4.1 二次函数(课件) 2026-2027学年湘教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数概念，课堂导入先通过复习一次函数回顾旧知，再结合矩形田地修小路等实际问题引出新函数，搭建从已知到未知的学习支架，梳理知识脉络。 其亮点在于以实际问题为载体，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过对比一次函数归纳二次函数的三个条件，发展数学思维中的推理意识，应用实例强化模型意识。采用问题驱动和实例分析，帮助学生理解概念并学会应用，教师可借此高效开展教学。

第4章 二次函数 4.1 二次函数 思路一 下列式子是函数吗？如果是，是什么函数呢？ (1)y＝10x；(2)2y＝4(2y＋1)；(3)y＝－2x＋1. (1)(3)是函数，(2)不是函数； (1)是正比例函数，(3)是一次函数. 什么叫函数？什么叫一次函数？一次函数的一般形式是什么？学习函数应从哪几个方面进行探究呢？ 导入新课 2 思路二 问题：如图，一块矩形田地长为100 m，宽为80 m，现计划在田地中修两条互相垂直且宽度均为 x m的小路，剩余面积种植庄稼.设剩余面积为 y m2，求 y 关于 x 的函数表达式.它与以前学过的函数模型有什么区别？ y＝100×80－100x－80x＋x2，化简整理可得y＝x2－180x＋8000. 它是二次函数.那什么是二次函数？ 导入新课 3 活动一：通过实例引入二次函数 问题1：已知一矩形的长为200 cm，宽是150 cm，从中挖去一个圆(如图所示)，设挖去的圆的半径为 x cm，剩余部分的面积为 S cm2，如何写出 S 与 x 之间的关系式？ 高效课堂 4 矩形面积公式为S矩形＝长×宽，圆的面积公式为S圆＝πr2. 先计算矩形的面积(200×150 cm2)；再计算挖去的圆的面积(πx2 cm2)；最后用矩面积减去圆的面积，得到剩余面积 S. S＝200×150－πx2，化简为 S＝－πx2＋30 000. 高效课堂 5 x 可以取任意的实数吗？ 如果不能，能写出 x 的取值范围吗？ x 不能取任意的实数，0＜x≤75. 请判断，S＝－πx2＋30 000，0＜x≤75是否为函数？ 因为对于 x 的每一个取值，S都有唯一确定的值与它对应，所以S 是 x 的函数. 高效课堂 6 问题2：某型号笔记本电脑之前的售价为6 000 元，经过两次降价，现在的售价为 y 元，若每次的降价率为 x，能写出 y 与 x 之间的关系式吗？ 笔记本电脑每次降价后的售价都是降价前的(1－x)倍，于是，第二次降价后的售价＝原售价×(1－x)2.因此，经过两次降价后售价 y 与降价率 x 之间的关系是y＝6 000(1－x)2，0＜x＜1， 即y＝6 000x2－12 000x＋6 000，0＜x＜1. 高效课堂 7 式子y＝6 000x2－12000x＋6 000，0＜x＜1是函数吗？ 上式表示两年后的售价 y 与降价率 x 之间的关系，而且对于 x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与它对应，即 y 是 x 的函数. 高效课堂 8 活动二：归纳二次函数的概念 问题1：上述两个问题中的函数表达式有什么共同点？ 它们与一次函数的表达式有什么不同？ 两个函数表达式均有两个变量 x，y，y 随 x 的变化而变化； 自变量 x 的最高次数是2； 等号右边是整式. 它们与一次函数的表达式相比，自变量最高次数不同，表达式结构不同. 高效课堂 9 上述两个问题中的函数表达式都是关于自变量 x 的二次多项式，把形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数称为二次函数. 其中 x 是自变量，a，b，c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项，并且称y＝ax2＋bx＋c(a≠0)为二次函数的一般形式. 高效课堂 10 问题2：观察二次函数的一般形式，能说说二次函数的特点吗？ 如何判断一个函数是否为二次函数？ 判断一个函数是二次函数必须满足以下三个条件： ①含有自变量的代数式是整式； ②自变量的最高次数是2； ③函数表达式中二次项系数不等于0. 高效课堂 11 问题3：当常数a，b，c满足什么条件时，函数y＝ax2＋bx＋c为一次函数？ 为正比例函数？ 当a＝0，b≠0时，为一次函数；当a＝0，c＝0，b≠0时，为正比例函数. 高效课堂 强调：二次函数自变量的取值范围是所有实数，但实际问题中，自变量的取值范围会有一些限制. 12 活动三：巩固函数的概念 练习：m 取哪些值时，函数y＝(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)是以 x 为自变量的二次函数？ 若函数y＝(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)是二次函数，则m2－m≠0，解得m≠0且m≠1. 因此，当m≠0且m≠1时，函数y＝(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)是二次函数. 高效课堂 13 探索：若函数y＝(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)是以x为自变量的一次函数，则m 取哪些值？ 若函数y＝(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)是以 x 为自变量的一次函数，则m2－m＝0且m≠0，解得m＝1. 因此，当m＝1时，函数y＝(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)是一次函数. 高效课堂 14 活动四：二次函数的应用 例 学校准备在校园里利用围墙的一段和篱笆围成一个矩形植物园，如图所示.已知篱笆墙的总长度为100 m，设与围墙垂直的一边篱笆的长度为 x m，矩形植物园的面积为 S m2，求 S 与 x 之间函数表达式. 解 由于与围墙垂直的一边篱笆的长度为 x m，因此，与围墙平行的一边篱笆的长度为(100－2x)m. 于是面积 S 与 x 之间有如下函数关系：S＝x(100－2x)，0＜x＜50. 即S＝－2x2＋100x，0＜x＜50. 高效课堂 15 通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识？ 还有哪些疑问？ 请与同伴交流. 课堂总结 16 基础性作业：教材练习第1，2题；习题4.1第1，2题. 提高性作业：教材习题4.1第3，4题. 拓展性作业：根据本节课所学知识，请举出一些在生活中是二次函数的例子，并指出自变量的取值范围什么. 作业设计 17 感 谢 观 看 $