3.2.3 因式分解法-课件-2026-2027学年湘教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦因式分解法解一元二次方程，通过物理竖直上抛物体落回地面的问题导入，衔接配方法、公式法，以降次思想为支架，帮助学生理解将二次方程转化为一次方程的解题逻辑。 其亮点在于以真实情境培养数学眼光，通过问题链发展数学思维，分层练习与易错点总结强化运算能力和推理意识，课堂小结系统归纳方法。学生能提升解题效率，教师可利用资料优化教学，突出重点。

湘教版数学9年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月20日 3.2.3 因式分解法 第3章 一元二次方程 湘教版九年级上册数学3.2.3 因式分解法 练习题 一、核心知识点梳理 因式分解法是解一元二次方程最简便、最快速的特殊解法，适用于可因式分解的一元二次方程，相较于配方法、公式法计算量更小，是中考高频解题方法。1. 解题原理：若两个因式的乘积为0，即$$ab=0$$，则必有$$a=0$$或$$b=0$$，以此将一元二次方程拆解为两个一元一次方程求解。2. 适用方程形式：整理后左边可因式分解、右边为0的一元二次方程，常用分解方法为提公因式法、公式法（平方差、完全平方公式）。3. 标准解题步骤：第一步移项，将方程所有项移至左侧，使方程右边为0；第二步因式分解，将左侧多项式分解为两个一次因式的乘积；第三步转化方程，令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；第四步求解整理，解出两个一次方程的根，即为原一元二次方程的根。4. 常用分解公式：平方差公式$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$；完全平方公式$$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$$。 二、基础巩固练习题 选择题（每题5分，共30分） 1. 解方程$$x(x-3)=0$$的根是（） A. $$x=0$$ B. $$x=3$$ C. $$x_1=0，x_2=3$$ D. 无实数根 2. 适合用因式分解法求解的方程是（） A. $$x^2-2x-5=0$$ B. $$2x^2+3x-1=0$$ C. $$x^2-4x=0$$ D. $$x^2+5x+3=0$$ 3. 方程$$(x+2)(x-1)=0$$的解为（） A. $$x_1=-2，x_2=1$$ B. $$x_1=2，x_2=-1$$ C. $$x_1=-2，x_2=-1$$ D. $$x_1=2，x_2=1$$ 4. 用因式分解法解$$x^2-9=0$$，分解结果正确的是（） A. $$(x-3)^2=0$$ B. $$(x+3)(x-3)=0$$ C. $$(x+9)(x-9)=0$$ D.$$(x-1)(x-9)=0$$ 5. 方程$$x^2-4x+4=0$$的根的情况是（） A. 两个不相等实数根 B. 两个相等实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 6. 解方程$$3x^2=2x$$，移项分解后正确的是（） A. $$x(3x-2)=0$$ B. $$3x(x-2)=0$$ C. $$(3x-2)^2=0$$ D. $$x(3x+2)=0$$ 填空题（每题6分，共30分） 1. 方程$$x^2-5x=0$$因式分解得________，方程的根为________。 2. 方程$$x^2-16=0$$的实数根是________。 3. 解方程$$(x-1)^2-(2x+3)^2=0$$，可利用________公式因式分解。 4. 方程$$x^2+6x+9=0$$的根为________。 5. 若$$(x-2)(x+5)=0$$，则$$x=$$________。 解答题（共40分） 1.（12分）用提公因式法解下列方程： （1）$$2x^2+4x=0$$ （2）$$5x^2-10x=0$$ （3）$$x(x-2)+3(x-2)=0$$ 2.（14分）用公式因式分解法解下列方程： （1）$$x^2-25=0$$（2）$$x^2-6x+9=0$$ 3.（14分）用因式分解法解需要整理的一元二次方程： （1）$$x^2=4x$$ （2）$$(x+1)^2=2x+2$$ 三、参考答案与详细解析 选择题解析 1. C 解析：由$$x=0$$或$$x-3=0$$，得$$x_1=0，x_2=3$$。 2. C 解析：$$x^2-4x=0$$可提公因式分解为$$x(x-4)=0$$，其余方程无法简单因式分解。 3. A 解析：令$$x+2=0$$、$$x-1=0$$，解得对应根。 4. B 解析：利用平方差公式，$$x^2-9=(x+3)(x-3)$$。 5. B 解析：分解得$$(x-2)^2=0$$，方程有两个相等实数根$$x_1=x_2=2$$。 6. A 解析：移项得$$3x^2-2x=0$$，提公因式$$x(3x-2)=0$$。 填空题答案 1. $$x(x-5)=0$$；$$x_1=0，x_2=5$$ 2. $$x_1=4，x_2=-4$$ 3. 平方差 4. $$x_1=x_2=-3$$5. 2或-5 解答题解析 1. 解析：（1）提公因式得$$2x(x+2)=0$$，解得$$x_1=0，x_2=-2$$；（2）提公因式得$$5x(x-2)=0$$，解得$$x_1=0，x_2=2$$；（3）提公因式得$$(x-2)(x+3)=0$$，解得$$x_1=2，x_2=-3$$。 2. 解析：（1）平方差分解$$(x+5)(x-5)=0$$，解得$$x_1=5，x_2=-5$$；（2）完全平方分解$$(x-3)^2=0$$，解得$$x_1=x_2=3$$。 3. 解析：（1）移项得$$x^2-4x=0$$，分解得$$x(x-4)=0$$，解得$$x_1=0，x_2=4$$；（2）整理变形得$$(x+1)^2-2(x+1)=0$$，提公因式$$(x+1)(x-1)=0$$，解得$$x_1=-1，x_2=1$$。 四、易错点总结 1. 核心易错：解方程时不移项，直接拆分因式，如$$3x^2=2x$$直接约去$$x$$，遗漏$$x=0$$的根；2. 忘记将方程右侧化为0，因式分解法必须保证等式右边为0才能拆分求解；3. 因式分解不彻底，仅部分分解，导致求解根错误；4. 混淆完全平方与平方差公式，公式套用错误导致分解失误；5. 出现重根时漏写根，两个相等实数根需规范书写$$x_1=x_2=a$$，不能只写一个根。因式分解法核心口诀“先移零、再分解、分因式、解根值”，计算简便、准确率高，是优先选用的一元二次方程解法，需熟练掌握两种基础因式分解技巧。 新课导入 导入课题 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过x s后物体离地面的高度（单位：m）为：10x-4.9x2. 问题：设物体经过x s落回地面，请说说你列出的方程. 10x-4.9x2=0 学习目标 (1)会用因式分解法解一元二次方程. (2)能选用合适的方法解一元二次方程. 推进新课 知识点1 用因式分解法解一元二次方程 你能用配方法或公式法解方程10x-4.9x2=0吗？ 是否还有更简单的方法呢？ 分解因式：左边提公因式，得x(10-4.9x)=0， 降次：把方程化为两个一次方程，得x=0或10-4.9x=0， 求解：解这两个一次方程，得x1=0, x2= . 4 思考：解方程10x-4.9x2=0时，二次方程是如何降为一次的？ 解方程10x-4.9x2=0时，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 解下列方程： x(x-2)+x-2=0； 解： 分解因式，得 (x-2)(x+1)=0 即 x-2 =0或x+1 =0, x1=2，x2=-1 解： 移项、合并同类项得 4x2-1=0 (2x-1)(2x+1)=0 即2x-1 =0或2x+1 =0, x1= , x2= 思考：将一个多项式进行因式分解，通常有哪几种方法？ 提公因式法，公式法，十字相乘法 用因式分解法解一元二次方程的依据是： 如果ab=0，则a=0或b=0. 知识点1 用因式分解法解一元二次方程的依据 1. 用因式分解法解方程,下列过程正确的是( ) A A. 化为或 B. 化为或 C. 化为或 D. 化为 返回 中考考法 8 2. 已知某一元二次方程的两根分别为, ，则这 个方程可能为( ) A A. B. C. D. 返回 中考考法 9 解下列方程： (x-2)·(x-3)=0； 4x2－11x=0. 解： 由题可得 x-2=0或x-3=0 x1=2, x2=3 解： 分解因式，得 故x=0或 x1=0, 你能归纳出用因式分解法解方一元二次程的一般步骤吗？ 第一步，把方程变形为x2+px+q=0的形式； 第二步，把方程变形为(x-x1)(x-x2)=0的形式； 第三步，把方程降次为两个一次方程x-x1=0或x-x2=0的形式； 第四步，解两个一次方程，求出方程的根. 知识点2 一元二次方程解法的选用 选择适当的方法解下列方程： 2x2-4x+1=0； (2x-1)2=x(3x+2)-7； 解： 解：化简，得 4x2-4x+1=3x2+2x-7 x2-6x+8=0 (x-2)(x-4)=0 x1=2，x2=4 x2+2x-35=0； (x-1)2+2x-3=0； 解：分解因式，得 (x-5)(x+7)=0 x1=5, x2=-7 解：化简，得 x2-2x+1+2x-3=0 x2-2=0 直接开平方法适用于哪种形式的方程？ 配方法适用于哪种形式的方程？ 公式法适用于哪种形式的方程？ 因式分解法适用于哪种形式的方程？ x2=p (mx+n)2=p ax2+bx+c=0(a≠0) x2-(m+n)x+mn=0 14 知识点2 用因式分解法解一元二次方程 3. 设是方程的一个较大的根， 是方程 的一个较小的根，则 的值是( ) C A. B. C. D. 2 返回 中考考法 15 4. [怀化模拟] 若一个三角形两条边长为2和4，第三条边 长满足方程 ，则此三角形的周长为____． 11 当方程两边有相同的因式时，不能同除以这个因式， 否则容易漏解. 返回 中考考法 16 5. 小明在与 对话中输入如下的 文字：“有没有这样一个数，先计算它的平方，再减去它的3 倍后再加上4，结果等于这个数？”经过40秒的深度思考和验 证， 给出的这个数应该是___. 2 返回 中考考法 17 知识点3 用合适的方法解一元二次方程 6. 解下列方程：; ; ; .用较简便的 方法依次是( ) A A. ①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法 B. ①直接开平方法，②公式法，③④因式分解法 C. ①④因式分解法，②公式法，③配方法 D. ①直接开平方法，②③公式法，④因式分解法 返回 中考考法 18 7. 用合适的方法解下列方程： （1） ； 【解】因为,所以 . 所以.所以， . （2） ； 因为，所以 . 所以.所以 . 所以.所以， . 中考考法 19 （3） ； 因为,, ,所以 . 所以 . 所以， . 中考考法 20 （4） ． 因为，所以 . 所以 . 所以.所以 . 所以或.所以， ． 返回 中考考法 21 8. 点 的横、纵坐标恰好是方程 的两个根,则经过点 的正比例函数图象一定 过( ) B A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一象限 D. 第四象限 解一元二次方程时通常根据方程的特征选择简便的 方法.一般情况下，我们选择解法的顺序为：直接开平方法 因式分解法 公式法 配方法. 返回 中考考法 22 9. 已知实数 满足 ,那么 的值为( ) A A. 0或2 B. 或1 C. 2 D. 1 运用换元法解一元二次方程时，先要找出相同的部 分，看成一个整体进行换元，使方程变得更简易，解完方程 后还要注意还元. . . 返回 中考考法 23 10. 已知一元二次方程 的 一个根与方程 的一个根互为 相反数，那么 的根是( ) A A. 0, B. 0, C. ,2 D. 1, 中考考法 24 课堂小结 因式分解法 通过因式分解实现降次来解一元二次方程 提公因式法 公式法 十字相乘法 完全平方公式 平方差公式 $