第4章 第6讲 函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及应用 课后检测能力达标(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

**基本信息** 聚焦三角函数图象与性质，通过多样化题型系统覆盖图象变换、性质应用及实际建模，突出直观想象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图象识别与变换|7题|含单选、多选、填空，涉及平移伸缩及逆推|从基本图象特征到复杂变换，构建“变换规则-解析式-图象”逻辑链| |性质应用|4题|综合奇偶性、对称性、单调性，结合几何图形|以三角函数性质为核心，关联函数值计算与图象几何关系| |实际建模|1题|温度变化曲线模型，含参数求解|从实际问题抽象三角函数模型，体现数学建模与数据分析|

1．函数y＝sin (2x－)在区间[－，π]上的简图是　(　　) 解析：选A.令x＝0，得y＝sin (－)＝－，排除B，D选项；令x＝－，得y＝0，令x＝，得y＝0，排除C选项，经检验，A符合题意． 2．如图，函数y＝tan (2x＋)的部分图象与坐标轴分别交于点D，E，F，则△DEF的面积为(　　) A． B． C．π D．2π 解析：选A.在y＝tan (2x＋)中， 令x＝0，可得y＝1，所以D(0，1)； 令y＝0，解得x＝－(k∈Z)， 故E(－，0)，F(，0). 所以△DEF的面积为×(＋)×1＝. 3．(2026·临沂模拟)将函数f(x)＝sin (2x＋φ)，(|φ|＜)的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象．若g(x)的图象关于y轴对称，则φ＝(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：选B.由题意g(x)＝f(x＋)＝sin (2x＋φ＋)(|φ|＜)是偶函数， 从而 解得k＝0，φ＝－. 4．(2026·重庆联考)某地区2025年全年月平均温度y(单位：℃)与月份t之间近似满足y＝A sin ＋k(A>0，－π<φ<0).已知该地区2月份的平均温度为－1 ℃，全年月平均温度最高的月份为6月份，且平均温度为32 ℃，则该地区12月份的平均温度为(　　) A．－12 ℃ B．－10 ℃ C．－9 ℃ D．－6 ℃ 解析：选A.由题意可知，直线t＝6是曲线y＝A sin (t＋φ)＋k的一条对称轴， 所以6×＋φ＝kπ＋，k∈Z， 即φ＝kπ－，k∈Z. 又－π<φ<0，所以φ＝－， 所以y＝A sin (t－)＋k ＝－A cos (t)＋k. 因为全年月平均温度的最大值为32 ℃， 所以A＋k＝32.① 又当t＝2时，y＝－1，所以－A cos (×2)＋k＝－1，所以A－2k＝2.② 由①②解得A＝22，k＝10，所以y＝－22cos (t)＋10，则当t＝12时，y＝－22cos (×12)＋10＝－12. 5．(2025·浙江新阵地教育联盟联考)函数y＝cos x与y＝|lg x|的图象的交点个数是(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 解析：选C.由|lg x|＝1，得x＝或x＝10.y＝|lg x|＝在同一平面直角坐标系中画出函数y＝cos x与y＝|lg x|的大致图象，如图所示， 由图象可知，两个函数的图象存在4个交点． 6．(多选)(2026·北京调研)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再把所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的(横坐标不变)，最后把所得图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin (2x－)的图象，则f(x)的解析式可以为(　　) A．f(x)＝－2cos 2x B．f(x)＝－2cos (x＋) C．f(x)＝cos (x－) D．f(x)＝2sin (x－) 解析：选BD.由题意设f(x)＝A sin (ωx＋φ)，则其图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线y＝A sin (3ωx＋φ)，将曲线y＝A sin (3ωx＋φ)上所有点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，得到曲线y＝sin (3ωx＋φ)，将曲线y＝sin (3ωx＋φ)向右平移个单位长度得到曲线y＝·sin [3ω(x－)＋φ]＝sin (3ωx＋φ－). 所以sin (3ωx＋φ－)＝sin (2x－)， 则＝1，3ω＝2，φ－＝－＋2kπ，k∈Z， 得A＝2，ω＝，φ＝－＋2kπ，k∈Z， 所以f(x)＝2sin (x－＋2kπ)，k∈Z.　 易知f(x)＝2sin (x－) ＝－2cos (x－＋) ＝－2cos (x＋). 7．将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再把所得的图象保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来的4倍得到y＝sin (＋)的图象，则f(x)＝________． 解析：由题意，把y＝sin (＋)的图象的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，可得y＝sin (2x＋)的图象，再把所得图象向右平移个单位长度，可得f(x)＝sin [2(x－)＋]＝sin (2x－)的图象． 答案：sin (2x－) 8． 如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，0<φ<π)，则这段曲线的函数解析式为 ____________． 解析：从题图中可以看出，6～14时的图象是函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b半个周期的图象，所以A＝×(30－10)＝10，b＝×(30＋10)＝20，×＝14－6＝8，所以ω＝.又×10＋φ＝2kπ，k∈Z，解得φ＝－＋2kπ，k∈Z，因为0<φ<π，所以φ＝，所以y＝10sin (x＋)＋20，x∈[6，14]. 答案：y＝10sin (x＋)＋20，x∈[6，14] 9．(13分)把函数f(x)＝2sin x的图象向左平移φ(0＜φ＜)个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，函数y＝g(x)的图象关于直线x＝对称．记函数h(x)＝f(x)g(x)，求函数y＝h(x)的最小正周期和单调递增区间． 解：由题意知g(x)＝2sin (x＋φ)， 根据函数y＝g(x)的图象关于直线x＝对称，得＋φ＝＋kπ(k∈Z)， 即φ＝＋kπ(k∈Z)，又0<φ<， 所以φ＝，则g(x)＝2sin (x＋)， 则h(x)＝f(x)g(x)＝4sin x sin (x＋) ＝4sin x(sin x＋cos x) ＝2sin2x＋2sinx cos x ＝1－cos 2x＋sin 2x ＝2sin (2x－)＋1， 则函数y＝h(x)的最小正周期T＝＝π. 令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)， 故函数y＝h(x)的单调递增区间是[－＋kπ，＋kπ](k∈Z). 10．(2026·温州模拟)已知函数f(x)＝sin x，g(x)＝cos x，则两个函数的图象仅通过平移就可以重合的是(　　) A.y＝f(x)－g(x)与y＝f(x) B．y＝[f(x)]2－[g(x)]2与y＝f(x)g(x) C．y＝f(f(x))与y＝f(g(x)) D．y＝f(f(x))与y＝g(f(x)) 解析：选C.若两个正、余弦型函数的图象仅通过平移就可以重合，则这两个函数的振幅相等，最小正周期也相等， 对于A，f(x)－g(x)＝sin x－cos x ＝sin (x－)， 所以函数y＝f(x)－g(x)的振幅为，函数y＝f(x)的振幅为1， 所以这两个函数的振幅不相等， 故y＝f(x)－g(x)与y＝f(x)的图象不能通过平移重合，A不符合题意； 对于B，[f(x)]2－[g(x)]2＝sin2x－cos2x＝－cos2x， f(x)g(x)＝sin x cos x＝sin 2x， 函数y＝[f(x)]2－[g(x)]2的振幅为1，函数y＝f(x)g(x)的振幅为， 所以y＝[f(x)]2－[g(x)]2与y＝f(x)g(x)的图象不能通过平移重合，B不符合题意； 对于C，因为f(f(x))＝sin (sin x)，f(g(x))＝sin (cos x)＝sin [sin (x＋)]， 将函数y＝f(f(x))的图象向左平移个单位长度可与函数y＝f(g(x))的图象重合，C符合题意； 对于D，g(f(x))＝cos (sin x)＝sin (sin x＋)，函数y＝f(f(x))与y＝g(f(x))的图象不能通过平移重合，D不符合题意． 11．(多选)已知函数f(x)＝4sin (ωx＋φ)(ω＞0)的图象如图，点A，B在f(x)的图象上，过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D.若四边形ACBD为平行四边形，且面积为，则下列结论正确的是(　　) A．ω＝2 B．ω＝3 C．f＝－2 D．f＝2 解析：选BC.由题意可知，AC＝2， 设B(x0，－2)，则2(x0－)＝， 所以x0－＝，所以＝·＝，解得ω＝3，则f(x)＝4sin (3x＋φ)，故A错误，B正确； 将点A(，2)代入得，4sin (3×＋φ)＝2， 即sin (＋φ)＝，由于点A在f(x)的单调递增区间上，所以＋φ＝2kπ＋，k∈Z， 则φ＝2kπ－，k∈Z， 所以f(x)＝4sin (3x＋2kπ－) ＝4sin (3x－)， 故f()＝4sin (－)＝4sin (－)＝－2，故C正确，D错误． 12．(15分)已知函数f(x)＝sin (2x－). (1)完善下面的表格，并作出函数f(x)在[0，π]上的图象；(7分) 2x－ － 0 π x f(x) 1 (2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后再向上平移1个单位长度得到g(x)的图象，解不等式g(x)≥.(8分) 解：(1)表格如下： 2x－ － 0 π x 0 π f(x) － 0 1 0 －1 － 函数f(x)在[0，π]上的图象如图． (2)由题得g(x)＝sin [2(x－)－]＋1 ＝sin (2x－)＋1， 所以g(x)≥即为sin (2x－)≥－， 则2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ＋≤x≤kπ＋π，k∈Z，所以不等式g(x)≥的解集为{x|kπ＋≤x≤kπ＋π，k∈Z}． 13．(2026·南昌摸底考)如图所示，将函数f(x)＝3sin ωx(ω＞0)的图象向右平移得到函数g(x)＝3sin (ωx－φ)(0＜φ＜π)的图象，其中P和P1分别是f(x)图象上相邻的最高点和最低点，点B，A分别是f(x)，g(x)图象的一个对称中心．若AP⊥AP1，S△APP1＝15，则g(x)＝(　　) A．3sin (x－) B．3sin (x－) C．3sin (x－) D．3sin (x－) 解析：选D.将函数f(x)＝3sin ωx(ω＞0)的图象向右平移得函数g(x)＝3sin (ωx－φ)(0＜φ＜π)的图象，由于B，A分别是f(x)，g(x)图象的一个对称中心，结合题图可知AB＝，又S△APP1＝×AB×3×2＝15，所以AB＝＝5. 由AP⊥AP1，可得BP1＝BP＝AB＝5. 设f(x)的最小正周期为T， 则T＝＝4，所以T＝＝16， 解得ω＝，φ＝5ω＝， 所以g(x)＝3sin (x－). 学科网（北京）股份有限公司 $