4.1 等式与方程 课时作业 2026-2027学年苏科版数学 七年级上册

**基本信息** 苏科版七年级数学上册“等式与方程”同步练，通过A/B/C三层设计，实现从概念理解到综合应用再到拓展探究的知识巩固路径，培养抽象能力、运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|等式与方程概念、等式性质基础应用|选择判断方程特征，填空直接应用等式性质，解答题规范检验方程解步骤| |B组|等式性质综合应用、易错点辨析|新运算定义下的方程求解，同解问题中参数计算，强化推理严谨性| |C组|等式性质拓展探究、实际问题建模|数值转换机输出结果方程表示，含参数等式的大小比较，发展创新意识|

苏科版七年级数学（上册）课时作业 第4章 一元一次方程　4.1 等式与方程 班级：__________　姓名：__________　学号：______　得分：______ 一、学习目标 1. 了解等式的意义，会用等式表示简单的数量关系； 2. 理解方程、方程的解的概念，会判断一个数是不是方程的解； 3. 掌握等式的两条基本性质，能利用等式的性质对等式进行变形并解简单的方程； 4. 经历"从实际问题中抽象出方程"的过程，初步体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。 二、知识梳理 知识点1　等式 用等号"="表示相等关系的式子叫做等式，一般可以记作 。等号左边的式子叫做等式的左边，等号右边的式子叫做等式的右边。 ★ 三类常见的等式： ① 表示运算结果的等式，如 ，，； ② 表示运算律或公式的等式，如 ，，； ③ 含有未知数的等式，如 ，。 注意：像 、 这样的式子中没有等号，它们是代数式，不是等式；像 、 这样用"＞""≠"连接的式子也不是等式。 知识点2　方程 含有未知数的等式叫做方程。判断一个式子是不是方程，必须同时具备两个条件： ① 它是等式（必须含有"="）；　② 它含有未知数。 两个条件缺一不可。因此：等式不一定是方程，方程一定是等式。 例如： 是方程； 是等式但不是方程（不含未知数）； 含有未知数但不是等式，所以不是方程。 知识点3　方程的解 使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。只含有一个未知数的方程的解，也叫做方程的根。 检验一个数是不是方程的解的方法：把这个数分别代入方程的左边和右边，分别求值，若左边的值 = 右边的值，则这个数是方程的解；否则不是。 ★ 检验格式（以检验 是不是方程 的解为例）： 当 时，左边 ，右边 ，左边 = 右边， 所以 是方程 的解。 知识点4　等式的基本性质 性质1　等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。 若 ，则 ，。 性质2　等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，所得结果仍是等式。 若 ，则 ；若 且 ，则 。 此外，等式还有以下两条性质：对称性——若 ，则 ；传递性——若 ，，则 。 图1　用天平理解等式的性质：两边同时减去 2，天平仍然平衡 由图1可以看出：由 两边同时减去 2，得 ，这正是等式性质1的直观解释。 ★ 易错提醒： ① 等式两边加上或减去的必须是同一个数（或同一个整式）； ② 等式两边乘的可以是任意数，但除以的数必须不为 0； ③ 由 不能直接得到 ，只有当 时才成立； ④ 用等式的性质变形时，左右两边要"同时"进行，不能只变一边，也不能漏乘其中的某一项。 知识点5　用方程表示数量关系 列方程的一般过程：① 设出未知数；② 找出题目中的相等关系；③ 用含未知数的式子分别表示相等关系的两边，写成等式。 常用的相等关系有：总量 = 各部分量的和；路程 = 速度 × 时间；工作量 = 工作效率 × 工作时间；长方形的周长 （长 + 宽）；售价 = 标价 × 折扣等。 三、例题精讲 例1　识别等式与方程 在下列各式中：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ 。 (1) 是等式的有______（填序号）；(2) 是方程的有______（填序号）。 【解析】含有等号的是①③④⑥⑦，它们都是等式；在这些等式中又含有未知数的是③④⑥，它们是方程。②没有等号，⑤是用"＞"连接的式子，都不是等式；⑦中的字母表示任意数，它是加法交换律，不含需要求解的未知数。 【答案】(1) ①③④⑥⑦；(2) ③④⑥。 例2　检验方程的解 检验 与 是不是方程 的解。 【解】当 时，左边 ，右边 ，左边 = 右边，所以 是原方程的解。 当 时，左边 ，右边 ，左边 ≠ 右边，所以 不是原方程的解。 例3　利用等式的性质解方程 利用等式的性质解下列方程，并说明每一步变形的依据： (1) ；　(2) 。 【解】(1) 等式两边同时加上 5（等式性质1），得 ，即 。 (2) 等式两边同时乘 （等式性质2），得 。 【点拨】未知数的系数是分数时，两边同时乘这个分数的倒数，比用除法更简便。 例4　用方程表示数量关系 某种书包原价每个 元，"六一"期间按原价的 8 折出售，小明买了 3 个书包共付 216 元。请列出关于 的方程。 【解析】相等关系是：3 个书包折后价格的和 = 216 元。每个书包折后的价格为 元。 【答案】（即 ）。 例5　"解"与"方程"的相互转化 已知关于 的方程 的解是 ，求 的值，并求关于 的方程 的解。 【解】因为 是方程 的解，所以把 代入，得 ，即 。 把 代入 ，得 。两边同时减去 1（等式性质1），得 ；两边同时除以 5（等式性质2），得 。 【点拨】"解"与"方程"可以互相转化：已知解求字母，就把解代入方程；已知字母求解，就把字母的值代入方程再求解。 四、课时作业 A 组　基础巩固 （一）选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1. 下列各式中，是方程的是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 2. 下列说法中，正确的是（　　） A. 等式一定是方程　　　　　　B. 方程一定是等式 C. 不含未知数的式子是方程　　D. 方程中只能含有一个未知数 3. 由 得到 ，其依据是（　　） A. 等式性质1　B. 等式性质2　C. 加法交换律　D. 分配律 4. 下列变形中，正确的是（　　） A. 由 得 　　　B. 由 得 C. 由 得 　　　D. 由 得 5. 下列方程中，解是 的是（　　） A. 　B. 　C. 　D. 6. 若 ，则 的值是（　　） A. 　　B. 　　C. 6　　D. 7. 已知 ，下列变形中不一定成立的是（　　） A. 　B. 　C. 　D. 8. 小丽在解方程 时，第一步在方程两边同时加上 ，她的依据是（　　） A. 等式性质1　B. 等式性质2　C. 等式的对称性　D. 等式的传递性 9. 下列各组方程中，两个方程的解相同的一组是（　　） A. 与 　　　B. 与 C. 与 　　　D. 与 10. 已知 、、 都是有理数，且 ，下列结论中一定正确的有（　　） ① ；② ；③ ；④ ；⑤ 若 ，则 。 A. 2 个　　B. 3 个　　C. 4 个　　D. 5 个 （二）填空题（每空 2 分，共 30 分） 11. 方程 的解是 ________。 12. 若 ，则 ________ ________，依据是等式性质________。 13. 若 ，则 ________；若 ，则 ________。 14. 若 是方程 的解，则 ________。 15. "某数的 3 倍与 5 的差等于 7"，设这个数为 ，可列方程________________。 16. 一个长方形的长比宽多 4 cm，周长为 28 cm。设宽为 cm，可列方程________________。 17. 已知 ，且 ，则 ________。 18. 若 是关于 的方程 的解，则 ________。 19. 由 得到 ，是在等式两边同时________________，依据是等式性质________。 20. 一件商品打 8 折后的售价是 120 元，设这件商品的原价是 元，可列方程________________。 21. 已知 是方程 的解，则 ________。 （三）解答题（共 40 分） 22.（6 分）在下列各式中：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ 。 (1) 属于等式的有______________；(2) 属于方程的有______________。 23.（8 分）检验括号内的数是不是方程的解： (1) 　；　(2) 　。 24.（12 分）利用等式的性质解下列方程，并写出每一步变形的依据： (1) ；　(2) ；　(3) ；　(4) 。 25.（6 分）如图，天平的两边分别放着一些物体，天平保持平衡。 图2 (1) 根据图(1)，若一个""表示的质量为 g，写出表示天平平衡的等式； (2) 说明由图(1)到图(2)运用了等式的哪条性质，并求出 的值。 26.（6 分）根据下列条件列出方程（不必求解）： (1) 一个数的 与 3 的和等于这个数的 2 倍，设这个数为 ； (2) 甲、乙两地相距 180 km，一辆汽车从甲地开往乙地，速度为 km/h，比原计划的 3 h 多用了 0.5 h； (3) 某商品进价为 200 元，标价为 元，按标价的 9 折出售后仍可获利 70 元。 27.（8 分）下面是小华解方程 的过程： 解：两边同时减去 2，得 ……第一步 两边同时乘 3，得 ……第二步 (1) 从第______步开始出现错误，错误的原因是________________________； (2) 请写出正确的解题过程。 B 组　能力提升 28. 若关于 的方程 的解是 ，则 ________。 29. 已知 是关于 的方程 的解，则 ________。 30. 定义一种新运算：""。若 ，则 ________。 31. 已知 ，则 ________， ________。 32.（6 分）小明在解题时做了如下变形：由 ，两边同时除以 ，得 。 你认为小明的变形正确吗？如果不正确，请说明理由，并指出应补充什么条件。 33.（8 分）已知关于 的方程 与方程 的解相同，求 的值。 34.（8 分）阅读下面的解题过程： 解方程 。 解：两边同时减去 ，得 ，所以 。 (1) 上面的解法中，各步分别运用了等式的哪条性质？ (2) 请用同样的方法解方程 。 C 组　拓展探究 35.（8 分）用等式的性质探究下列问题： (1) 若 且 ，求 的值； (2) 若 且 ，试判断 与 的大小关系，并说明理由。 36.（10 分）一台数值转换机的工作原理是：输入一个数 ，先乘 3，再减去 4，然后除以 2，最后输出结果。 (1) 用含 的式子表示输出的结果； (2) 若输出的结果是 7，请列出关于 的方程，并利用等式的性质求出 的值； (3) 若输入的数是 ，输出的结果是多少？ 五、参考答案与解析 （一）选择题 1. C。【解析】方程必须同时满足"是等式"与"含有未知数"。A 是等式但不含未知数；B 不是等式；D 用"＞"连接，不是等式；只有 C 符合。 2. B。【解析】方程一定是等式，但等式不一定是方程（如 ），故 A 错、B 对；不含未知数的等式不是方程，C 错；方程中可以含有两个或更多未知数（如 ），D 错。 3. A。【解析】等式两边同时加上同一个数 3，属于等式性质1。 4. B。【解析】A 应为 ；C 由 两边同时乘 2 得 ；D 中若 ，则 不一定成立；B 由 两边同时除以 2 得 ，正确。 5. B。【解析】把 逐一代入检验：A 中左边 ；B 中左边 右边，成立；C 中左边 ；D 中左边 。 6. C。【解析】方程两边同时乘 3，得 。 7. C。【解析】当 时，、 无意义，故 C 不一定成立；A、B、D 分别由等式性质1、性质2 直接得到。 8. A。【解析】方程两边同时加上同一个整式 ，依据是等式性质1。 9. A。【解析】A 中两个方程的解都是 ；B 中两个方程的解分别为 3 与 ；C 中分别为 3 与 4；D 中分别为 2 与 3。 10. B。【解析】①②④一定正确；③中当 时式子无意义；⑤中当 时由 不能得到 。所以一定正确的有 3 个。 （二）填空题 11. 3。【解析】把 代入，左边 右边。 12. 5；12；1。 13. ；6。【解析】 两边同时除以 ，得 ； 两边同时乘 ，得 。 14. 8。【解析】把 代入得 ，所以 。 15. 。 16. （或写成 ）。 17. 。【解析】 两边同时除以 （），得 。 18. 2。【解析】把 代入得 ，即 ，所以 。 19. 除以 3（或乘 ）；2。 20. 。 21. 5。【解析】把 代入得 ，这里运用了整体思想。 （三）解答题 22.（1）①②④⑦；（2）②④。 【解析】③⑤没有等号，不是等式；⑥用"＜"连接，不是等式。①是数的运算结果，⑦是加法交换律，其中的字母表示任意数，不含需要求解的未知数，所以它们是等式但不是方程；②④既是等式又含有未知数，是方程。 23.（1）当 时，左边 ，右边 ，左边 = 右边，所以 是该方程的解。 （2）当 时，左边 ，右边 ，左边 = 右边，所以 是该方程的解。 24.（1）两边同时减去 7（等式性质1），得 ，即 。 （2）两边同时除以 （等式性质2），得 。 （3）两边同时加上 1（等式性质1），得 ；再两边同时乘 （等式性质2），得 。 （4）两边同时减去 （等式性质1），得 ；两边同时加上 3（等式性质1），得 ；两边同时除以 2（等式性质2），得 。 25.（1）。 （2）由图(1)到图(2)，天平两边同时去掉 2 个质量为 1 g 的砝码，运用的是等式性质1：等式两边同时减去同一个数，结果仍是等式。由 得 。 26.（1）；（2），即 ；（3）。 27.（1）第二步；原因是等式两边同时乘 3 时，右边的 3 也必须乘 3，即应得 ，而小华漏乘了右边。 （2）正确解法：两边同时减去 2，得 ；两边同时乘 3，得 。 B 组 28. 3。【解析】把 代入得 ，所以 。 29. 3。【解析】把 代入得 ，所以 ，。 30. 4。【解析】由新运算的定义得 ，两边同时加 3 得 ，两边同时除以 2 得 。 31. 3；2。【解析】把 看作一个整体：；。这种方法叫做整体代入法。 32. 不正确。【解析】等式性质2中，等式两边只能同时除以一个不为 0 的数。当 时 ，此时等式 对任意的 都成立，不能得到 。应补充条件 。 33. 。【解析】先解 ：两边同时减去 4，得 ；两边同时除以 2，得 。因为两个方程的解相同，所以 也是方程 的解。把 代入，得 ，即 ，两边同时加 6，得 ，所以 。 34.（1）"两边同时减去 "运用了等式性质1；由 得 ，运用了等式的对称性；再由 两边同时加 1 得 ，运用了等式性质1。 （2）两边同时减去 ，得 ；两边同时除以 2，得 ；两边同时减去 2，得 。 C 组 35.（1）。【解析】由 两边同时加上 ，得 ；再两边同时除以 （），得 。 （2）。【解析】由 两边同时除以 12，得 ，即 。 36.（1）输出的结果为 。 （2）由题意得 。两边同时乘 2，得 ；两边同时加 4，得 ；两边同时除以 3，得 。 （3）当 时，，即输出的结果是 。 六、拓展阅读：方程的故事 大约 3600 年前，古埃及人在纸草书上记载了这样的问题："一个数加上它的 等于 19，求这个数。"他们用一种叫做"试位法"的方法求解：先假设这个数是 7，算出结果是 8，再按比例进行调整。 我国古代数学名著《九章算术》的第八章就叫"方程"，其中系统地记载了用"算筹"排成方阵来求解问题的方法，这比欧洲同类研究早了一千多年。 直到 16 世纪以后，随着用字母表示数的普及，人们才逐渐形成今天这样"设未知数、列方程、解方程"的一般方法。可见，用字母表示未知数并让它与已知数一起参与运算，是数学发展史上非常了不起的一步。 想一想：用今天的方法解古埃及的那个问题，你能列出怎样的方程？（答案：设这个数为 ，则 。） 【本课小结】判断方程要抓住"是等式"与"含未知数"两个要点；检验方程的解要把数值分别代入左、右两边求值再比较；利用等式的性质变形时，务必"两边同时"进行，并注意除数不能为 0，用乘法时不能漏乘任何一项。 学科网（北京）股份有限公司 $