩固题 新知应用 5.用因式分解法解方程 时，原方程可以分解成两个一元 一次方程，这两个一元一次方程是( ) A A.与 B.与 C.与 D.与 6．若关于x的一元二次方程x2＋mx＋n＝0的两个实根分别为10，－6，则二次三项式x2＋mx＋n可分解为(　　) A．(x＋10)(x－6) B．(x－10)(x＋6) C．(x＋10)(x＋6) D．(x－10)(x－6) B 十字相乘法 x2 + bx + c = (x - d)(x - h) 基础巩固题 新知应用 7.用因式分解法解下列方程: (1) x2-7x =0; (2) x (x-3 ) =5 x; (3) 4x2-20 x+25=0; (4) (x+1)2-4=0. 解:(1)把方程左边因式分解，得 x (x -7)=0, 由此得 x=0或 x -7=0. 解得 x1=0 ，x2 =7. 解:(2)原方程可化为 x2-8x =0. 把方程左边因式分解，得 x (x -8)=0, 由此得 x=0或 x -8=0. 解得 x1=0 ，x2 =8. 基础巩固题 新知应用 解: (4)原方程可化为 (x+1)2-22=0. 把方程左边因式分解，得 (x +1-2 )(x +1+2 ) =0, 由此得 x -1=0或x+3=0. 解得 x1=1，x2 =-3. 解:(3)原方程可化为 (2x )2-20x +52=0. 把方程左边因式分解，得 (2x -5 )2 =0, 由此得 2x -5=0或2x-5=0. 解得 x1=x2 = . 7.用因式分解法解下列方程: (3) 4x2-20 x+25=0; (4) (x+1)2-4=0. 基础巩固题 新知应用 8.用因式分解法解下列方程: 2x ( x -1)= 1-x ; (2) 5x ( x +2 )=4x +8; (3) ( x -3 )2-2=0; (4) x 2+6x ＋8=0. 解:(1)原方程可化为 2x ( x -1 )+ ( x -1 )=0. 把方程左边因式分解，得 (2x +1 )(x -1) =0, 由此得 2x +1 =0或x -1 =0. 解得 x1= ，x2 =1. 解:(2)原方程可化为 5x ( x+2 )- 4( x +2 )=0. 把方程左边因式分解，得 (x +2 )(5x -4) =0, 由此得 x +2 =0或5x -4 =0. 解得 x1= -2，x2 = . 基础巩固题 新知应用 8.用因式分解法解下列方程: (3) ( x -3 )2-2=0; (4) x 2+6x ＋8=0. 解:(3) 把方程左边因式分解，得 由此得 解得 解:(4)配方，得 x2 +6x + 32-32＋8=0, 把方程左边因式分解，得 (x+3+1 )(x+3 -1 ) =0, 由此得 x +4=0或x+2 =0. 解得 x1=-4，x2 =-2. (x +3)2-12=0. 即 (x+4 ) (x+2)=0, (x-3+)(x-3-)=0 x-3+或x-3-=0 x1=3-，x2=3+) 9.用因式分解法解下列方程： (1)x2+12x+27=0； (2)x2-5x+x=0； 解：(1) 把方程左边因式分解可得(x+3) (x+9)=0, 由此得x+3=0或x+9=0. 因此,原方程的根 x1=-3, x2=-9. (2) 把方程左边因式分解可得(x-3) (x-2)=0, 由此得x-3=0或x-2=0. 因此,原方程的根 x1=3, x2=2. 基础巩固题 新知应用 能力提升题 新知应用 10..在学习了解一元二次方程后老师出示了这样一个题目： 解方程： . 小明同学的解答过程如下： 小明的解法是否正确？请写出你的解答过程. 能力提升题 新知应用 解：小明的解法不正确.正确解答如下： ， ， ，或 ， 解得， ． 能力提升题 新知应用 11.已知三角形的两边长分别为3和7，第三边长是方程 x(x－7)－10(x－7)＝0的一个根，求这个三角形的周长． 解：解方程x(x－7)－10(x－7)＝0， 得x1＝7，x2＝10. 当x＝10时，3＋7＝10， ∴x2＝10不合题意，舍去． ∴这个三角形的周长为3＋7＋7＝17. 课堂小结 因式分解法 概念 步骤 简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解 如果a ·b=0，那么a=0或b=0. 原理 通过因式分解将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法 因式分解的方法有 ma+mb+mc=m(a+b+c); a2 ±2ab+b2=(a ±b)2； a2 -b2=(a +b)(a -b). 分解 变形 定解 移项 感谢聆听! $