第2章 综合与实践 坡度（课件）2026-2027学年湘教版九年级数学上册

该初中数学课件围绕“坡度”展开，通过生活中长城、自动扶梯等坡面实例引入，引导学生比较倾斜程度，结合锐角正切知识定义坡角与坡度，构建从直观感受到数学表达的知识支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实情境，通过动手测量学校斜坡的实践活动培养模型意识，结合詹天佑人字形铁路案例深化应用理解。教学方法注重情境探究与实践操作，小结梳理知识与方法，助力学生发展数学思维与应用意识，为教师提供丰富教学资源。

综合与实践 坡 度 情境引入——观察生活中的坡面实例，初步感知坡度的存在 观看下列图片，思考：这些坡面有什么共同特点？如何描述坡面的倾斜程度？ 这些坡面都是倾斜的. 利用坡面与水平地面的夹角描述坡面的倾斜程度. 2 右图是八达岭部分长城的图片，八达岭地形给你 的感受是什么？ 可以直观地感受到长城两侧的山坡十分陡峭. “陡峭”是一种直观感受，不是一个科学术语.多高的坡算陡峭，多高的坡算平缓，每个人的标准都不一样.工程建设不能用直观感受去描述.而是要用数字精确地表述山坡的陡峭程度，这就需要用到一些科学术语. 情境引入——观察生活中的坡面实例，初步感知坡度的存在 3 下图表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？ 分析：比较甲、乙两个自动扶梯哪一个陡，只需分别求tan α，tan β的值，进行大小比较即可，正切值越大，扶梯就越陡. 情境引入——观察生活中的坡面实例，初步感知坡度的存在 4 下图表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？ 解：甲梯中，tan α＝＝乙梯中，tan β＝＝. 因为tan α＞tan β，所以甲梯更陡. 情境引入——观察生活中的坡面实例，初步感知坡度的存在 5 如果把某山坡简化成如图所示的Rt△ABC， AC是坡面，如何用一个数据精确表示AC的陡峭 程度呢？ 由图可知，∠A越大，山坡越陡峭.因此，坡面与水平面所成的角可以表示山坡的陡峭程度，称这个物理量为坡角. 但是，工程师较少用坡角表示陡峭程度，而是用另一个物理量——坡度,坡度的含义是高度与长度的比值，即图中的 ，通常会用百分数(或千分数) 来表示.度度的比值，即图中的 回顾旧知——探究坡度的定义及其与坡角的关系 6 回顾已学过的与坡度相关的知识： 回顾旧知——探究坡度的定义及其与坡角的关系 (1)锐角的正切：如图，锐角A 的对边与邻边的比叫作∠A 的正切，记作tan A，即tan A= = . 7 坡角：角α叫作坡角(即山坡与地平面的夹角)，显然，坡度等于坡角的正切. 根据锐角三角函数的正切的定义可知，坡度越大，坡面越陡. 回顾旧知——探究坡度的定义及其与坡角的关系 (2)坡度：升高的高度h 与水平前进的距离l的比叫作坡度，用字母i 表示，即i = (坡度通常写成1∶m 的形式). 8 模型建构——将坡度问题转化为解直角三角形模型 小组内选择学校的某处斜坡(或可以用楼梯替代)，然后小组合作测量其坡度. 可以直接使用现代仪器测量，也可按下述步骤进行： (1)准备以下材料：一根结实的绳子(至少要2~3 m)、两根长木棍、水准泡(可自制)、铅垂线(可自制)、长直尺、固态胶等； (2)将绳子两端分别绑在木棍上，用固态胶将水准泡粘在绳子上(轻轻粘住即可)并测量出中间绳子的长度L； 9 (3)将一根木棍插入斜坡，利用铅垂线作为基准，调整木棍角度，使其垂直于水平面(不是垂直于斜坡)； (4)拉动另一根木棍到斜坡的另一点，使绳子拉直； (5)参照水准泡，调整绳子的位置，使其与水平面平行，并固定好木棍； (6)用长直尺分别测量两根木棍绑绳处距离地面的高度，分别记作AB和CD，如右图所示. 因此，斜坡的坡度i＝. 模型建构——将坡度问题转化为解直角三角形模型 10 实践应用——解决综合性的坡度实际问题 在2004 年铁路第五次提速以前，从塞外进京必须穿过八达岭隧道、走人字形铁路.这条人字形铁路就是詹天佑修建京张铁路的三项创造性成就之一.詹天佑为何要在青龙桥设计人字形铁路？ 测量从人字形铁路下方到八达岭隧道口 (隧道口在八达岭长城发车站北侧)的距离， 可得这段距离是1.5 km，如图所示. 11 高效课堂 根据京张铁路坡道碑的数据，换算该人字形铁路的坡度为 ×1 000‰≈30.30‰，于是经过1.5 km后，火车上升了约45 m. 如果不走人字形铁路，用测距功能测量从起点到八达岭隧道口的直线距离，可得这段距离是921 m. 此时可算得坡度为×1 000‰≈48.86‰，远远高于当时允许的极限. 12 拓展延伸——思考坡度知识的进一步应用 查找相关资料，了解为什么工程师用坡度而不是坡角去衡量一个斜坡的陡峭程度，这样做有哪些好处？ 13 课堂小结——梳理本节课的知识与方法 1.知识梳理 (1)坡度的定义与公式； (2)解决坡度问题的一般步骤. 2.方法总结 解决坡度综合问题的模型建立步骤： (1)读题，明确已知量和未知量； (2)画图，必要时添加辅助线构造直角三角形； 14 (3)在直角三角形中根据坡度定义列出比例式； (4)选择适当的三角函数(或勾股定理)求解； (5)根据图形几何关系求最终结果. 3.反思 (1)在活动中，你们小组遇到了什么困难？是如何解决的？ (2)你认为这种动手测量计算的学习方式，对你理解抽象的数学知识有什么帮助？ 课堂小结——梳理本节课的知识与方法 15 作业 请以“残疾人通道台阶改造”为题，写一篇改造方案，介绍你从中获得的启发. 要想进入某公园，需经过5 级高度均为0.1 m，长为3 m的台阶，现为方便残障人士手摇自行车进入，拟将其中的1.2 m台阶改为斜坡.请自行查找资料了解手摇自行车的最大爬坡坡度，并根据最大爬坡坡度拿出相应的台阶改造方案. 16 感 谢 观 看 $