第三章函数的概念与性质单元试卷B-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本卷为高一数学第三章函数单元复习卷，通过8道单选、3道多选、3道填空及5道解答题，分层考查函数单调性、定义域、奇偶性等核心概念，情境化问题与综合应用并重，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|函数图像（1）、单调性（2、4）、定义域（3）|以汽车行驶情境（1）考查几何直观，体现数学眼光| |多选题|3|函数值域（9）、奇偶性与周期性（11）|结合奇偶性与对称性（11），考查推理能力| |填空题|3|定义域（12）、不等式有解（13）|聚焦基础概念辨析，强化数学语言表达| |解答题|5|幂函数（16）、二次函数综合（18）、函数性质应用（17、19）|解答题18综合解析式、最值及恒成立问题，考查模型意识与运算能力，贴合高考命题趋势|

2026-2027学年高一数学第三章B测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，且，那么（　　） A．10 B． C． D． 6．已知函数满足，且，当时，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则的解集为（   ） A． B． C． D． 8．函数，若对任意  都有 成立，则实数a 的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，下列说法正确的是（    ） A． B．函数的值域为 C．函数的单调递增区间为 D．若方程有三个不等实根，则实数t的取值范围是 11．已知函数是定义在R上的奇函数，是偶函数，当，则下列说法中正确的有（    ） A．函数关于直线对称 B．4是函数的周期 C． D．方程恰有4不同的根 三、填空题 12．函数的定义域为__________． 13．若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围为______. 14．若，则实数的取值范围是________；若，则实数的取值范围是________. 四、解答题 15．已知函数． (1)求证： 且； (2)求的值． 16．已知幂函数在上为减函数. (1)试求函数解析式； (2)判断函数的奇偶性并写出其单调区间. 17．已知是定义在上的奇函数． (1)求，的值及的解析式； (2)判断在定义域上的单调性，并证明； (3)解不等式：． 18．已知二次函数（）满足，． (1)求的解析式； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数的值； (3)若对任意，有不等式恒成立，求实数的取值范围． 19．已知函数的定义域为，，且当时，． (1)判断函数的奇偶性，并写出必要的证明过程； (2)证明：函数在区间上单调递减； (3)解不等式：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学第三章B测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分析各个阶段的路程与时间之间的关系可排除其它选项． 【详解】由这一过程中汽车的速度变化可知，速度由小变大→保持匀速→由大变小， 速度由小变大时，路程随时间变化的曲线上升得越来越快，曲线显得越来越陡峭； 匀速行驶时，路程随时间变化的曲线上升速度不变； 速度由大变小时，路程随时间变化的曲线上升得越来越慢，曲线显得越来越平缓， 故排除选项B、C、D． 2．已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数的对称轴为，开口向上， 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 又因为函数在上具有单调性， 所以或，即或， 所以实数的取值范围为． 3．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由偶次根式被开方数非负，结合定义域为的条件，将问题转化为二次不等式恒成立问题，利用判别式求解参数范围. 【详解】要使函数的定义域为， 需满足对任意，被开方数恒成立， 二次函数的二次项系数为，图像开口向上， 其恒大于等于0的充要条件为判别式， ， 解不等式，得， 即实数的取值范围是. 4．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求函数的定义域，设，分别判断内外函数的单调性，利用复合函数的性质即得. 【详解】由解得或，所以函数的定义域为， 设，函数在上单调递增， 二次函数的开口向上，对称轴为直线， 则二次函数在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数的“同增异减”的性质，可知函数的单调递增区间为. 5．已知函数，且，那么（　　） A．10 B． C． D． 【答案】D 【详解】，， ， ， 解得． 6．已知函数满足，且，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断出函数为奇函数，再判断出函数的周期为，由此求解即可. 【详解】因为， 所以函数为奇函数， 又因为， 所以函数的周期为，且当时，， 所以. 7．已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由和是定义在上的奇函数，得到，且，由在上单调递减得到在上单调递减，由得到或，分别按照这两种情况结合单调性和奇函数讨论求解. 【详解】因为，是定义在上的奇函数， 所以，且， 因为在上单调递减， 所以在上单调递减， 因为， 所以或， 当时， 因为，， 所以， 因为，且在单调递减， 所以，即， 又，则. 当时， 因为，所以两部分讨论： 当时，即当时， 因为在单调递减，， 所以，即， 当时，即当时， 因为在单调递减，， 所以，即，与矛盾，舍去， 当时，即当时， ，不满足，所以. 综上，解集为. 8．函数，若对任意  都有 成立，则实数a 的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意判断函数在R上单调递减，根据分段函数在R上单调递减即要在每一段上都单调递减，即可求出a的取值范围，另外还要考虑分界点处的大小关系. 【详解】因为对任意  都有 成立， 所以函数在R上单调递减， 所以设在上单调递减， 即，即. 设在上单调递减， 为二次函数开口向上，对称轴为直线. 所以，即. ，， 因为在R上单调递减，所以， 即，解得. 综上所述，a的取值范围是. 二、多选题 9．下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用配方法、常数分离法、换元法即可得到各个函数的值域. 【详解】对于A，，显然符合； 对于B，，显然不符合； 对于C，，令 ∴ ，显然符合； 对于D，，显然不符合； 故选：AC 10．已知函数，下列说法正确的是（    ） A． B．函数的值域为 C．函数的单调递增区间为 D．若方程有三个不等实根，则实数t的取值范围是 【答案】ABD 【分析】根据函数解析式代值计算即可判断A；根据分段函数解析式，分别求得值域，求并集即可判断B；画出函数图象即可判断CD． 【详解】A选项，，A选项正确； B选项，当时，； 当时，，当且仅当时等号成立， 所以函数的值域为，B选项正确； C选项，由图象可知，函数的单调递增区间为，所以C选项错误； D选项，由图可知，若有三个不等实根，则直线与图象有三个不同交点，由数形结合得，当时符合，故D选项正确． 11．已知函数是定义在R上的奇函数，是偶函数，当，则下列说法中正确的有（    ） A．函数关于直线对称 B．4是函数的周期 C． D．方程恰有4不同的根 【答案】ABD 【分析】根据奇偶性的定义，结合函数的对称性，即可判断A的正误；根据题意，结合函数的周期性，可判断B的正误；根据函数的周期性，结合解析式，即可判断C的正误；分别作出和的图象，即可判断D的正误，即可得答案. 【详解】对于A：因为是偶函数， 所以，即 所以关于对称，故A正确. 对于B：因为， 所以， 所以，即周期，故B正确 对于C： 所以，故C错误； 对于D：因为，且关于直线对称， 根据对称性可以作出上的图象， 又，根据对称性，可作出上的图象， 又的周期， 作出图象与图象，如下图所示： 所以与有4个交点，故D正确. 故选： ABD 三、填空题 12．函数的定义域为__________． 【答案】 【详解】由有意义，可得，解得， 故函数的定义域为. 13．若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】分离参数把不等式有解问题转化为，利用二次函数求出最值，利用二次不等式的解法求解即可. 【详解】因为在内有解，即，其中； 设，则当或时，，所以， 解得，所以的取值范围为. 故答案为： 14．若，则实数的取值范围是________；若，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】构造幂函数，利用幂函数的单调性可得答案. 【详解】因为函数是定义在上的增函数，则由 ，可得，解得， 故实数的取值范围是. 由， 可得，解得， 故实数的取值范围是. 四、解答题 15．已知函数． (1)求证： 且； (2)求的值． 【答案】(1)证明： 因为，所以， 所以，其中且． (2)4051 【分析】（1）根据解析式，计算即可证明； （2）根据（1）的结论结合即可求解． 【详解】（1）略 （2）由题得，， 所以 ． 16．已知幂函数在上为减函数. (1)试求函数解析式； (2)判断函数的奇偶性并写出其单调区间. 【答案】(1) (2)奇函数，其单调减区间为， 【分析】（1）根据幂函数的定义，令，求解即可； （2）根据幂函数的性质判断函数的单调性，继而可得其单调区间. 【详解】（1）由题意得，，解得或， 经检验当时，函数在区间上无意义， 所以，则. （2），要使函数有意义，则， 即定义域为，其关于原点对称. ， 该幂函数为奇函数. 当时，根据幂函数的性质可知在上为减函数， 函数是奇函数，在上也为减函数， 故其单调减区间为，. 17．已知是定义在上的奇函数． (1)求，的值及的解析式； (2)判断在定义域上的单调性，并证明； (3)解不等式：． 【答案】(1) (2) 在定义域上单调递增，证明如下： 设 ，易知 ，，，. 则 则 ，所以 在 上单调递增. (3) 【详解】（1）由已知 是定义在 上的奇函数，可得 . 又 ，所以 ，，.经检验，满足条件. （2）略 （3）因为 是定义在 上的奇函数，且 在 上单调递增， 由 可得 所以解得 ，故原不等式的解集为 . 18．已知二次函数（）满足，． (1)求的解析式； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数的值； (3)若对任意，有不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出解析式即可； （2），对称轴是，根据二次函数在区间上的不同单调性求出最小值，继而即可求解； （3）由题意得，当时，不等式恒成立；当时，利用分离参数法得在上恒成立，结合换元法与对勾函数的单调性求解即可. 【详解】（1）因为，则， 所以， 又， 所以，得，，所以． （2），所以的图象开口向上，对称轴是． 当，即时，在上单调递增， ，得，满足题意； 当，即时，在上单调递减， ，得，满足题意； 当，即时，在上单调递减，上单调递增． ，得或，不满足题意． 综上所述，或． （3），，化简得：． 当时，不等式恒成立； 当时，，在上恒成立． 令，， ，． 又在上单调递增，所以当时，有． 故，即的取值范围是． 19．已知函数的定义域为，，且当时，． (1)判断函数的奇偶性，并写出必要的证明过程； (2)证明：函数在区间上单调递减； (3)解不等式：． 【答案】(1)为偶函数，证明如下： 首先，的定义域为关于原点对称； 其次，令，则，得． 令，则，得． 令，则，， 所以是偶函数． (2)证明：，设， ， 因为，所以，则，即， 所以，即． 所以在区间上单调递减． (3)或 【分析】（1）判断函数定义域，利用赋值法证明函数的奇偶性； （2）运用定义法证明函数单调性； （3）先用函数恒等式变形，结合函数单调性和奇偶性列出不等式，解不等式求解集． 【详解】（1）略 （2）略 （3）由题意得， 因为为偶函数，所以， 又在上单调递减， 则由，得， 解得或， 所以不等式的解集为或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $