应用技巧专题 一次函数的应用——最优及优化决策问题(真实情境)-【学海风暴】2026-2027学年八年级上册数学同步备课（沪科版·新教材）

应用技巧专题 一次函数的应用 题型① 一次函数与不等式（组）相结合 1.某校计划购买A,B两种跳绳共120根，且 购买A种跳绳的数量不少于B种跳绳数量 的2倍.已知A种跳绳每根12元，B种跳绳 每根8元. (1)设购买A种跳绳的数量为x根，实际付 款总金额为y元，请求出y与x之间的函数 关系式（不需要写x的取值范围）. (2)在(1)的条件下，请设计出一种购买跳绳 的方案，使实际所花费用最少，并求出最少 的费用. 2.(2025一2026合肥期中)某中学八年级学生 参加校园艺术节暨课后服务活动展，准备给 每位演出的学生预订一套演出服装，并为所 有八年级学生每人配一个帽子.市场上，演 出服装每套定价100元，帽子每个定价20 元.在比价过程中，甲、乙两家商店分别提供 了自家的优惠方案.甲：买1套演出服装送1 个帽子.乙：演出服装和帽子均打九折出售。 现该校需要预订演出服装30套，帽子x(x >30)个. (1)请分别写出甲、乙两家商店的方案各自 所需费用y关于x的函数表达式. 30 八年级数学HK版 最优及优化决策问题（真实情境， (2)请通过计算说明，若只能选择一家商店 的方案，按照哪种方案购买更合算？ 3.某超市准备购进A,B两种品牌的书包共100 个，已知这两种书包的进价和售价如下表所示. 设购进A种书包x个，获得的总利润为y元. 品 购进书 进价/ 售价/ 获得利润/元 牌 包个数 (元/个)（元/个） A 50 60 B 40 55 (1)将表格的信息填写完整， (2)如果购进两种书包的总费用不超过4500 元且购进B种书包的数量不大于A种书包 的3倍，那么超市如何进货才能获得最大利 润？求出最大利润（购进的书包全部售完）. 题型②一次函数与方程（组）、不等式（组）的 综合 4.已知3台A型打印机和2台B型打印机共 需要3400元，1台A型打印机和3台B型 打印机共需要3000元. (1)A,B两种型号的打印机的单价分别为 (2)若购买这两种型号的打印机共200台，且 A型打印机不少于120台，B型打印机不少 于60台，平均每台打印机的运输费用为10 元.设购买A型打印机x台，总费用为y元. ①求y与x之间的函数关系式，并写出x的 取值范围； ②求出总费用最少的购买方案. 5.某无人机配件销售公司A,B两种配件的进 价和售价如下表，用15000元刚好可购进A 种配件50件和B种配件25件. 种类 A种配件 B种配件 进价/八元/件) 2 80 售价/八元/件) 300 100 (1)a的值为 (2)若该公司购进A种配件和B种配件共 300件，并全部售出，设本次销售获得总利润 y元，购进A种配件x件，y与x之间的函 数关系式为 (利润 =售价一进价). (3)在(2)的条件下，据市场销售分析，B种 配件进货件数不低于A种的2倍.如何进货 才能使本次销售获得的总利润最大？最大 利润是多少元？ 6.(2025一2026合肥瑶海区期未)某商场销售 甲、乙两种服装，其进价与售价的情况如下表： 类别 进价/八元/件) 售价/（元/件） 甲种服装 160 210 乙种服装 120 150 现计划购进这两种服装共100件，其中甲种 服装不少于60件.设购进甲种服装x件，两 种服装全部售完，商场获利y元 (1)y与x之间的函数关系式为 (2)若购进100件服装的总费用不超过 15000元，求最大利润. (3)在(2)的条件下，该商场对甲种服装以每 件优惠α元的价格进行优惠促销活动，乙种 服装每件的进价减少b(0<b<8)元，售价不 变，且a一b=4.若最大利润为4000元，求b 的值. 上册第12章 31△(2)设(1)中所画图象的表达式为y=k.x十b. 把点(0,4)，(2,16)代入y=k.x+b, 得64， k=6, 2k+b=16 解得b=4, 即(1)中所画图象的表达式为y=6x十4. (3)当y=76时，76=6x+4,解得x=12. 因为8+12=20，所以当箭尺读数为76cm时是 20:00. 7.解：(1)示例：选择条件①②.设篮球的单价为x元，足 球的单价为y元 根据题意，得亿+y+30=140 2y-x=40, 解得r60. 1y=50. 故篮球的单价为60元，足球的单价为50元 (2)设该学校购买篮球m个，则购买足球(10一m)个 10 根据题意，得10-m≤2m,解得m≥ 又因为m<10,所以智≤m<10, 设学校要购买篮球、足球的总费用为元. 根据题意，得=60m+50(10一m)=10m十500， 因为10>0， 所以随m的增大而增大。 因为9m≤10，且m为正整数， 所以当m=4时，0最小，最小值为10×4+500=540. 故购买4个篮球时花费最少，最少费用是540元. 应用技巧专题一次函数的应用一 最优及优化决策问题（真实情境） 1.解：(1)由题意，得y=12.x+8(120一x)=4.x+960. (2)由条件可知，x≥2(120一x),解得x≥80. 因为y=4x+960,4>0, 所以y随x的增大而增大， 所以当x=80时，y取得最小值，最小值为4×80十960 =1280, 此时120一x=120一80=40 故当购买A种跳绳80根，B种跳绳40根时，实际所花 费用最少，最少的费用为1280元. 2.解：(1)甲商店的方案所需费用y甲关于x的函数表达 式为y甲=20(x-30)+100×30=20x+2400(x> 30). 乙商店的方案所需费用yz关于x的函数表达式为yz =0.9×(100×30+20x)=18x+2700(x>30) (2)①20x+2400=18.x+2700,解得x=150, 此时按照甲、乙两家商店的方案所需费用一样； ②20x十2400>18.x+2700,解得x>150, 此时按照乙商店的方案购买更合算； ③20x+2400<18x+2700,解得x<150, 此时按照甲商店的方案购买更合算 故x=150时，按照甲、乙两家商店的方案所需费用一 样；x>150时，按照乙商店的方案购买更合算；30<x <150时，按照甲商店的方案购买更合算， 3.解：(1)填表如下： 410 八年级数学HK版 购进书 进价/ 售价/ 获得利 品牌 包个数 (元/个) (元/个) 润/元 A x 50 60 10x B 100-x 40 55 15(100-x) (2)由题意，得 50x+40(100-x)≤4500， 解得25≤x 100一x3.x, ≤50. 因为y=10.x+15(100-x)=-5x+1500,-5<0, 所以y随x的增大而减小， 所以当x=25时，y有最大值，最大值为一5×25+ 1500=1375. 故当购进A种书包25个，B种书包75个时，超市才能 获得最大利润，最大利润为1375元. 4.解：(1)600元、800元 (2)①根据题意，得 200-x≥60·解得120≤x≤140. x≥120， y=600.x+800(200-x)+200×10=-200.x +162000, 所以y与x之间的函数关系式为y=一200x十 162000(120≤x≤140). ②因为在y=-200.x+162000(120≤x≤140)中，k 一200<0，所以y随x的增大而减小， 所以当x=140时，总费用最少，此时200一x=60, 所以当购买A型打印机140台，B型打印机60台时， 总费用最少. 【解析】(1)设A型打印机每台m元，B型打印机每台n 元，则3m十2=3400解得m=60. m+3n=3000, ln=800. 故A型打印机每台600元，B型打印机每台800元. 5.解：(1)260 (2)y=20x+6000 (3)根据题意，得300-x≥2x,解得x≤100. 因为y=20x十6000,20>0，所以y随x的增大而增 大，所以当x=100时，y值最大，最大值为y=20× 100+6000=8000, 此时300一x=200. 故购进A种配件100件和B种配件200件才能使本 次销售获得的总利润最大，最大利润是8000元. 【解析】(1)根据题意，得50a+80×25=15000,解得a =260. (2)由题意，得y=(300一260)x+(100一80)(300一x) =20x+6000. 6.解：(1)y=20x+3000 （2)由题意，得≥60， 160.x+120(100-x)≤15000. 解得60≤x≤75. 因为在y=20x+3000中，20>0， 所以y随x的增大而增大，所以当x=75时，y有最大 值，最大值为20×75+3000=4500， 所以最大利润为4500元. (3)y=(210-160-a)x+(150-120+b)(100-x)= (20-a-b)x+100b+3000. 又因为a-b=4,所以a=b十4，所以y=(20-b-4一 b)x+100b+3000=(16-2b)x+100b+3000(60≤x ≤75,0<b8). 因为0<b<8,此时y随x的增大而增大， 所以当x=75时，y量大=(16-2b)×75十100b+3000. 因为最大利润为4000元， 所以(16-2b)×75+100b+3000=4000,解得b=4. 实践应用专题函数中的“项目” 1.解：任务1：设购买足球x个 根据题意，得80×15+100.x≤3000，解得x≤18， 所以该校最多可以购买18个足球。 任务2：设购买排球m个，则购买足球(60一m)个 1 根据题意，得60一m≥2m,解得m≤40. 设所需费用为W元，则W=0.75×80m十0.8×100(60一 m)=-20m+4800. 因为一20<0，所以W随m的增大而减小 因为m≤40，所以当m=40时，W有最小值，W最小= -20×40+4800=4000.60-40=20(个). 故该学校本次购买排球40个，足球20个所需费用最 少，最少费用是4000元 2.解：任务1： 根据题意，当0<x≤1时，yz=10; 当x>1时，yz=10+3(x-1)=3x+7, 所以2=00<x≤1. 3x+7(x>1). 任务2： 当x=1时，yz=10;当x=2时，yz=3×2+7=13. 函数yz的图象如图所示. y/元↑ y甲y 16 15 11 10 012345678910xg 任务3： 由图象可知，当0<x<2时，甲快递代办点更优惠： 当x=2时，两个快递代办点收费相同； 当x>2时，乙快递代办点更优惠。 3.解：(1)y1=-2x+48y2=x+3 22 (2)当x=13时，y=-2×13+48=22,所以4=3： 工=13时y2=13+3=16,所以4，=)=8 因为u1<42,所以自西向东方向更拥堵。 (3)因为，=设有可变车道，所以之-兰 所以y,=yg,所以-2x+48=x十3，解得x=15. 当u1>u2时，-2x十48>x十3，解得x<15: 当u1<u2时，-2x十48<x十3，解得x>15. 故若1=u2,x的值为15；8时至15时，可变车道设置 为自东向西方向；15时至20时，可变车道设置为自西 向东方向。 单元整合训练一次函数 与几何面积问题（跨单元） 1.解：(1)设直线的表达式为y=kx十b. 把A(-1,5),B(3,-3)代入， 符6；解得 k=-2, 所以直线的表达式为y=一2x+3. 把P(-2,a)代入y=-2x+3,得a=7. (2)因为这条直线与y轴相交于点D, 当x=0时，y=3,所以点D的坐标为(0,3). 因为点P的坐标为（一2,7）， 1 所以三角形OPD的面积=2X3X2=3. 2.解：(1)因为直线l1:y=m.x十4经过点A(1,2), 所以2=m十4，解得m=一2，所以11：y=一2x十4， 所以直线l1:y=-2x十4与x轴交于点B(2,0). 又因为点B与点C关于y轴对称，所以C(-2,0). 因为直线l:y=kx十b经过点A(1,2),C(-2,0), 2 k= (k十b=2, 3 所以 -2k+b=0, 解得 4 b=3 2 4 所以l2:y=3x+3 (2)当x=0时，y=-2x+4=4,y=3x+3=3, 2 44 48 所以E(0,4),D(0,3),所以DE=4-3=3: 4 所以三角形ADE的面积-合×号X1-青 4 (3)1<x2. 3.解：(1)令x=0,则y=4,所以点A的坐标为(0,4). 令y=0,则-2x十4=0，解得x=2, 所以点B的坐标为(2,0). (2)因为A(0,4),B(2,0), 1 所以0A=4,OB=2,所以S三角形m=2×4X2=4, 1 所以S三角影A=2AC,OB=2S三角EA0=8,所以AC =8, 所以点C的坐标为(0，一4)或(0,12) 又因为函数y=kx十b(k≠0)中，y随着x的增大而增 大，所以点C的坐标为(0，一4). 把B(2,0),C(0,-4)代入y=kx+b, 08 .解得=2， b=-4. 4 4.解：1)对于直线y=3x+4,令y=0,解得x=一3， 上册详解详析 11