第1章 图形的相似 综合与实践 制作自相似图形（课件）2026-2027学年湘教版九年级数学上册

该初中数学课件核心围绕自相似图形的概念、制作方法及迭代规律展开。课堂通过观察自然界图片（如蕨叶）小组讨论引出“自相似”，再以雪花曲线迭代画法为原型，探究边数、边长、面积规律，延伸到谢尔宾斯基三角形，构建从具体现象到抽象方法的学习支架。 其亮点在于以自然情境激发兴趣，通过动手绘制雪花曲线和谢尔宾斯基三角形，引导学生观察迭代规律，培养几何直观和推理意识。归纳“三步法”并结合展评与原创设计，提升数学表达和应用意识。学生在实践中深化理解，教师可依托结构化流程高效开展综合实践教学。

综合与实践 制作自相似图形 更多模板请关注：https：//haosc.taobao.com 情境导入——自然界的“数学密码” 观察图片，寻找共同特征. 小组讨论：这些物体在形状上有什么奇特之处？ 2 如果把一片蕨叶的局部放大，会发现它看起来和整片叶子几乎一模一样.这种“整体与局部相似”的性质叫什么？ 自相似. 情境导入——自然界的“数学密码” 3 原型构建——雪花曲线的迭代画法 任意画一个等边三角形. 能否从一个等边三角形(图1)出发作出图2所示的六角形？ 把等边三角形的各边三等分，以居中的那条线段为底边向外作等边三角形，得到一个六角形，再去掉与原来等边三角形重叠的边即可得到. 4 议一议：结合上述操作，如何利用一 个等边三角形制作出图3所示图形？图4呢？ 对一个等边三角形， 第一步，将各边三等分，以居中的一段为边向外作等边三角形，得到一个六角形(如图2)； 第二步，在六角形的12条边上重复进行第一步的作法，得到四十八边形(如图3). 四十八边形的48条边上重复进行第一步的作法，得到图4. 原型构建——雪花曲线的迭代画法 5 不断重复，可以无限多次继续作下去，其外缘的构造越来越精细，成为一种理想的雪花，因此称该边界曲线为雪花曲线或科克曲线. 原型构建——雪花曲线的迭代画法 6 原型构建——雪花曲线的边数、边长与面积迭代规律 如图，将三角形的各边展开得到一条直线， 在每进行一次分形后，所得到的图形的边数是原 图形的多少倍？而边长是原图形的多少？ 1.初始图形(第0次迭代)图形： 等边三角形，边数：N0＝3，边长：a0＝a. 变换规则(每次迭代)：在每条边上，将边长三等分，以中间一段为边向外作等边三角形，再去掉中间那条边，保留新三角形的两边. 7 2.边数的变化 每一条边经过变换后，原来的1条边变成了4条边(如图，去掉中间一段，加上新三角形的两边，实际上是1条边变成了4条边).因此，Nn＝4×Nn－1.递推可得Nn＝3×4n. 结论：每次变换，新图形的边数是原图形的4倍. 原型构建——雪花曲线的边数、边长与面积迭代规律 8 3.边长的变化 每次变换，原来的边长被三等分，新生成的小边长是原来的.因此，an＝×an－1. 递推可得an＝()n×a0＝()n－1a. 结论：每次变换，新图形的边长是原图形的. 原型构建——雪花曲线的边数、边长与面积迭代规律 9 想一想：每次变换后，在原等边三角形的一条边上所作的新等边三角形的面积，是原等边三角形面积的几分之几？ 原型构建——雪花曲线的边数、边长与面积迭代规律 10 4.面积的变化 设原等边三角形边长为a，则原三角形面积为S原＝a2. 在一条边上作新等边三角形，一条边被三等分，新等边三角形的边长是原边长的，即新等边三角形的边长为. 新等边三角形的面积为S新＝·()2＝·＝·a2. 因此S新＝S原. 原型构建——雪花曲线的边数、边长与面积迭代规律 11 结论：在一条边上所作的新等边三角形的面积，是原等边三角形面积的. 原型构建——雪花曲线的边数、边长与面积迭代规律 12 高技法解锁——自相似图形的构造原理，归纳制作自相似图形的“三步法” 1.议一议：在雪花曲线的制作过程中，每一次向外作等边三角形，得到的新等边三角形和原等边三角形都是相似的吗？ 由相似三角形的判定定理可知，得到的新等边三角形和原等边三角形都是相似的，即曲线的局部与局部之间是相似的，因而称雪花曲线自相似. 13 2.请尝试归纳制作自相似图形的方法或步骤. (1)定种子：确定基础图形(生成元). (2)定变换：确定如何用若干个缩小的相似图形拼成原图形(变换规则). (3)反复做：无限重复. 若某个图形可分割为若干个与自身相似的图形，则称这个图形是自相似图形. 高技法解锁——自相似图形的构造原理，归纳制作自相似图形的“三步法” 14 任意三角形都是自相似图形吗？ 任意三角形都是自相似图形，因为只要顺次连接三角形各边中点，就可将原三角形分割为四个都与它自身相似的小三角形. 著名的谢尔宾斯基三角形就是这样得来的. 应用巩固——经典的谢尔宾斯基三角形 15 模仿制作谢尔宾斯基三角形(如图)，探究迭代规律. 任务1：动手在纸上画一个等边三角形. 任务2：连接三边中点，去掉中间的小倒三角形(或涂色). 任务3：对剩下的三个小三角形重复上述步骤(迭代1~2次). 应用巩固——经典的谢尔宾斯基三角形 16 应用巩固——经典的谢尔宾斯基三角形 17 类比研究雪花曲线的周长与面积迭代规律的方法，对谢尔宾斯基三角形的边数、边长和面积进行研究. 应用巩固——经典的谢尔宾斯基三角形 18 查阅谢尔宾斯基三角形的有关资料，了解其利用计算机制作的过程. 创意工坊——我是“分形设计师” 19 实际应用——解密自相似图形的生活应用 以小组为单位，将搜集到的关于自相似图形的生活应用相关资料进行分享、展示. 20 各小组派代表上台展示作品，说明： (1)我的“生成元”是什么？ (2)我的“迭代规则”是什么？ (3)计算一下第3层图形的边长或面积是初始图形的几分之几？ 展评交流——数学万花筒筒，展示作品，讲述创作中的数学原理 21 小结与反思 1.知识梳理： 若某个图形可分割为若干个与自身相似的图形，则称这个图形是自相似图形. 2.方法总结：制作自相似图形的步骤. (1)定种子：确定基础图形(生成元). (2)定变换：确定如何用若干个缩小的相似图形拼成原图形(变换规则). (3)反复做：无限重复. 3.反思：在活动中，你们小组遇到了什么困难？是如何解决的？ 22 作业 请以“制作自相似”为题，自己动手制作一个范例，再进行小组合作，设计并制作一款具有自相似特征的原创图形. 23 感 谢 观 看 EV录屏5.3.1软件录制 Lavf58.33.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制, www.ieway.cn $