06函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以“变换规律+综合应用”为核心，系统整合图象变换方法，构建从概念到性质的逻辑链条，培养数学抽象与几何直观素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |变换规律|提示总结+选择/填空题（约8题）|归纳振幅/周期/相位/平移四大变换，明确“先伸缩后平移”与“先平移后伸缩”操作差异|从参数A/ω/φ/b的几何意义出发，建立变换规则与图象特征的对应关系| |综合应用|解答题（5题）+图象分析题（约7题）|提炼“由图求解析式”三步法（定周期→求振幅→算相位），强化性质应用（单调性/对称性）|以变换为基础，延伸至图象识别、参数计算及性质判断，形成“概念-变换-应用”完整链条|

2027届高三数学复习专项练习——三角函数篇 06 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用 提示：对函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，φ≠0，b≠0)，其图象的基本变换有： (1)振幅变换(纵向伸缩变换)：是由A的变化引起的，A>1时伸长，A<1时缩短． (2)周期变换(横向伸缩变换)：是由ω的变化引起的，ω>1时缩短，ω<1时伸长． (3)相位变换(横向平移变换)：是由φ引起的，φ>0时左移，φ<0时右移． (4)上下平移(纵向平移变换)：是由b引起的，b>0时上移，b<0时下移． 可以使用“先伸缩后平移”或“先平移后伸缩”两种方法来进行变换． 一、单选题 1．（25-26高一下·河北衡水·阶段检测）已知函数，先将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.若，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到，再将图象向左平移个单位长度，得到函数，要使且，则或， 所以，所以，，则. 2．（26-27高三上·山东济南·开学考试）设函数，若将的图象沿轴的负方向平移个单位长度，所得图象与的图象关于轴对称，则满足条件的的个数为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】先写出平移后解析式，利用关于轴对称得，由正弦恒等条件求出通式，在给定区间数出解的个数. 【详解】向左平移个单位：. 由两图像关于轴对称，所以，， 由得：， 所以或，第二个等式含，对任意不恒成立，舍去. 整理得：.因为，所以， 所以整数.时，；时，； 时，.三个都落在区间，共3个. 3．（2026·安徽合肥·三模）将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的3倍，纵坐标不变，再将图象向左平移的单位长度，得到函数的图象；若函数在上有最小值，没有最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数平移变换得的解析式，再根据正弦函数性质列不等式计算求解； 【详解】函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的3倍，纵坐标不变，得， 再将图象向左平移的单位长度，得到函数的图象，所以， 当时，，要使函数在上有最小值，没有最大值， 则，解得，所以的取值范围是. 4．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，且阴影部分的面积为，则下列说法错误的是（     ） A．函数的最小正周期为 B．为函数的一个对称轴 C．要得到函数，需将函数向右平移个单位长度 D．函数在区间上单调递增 【答案】C 【分析】先确定，再结合正弦型函数的性质及平移变换逐项判断即可． 【详解】如图，，分别过点作轴的垂线，与过点的轴的垂线交于点， 由对称性可知，阴影部分的面积等于矩形的面积，即，解得，函数的最小正周期为，故A正确；由，解得，又函数过点，则，即， ，，则，又为最小值，所以为函数的一条对称轴，故B正确；因，则要得到该函数的图象，需将函数向右平移个单位长度，故C错误；因，，而在上单调递增，故函数在区间上单调递增，故D正确． 5．（2026·天津北辰·三模）函数的部分图象如图所示，则（   ） A．的单调递增区间是 B．函数的图象向左平移个单位后得到的是一个奇函数的图象 C．图象的对称中心是 D．图象的一条对称轴方程是 【答案】D 【分析】根据函数图像易得，从而可得出，再将点代入求得，从而得到函数的解析式，再根据正弦函数的性质逐一判断即可得出答案. 【详解】由图像可得，，，，将点代入可得，又，，所以函数， 令，解得，，故函数的增区间为，，故A错误；由， 所以是函数的一条对称轴，故D正确；令，解得，所以函数的对称中心为，，故C错误；将函数的图像向左平移个单位，得到，该函数为偶函数，故B错误. 6．（2026·江苏淮安·模拟预测）函数（，，）的部分图象如图所示．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则 （   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】由图象确定振幅、周期和相位，写出函数解析式，根据平移规则得到新函数解析式，代入自变量计算即得结果. 【详解】由图象可知，，图象与轴交点坐标为，与之相邻的最高点坐标为， 所以，所以，解得，将代入，得，所以 ，所以，又因为，所以，所以， 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象， 所以，所以. 7．（2026·重庆·三模）已知函数的图象是由函数的图象向左移动个单位长度得到，则下列命题正确的是（     ） A． B．是的一条对称轴 C．在单调递增 D．是奇函数 【答案】D 【分析】A选项，利用“左加右减”进行计算； B选项，利用余弦函数的对称轴进行求解； C选项，将区间代入函数，看是否满足递增区间的需求； D选项，先判断定义域是否关于原点对称，再利用，验证奇偶性. 【详解】函数的图象向左移动个单位长度， 得到新的函数为：. A选项，，所以A选项错误； B选项，，令，得：，其中， 所以不是的一条对称轴，所以B选项错误； C选项， ，则，在该区间上不单调，所以C选项错误； D选项，， 对函数而言，，且， 所以是奇函数，所以D选项正确. 8．（25-26高三下·山西太原·阶段检测）已知函数，将图象上的所有点的横坐标缩小为原来的后，再向右平移个单位，得到函数的图象．若函数在区间上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过伸缩平移得到函数，由题意得到在存在最值点，进而可求解. 【详解】由，横坐标缩小为原来的​，得； 向右平移个单位，得： ， 当时，相位的范围为： ， 不单调区间内存在正弦函数的最值点， 结合，则，该范围内仅有的最值点为， 因此要求： ，右半部分： ​，符合题设； 左半部分：综上，的取值范围是 . 二、多选题 9．（26-27高三上·重庆九龙坡·开学考试）已知函数的部分图象如图所示，则（     ） A． B．的图象关于点对称 C．直线是的一条对称轴 D．函数为奇函数 【答案】ABD 【详解】选项A：由图可知，，因为，所以．因为，所以，则．此时．由图可知，函数图像过点， 所以，即．因为，取，得． 所以，故A正确．选项B：令，解得，所以的图像关于点对称，故B正确．选项C：当时，， 此时函数值为0，不是最值，所以直线不是的对称轴，故C错误．选项D：，因为是奇函数，所以函数为奇函数，故D正确． 10．（26-27高三上·湖北·开学考试）已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（    ）． A．的最小正周期为 B．为偶函数 C．的图象关于直线对称 D．在上单调递减 【答案】ABD 【分析】根据正弦型函数的图象及性质，结合函数图象的平移变换求解即可. 【详解】由题意知，，所以.由，得，又，得. 由，得，所以，所以． 又，即，所以，故，所以，所以的最小正周期为，即A正确；，所以为偶函数，即B正确；又，所以直线不是的图象的对称轴，即C不正确； 当时，，故在上单调递减，即D正确． 11．（26-27高三上·重庆北碚·开学考试）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，下列说法正确的有（    ） A．的图象关于直线对称 B．在区间上单调递增 C．若，则 D．若，且，则 【答案】ACD 【分析】利用三角函数图象变换求出函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断A选项；利用正弦型函数的单调性可判断B选项；求出、的表达式，可求出的最小值，可判断C选项；利用同角三角函数的基本关系和诱导公式可判断D选项. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，可得到函数的图象， 再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，可得到函数的图象，对于A选项，因为，所以函数的图象关于直线对称，A对；对于B选项，当时，，所以函数在区间上不单调，B错； 对于C选项，由可得或， 解得或，若，，则，由题意可知，故， 若，，同上可知， 若，，则， 当时，取最小值，即，综上所述，，C对； 对于D选项，因为，，所以， 则， 故，D对. 三、填空题 12．（2026·北京海淀·三模）已知函数，则的最大值为______，将函数图象向右平移个单位得到函数，若对任意，都有成立，则常数的最小值为______． 【答案】 /； 【分析】先利用三角恒等变换化简函数为余弦型函数标准形式，根据余弦函数的值域求解最大值；再根据三角函数图象平移规则得到的解析式，结合奇函数的性质推导参数的取值，最终确定最小正值. 【详解】∵ ，由平方差公式及余弦二倍角公式可得： ， ∵ ， ∴ 的最大值为.将函数的图象向右平移个单位，可得，∵ 对任意，都有，即，∴ 是定义在上的奇函数，∴ ， 即， 又∵ ， ∴ 当时，取得最小值. 13．将函数图象的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，则曲线与的一个交点坐标为______． 【答案】（或或答案不唯一） 【分析】利用三角恒等变换化简得，结合平移变换、三角恒等变换化简得，令，，解得或或即可得解. 【详解】因为 ， 将图象的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象， 则， 由，可得，即，解得或． 又，所以，故或或，或或， 所以曲线与的交点坐标为或，或． 14．（25-26高三下·安徽阜阳·开学考试）将函数的图象向左平移θ个单位长度得到函数的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为，且，则θ=____，____. 【答案】 / / 【分析】通过三角函数图象的对称性可将阴影部分的面积用矩形的面积表示，列方程可求得θ，根据周期性可求得ω，根据特殊点可求得，进而求解. 【详解】如图所示，根据三角函数图象的对称性，可得阴影部分的面积等于矩形和的面积之和，即， 因为将函数的图象向左平移θ个单位长度得到函数的图象， 所以，故.又图中阴影部分的面积为， 所以，解得.又由图象可得，即，所以，所以， 所以.因为， 所以，解得.因为，所以，所以， 所以. 四、解答题 15．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象先向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由题图可知，，，，则．又， ，，解得，，由，可得，． （2）将的图象向左平移个单位，得到，再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到，函数的最小正周期，则，，，，则，所以． 16．（26-27高三上·江苏常州·开学考试）已知函数. (1)求出单调递减区间与极值； (2)设函数，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一，求出在区间上的最大值和最小值. 条件①：在区间上单调递增； 条件②：； 【答案】(1)单调递减区间为；极大值为，极小值为。 (2)仅可选择条件①，此时最大值为，最小值为； 条件②无法使唯一，不符合要求. 【分析】（1）先利用二倍角公式、辅助角公式化简为正弦型函数，结合正弦函数性质求解单调区间与极值； （2）根据所选条件推导的取值，验证唯一性后，代入区间求的最值. 【详解】（1）因为， 由，解得， 即的单调递减区间为； 当，即时，取极大值； 当，即时，取极小值； （2）因为，， 选择①：在区间上单调递增；则， 所以，，解得，，所以，， 又因为，所以，所以，解析式唯一； 当时，，所以，所以， 所以最大值为，最小值为； 选择②：；则的图象关于对称，所以， 解得，又因为，所以或，此时不满足函数存在且唯一. 综上，只能选择条件①，此时最大值为，最小值为. 17．（2026·湖北武汉·三模）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的值； (2)将函数上所有点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位，最终得到的图象，求的解集． 【答案】(1)1；(2) 【详解】（1） ，而，又得：． （2）由（1）知：，，由得： 得，，， 或，解得或，， 得或，， 所以的解集为. 18．（2026·陕西商洛·二模）已知函数（）图象的相邻两对称轴之间的距离为. (1)求； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标缩小为原来的（横坐标不变），得到函数的图象，若在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由相邻两对称轴之间的距离求得周期，根据周期的计算公式求得； （2）由（1）得的解析式，根据图象变换法则得的解析式，从而求得在上的取值范围，再根据不等式在上恒成立，求得实数的取值范围. 【详解】（1）因为的图象相邻两对称轴间的距离为， 所以函数的周期为，即，解得. （2）由（1）知， 由题意知，， 当时，，，即. 由在上恒成立，得在上恒成立. 所以，解得.故实数的取值范围为. 19．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)若将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的4倍，再将其图象向左平移个单位得到函数的图象．若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据函数图象的最高点确定振幅，利用周期性确定，再代入特殊点坐标结合的范围求出初相； （2）根据三角函数图象变换规律求出的解析式，将恒成立问题转化为求函数在给定区间上的最小值问题. 【详解】（1）由函数的图象可知，函数的最大值为2， 因为，所以．观察图象，函数在处取得最大值，在处经过平衡位置且单调递增， 所以，解得.因为且，所以， 此时，将点代入函数解析式，得， 所以，解得. 因为，令，得． 所以函数的解析式为． （2） 将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的4倍， 得到函数的图象.再将其图象向左平移个单位，得到函数的图象， 则.因为，所以． 由余弦函数的性质可知，当时，函数单调递增； 当时，函数单调递减． 又因为，，且， 所以当，即时，取得最小值，最小值为． 若对任意的，都有恒成立，则，即． 所以实数的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学复习专项练习——三角函数篇 06 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用 提示：提示：对函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，φ≠0，b≠0)，其图象的基本变换有： (1)振幅变换(纵向伸缩变换)：是由A的变化引起的，A>1时伸长，A<1时缩短． (2)周期变换(横向伸缩变换)：是由ω的变化引起的，ω>1时缩短，ω<1时伸长． (3)相位变换(横向平移变换)：是由φ引起的，φ>0时左移，φ<0时右移． (4)上下平移(纵向平移变换)：是由b引起的，b>0时上移，b<0时下移． 可以使用“先伸缩后平移”或“先平移后伸缩”两种方法来进行变换． 一、单选题 1．（25-26高一下·河北衡水·阶段检测）已知函数，先将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.若，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·山东济南·开学考试）设函数，若将的图象沿轴的负方向平移个单位长度，所得图象与的图象关于轴对称，则满足条件的的个数为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（2026·安徽合肥·三模）将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的3倍，纵坐标不变，再将图象向左平移的单位长度，得到函数的图象；若函数在上有最小值，没有最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，且阴影部分的面积为，则下列说法错误的是（     ） A．函数的最小正周期为 B．为函数的一个对称轴 C．要得到函数，需将函数向右平移个单位长度 D．函数在区间上单调递增 5．（2026·天津北辰·三模）函数的部分图象如图所示，则（   ） A．的单调递增区间是 B．函数的图象向左平移个单位后得到的是一个奇函数的图象 C．图象的对称中心是 D．图象的一条对称轴方程是 6．（2026·江苏淮安·模拟预测）函数（，，）的部分图象如图所示．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则 （   ） A． B． C．1 D． 7．（2026·重庆·三模）已知函数的图象是由函数的图象向左移动个单位长度得到，则下列命题正确的是（     ） A． B．是的一条对称轴 C．在单调递增 D．是奇函数 8．（25-26高三下·山西太原·阶段检测）已知函数，将图象上的所有点的横坐标缩小为原来的后，再向右平移个单位，得到函数的图象．若函数在区间上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（26-27高三上·重庆九龙坡·开学考试）已知函数的部分图象如图所示，则（     ） A． B．的图象关于点对称 C．直线是的一条对称轴 D．函数为奇函数 10．（26-27高三上·湖北·开学考试）已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（    ）． A．的最小正周期为 B．为偶函数 C．的图象关于直线对称 D．在上单调递减 11．（26-27高三上·重庆北碚·开学考试）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，下列说法正确的有（    ） A．的图象关于直线对称 B．在区间上单调递增 C．若，则 D．若，且，则 三、填空题 12．（2026·北京海淀·三模）已知函数，则的最大值为______，将函数图象向右平移个单位得到函数，若对任意，都有成立，则常数的最小值为______． 13．将函数图象的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，则曲线与的一个交点坐标为______． 14．（25-26高三下·安徽阜阳·开学考试）将函数的图象向左平移θ个单位长度得到函数的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为，且，则θ=____，____. 四、解答题 15．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象先向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求． 16．（26-27高三上·江苏常州·开学考试）已知函数. (1)求出单调递减区间与极值； (2)设函数，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一，求出在区间上的最大值和最小值. 条件①：在区间上单调递增； 条件②：； 17．（2026·湖北武汉·三模）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的值； (2)将函数上所有点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位，最终得到的图象，求的解集． 18．（2026·陕西商洛·二模）已知函数（）图象的相邻两对称轴之间的距离为. (1)求； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标缩小为原来的（横坐标不变），得到函数的图象，若在上恒成立，求实数的取值范围. 19．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)若将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的4倍，再将其图象向左平移个单位得到函数的图象．若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $