4.2.2 二次函数的图象与性质 课件 2026-2027学年湘教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数\( y = a(x - h)^2 \)与\( y = a(x - h)^2 + k \)的图象与性质，通过复习\( y = ax^2 \)的图象特征搭建学习支架，先探究左右平移规律，再延伸至上下平移，形成连贯的知识脉络。 其亮点在于用坐标变换验证平移猜想培养推理意识，表格对比性质发展几何直观，“左加右减、上加下减”口诀强化数学语言表达。采用探究活动结合例题示范，分层作业兼顾基础与拓展，助力学生发展抽象能力，也为教师提供清晰教学流程与实用资源。

第4章 二次函数 4.2 二次函数的图象与性质 4.2.2 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质 第1课时 二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质 前面学习了二次函数 y＝ax2 的图象与性质，它的图象是什么形状？ 开口方向由什么决定？ 顶点坐标是什么？ 导入新课 2 活动一：探究二次函数 y＝a(x－h)2 的图象与性质 把二次函数 的图象Ⅰ向右平移1个单位长度，得到图象Ⅱ，如图所示.图象Ⅱ可以表示哪个函数的图象？ 高效课堂 3 猜想： . 如何说明猜测正确？ 在抛物线 y＝ x2 上任取一点P(d， d 2)，那么在向右平移1个单位长度后，点 P 的像点 Q 的坐标是(d＋1， d 2). 记 s＝d＋1，则 d＝s－1，从而点 Q 的坐标为(s， (s－1)2). 这表明：点 Q 在函数 的图象上. 由此得出，图象Ⅱ是函数y＝ (x－1)2 的图象. 高效课堂 4 在同一平面直角坐标系中，分别描点画出y＝ x2 和y＝ (x－1)2 的图象，并观察两个图象的位置关系，记录顶点坐标变化. 对比图象，记录顶点从(0，0)到(1，0)，发现y＝ (x－1)2 的图象确实可由y＝ x2 的图象向右平移1个单位长度得到. 依据平移图形的特征能写出函数y＝ x2 图象的原像与像之间的对应关系吗？ 高效课堂 5 由于平移保持任意两点间距离不变，保持角的大小不变，因此平移不改变图形的形状和大小，从而将图象Ⅰ向右平移1个单位长度后，其原像与像之间的关系如下表： 高效课堂 6 通过以上探究，现在对函数y＝ (x－1)2 的图象有什么认识？ 它的图象是一条抛物线，它的开口向上，顶点是O'(1，0)，对称轴是过O'(1，0)且平行于 y 轴的直线l'. 直线l'是由横坐标为1的所有点组成的，把直线l'记作直线x＝1. 高效课堂 7 类比以上探究，说一说二次函数 y＝a(x－h)2 的图象的性质是什么？ 它的图象是抛物线，对称轴是直线x＝h，顶点坐标是(h，0). 当a＞0时，抛物线的开口向上；当a＜0时，抛物线的开口向下. 高效课堂 8 由于已经知道了二次函数 y＝a(x－h)2 的图象的性质，因此，今后在画y＝a(x－h)2 的图象时，只要先画出对称轴以及图象在对称轴右边的部分，然后利用对称性，再画出图象在对称轴左边的部分即可，在画图象的右边部分时，只需“列表、描点、连线”三个步骤. 高效课堂 9 活动二：二次函数 y＝a(x－h)2 的图象与性质的运用 例 画出二次函数 y＝(x－2)2 的图象. 解 抛物线y＝(x－2)2 的对称轴是直线x＝2，顶点坐标是(2，0). 列表：自变量 x 从顶点的横坐标2开始取值. 描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分. 利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分. 高效课堂 10 y＝(x－2)2 的图象和y＝x2 的图象有什么位置关系？ 将y＝x2 的图象向右平移2 个单位长度，就得到y＝(x－2)2 的图象. 如果要得到y＝(x＋2)2 的图象，可将y＝x2 的图象如何平移？ 将y＝x2 的图象向左平移2 个单位长度可得到y＝(x＋2)2 的图象. 高效课堂 11 二次函数的图象左右平移四字诀为“左加右减”. 即由抛物线y＝ax2 平移得到抛物线y＝a(x－h)2 时符合h左负右正，即h＞0，向右平移，h＜0，向左平移. 高效课堂 12 梳理本节课内容，你学到了什么？ 还有什么疑惑？ 请与同学们交流. 课堂总结 13 基础性作业：教材练习第1，2题. 提高性作业：已知函数y＝x2，完成下列问题： (1)写出将其图象向右平移3个单位长度后的函数表达式，并画出草图. (2)写出将其图象向左平移 个单位长度后的函数表达式，并说明对称轴和顶点坐标. (3)总结y＝x2的图象左右平移 |h| 个单位长度后，表达式的变化规律. 作业设计 14 第4章 二次函数 4.2 二次函数的图象与性质 4.2.2 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质 第2课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质 前面学习了二次函数y＝a(x－h)2 的图象与性质，能说说它的图象和性质吗？ 它可以由函数y＝ax2 的图象如何得到？ 如何快速地画其图象？ 导入新课 16 活动一：探究函数 的图象 如何画二次函数 的图象？ 先探究二次函数 与y＝ (x－1)2 的图象的关系. 观察表格中同一横坐标 d 对应的两个函数的纵坐标，能发现什么？ 高效课堂 17 对于 x 的每一个给定的值，函数y＝ (x－1)2 ＋3的值比函数 y＝ (x－1)2 的值大3. 如果把y＝ (x－1)2 图象上的每个点都沿y 轴向上平移3个单位长度，会得到什么函数图象？ 可以得到y＝ (x－1)2＋3的图象(如图所示). 高效课堂 18 二次函数y＝ (x－1)2＋3的图象也是抛物线，它的对称轴为直线x＝1 与抛物线y＝ (x－1)2 的对称轴一样 ，顶点坐标为(1，3) 它是抛物线y＝ (x－1)2 的顶点(1，0)向上平移3个单位长度得到的 ，它的开口向上. 高效课堂 19 活动二：二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的图象与性质 说说二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的图象与性质分别是什么. 结论：一般地，二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的图象是抛物线，它具有下述性质： 高效课堂 20 如何画二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象？ 第一步，写出对称轴和顶点坐标，并且在平面直角坐标系内画出对称轴，描出顶点； 第二步，列表(自变量x 从顶点的横坐标开始取值)、描点和连线，画出图象在对称轴右边的部分； 第三步，利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分(只要先把对称轴左边的对称点描出来，然后用一条光滑曲线顺次连接它们和顶点即可). 高效课堂 21 活动三：函数 y＝a(x－h)2＋k 的图象与性质的运用 例 画出二次函数y＝ (x＋1)2－3的图象. 解 对称轴是直线x＝－1，顶点坐标为(－1，－3). 列表：自变量 x 从顶点的横坐标－1开始取值. 高效课堂 22 描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分.利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分. 这样就得到了y＝ (x＋1)2－3的图象，如图所示. 高效课堂 23 能通过平移画出y＝ (x＋1)2－3的图象吗？ 方法一：先画出函数y＝ x2 的图象，将其向左平移1个单位长度得到函数y＝ (x＋1)2 的图象，再将函数y＝ (x＋1)2 的图象向下平移3个单位长度得到函数y＝ (x＋1)2－3的图象. 方法二：先画出函数y＝ x2 的图象，将其向下平移3个单位长度得到函数y＝ x2－3的图象，再将函数y＝ x2－3的图象向左平移1个单位长度得到函数y＝ (x＋1)2－3的图象. 平移规则：左加右减，上加下减. 高效课堂 24 梳理本节课内容，你学到了什么？ 还有什么疑惑？ 请与同学们交流. 课堂总结 25 作业设计 基础性作业：教材练习第1，2题；习题4.2第2(1)(2)(5)(6)题. 提高性作业：教材习题4.2第7，9题. 拓展性作业：在平面直角坐标系中，二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象为抛物线，若将抛物线先沿x轴翻折，再沿y 轴翻折，两次翻折后得到的新抛物线的表达式是什么？ 请以y＝ (x＋1)2－3为例，先计算翻折后的函数表达式，再尝试总结一般规律，并说明参数a，h，k的变化特点. 26 感 谢 观 看 $