专题六 反比例函数的图像和性质【（挑战压轴题）导图知识卡片+十七大考点讲练+优选题训练 共49题】-2026-2027学年人教版数学九年级上册

本讲义聚焦反比例函数的图像和性质核心知识点，涵盖图像判断、解析式求解、对称性、象限分布、增减性、面积计算及与一次函数/二次函数综合等十七大考点，通过思维导图搭建知识框架，形成从基础到综合的递进学习支架。 特色在于以思维导图构建知识体系培养抽象能力与几何直观，典例精讲结合对应练习强化推理能力与运算能力，49道优选题含实际应用问题提升模型意识与应用意识。课中辅助教师系统授课，课后助力学生查漏补缺，深化理解。

2026-2027学年人教版数学九年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题六 反比例函数的图像和性质 【思维导图+十七大考点讲练+优选题训练 共49题〔解析版〕】 目 录 2 【压轴考点01】判断（画）反比例函数图象 3 【压轴考点02】已知反比例函数的图象，判断其解析式 6 【压轴考点03】由反比例函数图象的对称性求点的坐标 8 【压轴考点04】已知双曲线分布的象限，求参数范围 11 【压轴考点05】判断反比例函数的增减性 12 【压轴考点06】判断反比例函数图象所在象限 16 【压轴考点07】已知反比例函数的增减性求参数 17 【压轴考点08】比较反比例函数值或自变量的大小 20 【压轴考点09】已知比例系数求特殊图形的面积 21 【压轴考点10】根据图形面积求比例系数（解析式） 23 【压轴考点11】求反比例函数解析式 25 【压轴考点12】反比例函数与几何综合 29 【压轴考点13】反比例函数、二次函数图象综合判断 32 【压轴考点14】一次函数与反比例函数图象综合判断 34 【压轴考点15】一次函数与反比例函数的交点问题 37 【压轴考点16】一次函数与反比例函数的实际应用 41 【压轴考点17】一次函数与反比例函数的其他综合应用 45 48 【压轴考点01】判断（画）反比例函数图象 【典例精讲】（25-26九年级上·江西景德镇·期末）在函数学习中，我们经历了“根据函数表达式画函数图象——利用函数图象研究函数性质——利用函数图象和性质解决问题”的过程，我们可以借鉴这种方法探究函数的图象和性质． (1)根据题意，列表如下： … … … … 表格中的值为________； (2)在所给的平面直角坐标系中描点、连线，画出函数的图象； (3)观察函数图象，回答下列问题： ①当时，随的增大而________； ②函数的图象关于点________中心对称；（填点的坐标） ③函数的图象是由的图象向________平移________个单位长度得到的； (4)函数的图象可由函数的图象平移得到，想象函数的图象，直接写出当时，的取值范围是________． 【答案】(1) (2)函数图象如图： (3)①减小；②；③右，1 (4)或 【思路引导】（1）把代入即可得出m的值； （2）利用连线画出函数图象即可； （3）观察图象即可解答； （4）根据图象即可解答． 【规范解答】（1）解：把代入，得， ； （2）略 （3）①当时，y随x的增大而减小； ②图象关于点中心对称； ③函数的图象是由的图象向右平移1个单位长度得到的； （4）的图象可由函数的图象向左平移2个单位得到， 当或时，． 【对应练习】（25-26九年级上·四川成都·期末）通过列表、描点、连线的方法可以画出函数的图象．对于函数，可列表如下： … 0 1 2 3 4 5 … … 0 2 2 … (1)表中_____，_____；请在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数的大致图象； (2)观察函数图象，请写一条该函数的性质：_____； (3)结合函数图象，请直接写出不等式的解集：_____． 【答案】(1) ；；如图所示： (2)函数图象是中心对称图形 (3)或 【思路引导】本题考查函数图象和性质，能够从表格中获取信息，利用描点法画出函数图象，并结合函数图象解题是关键． （1）分别将和代入，求出的值，再描点连线可得函数的图象； （2）根据函数图象可得函数性质； （3）画出的图象，结合函数图象可得不等式的解集． 【规范解答】（1）解：当时，； 当时，； 依据表格中的数据，描点，连线， 故答案为：；； （2）解：观察函数图象得：该函数的一条性质：函数图象是中心对称图形， 故答案为：函数图象是中心对称图形； （3）解：画出函数的图象，知两函数图象交点横坐标为和2， 所以，不等式的解集为或． 【压轴考点02】已知反比例函数的图象，判断其解析式 【典例精讲】（24-25九年级上·湖南益阳·阶段检测）已知反比例函数的图象如图所示，试回答下列问题： (1)求这个函数的表达式； (2)你认为点，是否在这个函数的图象上，请说明理由． 【答案】(1)这个函数的表达式为； (2) 不在这个函数的图象上，理由， 当时，， ∴点不在这个函数的图象上． 【思路引导】本题考查了反比例函数的图象与性质，待定系数法求解析式，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． （）把点代入即可求解； （）当时，即可判断点是否在这个函数的图象上． 【规范解答】（1）解：根据图象可知，反比例函数的图象过点， ∴， ∴这个函数的表达式为； （2）略 【对应练习】（2026·湖北十堰·模拟预测）反比例函数（，）的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则的值可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】观察图形得出，根据的取值判断即可． 【规范解答】解：由题图可知，当时，，即， 当时，， 即， ． 选项中只有4在此范围内， ∴的值可能为4． 【压轴考点03】由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【典例精讲】（25-26九年级上·广东惠州·期末）反比例函数的图象如图所示，以下结论正确的是（　　） ①常数 ；②随的增大而减小；③若为轴上一点， 为反比例函数图象上一点，则；④若点 在图象上，则点也在图象上． A．①②③ B．①③④ C．①②③④ D．①④ 【答案】D 【思路引导】本题主要考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的增减性，图象的中心对称性是解题的关键．根据反比例函数函数的图象和性质，逐一判断选项，即可得到答案． 【规范解答】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限内， ∴， 解得，故①正确； 由反比例函数的图象可知，在每一象限内y随x的增大而减小，故②错误； 设点A的坐标为，点B的坐标为， 则，故③错误； ∵反比例函数的图象关于原点对称， ∴若在图象上，则也在图象上，故④正确． 综上，结论正确的是①④． 故选：D． 【对应练习】如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，． (1)求一次函数的解析式，并在给出的平面直角坐标系中，画出一次函数图像并写出一条一次函数图像的性质： (2)连接并延长交双曲线于点，连接，求的面积； (3)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，图象见解析，随的增大而增大 (2) (3)或 【思路引导】（1）把代入求出，然后分别把，代入，得出解析式．再根据解析式画出对应的函数图像,根据一次函数解析式写出一条性质即可求解； （2）连接，过点作轴交于点，交直线于点D．由关于原点对称，得出，，从而得出的长度，再根据三角形面积公式进行计算即可求解． （3）观察图像可直接得出时，的取值范围． 【规范解答】（1）解：把代入， ， 解得：， ∴， 分别把，代入，得 ， 解得：， ∴， 如图所示， ，随的增大而增大； （2）如图所示，连接过点作轴交于点， ∵关于原点对称， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （3）由图像知，时，或． 【考点剖析】本题考查了一次函数与反比例函数综合问题，掌握一次函数与反比例数的图象与性质是解题的关键． 【压轴考点04】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图是反比例函数的图象的一支，根据图象回答下列问题． (1)图象的另一支位于哪个象限？常数n的取值范围是什么？ (2)在这个函数图象的某一支上任取点和点，如果，那么b、有怎样的大小关系？ 【答案】(1)第四象限， (2) 【思路引导】（1）根据一支所处象限可求得另一支所在象限，同时可知反比例函数的系数小于零，即可解得答案； （2）根据反比例函数的性质，在图象的每一个象限内随增大而增大，即可求得答案． 【规范解答】（1）解：根据图象知：该函数的图象的另一支位于第四象限， ∵这个反比例函数图象位于第二、四象限， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴在这个函数图象的任意一支上，都随的增大而增大， ∴当时，． 【对应练习】（25-26九年级上·江西鹰潭·期末）反比例函数，在同一坐标系中的图象如图所示，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查反比例函数图像与性质，熟记反比例函数图像与性质，利用数形结合的思想是解决问题的关键． 由图象推出，再取时，推出的大小，即可解题． 【规范解答】解：由图知，在第四象限，在第三象限， ， 如图，当时，， ； 故选：B． 【压轴考点05】判断反比例函数的增减性 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知反比例函数． (1)画出它的图象． 解：画反比例函数的图象的步骤： 列表： x … 1 2 3 4 8 … y … … 描点、连线（如图）： (2)函数的图象位于哪些象限? (3)在每一个象限内，函数值y随自变量x的变化如何变化? (4)【跨学科拓展】利用课余时间，尝试用计算机画出此函数图象． 【答案】(1)列表： x … 1 2 3 4 8 … y … 8 4 2 1 … 描点、连线（如图）： (2)一、三象限 (3)在每一个象限内y随x的变化是y随x的增大而减小 (4)用计算机画图如下： 【规范解答】（1）略 （2）解：由图象可知，函数的图象位于一、三象限； （3）解：由图象可知：在每一个象限内y随x的变化是y随x的增大而减小； 【对应练习】（26-27九年级上·全国·单元复习）有这样一个问题：探究函数的图象和性质． 小石根据学习函数的经验，对此函数的图象和性质进行了探究． 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是_____________； (2)下表是与的几组对应值． … … … … 求的值； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对应值为坐标的点．根据描出的点，画出此函数的图象； (4)进一步探究，结合函数的图象，写出此函数的性质（一条即可）：___________________________________________________________． 【答案】(1) (2) (3) (4)当时，随的增大而增大；当时，随的增大而增大．（答案不唯一） 【思路引导】（1）根据分母不等于即可求解； （2）将代入解析式即可得的值； （3）将各点分轴左右两侧，按自变量从小到大用平滑曲线依次连接可得； （4）结合图象可从函数的增减性解答即可． 【规范解答】（1）解：函数的自变量的取值范围是； （2）解：当时，， ； （3）略 （4）由图可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而增大．（答案不唯一） 【压轴考点06】判断反比例函数图象所在象限 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知反比例函数的图象经过点． (1)求k的值； (2)函数的图象在哪几个象限？画出函数的图象； (3)点在这个函数的图象上吗？ 【答案】(1) (2)函数图象在第二、四象限，图象如下图所示： (3)点在该函数图象上，点不在该函数图象上 【思路引导】（1）把已知点坐标代入反比例函数解析式，列方程求出的值； （2）根据的正负判断函数图象所在象限，通过列表描点画出函数图象； （3）利用反比例函数的特点，代入点的横纵坐标验证，判断点是否在函数图象上． 【规范解答】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 解得：； （2）解：由（1）得反比例函数解析式为， ， 函数图象位于第二、第四象限， 列表如下：      描点连线即可； （3）解：， 点在这个函数的图象上； ， 点不在这个函数的图象上． 【对应练习】已知关于的函数的图象位于第二、四象限，则反比例函数的图象位于（     ） A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【答案】B 【思路引导】根据反比例函数的性质，先由已知反比例函数的象限位置得到k的取值范围，再判断所求反比例函数比例系数的正负，即可确定其图象所在象限． 【规范解答】解：∵函数的图象位于第二､四象限， ∴， 解得， ∴， 根据反比例函数性质，当比例系数大于0时，反比例函数图象位于第一､三象限， ∴反比例函数的图象位于第一､三象限． 【压轴考点07】已知反比例函数的增减性求参数 【典例精讲】（23-24九年级上·河北邢台·期末）已知反比例函数（为常数）． (1)若点在这个函数的图象上，求的值； (2)若在这个函数图象的每一支上，随的增大而减小，求的取值范围； (3)若，试判断点，是否在这个函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 解：点在该函数的图象上，点不在该函数的图象上，理由如下： 当时，反比例函数解析式为， 将代入，得，与点的纵坐标相等，故点在函数图象上； 将代入，得，故点不在函数图象上． 【思路引导】（1）将点的坐标代入反比例函数解析式，列方程求解的值； （2）根据反比例函数的增减性与比例系数的符号关系，列不等式求解的取值范围即可； （3）先确定时的函数解析式，代入点的横坐标计算纵坐标，与已知纵坐标对比判断点是否在图象上即可． 【规范解答】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得． （2）解：∵反比例函数的每一支上，随的增大而减小， ∴， 解得． （3）略． 【对应练习】（25-26九年级上·广东东莞·期末）图1为某厂家设计的一款亮度可调的台灯，图2为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻来调节亮度，电流I与总电阻R成反比例，其中，已知 ，实验测得当时，． (1)求I关于R的函数表达式． (2)经测试，当电流在之间（包含临界值）时，台灯亮度才能满足正常的阅读需求．那么，为了保证正常阅读，求滑动变阻器接入电路的电阻的取值范围． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了已知反比例函数的增减性求参数，求反比例函数解析式，实际问题与反比例函数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）设函数表达式为​，先求得，再结合，求出I关于R的函数表达式； （2）先得出，再得出，然后分别求出当与时的值，从而可分别求得的值，结合反比例函数的增减求解即可． 【规范解答】（1）解：设函数表达式为​， ∵，， ∴， ∵， ∴​， 解得：， ∴I关于R的函数表达式为； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴随的增大而减小， ∴． 【压轴考点08】比较反比例函数值或自变量的大小 【典例精讲】（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）已知反比例函数，下列结论正确的是（     ） A．其图象经过点 B．其图象位于第一、第三象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时， 【答案】D 【规范解答】解：A、把代入，得，故图象不经过点，A错误； B、反比例函数中，，故图象位于第二、四象限，B错误； C、反比例函数中，，故当时，随的增大而增大，C错误； D、当时，图象位于第二象限，； ∵，在第二象限内随的增大而增大， ∴当时，取最大值，， ∴，D正确． 【对应练习】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接，下面三个结论：①；②点和点在反比例函数的图象上，若，则；③不等式的解集是，其中正确的结论是________（只填序号） 【答案】① 【思路引导】根据题意，得，，解得，，结合函数的性质，求解即可； 【规范解答】解：直线与x轴交于点A，与y轴交于点C， ， ， 直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点， ， 故① 正确； 点和点在反比例函数的图象上，但是没有说明是否是在同一支上，故当，则不一定成立； 故②错误； 根据题意，得， 解得，， 根据图象，知当或时，直线在反比例函数图象的下方， 故不等式的解集是或， 故③错误． 【压轴考点09】已知比例系数求特殊图形的面积 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，点B在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上，且轴，，垂足为C，交y轴于点A，求的面积． 【答案】的面积为5 【思路引导】过点作轴于点，则四边形为矩形，根据反比例函数值的几何意义，得到矩形的面积等于，再根据的面积是矩形面积的一半即可得解． 【规范解答】解：过点作轴于点， ∵轴，， ， ∴四边形为矩形， 设与轴的交点为，则四边形和四边形均为矩形， ∵点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， ∴矩形的面积， ∵为矩形的对角线， ∴的面积等于矩形的面积的一半，即：的面积等于5． 【对应练习】（26-27九年级上·北京·单元测试）如图，点、在反比例函数的图象上，当时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C，D，交于点E．四边形的面积为S． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求S与n的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先根据反比例函数的性质得到，，，再证明四边形是矩形，利用矩形的面积公式求解即可． 【规范解答】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵点，在反比例函数图象上，， ，，，． ∵，垂直于y轴，，垂直于x轴， ∴四边形是矩形， ， ∴S与n的函数关系式为． 【压轴考点10】根据图形面积求比例系数（解析式） 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的对角线交于原点O，顶点在反比例函数的图象上，若轴于点D，平行四边形的面积为8，求k的值． 【答案】 【思路引导】根据平行四边形的性质得，再由反比例函数比例系数的几何意义即可求得的值． 【规范解答】解：∵平行四边形的对角线交于原点， ， 轴于点D， ， ， ． 【对应练习】（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象分别与等腰直角的直角边和斜边交于点，，点在轴负半轴上，连接，，若，且的面积为3，则________． 【答案】 【思路引导】作，连接，根据等腰直角三角形的性质得，再设点，则点，即可求出，，同理，最后根据求出答案． 【规范解答】解：过点D作，交x轴于点E， ∵等腰直角，， ∴，则点D是的中点． ， ， ∵， ∴． 设点， , ， ∴， ∴，，同理， ∴， 即， 解得． 【压轴考点11】求反比例函数解析式 【典例精讲】（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）如图，一次函数与反比例函数的图象交于二、四象限内的、两点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，若，，且点的横坐标为． (1)求该反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出满足的的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【思路引导】（1）根据勾股定理得到，可知反比例函数的解析式，进而求出，即可求出一次函数的解析式； （2）求出，再根据三角形面积公式计算即可； （3）根据函数图象作答即可． 【规范解答】（1）解：∵轴，，， ∴， ∴， 将代入得， 解得：， 即， 将代入得：， 即， 将、代入得： ，解得：， ∴； （2）解：当时，解得， 即， ∴； （3）解：根据函数图象可知，当时，或． 【对应练习】（25-26八年级下·山东济南·期末）直线与双曲线（）交于点，与x轴交于点B，点C是线段上一点． (1)求k，b的值； (2)如图，过点C作y轴的垂线l，l与（）的图象交于点D，当线段时，求点D的坐标； (3)双曲线（）上是否存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在；E点的坐标为或或 【思路引导】（1）把点A的坐标分别代入一次函数与反比例函数解析式中，即可求解； （2）设，由可得，由点D在反比例函数的图象上，把其坐标代入解析式中即可求解； （3）设；分两种情况：当点C为直角顶点时；当点O为直角顶点时，利用全等三角形的判定与性质即可求解． 【规范解答】（1）解：将代入得， 解得， 将代入，得，即， （2）解：：， ， 设， ， ， ∴， ， ∵点D在双曲线上， ， 解得，（舍去）， ； （3）解：存在． 设， ①当C为直角顶点时，过点C作x轴的垂线，垂足为N，过点E作，垂足为M，则， ， ， ， ， ， 又∵等腰直角三角形中，， ， ，， ； ②当O为直角顶点时，过点C作轴，垂足为N，过点E作轴，垂足为M，同理可得， ，， ， ，解得，， 此时，， 综上所述：满足条件的E点的坐标为或或． 【压轴考点12】反比例函数与几何综合 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形的边轴，直线与x轴交于点B，与反比例函数图象交于点D和点E，，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)点P为线段上的一个动点，过点P作x轴的平行线，当被这条平行线分成面积相等的两部分时，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2) 【思路引导】（1）根据题意分别确定点，点的坐标，用待定系数法即可求反比例函数和一次函数的解析式； （2）过点P作x轴的平行线交于Q，先确定直线的关系式，设，则，分别求出和的面积，根据题意列方程解答即可． 【规范解答】（1）解：，， 在中，，， 把代入，得， ， 一次函数的解析式为． 四边形是菱形， ． 轴， ， 把代入反比例函数， 得， 反比例函数的解析式为； （2）解：将联立，解得或， ． 过点P作x轴的平行线交于Q， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 解得 直线的解析式为， 设，则， ， ， 由题意， ， 解得， 点P为线段上的一个动点， ， 不合题意（舍去）， ， ． 【对应练习】如图，在矩形中，，，反比例函数的图像与、分别交于点E、F，且，与的面积之差等于，则此反比例函数的解析式为_________． 【答案】 【思路引导】根据题意设此反比例函数为，据此得到E和F的坐标；根据反比例函数的图象和性质可得，再计算出的面积，接下来计算，再结合其值为即可得到关于的等式，据此即可解答此题． 【规范解答】解：∵在矩形中，，， ∴，，， 设此反比例函数为，则，， ∴，， ∴，， o，， ∵， ∴， ∴， 整理得， 解得或， ∵，即， ∴ ∴反比例函数为． 【压轴考点13】反比例函数、二次函数图象综合判断 【典例精讲】（23-24九年级下·江西南昌·开学考试）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了二次函数的图象，反比例函数的图象，一次函数的图象，先根据二次函数的图象判断出的符号，进而可判断出一次函数与反比例函数图象所在的象限，先根据二次函数的图象判断出的符号是解答此题的关键． 【规范解答】解：抛物线开口向下， ． 抛物线与轴的交点在轴正半轴， ． 抛物线的对称轴在轴正半轴， ， ， 一次函数的图象经过一二四象限，反比例函数的图象的两个分支分别位于一三象限， 故选：C． 【对应练习】（25-26九年级上·河北张家口·期末）已知抛物线开口向上且经过点，双曲线经过点，给出下列结论：①；②；③b，c是关于x的一元二次方程的两个实数根；④．其中正确结论有（  ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】本题主要考查二次函数，反比例函数，一元二次方程的综合，掌握二次函数图象的性质，一元二次方程根的判别式是解题的关键． 根据抛物线的开口及过点，双曲线经过点，得到，可判定①；根据可以转化为：，可判定③；根据一元二次方程根的判别式可判定④；根据且，得到可判定②；由此即可求解． 【规范解答】解：∵抛物线开口向上且经过点，双曲线经过点， ∴， ∴，故①正确； ∴ ∴可以转化为：， ∴或，故③正确； ∵是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴， 化简，得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即，故④错误； ∵且， ∴，故②错误； 故选：B． 【压轴考点14】一次函数与反比例函数图象综合判断 【典例精讲】（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求n的值； (2)当时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)3 (2)或 【思路引导】（1）将点A的坐标代入，求出m的值，得出反比例函数的解析式，再将点B的坐标代入该解析式，即可求出n的值； （2）求出点B的坐标，根据图象，写出一次函数图象低于反比例函数图象时x的取值范围，即可解答． 【规范解答】（1）解：将代入得：， 解得：； ∴， 将代入得：， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴由图可知，当或时． 【对应练习】（23-24八年级下·山西临汾·期中）如图1，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，且一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．      (1)求一次函数的表达式以及点的坐标． (2)利用图象，直接写出关于的不等式的解集． (3)如图2，将直线绕点逆时针方向旋转，求旋转后所得直线的函数表达式． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【思路引导】（1）根据题意把代入，求得反比例函数解析式，把代入反比例函数解析式求得，再利用待定系数法求得一次函数的表达式，利用一次函数解析式求出其与轴交点，即可解题； （2）根据函数图像确定一次函数图像在反比例函数图像上方的自变量的取值范围即可； （3）利用一次函数解析式得到点坐标，过点作，交旋转后的直线于点，过点作轴于点，结合旋转的性质和等腰三角形性质证明，利用全等三角形性质得到坐标，设旋转后直线的解析式为，利用待定系数法求得旋转后所得直线的函数表达式即可． 【规范解答】（1）解：把代入，得：，解得：， 把代入得：， 把，代入得： ，解得：， 所以一次函数的表达式为， 把代入，得，， ； （2）解：由图知，不等式的解集为：或； （3）解：把代入，得， ， 过点作，交旋转后的直线于点，过点作轴于点，   ， ，， ， 由旋转的性质可得：， ， ， ， ， ，， ， ， 设旋转后直线的解析式为， 把，代入得： ，解得：， 所以旋转后直线的解析式为． 【考点剖析】本题考查了一次函数与反比函数图像性质，等腰三角形性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，掌握待定系数法求函数解析式及利用图像解决不等式是解题的关键． 【压轴考点15】一次函数与反比例函数的交点问题 【典例精讲】（26-27九年级上·河北邯郸·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于和两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图像，直接写出当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值． 【答案】(1)， (2)或 【思路引导】（1）先根据求出反比例函数解析式，再据此求出B点坐标，再根据A、B两点坐标求出一次函数解析式即可作答； （2）问题转换为求不等式的解集，即：一次函数的图象在反比例函数图象的上方时，自变量x的取值范围，结合A、B两点坐标以及函数图象即可作答． 【规范解答】（1）解：∵反比例函数过， ，解析式为． 在上， ，即． 将、代入：， 解得， ∴一次函数解析式为． （2）由图像可知，当或时，一次函数值大于反比例函数值． 【对应练习】（25-26八年级下·山东济南·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)直线与轴交于点，在轴上找一点，使得最小，求点坐标，并求出最小值； (3)如图2，为第二象限内反比例函数图象上的点，且点在点右侧，连接、，当的面积为30时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)， (3) 【思路引导】（1）利用待定系数法计算可得一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为，再联立求解即可； （2）先求出，作点E关于x轴的对称点，则，根据轴对称性质，，则．当、P、B三点在一条直线上时，的值最小，最小值为线段的长度．结合勾股定理计算即可得出的最小值为．求出直线的方程为，令，得，解得，即可得出结果； （3）过C作轴交于点T，设，则，表示出，再结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【规范解答】（1）解：将代入直线得，， 解得， ∴一次函数的解析式为， 再将代入得，， ∴反比例函数的解析式为， 联立，得， 解得：（舍去），， ∴； （2）解：在中，当时，，则， 作点E关于x轴的对称点，则， 根据轴对称性质，， ∴． 当、P、B三点在一条直线上时，的值最小，最小值为线段的长度． ， ∴的最小值为． 设直线的方程为． 将和代入得， 解得． ∴直线的方程为 令，得，解得． ∴点P的坐标为． （3）解：如图，过C作轴交于点T， 设，则， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴点C的坐标为． 【压轴考点16】一次函数与反比例函数的实际应用 【典例精讲】（24-25九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接． (1)直接写出反比例函数与一次函数的表达式； (2)直接写出 的x取值范围 (3)当时，求的面积． 【答案】(1)反比例函数为：，一次函数的解析式为：． (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了一次函数与反例函数的综合问题，待定系数法求反比例函数以及一次函数的解析式．一次函数与反比例函数的交点问题，两点之间的距离公式等知识，掌握反比例函数的性质以及一次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出反比例函数以及一次函数的解析式． （2）根据函数图象的交点和图象的位置关系进行解答即可； （3）由已知条件求出点C，点B，点D的坐标，过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F，利用两点之间的距离公式分别求出，，的值，最后根据即可求出答案． 【规范解答】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴反比例函数为：，一次函数的解析式为：． （2）∵反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴由图象可知， 的x取值范围是 故答案为： （3）∵， ∴， ∵轴于点C，交一次函数的图象于点D， ∴点B的横坐标为4．点D的横坐标为4． ∴， ∴， ∴ 过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F， ∴，点E的纵坐标为， ∴， 把代入，得， ∴， ∴点， ∴， ∴ 【对应练习】如图1，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，点P是x轴负半轴上一动点，连接，． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)若的面积为12，求点P的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，若点E为直线上一点，点F为y轴上一点，是否存在这样的点E和点F，使得以点E、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函为，一次函数表达式为 (2) (3)存在，点E的坐标为或或 【思路引导】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行四边形性质等，解题关键是运用分类讨论思想解决问题， （1）将点的坐标代入反比例函数解析式可求得，进而可得，再利用待定系数法即可求得一次函数解析式; （2）如图，设直线交x轴于H，过点M作轴于D，过点N作轴于E，设，根据三角形的面积，建立方程求解即可，得出答案; （3）利用待定系数法可直线PM的解析式为，设，分三种情况∶ 当、为平行四边形对角线时； 当、为平行四边形对角线时，当、为平行四边形对角线时；分别建立方程求解即可得出答案． 【规范解答】（1）∵反比例函数 的图象经过、两点， ， 解得：， ， 由点M、N的坐标得，直线的表达式为：； 反比例函数表达式为，一次函数表达式为； （2）如图，设直线交x轴于H，过点M作轴于D，过点N作轴于E， 设， ，， ， 直线的表达式为：， 则， ， ， 解得：， ； （3）存在，点E的坐标为或或． 由点P、M的坐标得，直线PM的解析式为， 设， ，， 当、为平行四边形对角线时，与的中点重合， 则，解得：， ，； 当、为平行四边形对角线时，与的中点重合， 则，解得：， ，； 当、为平行四边形对角线时，与的中点重合， 则，解得：， ，； 综上所述，点E的坐标为或或． 【压轴考点17】一次函数与反比例函数的其他综合应用 【典例精讲】（25-26八年级下·山东东营·期末）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． (1)求一次函数的解析式及的面积； (2)根据图象直接写出不等式的解集； 【答案】(1)，4 (2)或 【思路引导】（1）将点A的坐标代入反比例函数的解析式求得m的值，将点B的坐标代入反比例函数的解析式，即可求得n的值，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）由函数图象知不等式的解集为反比例函数图象在一次函数图象上方时，自变量x的取值范围，结合两点的坐标即可解答． 【规范解答】（1）解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点， ∴， 解得：，， ∴，， ∴， 解得：， ∴一次函数为． 如图，记与轴的交点为， ∴， ∵，， ∴的面积为． （2）解：∵，， 结合图象可得不等式的解集为：或． 【对应练习】（25-26八年级下·江苏泰州·期末）反比例函数（）和正比例函数（）相交于、两点，点在上，点、均在第一象限，且点在点的左上方，直线、与轴分别交于点、． (1)如图1，已知点，点， 直接写出：①点的坐标是 ；②与的数量关系是 ； (2)若（1）中的条件点坐标不变，随着点的变化，判断（1）中的“与的数量关系”是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由； (3)如图2，直线、与轴分别交于点、，经过探索发现：随着点、的变化，与的乘积只与的取值有关，请用只含的代数式表示与的乘积． 【答案】(1)，相等， (2)解：成立，理由如下： 反比例函数（）过，点， ∴，即， 设，设直线为， ∵， ∴，解得：， ∴直线为， ∴， ∵，， 同理可得直线为：， ∴， ∴，， ∵，， ∴. (3) 【思路引导】（1）由反比例函数的性质可得，分别求解直线为，直线为，进一步结合勾股定理求解； （2）设，求解直线为，直线为：，进一步结合勾股定理求解； （3）设点，点，点，求解直线的解析式为： 直线的解析式为：，进一步求解即可. 【规范解答】（1）解：∵反比例函数（）和正比例函数（）相交于、两点， ∴， 设直线为，而点， ∴， 解得：， ∴直线为， ∴， ∵，， 同理可得直线为， ∴， ∴，， ∴. （2）略 （3）解：设点，点，点， 同理可得：直线的解析式为：， 当，， 当，， 解得：， ∴点，点， 同理可得：直线的解析式为：， 同理：点，点， ∴，， 与的乘积． 1．（26-27九年级上·四川内江·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，轴于点，，双曲线过点，交于点，连接，．若，，则的值为（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【思路引导】延长，交轴于点，设，则，先求出，，，，的长，再根据列式计算即可． 【规范解答】解：如图，延长，交轴于点， ∵， ∴设，则， ∵轴，轴轴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， 将代入函数得：， ∴， ∴， 将代入函数得：， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得． 2．（26-27九年级上·天津河西·开学考试）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据反比例函数的性质解答即可． 【规范解答】解：∵反比例函数中， ∴函数图象分布在第二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大， ∵点的纵坐标， ∴点在第四象限，， ∵点、的纵坐标，， ∴点、在第二象限，，， ∵在第二象限内随的增大而增大，且， ∴， ∴． 3．（26-27九年级上·全国·单元复习）若反比例函数的图象经过点，则一次函数与在同一坐标系中的大致图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】首先利用待定系数法算出反比例函数k的值，再根据k的值确定反比例函数所在象限，根据k的值确定一次函数解析式，根据一次函数解析式确定一次函数图象所在象限，即可选出答案． 【规范解答】解：∵反比例函数的图象经过点 ∴， ∴反比例函数解析式为：， ∴图象在第二、四象限内， ∵， ∴一次函数为， ∴图象经过第一、三、四象限， 联立两函数解析式可得：， 则， ∵， ∴两函数图象无交点， 综上：选项D符合题意． 4．（2022·浙江温州·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数图象上，轴于点，轴于点，连结，，若，，则的值为（     ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【思路引导】设，，根据勾股定理列方程即可解答． 【规范解答】解：作轴于M， ∴轴， ∵轴于点C，轴于点D， ∴， ∵， ∴，， ∴， 点，在反比例函数图象上， ，， ， ， 解得（负数舍去）． 5．（22-23九年级上·浙江温州·开学考试）如图，四边形中，，交x轴正半轴于点A，反比例函数经过点C，交的中点于D，平分，若，则k的值为（     ） A．12 B． C．8 D． 【答案】B 【思路引导】作交于，证明得到，再证明DE为图形的中位线得到，设，则，，，把代入中求出，所以，，则，根据两点间的距离公式得到，然后解方程可得到满足条件的的值． 【规范解答】解：作的中点E，连接，如图， ∴， 点为的中点， 为图形的中位线， ∴， 平分， ， ∵ ， ， ， ， 设，则，，， 在的图象上， ， 解得， 经检验，是原方程的解， ，， ， 即， 解得（负值已舍去）． 6．（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，当时，的取值范围是______． 【答案】 或 【思路引导】直接利用图象法找到直线在双曲线上方时的自变量的范围即可. 【规范解答】解：由图象可知，当时，的取值范围是 或 . 7．（26-27九年级上·北京东城·开学考试）如图，在反比例函数的图象上有点，，，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作轴与轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为，，若，则的值为_______． 【答案】 4 【思路引导】 将横坐标代入到反比例函数中，得出纵坐标的值；数形结合，利用的面积求出k的值，从而得出的值． 【规范解答】 解：由题意可知：，，， ， ， ， ． 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，反比例函数的图象经过矩形的边的中点D，若矩形的面积为6，则k的值为______． 【答案】3 【思路引导】根据反比例函数比例系数k的几何意义进行解答即可． 【规范解答】解：连接， ∵矩形的面积为6， ∴， ∵D为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵的图象在第一象限， ∴， ∴． 9．（26-27九年级上·江苏泰州·开学考试）在平面直角坐标系中，为原点，点，点，点，反比例函数图象分别交直线，直线于点，，将直线向左平移个单位，所得直线与反比例函数图象有且只有一个交点，则的值为_______． 【答案】或 【思路引导】先确定、两点坐标，求出直线的解析式，根据平移规则得到平移后的直线，联立反比例函数，利用只有一个交点时一元二次方程判别式为求解即可． 【规范解答】解： ∵，， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴直线的解析式为， ∵在直线和上，在直线和上， ∴，， 设直线的解析式为，代入两点坐标得： ， 两式相减得， 整理得， 将代入，得， ∴ 直线的解析式为， 将直线向左平移个单位，得新直线解析式为， 联立， 消去整理得， ∵直线与反比例函数有且只有一个交点， ∴， 解得，， ∴的值为或． 10．（21-22八年级下·江苏扬州·阶段检测）如图，点D是平行四边形内一点，与x轴平行，与y轴平行，，，．若反比例函数的图像经过A、D两点，则k的值是________． 【答案】4 【思路引导】过A作于E，作轴于F，延长交x轴于G，根据三角形的面积可求出，根据三角形内角和定理、等角对等边等得出，根据平行四边形的性质、平行线的性质以及可证明，得出，则可设，则，从而得出，即可求解． 【规范解答】解：过A作交的延长线于E，作轴于F，延长交x轴于G， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵与x轴平行， ∴， ∴， ∵与y轴平行，x轴轴， ∴轴， 又与x轴平行， ∴， 又轴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴点D的纵坐标为， 设，则， ∵反比例函数的图像经过A、D两点， ∴， 解得， ∴． 11．（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第二象限交于点，在第四象限交于点，过点B作轴于点C，连接． (1)求一次函数与反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)，y1=－2x＋2 (2)3 (3)或 【思路引导】（1）根据待定系数法即可确定反比例函数解析式，然后确定，再利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）过点A作交的延长线于点D，结合图形，求三角形面积即可； （3）结合图形得出当或时直线在双曲线的下方即可求解． 【规范解答】（1）解：∵的图象过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为， ∵的图象过点， ∴， ∴， ∵直线的图象经过点，， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）过点A作交的延长线于点D， ∵轴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）∵，， 由函数图象可知，当或时直线在双曲线的下方， ∴不等式的解集为或． 12．（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于点，一次函数的图象与轴交于点，且． (1)求反比例函数的解析式（不需要写自变量取值范围）； (2)___________，___________； (3)满足不等式的的取值范围是___________； (4)为轴上一点，若的面积不小于的面积，请求出的取值范围． 【答案】(1) (2)2； (3) (4)或 【思路引导】（1）用待定系数法求出表达式即可； （2）先求出，再用待定系数法求出表达式即可； （3）先求出直线与x轴交于点，再根据图得出结论即可； （4）求出，再求出，再列不等式解决即可． 【规范解答】（1）解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于点， ∴把代入， ， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵， ， ∵， ∴， ∴， 把及代入， 则， 解得：； （3）解：把代入，则， 解得：， ∴直线与x轴交于点， ∴根据图象可知，当时，x的取值范围为：； （4）解：∵，， ， ∵， ∴， ∴， ∵的面积不小于的面积， ∴， ∴或． 13．（26-27九年级上·湖南衡阳·开学考试）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)连接，，求的面积． 【答案】(1)， (2)或 (3)8 【思路引导】（1）把代入，求出，可得反比例函数表达式，把代入，可求出，，利用待定系数法即可求出一次函数表达式； （2）根据图象，找出一次函数图象在反比例函数图象下方时，对应的的取值范围即可； （3）设与轴的交点为，根据的表达式求出，根据，结合、坐标即可得出答案． 【规范解答】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ， ∴反比例函数的表达式为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ， 把和分别代入，得， 解得， ∴一次函数的表达式为． （2）解：∵，， ∴由图象可知，不等式的解集为或． （3）解：如图，设与轴的交点为， 由（1）得直线的解析式为， ∴当时，， 解得， ∴， ∵， ∴ ． 14．（21-22八年级下·江苏泰州·期末）如图，直线与双曲线相交于A，B两点，与x轴相交于点C，的面积为． (1)求反比例函数的解析式； (2)若将直线向下平移1个单位，说明所得直线与双曲线的交点情况； (3)P为坐标轴上的一点，若的面积等于面积的一半，请直接写出符合条件的点P坐标． 【答案】(1) (2)平移后的直线与双曲线只有一个交点 (3)或或或 【思路引导】（1）令直线与y轴的交点为点D，过点B作轴于点E，根据一次函数图象上点的坐标特征以及的面积是即可得出的长度，进而可找出点B的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反比例函数系数k的值，可得反比例函数的解析式； （2）根据平移的性质找出平移后的直线的解析式将其代入反比例函数解析式中，整理后根据根的判别式的正负即可得出结论； （3）连接，先求出的面积，进而得到，再分点在轴、轴上，结合面积公式求解即可． 【规范解答】（1）解：过点B作轴于点E，如图所示． 令直线中，则，解得：， 即． ∵的面积是， ∴， 解得：． 结合题意可知点B的纵坐标为1， 当时，有， 解得：， ∴点B的坐标为， ∴， 即反比例函数的解析式为； （2）解：将直线向下平移1个单位得到的直线的解析式为， 将代入到中，得：， 整理得：，解得，又， ∴平移后的直线与双曲线只有一个交点； （3）解：连接， 联立直线与曲线， 即，整理得， 解得， ， 设直线与轴的交点为， 令，则， ， ， ， 当点在轴时，设， ， 则， ，，解得或， 或； 当点在轴时，设， ， 则， ，，解得或， 或； 综上，或或或． 15．（25-26八年级下·江苏南京·期末）利用反比例函数的图象能将一个角三等分，也能将一条线段三等分．    (1)如图①，是的三等分线，，点在上，过点作，交于点，分别过点、点作，，垂足为、，交于点，点是的中点，连接并延长交于点．猜想与的数量关系，并说明理由． (2)古希腊数学家帕普斯借助反比例函数的图象成功将锐角三等分，作法如下： 1．如图②，建立平面直角坐标系，将已知的顶点与原点重合，角的一边与轴正方向重合； 2．在平面直角坐标系里，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点； 3．以为圆心，以为半径作弧，交函数的图象于点； 4．分别过点和作轴和轴的平行线，两线相交于点； 5．连接，得到． 请根据以上作法，证明． (3)如图③，在平面直角坐标系中，点在轴上，请你利用反比例函数（，）的图象作出线段的三等分点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明．） 【答案】(1)解：，理由如下， ，， ，， ， ，，， ，即和是直角三角形， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 则； (2)证明：如图，分别过点和作轴和轴的平行线，两线相交于点，和相交于点， 设，，则，， 设直线的解析式为， ，解得， ， 当时，， 即点在直线上， 轴，轴，轴，轴，轴轴 ， 四边形是矩形， 对角线，相等且互相平分， ， ， 轴， ， ， ，即， ， ， ， 则； (3)解：如图，点，即为线段的三等分点； 过点作轴的垂线，交函数（，）的图象于点，过点作轴的垂线于点，在轴上顺次截取，过点作轴的垂线，交函数的图象于点，过点作轴的垂线于点，在轴上截取，点，即为线段的三等分点． 点，在函数（，）的图象上， ，， ， ， ， ， ， 则点，为线段的三等分点． 【思路引导】（1）先根据垂直的定义和平行线的性质，可得和是直角三角形，再根据“直角三角形斜边上的中线是斜边的一半”，得，最后利用角之间的关系和等量代换，易得，，从而，，进而可得，； （2）分别过点和作轴和轴的平行线，两线相交于点，和相交于点，设，，则，，求直线的解析式，可证点在直线上，再证四边形是矩形，从而根据矩形的性质，可证，进而可证，，，，即可求证； （3）根据“过一个点作已知直线的垂线”尺规作图的方法，作轴，交函数的图象于点，作矩形，在轴上顺次截取，过点作轴的垂线，交函数的图象于点，作矩形，根据反比例函数的几何意义，即可得到，在轴上截取，即可求解． 【规范解答】（1）略 （2）略 （3）略 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年人教版数学九年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题六 反比例函数的图像和性质 【思维导图+十七大考点讲练+优选题训练 共49题〔原卷版〕】 目 录 2 【压轴考点01】判断（画）反比例函数图象 3 【压轴考点02】已知反比例函数的图象，判断其解析式 4 【压轴考点03】由反比例函数图象的对称性求点的坐标 5 【压轴考点04】已知双曲线分布的象限，求参数范围 6 【压轴考点05】判断反比例函数的增减性 7 【压轴考点06】判断反比例函数图象所在象限 8 【压轴考点07】已知反比例函数的增减性求参数 9 【压轴考点08】比较反比例函数值或自变量的大小 10 【压轴考点09】已知比例系数求特殊图形的面积 10 【压轴考点10】根据图形面积求比例系数（解析式） 11 【压轴考点11】求反比例函数解析式 12 【压轴考点12】反比例函数与几何综合 13 【压轴考点13】反比例函数、二次函数图象综合判断 14 【压轴考点14】一次函数与反比例函数图象综合判断 15 【压轴考点15】一次函数与反比例函数的交点问题 16 【压轴考点16】一次函数与反比例函数的实际应用 18 【压轴考点17】一次函数与反比例函数的其他综合应用 19 21 【压轴考点01】判断（画）反比例函数图象 【典例精讲】（25-26九年级上·江西景德镇·期末）在函数学习中，我们经历了“根据函数表达式画函数图象——利用函数图象研究函数性质——利用函数图象和性质解决问题”的过程，我们可以借鉴这种方法探究函数的图象和性质． (1)根据题意，列表如下： … … … … 表格中的值为________； (2)在所给的平面直角坐标系中描点、连线，画出函数的图象； (3)观察函数图象，回答下列问题： ①当时，随的增大而________； ②函数的图象关于点________中心对称；（填点的坐标） ③函数的图象是由的图象向________平移________个单位长度得到的； (4)函数的图象可由函数的图象平移得到，想象函数的图象，直接写出当时，的取值范围是________． 【对应练习】（25-26九年级上·四川成都·期末）通过列表、描点、连线的方法可以画出函数的图象．对于函数，可列表如下： … 0 1 2 3 4 5 … … 0 2 2 … (1)表中_____，_____；请在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数的大致图象； (2)观察函数图象，请写一条该函数的性质：_____； (3)结合函数图象，请直接写出不等式的解集：_____． 【压轴考点02】已知反比例函数的图象，判断其解析式 【典例精讲】（24-25九年级上·湖南益阳·阶段检测）已知反比例函数的图象如图所示，试回答下列问题： (1)求这个函数的表达式； (2)你认为点，是否在这个函数的图象上，请说明理由． 【对应练习】（2026·湖北十堰·模拟预测）反比例函数（，）的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则的值可能为（     ） A． B． C． D． 【压轴考点03】由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【典例精讲】（25-26九年级上·广东惠州·期末）反比例函数的图象如图所示，以下结论正确的是（　　） ①常数 ；②随的增大而减小；③若为轴上一点， 为反比例函数图象上一点，则；④若点 在图象上，则点也在图象上． A．①②③ B．①③④ C．①②③④ D．①④ 【对应练习】如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，． (1)求一次函数的解析式，并在给出的平面直角坐标系中，画出一次函数图像并写出一条一次函数图像的性质： (2)连接并延长交双曲线于点，连接，求的面积； (3)当时，直接写出的取值范围． 【压轴考点04】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图是反比例函数的图象的一支，根据图象回答下列问题． (1)图象的另一支位于哪个象限？常数n的取值范围是什么？ (2)在这个函数图象的某一支上任取点和点，如果，那么b、有怎样的大小关系？ 【对应练习】（25-26九年级上·江西鹰潭·期末）反比例函数，在同一坐标系中的图象如图所示，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【压轴考点05】判断反比例函数的增减性 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知反比例函数． (1)画出它的图象． 解：画反比例函数的图象的步骤： 列表： x … 1 2 3 4 8 … y … … 描点、连线（如图）： (2)函数的图象位于哪些象限? (3)在每一个象限内，函数值y随自变量x的变化如何变化? (4)【跨学科拓展】利用课余时间，尝试用计算机画出此函数图象． 【对应练习】（26-27九年级上·全国·单元复习）有这样一个问题：探究函数的图象和性质． 小石根据学习函数的经验，对此函数的图象和性质进行了探究． 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是_____________； (2)下表是与的几组对应值． … … … … 求的值； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对应值为坐标的点．根据描出的点，画出此函数的图象； (4)进一步探究，结合函数的图象，写出此函数的性质（一条即可）：___________________________________________________________． 【压轴考点06】判断反比例函数图象所在象限 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知反比例函数的图象经过点． (1)求k的值； (2)函数的图象在哪几个象限？画出函数的图象； (3)点在这个函数的图象上吗？ 【对应练习】已知关于的函数的图象位于第二、四象限，则反比例函数的图象位于（     ） A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【压轴考点07】已知反比例函数的增减性求参数 【典例精讲】（23-24九年级上·河北邢台·期末）已知反比例函数（为常数）． (1)若点在这个函数的图象上，求的值； (2)若在这个函数图象的每一支上，随的增大而减小，求的取值范围； (3)若，试判断点，是否在这个函数的图象上，并说明理由． 【对应练习】（25-26九年级上·广东东莞·期末）图1为某厂家设计的一款亮度可调的台灯，图2为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻来调节亮度，电流I与总电阻R成反比例，其中，已知 ，实验测得当时，． (1)求I关于R的函数表达式． (2)经测试，当电流在之间（包含临界值）时，台灯亮度才能满足正常的阅读需求．那么，为了保证正常阅读，求滑动变阻器接入电路的电阻的取值范围． 【压轴考点08】比较反比例函数值或自变量的大小 【典例精讲】（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）已知反比例函数，下列结论正确的是（     ） A．其图象经过点 B．其图象位于第一、第三象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时， 【对应练习】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接，下面三个结论：①；②点和点在反比例函数的图象上，若，则；③不等式的解集是，其中正确的结论是________（只填序号） 【压轴考点09】已知比例系数求特殊图形的面积 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，点B在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上，且轴，，垂足为C，交y轴于点A，求的面积． 【对应练习】（26-27九年级上·北京·单元测试）如图，点、在反比例函数的图象上，当时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C，D，交于点E．四边形的面积为S． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求S与n的函数关系式． 【压轴考点10】根据图形面积求比例系数（解析式） 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的对角线交于原点O，顶点在反比例函数的图象上，若轴于点D，平行四边形的面积为8，求k的值． 【对应练习】（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象分别与等腰直角的直角边和斜边交于点，，点在轴负半轴上，连接，，若，且的面积为3，则________． 【压轴考点11】求反比例函数解析式 【典例精讲】（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）如图，一次函数与反比例函数的图象交于二、四象限内的、两点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，若，，且点的横坐标为． (1)求该反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出满足的的取值范围． 【对应练习】（25-26八年级下·山东济南·期末）直线与双曲线（）交于点，与x轴交于点B，点C是线段上一点． (1)求k，b的值； (2)如图，过点C作y轴的垂线l，l与（）的图象交于点D，当线段时，求点D的坐标； (3)双曲线（）上是否存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【压轴考点12】反比例函数与几何综合 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形的边轴，直线与x轴交于点B，与反比例函数图象交于点D和点E，，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)点P为线段上的一个动点，过点P作x轴的平行线，当被这条平行线分成面积相等的两部分时，求点P的坐标． 【对应练习】如图，在矩形中，，，反比例函数的图像与、分别交于点E、F，且，与的面积之差等于，则此反比例函数的解析式为_________． 【压轴考点13】反比例函数、二次函数图象综合判断 【典例精讲】（23-24九年级下·江西南昌·开学考试）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【对应练习】（25-26九年级上·河北张家口·期末）已知抛物线开口向上且经过点，双曲线经过点，给出下列结论：①；②；③b，c是关于x的一元二次方程的两个实数根；④．其中正确结论有（  ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【压轴考点14】一次函数与反比例函数图象综合判断 【典例精讲】（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求n的值； (2)当时，直接写出x的取值范围． 【对应练习】（23-24八年级下·山西临汾·期中）如图1，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，且一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．      (1)求一次函数的表达式以及点的坐标． (2)利用图象，直接写出关于的不等式的解集． (3)如图2，将直线绕点逆时针方向旋转，求旋转后所得直线的函数表达式． 【压轴考点15】一次函数与反比例函数的交点问题 【典例精讲】（26-27九年级上·河北邯郸·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于和两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图像，直接写出当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值． 【对应练习】（25-26八年级下·山东济南·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)直线与轴交于点，在轴上找一点，使得最小，求点坐标，并求出最小值； (3)如图2，为第二象限内反比例函数图象上的点，且点在点右侧，连接、，当的面积为30时，求点的坐标． 【压轴考点16】一次函数与反比例函数的实际应用 【典例精讲】（24-25九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接． (1)直接写出反比例函数与一次函数的表达式； (2)直接写出 的x取值范围 (3)当时，求的面积． 【对应练习】如图1，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，点P是x轴负半轴上一动点，连接，． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)若的面积为12，求点P的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，若点E为直线上一点，点F为y轴上一点，是否存在这样的点E和点F，使得以点E、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【压轴考点17】一次函数与反比例函数的其他综合应用 【典例精讲】（25-26八年级下·山东东营·期末）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． (1)求一次函数的解析式及的面积； (2)根据图象直接写出不等式的解集； 【对应练习】（25-26八年级下·江苏泰州·期末）反比例函数（）和正比例函数（）相交于、两点，点在上，点、均在第一象限，且点在点的左上方，直线、与轴分别交于点、． (1)如图1，已知点，点， 直接写出：①点的坐标是 ；②与的数量关系是 ； (2)若（1）中的条件点坐标不变，随着点的变化，判断（1）中的“与的数量关系”是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由； (3)如图2，直线、与轴分别交于点、，经过探索发现：随着点、的变化，与的乘积只与的取值有关，请用只含的代数式表示与的乘积． 1．（26-27九年级上·四川内江·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，轴于点，，双曲线过点，交于点，连接，．若，，则的值为（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 2．（26-27九年级上·天津河西·开学考试）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·全国·单元复习）若反比例函数的图象经过点，则一次函数与在同一坐标系中的大致图象是（     ） A． B． C． D． 4．（2022·浙江温州·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数图象上，轴于点，轴于点，连结，，若，，则的值为（     ） A． B．3 C． D．4 5．（22-23九年级上·浙江温州·开学考试）如图，四边形中，，交x轴正半轴于点A，反比例函数经过点C，交的中点于D，平分，若，则k的值为（     ） A．12 B． C．8 D． 6．（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，当时，的取值范围是______． 7．（26-27九年级上·北京东城·开学考试）如图，在反比例函数的图象上有点，，，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作轴与轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为，，若，则的值为_______． 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，反比例函数的图象经过矩形的边的中点D，若矩形的面积为6，则k的值为______． 9．（26-27九年级上·江苏泰州·开学考试）在平面直角坐标系中，为原点，点，点，点，反比例函数图象分别交直线，直线于点，，将直线向左平移个单位，所得直线与反比例函数图象有且只有一个交点，则的值为_______． 10．（21-22八年级下·江苏扬州·阶段检测）如图，点D是平行四边形内一点，与x轴平行，与y轴平行，，，．若反比例函数的图像经过A、D两点，则k的值是________． 11．（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第二象限交于点，在第四象限交于点，过点B作轴于点C，连接． (1)求一次函数与反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)根据图象直接写出不等式的解集． 12．（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于点，一次函数的图象与轴交于点，且． (1)求反比例函数的解析式（不需要写自变量取值范围）； (2)___________，___________； (3)满足不等式的的取值范围是___________； (4)为轴上一点，若的面积不小于的面积，请求出的取值范围． 13．（26-27九年级上·湖南衡阳·开学考试）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)连接，，求的面积． 14．如图，直线与双曲线相交于A，B两点，与x轴相交于点C，的面积为． (1)求反比例函数的解析式； (2)若将直线向下平移1个单位，说明所得直线与双曲线的交点情况； (3)P为坐标轴上的一点，若的面积等于面积的一半，请直接写出符合条件的点P坐标． 15．（25-26八年级下·江苏南京·期末）利用反比例函数的图象能将一个角三等分，也能将一条线段三等分．    (1)如图①，是的三等分线，，点在上，过点作，交于点，分别过点、点作，，垂足为、，交于点，点是的中点，连接并延长交于点．猜想与的数量关系，并说明理由． (2)古希腊数学家帕普斯借助反比例函数的图象成功将锐角三等分，作法如下： 1．如图②，建立平面直角坐标系，将已知的顶点与原点重合，角的一边与轴正方向重合； 2．在平面直角坐标系里，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点； 3．以为圆心，以为半径作弧，交函数的图象于点； 4．分别过点和作轴和轴的平行线，两线相交于点； 5．连接，得到． 请根据以上作法，证明． (3)如图③，在平面直角坐标系中，点在轴上，请你利用反比例函数（，）的图象作出线段的三等分点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明．） 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null2026-2027学年人教版数学九年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题六反比例函数的图像和性质 【思维导图+十七大考点讲练+优选题训练共49题〔原卷版〕】 目录 【专题复习思维导图指引】 .2 【压轴考向一反比例函数的图像和性质】 乐轴若点O1】判断画)反比例函数图象★★食. 。 【压轴考点02】己知反比例函数的图象，判断其解析式★★★ ….4 【压轴考点O3】由反比例函数图象的对称性求点的坐标★★★ 5 s 【压轴考点04】已知双曲线分布的象限，求参数范围★★★ ….6 5 ,【压轴考点05】判断反比例函数的增减性★★★ 7 二【压轴考点O6】刘断反比例函数图象所在象限★女女 .8 【压轴考点07】已知反比例函数的增减性求参数★★★ 9 ,【压轴考点08】比较反比例函数值或自变量的大小★★★★ 10 【压轴考向二反比例函数与几何综合】 【压轴考点09】己知比例系数求特殊图形的面积★★★ .10 5 【压轴考点10】根据图形面积求比例系数（解析式）★★★★ 11 。 【压轴考点11】求反比例函数解析式食★★★12 。 【压轴考点12】反比例函数与几何综合★★★★13 【压轴考向三反比例函数与二次函数综合) 【压轴考点13】反比例函数、二次函数图象综合判断★★★ ….14 第1页共26页 【压轴考向四反比例函数与一次函数综合】 二【压销考点14】一次西数与反比例函数图象综合判断★★女 .15 二【压轴考点15】一次通数与反比例函数的交点问冠★★女女 16 【压轴考点16】一次函数与反比例函数的实际应用★食★食 18 【压轴考点17】一次函数与反比例函数的其他综合应用★★★★ 19 【优选压轴题专项训练15题】 21 【专题复习思维导图指引门 七、反比例函数图像的压轴题解题技巧 一、反比例函数的定义○ 六、反比例函数图像的画法) 1到定人的号 -粮形式：y=华债为常数0 步骤： 观赛围像所在象限 自变量x≠0 ①列表：取若干个x值r≠0，计算y=冬的对应值： 第一、三象限k>0:第二四象限k<0 命2.比较大小 变形形式：灯=k(k为常数。k+0) ②描点：以表中各组对应值为坐标，在平面直角坐标系中描出点 在同一象限内，1越大，双曲线离原点越远： 说明：反比例函数是以】为基秘的函数。 即在同一象限内.11>21中k1>1k ③连线：用平滑曲线顺次连接描出的点，可得双血线 其像是双曲线 3.求解析式 注意：面数围像是双曲线的两个分支。不能用直线连接 利用图像上已知点或两点的精征，求k=,确定解析式 二、反比例函数的图像和性质 且x■0处无定义. 4.求面积 y= 与坐标轴围成的面积常用三角形面积公式： k>0 k<0 5=】×1不1×l(注意取绝对值) (k≠0) 5.综合 常用思路 图像 专题六 立置特征 所在象限 第一、三象限 第二，四象限 反比例函数的图像和性质 八、典型图像特征总结 增减性 在每个象限内， 在每个象限内， yr随x的增大而减小 y随x的增大而减大 ,y=(k>0) ①图像关于原点对称： 图像 性质 性质 ②当x>0时.y与r同号：当x<0时，y与x异号： ①图像在第 ,三象限： ③y随的增大而减小 ②在每个象限内，)随的增大减小 三、反比例函数图像上的点的特征 四、反比例函数与坐标轴的交点) 2.y=冬k<0) 若点A(x·.B,为)在反比例函数y=上（体0）的图像上 反比例函数y-冬（长0）的图像与坐标轴没有交点 图像 性质 则=为=素（为定值）， 因为x=0时，函数无意义 ①图像在第二、四象 ②在每个象限 随x的增大而增大 推论：在同一条反比例函数的周像上，任意两点的横。纵坐标的积相等。 注意：自变量x不能取0. ③当r>0时】 y<0:当x<0时，y>0 ④y随x1的增大而减小 五、反比例函数的解析式确定 特别提：求时要注章点的坐标代入是否正确，且。0 易错点提醒 已知反比例函数图像上一点(，)（≠0）， 则函数验解折式为：y-冬，其中长=物（使0》。 ①忽略自变量x≠0： ④求面积时未取绝对值」 ★关镀口诀 方湿酒两支双曲钱的位置 ⑤已知点代入求k时 求解步理： 反比例，世=： ③在比较大小时未注意所属象限 时坐标代入错误 ①设y=冬： 女不为零，x不为零。 ②把已知点坐标代入，求出k 双曲线，分两支：一三象限k>0,二四象限k<0 ③写出析式 图像性质要记牢，数形结合解难题！ 第2页共26页 【压轴考向一反比例函数的图像和性质】 【压轴考点01】判断（画）反比例函数图象★★★ 【典例精讲】(25-26九年级上·江西景德镇·期末)在函数学习中，我们经历了“根据函数表达式画 函数图象一一利用函数图象研究函数性质一一利用函数图象和性质解决问题”的过程，我们可以借鉴这种 方法探究函数)=一的图象和性质。 V 4 3 5-4 32-10 12345x -2 -51 (1)根据题意，列表如下： -3 -2 -1 0 2 4 -1 -2 3 m 2 3 表格中m的值为】 (②在所给的平面直角坐标系中描点、连线，画出函数y=的图象： (3)观察函数图象，回答下列问题： ①当x<1时，y随x的增大而 ②函数)y=寺的图象关于点 中心对称；（填点的坐标） ®函数y=的图象是y=的图象向 一平移 个单位长度得到的： (④函数=的图象可由函数y=的图象平移得到，想象函数y=的图象，直接写出当≥-2时， +2 x+2 x的取值范围是 第3页共26页 【对应练习】(25-26九年级上·四川成都·期末)通过列表、描点、连线的方法可以画出函数的图 象.对于函数y=+4 10x 可列表如下： … 3 -2 y 2 3 10x 50 -2 30 5 30 y= 2 50 x2+4 29 13 3 13 29 W X 3 2 5-4-3-2-1Q 2345x -2 -3 5 (1)表中a=,b=一--： 诗在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数y=兴的大致图象： (2)观察函数图象，请写一条该函数的性质： (3)结合函数图象，请直接写出不等式0>5的解集： 2+4x 【压轴考点02】已知反比例函数的图象，判断其解析式★★★ 【典例精讲】(24-25九年级上·湖南益阳·阶段检测)已知反比例函数y=的图象如图所示，试回答 下列问题： (1)求这个函数的表达式： (2)你认为点B(-1,6),是否在这个函数的图象上，请说明理由， 第4页共26页 【对应练习】(2026·湖北十堰·模拟预测)反比例函数y=(k≠0，x>0)的图象在平面直角坐标 系中的位置如图所示，则k的值可能为( ) 2 A.3 B.4 C.6 D.8 【压轴考点03】由反比例函数图象的对称性求点的坐标★★★ 【典例精讲 】(25-26九年级上·广东惠州·期末)反比例函数y=的图象如图所示，以下结论正确 的是() ①常数m<1;②y随x的增大而减小：③若A为x轴上一点，B为反比例函数图象上一点，则 SAANO=,④若点P)在图象上，则点P（-←x-)地在图象上. A.①②③ B.①③④ C.①②③④ D.①④ 【对应练习】如图，一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数y=-的图象相交于 点A(-2,1),B(n,2). 第5页共26页 5 A 3 -5-4-3-2-10 12345 》 3 (1)求一次函数的解析式，并在给出的平面直角坐标系中，画出一次函数图像并写出一条一次函数图像的 性质： (2)连接BO并延长交双曲线于点C,连接AC,求△ABC的面积； (3)当kx+b≥-2时，直接写出x的取值范围。 【压轴考点04】已知双曲线分布的象限，求参数范围★★★ 【典例精讲】(26-27九年级上·全国·课后作业)如图是反比例函数y=+?的图象的一支，根据图象 回答下列问题. (1)图象的另一支位于哪个象限？常数n的取值范围是什么？ (②)在这个函数图象的某一支上任取点A(a,b)和点B(a',b),如果a<a',那么6、b'有怎样的大小关 系？ 第6页共26页 【对应练习】(2526九年级上·江西鹰潭·期末)反比例函数1=生业=兰y1=在同一坐标系中 的图象如图所示，则k1,k2,k3的大小关系为( y: A.k2<k1<k3 B.k1<k2<k3 C.k2<k3<k3 D.k3<k1<k2 二【压轴考点05】判断反比饲函数的增减性★★★ 【典例精讲 】(26-27九年级上·全国·课后作业)已知反比例函数y=兰 (1)画出它的图象， 解：画反比例函数y= 的图象的步骤： 列表： 1 -8 -4 -3 -2 -1 2 2 1 2 3 4 8 y 描点、连线（如图）： VA 2 X-h (2)函数的图象位于哪些象限？ (3)在每一个象限内，函数值y随自变量x的变化如何变化？ (4)【跨学科拓展】利用课余时间，尝试用计算机画出此函数图象. 第7页共26页 【对应练习】(26-27九年级上·全国·单元复习)有这样一个问题：探究函数y=x-的图象和性 质 小石根据学习函数的经验，对此函数的图象和性质进行了探究. 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围是 (2)下表是y与x的几组对应值. 1 1 -2 一1 2 3 3 2 2 7 17 17 7 m 1 2 3 3 2 求m的值； (3)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对应值为坐标的点.根据描出的点，画出此函数的 图象： 61 65-4-3-2-19 1 2.3456x =2 (4)进一步探究，结合函数的图象，写出此函数的性质（一条即可）： 【压轴考点06】判断反比例函数图象所在象限★★★ 【典例精讲】(26-27九年级上·全国·课后作业)已知反比例函数y=的图象经过点A(2,一4④ (1)求的值： (2)函数的图象在哪几个象限？画出函数的图象： 第8页共26页 (3)点B(传，-16)，C(-3,5)在这个函数的图象上吗？ 【对应练习】己知关于x的函数y=-3的图象位于第二、四象限，则反比例函数y=*的图象位于 ) A.第二、四象限B.第一、三象限 C.第一、二象限 D.第三、四象限 品【压轴考点】已知反比例函数的增减性求参数★★女 【典例精讲】(23-24九年级上·河北邢台·期末)己知反比例函数y=5(k为常数). (1)若点A(1,2)在这个函数的图象上，求k的值： (2)若在这个函数图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围： (3)若k=13,试判断点B(,3),C(,2)是否在这个函数的图象上，并说明理由. 【对应练习】(25-26九年级上·广东东莞·期末)图1为某厂家设计的一款亮度可调的LED台灯，图2 为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻R,来调节亮度，电流I与总电阻 R成反比例，其中R=R1+R2,己知R1=5Q,实验测得当R2=25Q时，I=0.3A. R 图1 图2 (1)求I关于R的函数表达式. (2)经测试，当电流在0.1~0.25之间（包含临界值）时，台灯亮度才能满足正常的阅读需求.那么，为了 保证正常阅读，求滑动变阻器接入电路的电阻R2的取值范围. 第9页共26页 【压轴考点08】比较反比例函数值或自变量的大小★★★★ 【典例精讲】 (26-27九年级上·吉林长春·开学考试)已知反比例函数y=-,下列结论正确的是 ) A.其图象经过点(-1，-3) B.其图象位于第一、第三象限 C.当x>0时，y随x的增大而减小 D.当x≤-3时，0<y≤1 【对应练习】如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点C,与反比例 函数y=在第一象限内的图象交于点B(1,4),连接B0,下面三个结论：①S△40B=6;②点(xy1)和点 (x2y2)在反比例函数的图象上，若x1>x2,则y1<y2③不等式x+3<的解集是0<x<1,其中正确 的结论是 (只填序号) 【压轴考向二反比例函数与几何综合】 【压轴考点09】已知比例系数求特殊图形的面积★★★ 【典例精讲】(26-27九年级上·全国·课后作业)如图，点B在反比例函数y=(x>0)的图象上，点 C在反比例函数y=-(x>0)的图象上，且BC∥y轴，AC1BC,垂足为C交y轴于点A,求△ABC的面 积. 第10页共26页 【对应练习】(26-27九年级上·北京·单元测试)如图，点P(1,2)、Q(m,n)在反比例函数y=(x>0) 的图象上，当m>1时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A,B:过点Q分别作x轴、y轴的垂 线，垂足为点C,D,QD交PA于点E.四边形ACQE的面积为S. B DE H (1)求这个反比例函数的表达式： (2)求S与n的函数关系式. 【压轴考点10】根据图形面积求比例系数（解析式）★★★★ 【典例精讲】(26-27九年级上·全国·课后作业)如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的对 角线交于原点0，顶点A,C在反比例函数y-(k≠0)的图象上，若CD1x轴于点D平行四边形的面积为 8,求的值。 第11页共26页 【对应练习】(25-26八年级下·江苏南京·期末)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=(x< 0)的图象分别与等腰直角△AOB的直角边AB和斜边OB交于点C,D,点A在x轴负半轴上，连接AD,CD, 若AD⊥OB,且△BCD的面积为3，则k= B 【压轴考点11】求反比例函数解析式★★★★ 【典例精讲】(26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试)如图，一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例 函数y=”(m≠0)的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，过点B作BD1x轴，垂足为D, 若0B=5,0D=3,且点A的横坐标为-4. ○ (1)求该反比例函数和一次函数的解析式： (2)求△A0C的面积： (3)直接写出满足kx+b>严的x的取值范围. 第12页共26页 【对应练习】(25-26八年级下·山东济南·期末)直线y=-x+b与双曲线y=(x<0)交于点 A(-1,6),与x轴交于点B,点C是线段AB上一点. 0 A 备用图 (1)求kb的值： (②)如图，过点C作r轴的垂线1,1与y=(x<0)的图象交于点0当线段CD=10时，求点D的坐 标： (3)双曲线y=《(x<0)上是否存在点B,使得△C0E是以OC为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出 点E的坐标；若不存在，请说明理由。 【压轴考点12】反比例函数与几何综合★★★★ 【典例精讲】(26-27九年级上·全国·单元复习)如图所示，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边 ADIx轴，直线y=2x+b与x轴交于点B与反比例函数y=(k>0)图象交于点D和点B,OB=3, 0A=4. D O B EX 第13页共26页 (1)求反比例函数和一次函数的解析式： (2)点P为线段BE上的一个动点，过点P作x轴的平行线，当△CDE被这条平行线分成面积相等的两部分 时，求点P的坐标.（√70≈8.36） 【对应练习】如图，在矩形0ABC中，OA=6,OC=5,反比例函数的图像与AB、BC分别交于点 R且CF<FB,△OBF与△BFE的面积之差等于5若则此反比例函数的解析式为 【压轴考向三反比例函数与二次函数综合】 【压轴考点13】反比例函数、二次函数图象综合判断★★★ 【典例精讲】(23-24九年级下·江西南昌·开学考试)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则 一次函数y=ax+b与反比例函数y=的大致图象是( 第14页共26页 【对应练习】(25-26九年级上·河北张家口·期末)已知抛物线y=ax2+bx+c开口向上且经过点 (1,1),双曲线y=经过点(a,b0,给出下列结论：①bc>0:②b+c>0:®b,c是关于x的一元二次 方程x2+(a-1)x+六=0的两个实数根：④Q-b-c≤3.其中正确结论有()个. A.1 B.2 C.3 D.4 【压轴考向四反比例函数与一次函数综合】 S 【压轴考点14】一次函数与反比例函数图象综合判断★★★ 【典例精讲】(25-26八年级下·山东青岛·期末)如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数 y2=的图象相交于A,B两点，点A的坐标为(2,6，点B的坐标为(m4). 0 (1)求n的值： (2)当y1<y2时，直接写出x的取值范围. 第15页共26页 【对应练习】(23-24八年级下·山西临汾·期中)如图1，一次函数y=k1x+b(k1≠0)的图象与反比 例函数y=2(化2≠0)的图象相交于点A(2,3),B(6,m),且一次函数的图象与x轴交于点C,与y轴交于 点D. D B B 图1 图2 (1)求一次函数的表达式以及点C的坐标. (2)利用图象，直接写出关于x的不等式k1x+b>的解集。 (3)如图2，将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°，求旋转后所得直线的函数表达式. 【压轴考点15】一次函数与反比例函数的交点问题★★★★ 【典例精讲】(26-27九年级上·河北邯郸·开学考试)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y= kx+b的图像与反比例函数y=严的图像交于A(1,4)和B(-4,n)两点. a(1,4) C (-4,n)B (1)求反比例函数和一次函数的解析式： (2)根据图像，直接写出当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值. 第16页共26页 【对应练习】(25-26八年级下·山东济南·期末)如图1，在平面直角坐标系x0y中，直线y=-2x+ b与反比例函数y=的图象交于A(-4,2)、B两点， A O 0 B NB 图1 图2 (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标： (2)直线y=-2x+b与y轴交于点E,在x轴上找一点P,使得PE+PB最小，求P点坐标，并求出最小值： (3)如图2，C为第二象限内反比例函数图象上的点，且C点在A点右侧，连接AC、BC,当△ABC的面积为 30时，求点C的坐标. 第17页共26页 【压轴考点16】一次函数与反比例函数的实际应用★★★★ 【典例精讲】(24-25九年级上·辽宁盘锦·期中)如图，反比例函数y=(x>0)与一次函数y= mx+1的图象交于点A(2,3),点B是反比例函数图象上一点，BC1x轴于点C,交一次函数的图象于点 D,连接AB D (1)直接写出反比例函数y=k与一次函数y=mx+1的表达式： (2)直接写出>mx+1的x取值范围 (3)当0C=4时，求△ABD的面积. 第18页共26页 【对应练习】如图1，一次函数y=k1x+b与反比例函数y=2在第一象限交于M(1,6)、N(3,m两点， 点P是x轴负半轴上一动点，连接PM,PN. 图1 图2 (1)求反比例函数及一次函数的表达式： (2)若△PMN的面积为12，求点P的坐标： (3)如图2，在(2)的条件下，若点E为直线PM上一点，点F为y轴上一点，是否存在这样的点E和点 F,使得以点尽F、MW为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说 明理由， 【压轴考点17】一次函数与反比例函数的其他综合应用★★★★ 【典例精讲】（25-26八年级下·山东东营·期末)如图，反比例函数y1=的图象与一次函数y2= kx+b的图象交于A(m,3),B(-3,)两点. 第19页共26页 (1)求一次函数的解析式及△AOB的面积； (2)根据图象直接写出不等式三>kx+b的解集： 【对应练习】(25-26八年级下·江苏泰州·期末)反比例函数y1=?(m>0)和正比例函数y2=x (n>0)相交于A、B两点，点C在y1=上，点A、C均在第一象限，且点C在点A的左上方，直线AC、BC 与y轴分别交于点F、G. 图1 图2 (1)如图1，已知点A(3,1),点C(13) 直接写出：①点B的坐标是_；②CG与CF的数量关系是_； (2)若(1)中的条件点A坐标不变，随着点C的变化，判断(1)中的“CG与CF的数量关系”是否仍然成 立？若成立，请证明：若不成立，请写出正确结论，并说明理由： (3)如图2，直线AC、BC与x轴分别交于点E、D,经过探索发现：随着点A、C的变化，DE与FG的乘积只与 m的取值有关，请用只含m的代数式表示DE与FG的乘积. 第20页共26页 【优选压轴题专项训练15题】 1.(26-27九年级上·四川内江·开学考试)如图，在平面直角坐标系中，BC1y轴于点C,∠B=90°， 双曲线y=过点4，交BC于点D,连接0D,AD.若是-是Sa0aD=15,则k的值为( D A.4 B.6 C.8 D.12 2.(26-27九年级上·天津河西·开学考试)若点A(x1,-2),B(x2,1),C(x3,2)都在反比例函数y=-的 图象上，则x1,x2,x的大小关系是（ ) A.X3<X2<X1 B.X2<X1<X3 C.X1<x3<x2 D.x2<X3<X1 3.（26-27九年级上·全国·单元复习)若反比例函数y=的图象经过点4（侵，-2），则一次函数y= kx+k与y=在同一坐标系中的大致图象是( 式 4. (2022·浙江温州·三模)如图，在平面直角坐标系中，点A,B在反比例函数y=图象上，BC1x轴 于点C,AD1y轴于点D,连结AO,AB,若OD=3BC=3,AO=AB,则k的值为( ) A D B A.vis B.3 D.4 3 C.V15 第21页共26页 5.(22-23九年级上·浙江温州·开学考试)如图，四边形0ABC中，BC∥A0,AB1OA交x轴正半轴于 点A,反比例函数y=(k>0)经过点C,交AB的中点于D,OD平分∠COA,若BC=2,则k的值为 C D 0 A A.12 B.8V2 C.8 D.4v3 6.(26-27九年级上·吉林长春·开学考试)如图，一次函数y1=k1x+b的图象与反比例函数y2=2的 图象相交于A(2,3),B(6,1)两点，当y1>y2时，x的取值范围是_一一· B O 7.(26-27九年级上·北京东城·开学考试)如图，在反比例函数y=(x>0)的图象上有点P1,P2, P3,它们的横坐标依次为1,3,6，分别过这些点作x轴与y轴的垂线段.图中阴影部分的面积记为S1, S2,若S2=3,则S1的值为· P P 01 6 8.(26-27九年级上·全国·课后作业)如图，反比例函数y=(x>0)的图象经过矩形0ABC的边AB的 中点D,若矩形OABC的面积为6，则k的值为 第22页共26页 A 9.(26-27九年级上·江苏泰州·开学考试)在平面直角坐标系x0y中，0为原点，点A(8,0),点B(8,4), 点C(O,4),反比例函数y=图象分别交直线AB,直线BC于点E,F,将直线EF向左平移2个单位，所得直 线与反比例函数y=图象有且只有一个交点，则k的值为 10.(21-22八年级下·江苏扬州·阶段检测)如图，点D是平行四边形0ABC内一点，CD与x轴平行， BD与y轴平行，BD=1,∠ADB=135,S△4BD=多若反比例函数y=(x>0)的图像经过AD两点， 则的值是 11.(26-27九年级上·吉林长春·开学考试)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=k1x+b(k1≠ 0)与反比例函数y2=(k2≠0)的图象在第二象限交于点A(-1,4),在第四象限交于点B(2,m,过点B作 BC⊥x轴于点C,连接AC. (1)求一次函数与反比例函数的表达式. (2)求△ABC的面积. (3)根据图象直接写出不等式k1x+b<2的解集。 第23页共26页 12.(26-27九年级上·吉林长春·开学考试)如图，反比例函数y1=(x>0)的图象与一次函数y2= bx+c的图象在第一象限交于点A(4,3),一次函数y2=bx+c的图象与y轴交于点B,且OA=OB, (1)求反比例函数y1的解析式（不需要写自变量取值范围）； (2)b= (3)满足不等式0<y2<y1的x的取值范围是」 (4)P(m,0)为x轴上一点，若△AOP的面积不小于△A0B的面积，请求出m的取值范围. 13.(26-27九年级上·湖南衡阳·开学考试)如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y= (m≠0)的图象交于点A(-3,2),点B(1,. B (1)求反比例函数和一次函数的表达式： (2)根据图象，直接写出不等式kx+b<”的解集： (3)连接OA,OB,求△AOB的面积. 第24页共26页 14.如图，直线y=-x+5与双曲线y=(x>0)相交于A,B两点，与x轴相交于点C,△B0C的面积为 A B C (1)求反比例函数的解析式： (2)若将直线y=-x+5向下平移1个单位，说明所得直线与双曲线y=(x>0)的交点情况： (3)P为坐标轴上的一点，若△PAB的面积等于△OAB面积的一半，请直接写出符合条件的点P坐标. 第25页共26页 15.(25-26八年级下·江苏南京·期末)利用反比例函数的图象能将一个角三等分，也能将一条线段三 等分. A D B 图① 图② 图③ (1)如图①，EH是∠MEN的三等分线，∠MEH=2∠HEN,点D在EH上，过点D作DA II EN,交EM于 点A,分别过点A、点D作AB LEN,DC⊥EN,垂足为B、C,AB交EH于点F,点O是DF的中点，连接AO 并延长交CD于点G.猜想AG与AE的数量关系，并说明理由， (2)古希腊数学家帕普斯借助反比例函数y-(x>0)的图象成功将锐角三等分，作法如下： 1.如图②，建立平面直角坐标系，将已知∠AOB的顶点与原点O重合，角的一边OB与x轴正方向重合： 2.在平面直角坐标系里，绘制函数y=二(x>0)的图象，图象与已知角的另一边0A交于点P: 3.以P为圆心，以20P为半径作弧，交函数y=的图象于点R: 4.分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两线相交于点T: 5.连接0T,得到∠T0B. 请根据以上作法，证明∠T0B=号∠AOB. (3)如图③，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，请你利用反比例函数y=(k>0,x>0)的图象作出 线段OA的三等分点.（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明.） 第26页共26页null