4.2二次函数的图象与性质 课件 2026-2027学年数学湘教版九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数的图象与性质，系统讲解y=ax²、y=a(x-h)²、y=a(x-h)²+k及y=ax²+bx+c四种形式，通过从基础描点法作图到平移规律再到配方转化，构建递进式学习支架。 其亮点是结合描点法培养几何直观，通过平移规律总结发展推理意识，如对比y=ax²与y=a(x-h)²+k的图象关系，用配方法分析一般式性质。助力学生建立数形结合思维，教师可依托系统流程提升教学效率。

4.2 二次函数的图象与性质 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 学习目标 课时讲解 1 课时流程 2 二次函数 y=ax2 的图象与性质 二次函数 y=a(x－h) 2的图象与性质 二次函数 y=a(x－h) 2+k的图象与 性质 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 感悟新知 知1－讲 知识点 二次函数 y=ax2 的图象与性质 1 1. 用描点法画二次函数y=ax2的图象的一般步骤 列表 让x 取0 和一些互为相反数的数，并且求出相应的函数值，列出表格 描点 在平面直角坐标系中，以x 取的值为横坐标，以相应的函数值y 为纵坐标，描出相应的点 连线 按自变量由小到大(或由大到小)的顺序，用平滑的曲线顺次连接所描的点 感悟新知 知1－讲 注意 (1)用描点法所画的图象只是二次函数图象的一部分，且是近似的. 一般来说，选点越多，图象越精确. (2)图象向两端无限延伸，左右两侧关于对称轴对称. (3)画y=ax2的图象时，可以先画出图象在y 轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y 轴左边的部分. 在画右边的部分时，只需“列表、描点、连线”三个步骤. 2.二次函数 y=ax2 (a ≠ 0)的图象与性质 y=ax2 a ＞ 0 a ＜ 0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 感悟新知 知1－讲 感悟新知 知1－讲 对称轴 y 轴(或直线 x=0) 增减性 当x ﹤ 0 时，y 随x 的增大而减小；当x ﹥ 0 时，y 随x 的增大而增大 当x ﹤ 0 时，y 随x 的增大而增大；当x ﹥ 0 时，y 随x 的增大而减小 最值 当 x=0 时， y 最小值 =0 当 x=0 时， y 最大值 =0 3. 抛物线：数学上把形如二次函数y=ax2 的图象这样的曲线叫作抛物线，简称为抛物线y=ax2． 4. 顶点：一般地，二次函数y=ax2 的图象关于y 轴对称，抛物线y=ax2与它的对称轴的交点(0，0)叫作抛物线y=ax2 的顶点． 感悟新知 知1－讲 知1－讲 感悟新知 警示误区 连线时，初始点和末端点要注意适当“向外延伸”，切忌用线段连接或漏点、跨点连接. 知1－讲 感悟新知 特别解读 1. 判断二次函数的增减性的技巧：从抛物线的对称轴分开，自左向右看，“上坡路”就是y 随x 的增大而增大，“下坡路”就是y 随x 的增大而减小. 2. 二次函数y=-ax2(a≠0)的图象与y=ax2(a≠0)的图象关于x轴对称. 3. |a| 决定抛物线y=ax2的开口大小，|a| 越大，开口越小；|a|越小，开口越大. 感悟新知 知1－练 例1 [母题 教材P140]探究在同一平面直角坐标系中，画出函数y= x2和y=- x2 的图象. 解题秘方：用描点法，按“列表→描点→连线”的顺序作图. 知1－练 感悟新知 解：列表如下： x 0 1 2 3 ... y=x2 0 3 ... y=－x2 0 － 3 ... 知1－练 感悟新知 描点、连线：画出图象在y 轴右边的部分. 利用对称性，画出图象在y 轴左边的部分. 这样就得到了函数y=x2 和y=-x2 的图象，如图4.2-1 所示. 注：通过图象可知，函数y= x2和y=- x2的图象形状相同，只是开口方向不同 感悟新知 1-1. 在同一平面直角坐标系中，画出函数y=5x2和y=-5x2 的图象. 知1－练 感悟新知 知1－练 解：列表如下： x 0 1 2 … y=5x2 0 5 20 … y=-5x2 0 -5 -20 … 感悟新知 知1－练 描点、连线：画出图象在y轴右边的部分.利用对称性，画出图象在y轴左边的部分.这样就得到了函数y=5x2和y=-5x2的图象，如图所示. 感悟新知 知1－讲 例 2 [母题 教材P142 练习T1]观察例1中两个函数的图象，说出它们的开口方向、对称轴和顶点，以及随着x的增大，y的变化情况. 解题秘方：(1)讨论二次函数的增减性一定要说明是在对称轴(或顶点)的左侧还是右侧，如“对于二次函数y=ax2，若a>0，则y 随x 的增大而减小”的说法是错误的；(2)运用数形结合思想记忆二次函数y=ax2 的性质更容易. 感悟新知 知1－讲 解：y=x2 的图象开口向上，对称轴是y 轴，顶点是原点，当x<0时，y 随x 的增大而减小；当x>0 时，y 随x 的增大而增大.y=-x2的图象开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，当x<0时，y 随x 的增大而增大；当x>0 时，y 随x 的增大而减小. 知1－练 感悟新知 2-1.[期末·长沙雨花区]已知二次函数y=-x2，下列说法正确的是( ) A. 函数图象的开口向上 B. 函数图象的顶点坐标是(0，0)，对称轴是y轴 C. 函数有最小值 D. 当x<0 时，y 随x 的增大而减小 B 感悟新知 知识点 二次函数 y=a（ x－h） 2 的图象与性质 2 知2－讲 1. 二次函数y=a(x-h)2 与y=ax2 的图象间的关系 二次函数y=a(xh) 2 与y=ax2 的图象形状相同，只是位置不同. 抛物线y=a(x-h)2 可由抛物线y=ax2 沿x 轴向右(左)平移|h| 个单位长度得到. 知2－讲 感悟新知 y=ax2 y向左平移|h| 个单位长度，h<0 向右平移h个单位长度，h>0 a>0 y=ax2 y=a(x-h)2 y=a(x-h)2 a<0 y=ax2 y=a(x-h)2 y=a(x-h)2 感悟新知 知2－讲 2. 二次函数 y=a ( x－h ) 2的图象与性质 函数 y=a(x-h)2(a ≠ 0) a>0 a<0 图象 h>0 h<0 感悟新知 知2－讲 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=h 顶点坐标 (h，0) 增减性 当x<h 时，y 随x 的增大而减小；当x>h 时，y 随x 的增大而增大 当x<h 时，y 随x 的增大而增大； 当x>h 时，y 随x 的增大而减小 最值 当x=h 时，y最小值=0 当x=h 时，y最大值=0 知2－讲 感悟新知 注意 在y=a(x-h)2 中括号内是“-”号，如果y=-3(x+2)2，那么h=-2，不能误认为h=2. 知2－讲 感悟新知 特别解读 1. 平移规律：左加右减，横变纵不变. (1) “左加”表示当h<0时，函数y=a(x-h)2可变形为y=a(x+|h|)2，其图象可以由函数y=ax2 的图象向左平移|h| 个单位长度得到； (2) “右减”表示当h>0时，函数y=a(x-h)2的图象可以由函数y=ax2 的图象向右平移h 个单位长度得到； (3) “横变纵不变”表示坐标的平移规律，即抛物线左右平移时对应点的横坐标改变而纵坐标不变. 2. 画y=a(x-h)2的图象时，只要先画出对称轴以及图象在对称轴右边的部分，然后利用对称性，再画出图象在对称轴左边的部分即可，在画图象右边的部分时，只需“列表、描点、连线”三个步骤． 感悟新知 知2－练 [母题 教材P144 练习T1]在同一平面直角坐标系中，画出函数y=4x2，y=4(x+1)2 与y=4(x-1)2 的图象，并根据图象回答下列问题： 例3 知2－练 感悟新知 解题秘方：画二次函数图象时，先画出对称轴右边的部分，再利用对称性画出对称轴左边的部分；二次函数y=a(x-h)2 的增减性是以直线x=h 为分界的，应按x>h 和x<h 分段. 知2－练 感悟新知 解：分别列表如下： x 0 1 … y=4x2 0 1 4 9 … x -1 - 0 … y=4(x+1)2 0 1 4 9 … x 1 2 … y=4(x-1)2 0 1 4 9 … 知2－练 感悟新知 描点、连线：画出图象在对称轴右边的部分. 利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分. 这样就得到了这三个函数的图象，如图4.2-2 所示. 感悟新知 知2－练 (1)抛物线y=4(x+1)2可以看成是由抛物线y=4x2 向_____平移 _____个单位长度得到的，抛物线y=4(x-1)2 可以看成是由抛物线y=4x2向_____平移_____ 个单位长度得到的； 左 1 右 1 感悟新知 知2－练 (2)分别指出抛物线y=4(x+1)2 和y=4(x-1)2 的开口方向、对称轴和顶点坐标，以及随着x的增大，y的变化情况. 解：抛物线y=4(x+1)2 的开口向上，对称轴是直线x=-1，顶点坐标是(-1，0)，当x<-1 时，y 随x 的增大而减小；当x>-1 时，y 随x 的增大而增大.抛物线y=4(x-1)2的开口向上，对称轴是直线x=1，顶点坐标是(1，0)，当x<1时，y 随x 的增大而减小；当x>1 时，y 随x 的增大而增大. 知2－练 感悟新知 3-1. 在同一平面直角坐标系中，画出函数y=-x2 与y=-(x-2)2的图象，并根据图象回答下列问题： 知2－练 感悟新知 解:分别列表如下: x 0 1 2 … y=-x2 0 -0.5 -2 … x 2 3 4 … y=- (x-2)2 0 -0.5 -2 … 知2－练 感悟新知 描点、连线：画出图象在对称轴右边的部分.利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分，这样就得到函数y=-x2与y=- (x-2)2的图象， 如图所示. 知2－练 感悟新知 (1)抛物线y=-(x-2)2可以由抛物线y=-x2怎样平移得到？ 抛物线y=-(x-2)2可以由抛物线y=-x2向右平移2个单位长度得到. 知2－练 感悟新知 (2)抛物线y=-(x-2)2的开口向_____，对称轴是________ ，顶点坐标是______ ，除顶点外，抛物线上的点都在x 轴的 _____方. (3)函数y=-(x-2)2，当x> _____时，y 随x 的增大而减小；当x= _____时，y有最大值，最大值是 _____. 下 直线x=2 (2，0) 下 2 2 0 感悟新知 知识点 3 知3－讲 1. 二次函数y=a(x-h)2+k 与y=a(x-h)2 的图象间的关系 二次函数y=a(x-h)2+k 的图象是一条抛物线，可由二次函数y=a(x-h)2 的图象向上(下)平移|k| 个单位长度得到. 二次函数 y=a（ x－h） 2 +k的图象与性质 2. 二次函数y=a(x-h)2+k 的图象与性质 感悟新知 知3－讲 函数 y=a(x-h)2+k(a ≠ 0) a>0 a<0 图象 h>0 h<0 注意h 前面的“-”号 感悟新知 知3－讲 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=h 顶点坐标 (h，k) 增减性 当x<h 时，y 随x 的增大而减小；当x>h 时，y 随x的增大而增大 当x<h 时，y 随x 的增大而增大；当x>h 时，y 随x的增大而减小 最值 当x=h 时，y 最小值=k 当x=h 时，y 最大值=k 感悟新知 知3－讲 3. 二次函数y=ax2，y=ax2+k，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k 图象的对比 感悟新知 知3－讲 函数 y=a(x-h)2+k y=a(x-h)2 y=ax2+k y=ax2 相同点 形状 图象都是抛物线，形状相同，开口方向相同 对称性 图象都是轴对称图形 增减性 当a>0时，开口向上，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小 不同点 顶点坐标 (h，k) (h，0) (0，k) (0，0) 对称轴 直线x=h y 轴 感悟新知 知3－讲 由二次函数y=ax2 的图象得到y=a(x-h)2+k 的图象的具体平移过程如下： 知3－讲 感悟新知 特别解读 1. 从y=a(x-h)2+k(a ≠ 0)中可以直接得出抛物线的顶点坐标，所以通常把它称为二次函数的顶点式，顶点坐标是(h，k). 2. 抛物线的平移规律是“左加右减，上加下减”，不同的是，左右平移时，只针对常数h 进行变化，而上下平移时，只针对常数k 进行变化，可简记为“左加右减自变量，上加下减常数项”. 3. 抛物线y=ax2，y=ax2+k，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k中a 的值相 等，所以这四条抛物线的形状、开口方向完全一样，故它们之间可通过互相平移得到. 知3－练 感悟新知 [母题 教材P146 练习T1]对于抛物线y=-(x+1)2+3， 下列结论： ① 抛物线的开口向下； ② 对称轴为直线x=1； ③ 顶点坐标为(-1，3)； ④当x>1 时，y随x的增大而减小. 其中正确的结论是___________(填序号). 例4 知3－练 感悟新知 答案：①③④ 解题秘方：紧扣二次函数y=a(x-h)2+k 的图象与性质逐一判断. 解：因为a=-1<0，所以抛物线的开口向下，故①正确；对称轴为直线x=-1，故②错误；顶点坐标为 (-1，3)，故③正确；当x>1 时，y 随x 的增大而减 小，故④正确. 知3－练 感悟新知 4-1.二次函数y =-(x +1)2 + 2 图象的顶点所在的象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4-2.关于二次函数y=2(x-4)2+6，下列说法正确的是_______(填序号). ①图象的开口向上；②图象的对称轴为直线x=4； ③最小值为6；④ 当x>0 时，y 随x 的增大而增大. B ①②③ 知3－练 感悟新知 已知抛物线y=a(x-h)2+k是由抛物线y=x2 先向上平移2 个单位长度，再向左平移1 个单位长度得到的. (1)求出a，h，k的值； (2)画出二次函数y=a(x-h)2+k的图象. 例5 解题秘方：先利用二次函数图象的平移规律写出平移后对应的表达式，再利用画二次函数图象的步骤画出二次函数的图象. 知3－练 感悟新知 解：(1)因为抛物线y=x2 先向上平移2 个单位长度，再向左平移1 个单位长度得到抛物线y=(x+1)2+2，所以a=，h=-1，k=2. 知3－练 感悟新知 (2)列表如下： x -1 0 1 2 ... y=(x+1)2+2 2 4 ... 知3－练 感悟新知 描点、连线：画出图象在对称轴右边的部分. 利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分. 这样就得到了函数y=(x+1)2+2 的图象，如图4.2-3 所示. 知3－练 感悟新知 5-1.[中考·广西]将抛物线y=x2 先向右平移3 个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的抛物线是(　　) A. y=(x-3)2+4 B. y=(x+3)2+4 C. y=(x-3)2-4 D. y=(x+3)2-4 A 知3－练 感悟新知 5-2.画出抛物线y=-(x-1)2+5的图象(要求列表、描点)，回答下列问题： 解：列表如下： x 1 2 3 … y=- (x-1)2+5 5 4.5 3 … 知3－练 感悟新知 描点、连线：画出图象在对称轴右边的部分.利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分.这样就得到了函数y=-x(x-1)2+5的图象，如图所示. 知3－练 感悟新知 (1)写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)当y随x的增大而增大时，写出x的取值范围. 解：抛物线y=- (x-1)2+5的开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标是(1，5). 由图象可得：当x<1时，y随x的增大而增大. 感悟新知 知4－讲 知识点 4 二次函数 y=ax2 +bx+c的图象与性质 1. 二次函数的一般形式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k 一般地，对二次函数y=ax2+bx+c进行配方，可得y=ax2+bx+c=a (x+ )2+ .因此，二次函数y=ax2+bx+c 的图象的对称轴是直线x=-，顶点坐标是(- ，). 注意负号不要丢根的判别式Δ 的相反数 注意负号不要丢 根的判别式Δ 的相反数 感悟新知 知4－讲 2. 二次函数y=ax2+bx+c 的图象的画法 (1)描点法: ①把二次函数y=ax2+bx+c 化成y=a(x-h)2+k 的形式；②确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；③ 在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称描点并用光滑的曲线顺次连接. 感悟新知 知4－讲 (2)平移法: ①把二次函数y=ax2+bx+c 化成y=a(x-h)2+k 的形式，确定其图象的顶点坐标(h，k)；②作出二次函数y=ax2 的图象；③将二次函数y=ax2 的图象平移，使其顶点平移到(h，k)处. 感悟新知 知4－讲 方法点拨 抛物线对称轴的求法： (1)公式法：运用公式x=－直接求出； (2)配方法：配成顶点式进而求出； (3)对称法：找图象上的一组对称点，如点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，当y1=y2时，P1 和P2 关于对称轴对称，则对称轴为直线x= . 感悟新知 知4－讲 3. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 函数 y=ax2+bx+c(a，b，c 是常数，a ≠ 0) a 的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 感悟新知 知4－讲 对称轴 顶点坐标 增减性 感悟新知 知4－讲 最值 知4－讲 感悟新知 拓宽视野 结合图象，通过对x 赋值，判断特殊函数值的正负： 对于二次函数y=ax2+bx+c： 当x=1时，y=a+b+c，此时，若y=0，则a+b+c=0； 若y﹥0，则a+b+c ﹥0；若y﹤0，则a+b+c ﹤0. 当x=-1时，y=a-b+c，此时，若y=0，则a-b+c=0； 若y ﹥0，则a-b+c ﹥0；若y ﹤0，则a-b+c ﹤0. 感悟新知 知4－讲 4. 二次函数y=ax2+bx+c的图象特征与字母系数的关系 二次函数y=ax2+bx+c 中，a 的符号决定抛物线的开口方向，ab 的符号决定抛物线的对称轴的大致位置，c 的符号决定抛物线与y 轴交点的大致位置，具体如下表： 感悟新知 知4－讲 字母或式子 字母或式子的符号 图象的特征 a a>0 开口向上 a<0 开口向下 - b=0 对称轴为y 轴 ab>0(a，b 同号) 对称轴在y 轴左侧 ab<0(a，b 异号) 对称轴在y 轴右侧 c c=0 图象过原点 c>0 图象与y 轴正半轴相交 c<0 图象与y 轴负半轴相交 感悟新知 知4－练 [母题 教材P149 练习T1]对于抛物线y=x2-4x+3. (1)将抛物线的表达式化为顶点式； (2)画出此抛物线. 例6 解题秘方：先用配方法将一般形式化为顶点式，再画出抛物线. 知4－练 感悟新知 解：(1)y=x2-4x+3=(x2-4x+4)-4+3=(x-2)2-1， 故顶点式为y=(x-2)2-1. 知4－练 感悟新知 (2)列表： x 2 3 4 5 … y=(x-2)2-1 -1 0 3 8 … 知4－练 感悟新知 描点、连线：画出图象在对称轴右边的部分. 利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分. 这样就得到了函数y=x2-4x+3 的图象，如图4.2-4 所示. 知4－练 感悟新知 6-1. 在平面直角坐标系中，画出二次函数y=-2x2+4x+3的图象，并指出抛物线y=-2x2+4x+3是由抛物线y=-2x2经过怎样的平移得到的. 知4－练 感悟新知 解:y=-2x2+4x+3=-2(x-1)2+5. 列表如下: x 1 2 3 … y=-2(x-1)2+5 5 3 -3 … 知4－练 感悟新知 描点、连线：画出图象在对称轴右边的部分.利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分，这样就得到了二次函数y=-2x2+4x+3的图象，如图所示. 将抛物线y=-2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到抛物线y=-2x2+4x+3. 知4－练 感悟新知 已知二次函数y=5x2-30x+47，下列说法中错误的是( ) A. 其图象的开口向下 B. 函数的最小值为2 C. 其图象的对称轴为直线x=3 D. 其图象的顶点坐标为(3，2) 例7 解题秘方：本题可用配方法将二次函数由一般形式化成顶点式，然后对各选项作出判断. 知4－练 感悟新知 解：y=5x2-30x+47=5(x-3)2+2，所以其图象开口向上，对称轴为直线x=3，顶点坐标为(3，2)，故A错误，C，D 正确.当x=3 时，函数有最小值，为2，故B正确. 答案：A 知4－练 感悟新知 7-1. 已知二次函数y=x2-4x+5. (1)求出此二次函数图象的顶点坐标； 解：y=x2-4x+5=(x-2)2+1， 所以二次函数图象的顶点坐标为(2，1). 知4－练 感悟新知 (2)求出y随x的增大而减小时，x的取值范围. 解：由(1)知y=(x-2)2+1， 所以抛物线的对称轴为直线x=2， 因为1>0，所以当x<2时，y随x的增大而减小. 知4－练 感悟新知 二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图4.2-5所示. 给出下列结论：① b<0；② c>0；③ a+b+c>0；④ 4a+2b+c<0. 其中正确的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 例8 知4－练 感悟新知 思路导引： 知4－练 感悟新知 解： 序号 分析 判断 ① × ② 抛物线与y轴交于正半轴上一点→c>0 √ ③ 观察图象→当x=1时，y>0→ a+b+c>0 √ ④ 观察图象→当x=2时，y<0→ 4a+2b+c<0 √ 答案：C 知4－练 感悟新知 8-1.[模拟·长沙] 二次函数y=ax2+bx+c(a≠ 0)的图象如图所 示，给出下列五个结论： ① abc<0；② a+b+c<0； ③ 4a-2b+c<0；④ 2a-b=0；⑤ ab<0. 其中正确结论的个数是( ) A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 C 二次函数的图象与性质 二次函数的图象与性质 性质 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 图象 y=ax2 y=ax2＋k y=a(x－k)2 ＋k y=a(x－k)2＋k 上下平移 左右平移 上下、 左右 平移 课堂小结 $