第4章 二次函数 本章复习课(课件) 2026-2027学年湘教版九年级数学上册

该初中数学课件系统梳理了二次函数的概念、图像与性质、图象变换、表达式求法、与一元二次方程的关系及应用，通过知识结构图、知识点问答、步骤总结及巩固练习，构建从概念到应用的完整逻辑脉络。 其亮点在于采用“问题驱动-步骤拆解-分层训练”复习策略，如用商场利润问题培养数学建模意识，实心球投掷数据引导用数学语言表达规律，作业分基础、提高、拓展题。这能发展学生数学思维，帮助教师精准教学，提升复习效率。

第4章 二次函数 本章复习课 回顾与思考 通过本章的学习，对二次函数的知识有了怎样的认识？ 能尝试用知识结构图对本章知识做一个总结吗？ 导入新课 2 知识点一：二次函数的有关概念 什么形式的函数叫作二次函数？ 形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数称为二次函数，自变量 x 的取值范围为全体实数. 其中 x 是自变量，a，b，c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项，并且称y＝ax2＋bx＋c(a≠0)为二次函数的一般形式. 强调：二次函数的一般形式一定要注意二次项的系数不为0. 高效课堂 3 2.二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质： 高效课堂 4 巩固练习 已知函数y＝(m2－m)x2＋(m－1)x－2(m 为常数). (1)若这个函数是关于 x 的一次函数，求 m 的值. (2)若这个函数是关于 x 的二次函数，求 m 的取值范围. 答案 (1)依题意 m2－m＝0 且 m－1≠0，所以 m＝0. (2)依题意 m2－m≠0，所以 m≠1 且 m≠0. 高效课堂 5 知识点二：二次函数的图象与性质 1.如何用描点法画出二次函数的图象？ 请说说画图的基本步骤. 2.二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的图象具有哪些性质？ 3.如何将 y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 配方成 y＝a(x－h)2＋k 的形式？ 高效课堂 6 1.用描点法画二次函数图象的基本步骤： 第一步，写出对称轴和顶点坐标，并且在平面直角坐标系内画出对称轴，描出顶点； 第二步，列表(从自变量x 顶点的横坐标开始取值)、描点和连线，画出图象在对称轴右边的部分； 第三步，利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分(只要先把对称轴左边的对称点描出来，然后用一条光滑曲线顺次连接它们和顶点即可). 高效课堂 7 巩固练习 1.若二次函数 y＝x2－2x－3 的图象上有且只有三个点到 x 轴的距离等于 m，则 m 的值为______. 点拨 因为 y＝x2－2x－3，所以抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x＝1，顶点为(1，－4)，所以顶点到 x 轴的距离为4. 因为函数图象有三个点到 x 轴的距离为 m，所以 m＝4. 高效课堂 4 8 2.设点(－1，y1)，(2，y2)，(3，y3)是抛物线 y＝－2x2＋m 上的三点，则 y1，y2，y3 的大小关系为__________. 点拨 因为抛物线表达式为 y＝－2x2＋m，所以对称轴为y 轴. 因为(－1，y1)关于对称轴y 轴的对称点为(1，y1)，所以(1，y1)是抛物线y＝－2x2＋m 上的点. 又因为a＝－2＜0，所以当x＞0时，y 随 x 的增大而减小， 因为点(1，y1)，(2，y2)，(3，y3)是抛物线 y＝－2x2＋m 上的三点，所以y1＞y2＞y3. 高效课堂 y1＞y2＞y3 9 3.已知二次函数 y＝－x2＋4x－3，与 x 轴交于 A，B 两点(A 在 B 的左边)，与 y 轴交于 C 点，顶点坐标是 D. (1)画出函数的图象(不需要列表，但要在图中标出A，B，C，D). (2)当自变量 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大？ (3)当0＜x＜5时，写出函数 y 的取值范围. (4)在抛物线的对称轴上有一点 P，使 PA＋PC 的值最小，求点 P 的坐标. 高效课堂 10 答案 (1)当y＝0时，－x2＋4x－3＝0，得x1＝1，x2＝3，即A(1，0)，B(3，0). 当x＝0时，y＝－3，即C(0，－3). 二次函数y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，即顶点D(2，1). 画出函数图象，如图所示. 高效课堂 11 (2)由图象可知，当 x＜2 时，y 随 x 的增大而增大，所以 x＜2. (3)二次函数 y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1， 当 x＝2 时，函数有最大值，此时 y＝1； 当 x＝0 时，y＝－3，当 x＝5 时，y＝－52＋4×5－3＝－8. 当 0＜x＜5 时，函数 y 的取值范围为 －8＜y≤1. 高效课堂 12 知识点三：二次函数图象的变换 说说二次函数图象的变换. (1)图象的平移变换：任意抛物线 y＝a(x－h)2＋k 可以由抛物线 y＝ax2 经过平移得到，具体平移方法如下图. 高效课堂 13 高效课堂 14 (2)图象的对称变换：化成顶点式，结合图象，求出对称后的顶点和开口方向，再写出对称后的函数表达式. 高效课堂 15 巩固练习 1.将抛物线 y＝x2 向右平移1 个单位长度，再向下平移2 个单位长度，所得抛物线的表达式为_____________. 高效课堂 y＝(x－1)2－2 16 2.已知二次函数 y＝x2－2x－3. (1)求该函数图象顶点的坐标. (2)该函数图象经过怎样的平移可以得到函数 y＝x2 的图象？ 答案 (1)因为 y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，所以顶点坐标是 (1，－4). (2)将抛物线 y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4 先向左平移1 个单位长度得到抛物线y＝(x－1＋1)2－4＝x2－4，再向上平移4 个单位长度即可得到抛物线y＝x2－4＋4＝x2. 高效课堂 17 知识点四：二次函数的表达式的求法 1.二次函数表达式有哪几种形式？ 二次函数有两种表达式. 一般形式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)； 顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标是(h，k). 高效课堂 18 2.如何求二次函数的表达式？ 用待定系数法求二次函数的表达式： (1)巧设二次函数的表达式(给顶点、对称轴、最值设顶点式，其余情况设一般形式)； (2)根据已知条件，得到关于待定系数的方程(组)； (3)解方程(组)，求出待定系数的值； (4)将系数回代，从而求出二次函数的表达式. 高效课堂 19 知识点五：二次函数与一元二次方程之间的关系 1.结合抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴的位置关系，说说一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的各种情况. 高效课堂 20 1.二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 的图象与 x 轴交点的横坐标是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 的根. 当b2－4ac＞0时，抛物线与 x 轴有两个交点，方程有两个不相等的实数根； 当b2－4ac＝0时，抛物线与 x 轴有一个交点，方程有两个相等的实数根； 当b2－4ac＜0时，抛物线与 x 轴没有交点，方程无实数根. 高效课堂 21 2.如何利用二次函数的图象求一元二次方程的根的近似值？ 利用二次函数的图象求一元二次方程的根的近似值的基本步骤： 第一步，用描点法画出函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象. 第二步，找函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴的交点. 第三步，读取交点横坐标的近似值，就是根的近似值. 高效课堂 22 巩固练习 1.拋物线 y＝x2－2x＋2 与坐标轴的交点个数为 ( ) A.无交点 B.1 C.2 D.3 点拨 当 x＝0 时，y＝x2－2x＋2＝2，所以抛物线与 y 轴的交点坐标为(0，2)； 当 y＝0 时，x2－2x＋2＝0，因为Δ＝(－2)2－4×1×2＝4－8＝－4＜0，所以方程无解，即抛物线与 x 轴无交点. 所以抛物线y＝x2－2x＋2与坐标轴有1 个交点. 高效课堂 B 23 知识点六：二次函数的应用 建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？ 利用二次函数模型解决实际问题的基本步骤：设变量—列函数—利用图象与性质求解—检验合理性. 高效课堂 24 巩固练习 1.商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45 元，并且50 件工艺品的进价与销售40 件工艺品的价钱相同. (1)该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？ (2)若每件工艺品按(1)中求得的进价进货，标价售出，工艺商场每天可售出该工艺品100 件.若每件工艺品降价1 元，则每天可多售出该工艺品4 件.问每件工艺品降价多少元出售，每天获得的利润最大？ 获得的最大利润是多少元？ 高效课堂 25 答案 (1)设每件工艺品的进价为 x 元，标价为(x＋45)元， 根据题意，得 50x＝40(x＋45)， 解得 x＝180，x＋45＝225. 因此，该工艺品每件的进价为180 元，标价为225 元. (2)设每件应降价 a 元出售，每天获得的利润为 w 元. 则 w＝(45－a)(100＋4a)＝－4(a－10)2＋4 900. 所以当降价10 元时，获得最大利润为4 900 元. 高效课堂 26 2.掷实心球是中考体育考试项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应发生变化.明明利用先进的系统记录了实心球在空中运动时的水平距离x(单位：m)与竖直高度y(单位：m)的数据如下表： 高效课堂 27 根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现此图象是二次函数图象的一部分. 高效课堂 28 (1)在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是多少米？ 实心球在空中的最大高度是多少米？ (2)求满足条件的抛物线的表达式. (3)根据当地中考体育考试评分标准(男生版)，在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于9.7 m时，即可得满分10 分.明明在此次考试中是否得到满分？ 请说明理由. 高效课堂 29 答案 (1)由题意可知，出手时实心球的竖直高度即为 x＝0 时 y 的值，通过图表可得当 x＝0 时，y＝2，因此在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是 2 m. 由当 x＝2 时，y＝3.2，当 x＝6 时，y＝3.2可得，对称轴为直线 x＝4. 则当 x＝4 时，实心球在空中取得最大高度，通过图表可得此时 y＝3.6， 因此实心球在空中的最大高度是 3.6 m. 高效课堂 30 (2)由(1)得抛物线的顶点坐标为(4，3.6)，则可设抛物线的表达式为 y＝a(x－4)2＋3.6. 把(0，2)代入，得 a(0－4)2＋3.6＝2，解得 a＝－0.1. 所以所求抛物线的表达式为 y＝－0.1(x－4)2＋3.6. (3)明明在此次考试中能得到满分，理由如下： 把 y＝0 代入 y＝－0.1(x－4)2＋3.6，得 －0.1(x－4)2＋3.6＝0， 解得 x1＝10 或 x2＝－2(不符合题意，舍去)， 因为10＞9.7，所以明明在此次考试中能得到满分. 高效课堂 31 1.你对本章知识点有了哪些新的认识？ 2.你弄懂了哪些之前不太清楚的知识？ 3.在解决问题的过程中都用到哪些方法？ 课堂总结 32 基础性作业：教材复习题4第1~9题. 提高性作业：教材复习题4第10~12题. 拓展性作业：教材复习题4第13，14题. 作业设计 33 $