专题四 二次函数与一元二次方程【（挑战压轴题）导图知识卡片+十一大考点讲练+优选题训练 共48题】-2026-2027学年人教版数学九年级上册典型题培优系列

本讲义聚焦二次函数与一元二次方程核心知识点，系统梳理抛物线与坐标轴交点坐标、方程根的情况、截线长、不等式解集等内容，通过思维导图与考点讲练构建从基础到综合的学习支架，衔接函数图象与代数运算的内在联系。 资料以思维导图整合知识网络培养抽象能力与几何直观，典例精讲结合中考真题（如求交点坐标、图象法解不等式）提升推理与运算能力，48题分层训练兼顾课中教学辅助与课后查漏补缺，强化模型意识与应用意识。

null 2026-2027学年人教版数学九年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题四 二次函数与一元二次方程 【思维导图+十一大考点讲练+优选题训练 共48题〔原卷版〕】 目 录 2 2 【压轴考点01】求抛物线与x轴的交点坐标 2 【压轴考点02】求抛物线与y轴的交点坐标 4 【压轴考点03】已知二次函数的函数值求自变量的值 5 【压轴考点04】抛物线与x轴的交点问题 7 【压轴考点05】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 8 【压轴考点06】求x轴与抛物线的截线长 9 【压轴考点07】图象法确定一元二次方程的近似根 10 【压轴考点08】图象法解一元二次不等式 11 【压轴考点09】利用不等式求自变量或函数值的范围 13 【压轴考点10】根据交点确定不等式的解集 14 【压轴考点11】一元二次方程的解的估算 15 16 【压轴考点01】求抛物线与x轴的交点坐标 【典例精讲】（26-27九年级上·北京·开学考试）已知二次函数． (1)将化成的形式，并写出其图象的顶点坐标； (2)将化成的形式，并写出此函数图象与轴交点的坐标； (3)在平面直角坐标系中，画出当时此函数的图象． 【对应练习1】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数． (1)画出这个函数的图象． (2)观察图象，直接写出图象与x轴的交点坐标． (3)当x取何值时，？这里x的取值与方程有什么关系？ 【对应练习2】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，抛物线与轴交于点（点在点的左边），与轴交于点．在抛物线的对称轴上是否存在一点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【压轴考点02】求抛物线与y轴的交点坐标 【典例精讲】（2026·江苏无锡·中考真题）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 【对应练习1】已知二次函数的关系式为． (1)设二次函数与x轴的交点为A、B（A在B左边），与y轴的交点为C；直接写出A、B、C的坐标； (2)直接写出该二次函数的顶点坐标； (3)画出该二次函数的大致图象（不要求列表），并根据图象回答下列问题： ①直线的关系式，则不等式的解集是______； ②设点在二次函数图象上，且点M、N到对称轴的距离分别为、用“”或“”填空：若，则______；若，则______． 【对应练习2】（26-27九年级上·全国·周测）如图，抛物线的对称轴为，与x轴分别交于点，，且．下列结论：①；②（t为实数）；③当时，y随x的增大而增大；④若方程的两个实数根分别为，，且，则，正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【压轴考点03】已知二次函数的函数值求自变量的值 【典例精讲】如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，已知． (1)求该抛物线的函数表达式和对称轴． (2)将点向上平移个单位得到点，将向左平移个单位得到，将向右平移个单位得到，已知和均在抛物线上，求和的值． 【对应练习1】（25-26九年级上·河北邢台·阶段检测）已知抛物线与x轴的交点分别为，． (1)求一元二次方程的两个根； (2)设抛物线与轴交于点，作轴交抛物线于点，求线段的长； (3)若点，在抛物线上，你能比较出和的大小吗？若能，请比较出大小；若不能，请说明理由． 【对应练习2】（25-26九年级上·湖北恩施·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，若点是直线下方抛物线上一动点，其横坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)设该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为，，设． ①直接写出关于的函数解析式； ②当时，直接写出的取值范围． 【压轴考点04】抛物线与x轴的交点问题 【典例精讲】（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）如图，直线与抛物线相交于点，．下面四个结论： ①； ②当时，； ③方程的解为，； ④当时，函数值随着的增大而减小． 其中所有正确结论的序号是________． 【对应练习1】（2026·四川巴中·中考真题）关于二次函数，下列说法正确的个数是（     ） ①它的图象经过第一、二、三象限； ②当时，y随x的增大而增大； ③它的图象可由向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到； ④直线（k为常数）与它的图象一定有两个交点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【对应练习2】如图是抛物线，其顶点为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论正确的有（     ） ①若抛物线与轴的另一个交点为，则； ②；③若时，随的增大而增大，则；④若时，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【压轴考点05】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【典例精讲】（25-26九年级上·福建宁德·阶段检测）已知二次函数，函数与自变量的部分对应值如表， … 0 1 2 … … 3 6 7 6 … 根据表格中的信息，得到如下结论： ①二次函数的图象开口向上； ②求该二次函数的表达式时，可设； ③关于的一元二次方程的两个根为0或2； ④若，则． 以上结论正确的是______________． 【对应练习1】如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与轴的一个交点在之间，则有结论：①；②；③；④一元二次方程有两个不相等的实数根．上述结论正确的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【对应练习2】（2026·黑龙江绥化·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，与轴交于，两点，其中．则下列结论： ①②③④⑤方程（为常数）有实数根． 其中正确的个数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【压轴考点06】求x轴与抛物线的截线长 【典例精讲】（25-26九年级上·山东烟台·期末）老师出示了小黑板的题目后，同学们踊跃回答．甲说：过点；乙说：过点；丙说：；丁说：抛物线被轴截得的线段长为．这四个人的回答中，正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【对应练习1】（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）已知二次函数． (1)求证：无论取何实数，该二次函数的图象与轴总有两个公共点； (2)若该二次函数的图象与轴的两个交点分别为、，且，求的值； (3)若该二次函数的图象与轴交于点，与轴交于、两点，当的面积为2时，求的值． 【对应练习2】（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）定义：我们规定二次函数（且）与（且）互为“交叉函数”，它们的交点叫做“交叉点”． (1)求证：互为“交叉函数”的两个二次函数有且只有一个“交叉点”． (2)二次函数与它的“交叉函数”与y轴分别交于B、C两点，它们的“交叉点”为A点，若是以为底边的等腰直角三角形，求这两个函数的解析式． (3)二次函数与它的“交叉函数”交x轴于不同的四点，且四个交点中任意相邻两点间的距离相等，若一次函数与它们两个二次函数共有3个不同的交点，求k的值或者范围． 【压轴考点07】图象法确定一元二次方程的近似根 【典例精讲】（25-26九年级上·广东潮州·期末）如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（  ） A．2.67 B．2.56 C．2.39 D．2.26 【对应练习1】（2025九年级上·河北保定·专题练习）根据下列表格的对应值： 判断方程（，，，为常数）的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【对应练习2】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线（为常数，且）经过点，有如下结论：①抛物线对称轴为；②；③若两点在抛物线上，且，则方程有一根满足；④过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有两条．其中正确的结论有______________（填正确结论的序号）． 【压轴考点08】图象法解一元二次不等式 【典例精讲】（2022·山东枣庄·模拟预测）如图是二次函数的图象的一部分，图象过点A，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【对应练习1】如图，已知二次函数的图象与正比例函数交于点，与轴交于点，当时，自变量的取值范围是______． 【对应练习2】（25-26九年级下·河南商丘·阶段检测）数形结合是一种重要的数学思想，在中学有着极为广泛的应用，很多复杂的问题结合图形能够快速直观得到结论．在中学阶段，一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式简称为“三个二次”，它们之间有着密切的联系，其中一元二次函数居于核心地位，利用一元二次函数的图象能够很方便地解决很多一元二次方程和一元二次不等式问题． 【特例感知】 如解不等式，我们构造函数，作出它的图象，易得它与x轴的两个交点分别为和，结合图象易得不等式的解集为或，同时易知函数与x轴交点的横坐标和3为方程的两个根． 【理解运用】 结合上述知识请解决下面的问题： (1)不等式的解集为 ； (2)对任意实数b，关于x的一元二次方程恒有两个不等的实数根，求实数a的取值范围． 【压轴考点09】利用不等式求自变量或函数值的范围 【典例精讲】（25-26八年级下·北京海淀·期末）已知，二次函数（a，b，c是常数，）的y与x的部分对应值如表： x … 2 3 … y … 3 0 3 … (1)求二次函数的解析式． (2)当时，y的取值范围是 ；当时，x的取值范围是 ． 【对应练习1】如图，若二次函数的图象的对称轴为直线，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点，则：①二次函数的最大值为；②；③；④当时，；其中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【对应练习2】（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，已知，是该抛物线上任意两点． (1)当时， ①求抛物线的对称轴； ②若，且，直接写出和的大小关系； (2)记的面积为，若对于任意，都有，求的取值范围． 【压轴考点10】根据交点确定不等式的解集 【典例精讲】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是_____． 【对应练习1】（25-26九年级上·河南信阳·期末）二次函数的图象经过点，，点C与点B关于该二次函数图象的对称轴对称，已知一次函数的图象经过A，C两点． (1)求该二次函数的解析式及点C的坐标； (2)根据图象，写出满足不等式的解集：________； (3)当时，该二次函数对应的函数值y的取值范围为________． 【对应练习2】（25-26九年级上·安徽宿州·期末）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且图象经过点，，连接AC． (1)求的值． (2)点D是轴上一动点，过点D作轴，交直线于点，交抛物线于点E，设点D的横坐标为． ①当点D在线段（点D不与点重合）上运动时，过点E作，垂足为F，求周长的最大值及此时点E的坐标． ②当时，直接写出的取值范围． 【压轴考点11】一元二次方程的解的估算 【典例精讲】（24-25九年级上·四川成都·期中）根据表格中的数据，判断一元二次方程（a，b，c为常数，）一个解x的范围为（　　） x 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.16 0.59 A． B． C． D．0.6＜x＜0.7 【对应练习1】（25-26九年级上·浙江台州·期中）小明用“试根法”探索关于的一元二次方程的解．当的值分别取时，该方程等号左、右两边的整式的值分别如下表所示，则该方程的解为______． 的值 … 0 1 2 3 … 等号左边的值 … 0 2 5 9 … 等号右边的值 … 1 3 5 7 … 【对应练习2】（2026·江西·中考真题）如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（  ） A． B． C． D． 1．（26-27九年级上·天津河西·开学考试）二次函数的图象如图所示，一元二次方程的根的判别式为，则下列判断正确的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．抛物线可以由抛物线平移得到 B．抛物线的顶点坐标为 C．当时，x的取值范围是 D．当时，函数的最大值和最小值分别为和 3．（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 4．（26-27九年级上·浙江金华·开学考试）如图，抛物线的部分图象，其顶点坐标为，与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：．其中正确结论的个数是（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．直线过点且与轴垂直，若二次函数（其中是自变量）的图象与直线有两个不同的交点，且其对称轴在轴右侧，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．（26-27九年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图，与关于轴对称，且，一条平行于轴的直线与和共有四个交点，从左到右依次记为，当时，则___________． 7．（吉林长春市2026-2027学年九年级上学期学情自测数学试题）已知抛物线过原点，对称轴为直线，与x轴交于、两点，为抛物线上纵坐标相同的两点，是对称轴与x轴交点，连接，结合图像给出下列结论： ①；②轴；③；④；⑤． 其中正确的结论有_____________（填序号） 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）二次函数的部分图象如图所示，则一元二次方程的解为_______________，当时，x的取值范围是____________． 9．（21-22九年级下·吉林长春·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线：，若为抛物线上三点，且．则m的取值范围是___________． 10．（21-22九年级下·浙江宁波·开学考试）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线沿y轴向下平移t个单位，当平移后的抛物线与线段有且只有一个交点时，则t的取值范围是______． 11．（26-27九年级上·北京·开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)当时，比较的大小，并说明理由； (2)若抛物线与轴交于两点，且长度大于4，直接写出的取值范围； (3)若，当时，随的增大而减小，且的最大值与最小值的差为，求的最小值． 12．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知抛物线． (1)求证：此抛物线与x轴必有两个交点； (2)若此抛物线与直线的一个交点在y轴上，求m的值． 13．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图是抛物线，其顶点为，与x轴的交点为（点A在点B的左边）． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)求抛物线与x轴的交点的坐标； (3)在抛物线上是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 14．（26-27九年级上·福建福州·开学考试）已知点A，B，P为二次函数图象上三点且满足． (1)若，在函数图象上， A、B是图象与轴交点，此时是等腰直角三角形，求二次函数的解析式； (2)若轴，设点与点的纵坐标之差为，抛物线顶点到的距离为．求证：为定值，并用含的式子写出的取值范围； 15．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C． (1)求线段的长； (2)若点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点M的横坐标为m，过点M作轴，交直线于点N． ①当线段的长有最大值时，求点M的坐标； ②过点M作交抛物线于点D，是否存在点M使为等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年人教版数学九年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题四 二次函数与一元二次方程 【思维导图+十一大考点讲练+优选题训练 共48题〔解析版〕】 目 录 2 2 【压轴考点01】求抛物线与x轴的交点坐标 2 【压轴考点02】求抛物线与y轴的交点坐标 5 【压轴考点03】已知二次函数的函数值求自变量的值 9 【压轴考点04】抛物线与x轴的交点问题 13 【压轴考点05】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 17 【压轴考点06】求x轴与抛物线的截线长 21 【压轴考点07】图象法确定一元二次方程的近似根 27 【压轴考点08】图象法解一元二次不等式 29 【压轴考点09】利用不等式求自变量或函数值的范围 32 【压轴考点10】根据交点确定不等式的解集 36 【压轴考点11】一元二次方程的解的估算 40 43 【压轴考点01】求抛物线与x轴的交点坐标 【典例精讲】（26-27九年级上·北京·开学考试）已知二次函数． (1)将化成的形式，并写出其图象的顶点坐标； (2)将化成的形式，并写出此函数图象与轴交点的坐标； (3)在平面直角坐标系中，画出当时此函数的图象． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)，与x轴的交点坐标为 (3)所作函数图象如图所示： 【思路引导】（1）根据配方法配成顶点式，然后可得函数的顶点坐标； （2）根据十字相乘法把函数化成的形式，然后令时进行求解即可； （3）根据二次函数图象的画法进行作图即可． 【规范解答】（1）解：由题意可得：， ∴该函数的顶点坐标为； （2）解：由题意得：， 当时，则有，解得：， ∴此函数图象与轴交点的坐标为； （3）解：由题意可列表如下： x ….. 1 …... y ….. 5 0 0 …… 所作函数图象略． 【对应练习1】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数． (1)画出这个函数的图象． (2)观察图象，直接写出图象与x轴的交点坐标． (3)当x取何值时，？这里x的取值与方程有什么关系？ 【答案】(1)解：如图， (2)解：图象与x轴的交点坐标为， (3)解：当或时，，这里x的取值是方程的根． 【思路引导】（1）利用列表，描点，连线的步骤画图即可； （2）利用图象求解即可； （3）利用图象求解即可． 【规范解答】（1）解：列表如下： x 0 1 2 3 y 0 0 画函数图象略； 【对应练习2】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，抛物线与轴交于点（点在点的左边），与轴交于点．在抛物线的对称轴上是否存在一点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，点的坐标为或 【思路引导】首先根据抛物线的表达式得到对称轴为直线，，设点的坐标为，再根据两点间距离公式得到 ，利用勾股定理列方程并解方程即可得到答案． 【规范解答】解：存在，∵抛物线的对称轴为直线， ∴设点的坐标为， 当时，，解得：，， 当时，， ∴， ∵是以为斜边的直角三角形， ∴由勾股定理可得， ∵ ， ∴，解得，， ∴点的坐标为或． 【压轴考点02】求抛物线与y轴的交点坐标 【典例精讲】（2026·江苏无锡·中考真题）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【规范解答】解：对于二次函数，令，则， ∴二次函数的图象与y轴的交点为， ∵对于一次函数，令，则， ∴一次函数的图象与y轴的交点为， ∵两个图象交于，两点，已知点，点在轴上， ． 则不等式可变形为， 即， ∴由图象可得，它的解集是． 【对应练习1】已知二次函数的关系式为． (1)设二次函数与x轴的交点为A、B（A在B左边），与y轴的交点为C；直接写出A、B、C的坐标； (2)直接写出该二次函数的顶点坐标； (3)画出该二次函数的大致图象（不要求列表），并根据图象回答下列问题： ①直线的关系式，则不等式的解集是______； ②设点在二次函数图象上，且点M、N到对称轴的距离分别为、用“”或“”填空：若，则______；若，则______． 【答案】(1)，， (2) (3)画出该二次函数的大致图象如图： ①；②， 【思路引导】（1）求出时的y值和时的x值即可； （2）先根据对称性求得对称轴为直线，再将代入函数解析式中求得y值即可解答； （3）利用描点法，描出关键点，再用平滑曲线连线即可画出图象； ①先得到直线经过点B、点C，同一坐标系中画出对应图象，找出二次函数图象位于直线上方部分的点的横坐标的取值范围即可求解； ②根据二次函数的图象求解即可． 【规范解答】（1）解：令，则， 解得，， ∴，， 令，则， ； （2）解：∵， ∴对称轴为直线， 把代入得， ∴二次函数的关系式为的顶点为； （3）解：根据对称性，点C关于直线的对称点为，画图略 ①对于，当时，由得， 当时，， ∴直线经过点B、点C，如图， 由图象可知，不等式的解集是； ②由图象可知，当时，y随x的增大而增大，到对称轴的距离越大的点的纵坐标越小， ∴若，则； 若，则． 【对应练习2】（26-27九年级上·全国·周测）如图，抛物线的对称轴为，与x轴分别交于点，，且．下列结论：①；②（t为实数）；③当时，y随x的增大而增大；④若方程的两个实数根分别为，，且，则，正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】根据开口方向可得a的符号，根据与y轴的交点位置可得c的符号，再根据对称轴公式可得b的符号，据此可判断①；根据开口方向可得当时，函数有最大值，最大值为，则可得到，据此可判断②；根据对称轴和开口方向可得增减性，据此可判断③；根据顶点的纵坐标，结合离对称轴越远，函数值越小可判断④． 【规范解答】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，函数有最大值，最大值为， ∴，即，故②错误； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，故③错误； ∵方程的两个实数根分别为，， ∴当时，或， ∵抛物线开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵抛物线的顶点的纵坐标为2，且， ∴，故④正确． 综上所述，正确的有①④，共2个． 【压轴考点03】已知二次函数的函数值求自变量的值 【典例精讲】如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，已知． (1)求该抛物线的函数表达式和对称轴． (2)将点向上平移个单位得到点，将向左平移个单位得到，将向右平移个单位得到，已知和均在抛物线上，求和的值． 【答案】(1)；直线 (2)， 【思路引导】（1）根据待定系数法即可求解解析式，进而可知对称轴； （2）根据平移的性质即可求得坐标，进而代入即可求解． 【规范解答】（1）解：当时，， ． ， ，， ，， 代入到抛物线的表达式得， 解得， 抛物线的函数表达式为， 对称轴为直线． （2）解：由（1）得，点， 由平移的性质得，点，， 将点代入函数表达式可知： 解得或（舍去）． 【对应练习1】（25-26九年级上·河北邢台·阶段检测）已知抛物线与x轴的交点分别为，． (1)求一元二次方程的两个根； (2)设抛物线与轴交于点，作轴交抛物线于点，求线段的长； (3)若点，在抛物线上，你能比较出和的大小吗？若能，请比较出大小；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能， 【思路引导】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，求函数值，二次函数的性质； （1）将的坐标代入得，，得出抛物线的解析式为令，解方程，即可求解． （2）将代入得，，即．根据轴交抛物线于点，得出，两点的纵坐标相等，则解方程，进而求得线段的长； （3）解法一∶分别将代入解析式求得函数值，即可求解；解法二：根据抛物线的对称轴为直线，进而可得关于对称轴对称，即可求解． 【规范解答】（1）解∶将的坐标代入得， ，解得， 所以抛物线的解析式为 令，则 解得 所以一元二次方程的两个根为，． （2）将代入得，，即． 因为轴，即，两点的纵坐标相等，则 解得 又， 即线段的长为． （3）解法一∶能比较，的大小，． 将点的坐标代入得， 将点的坐标代入得， 所以． 解法二：抛物线的对称轴为， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，则，两点到对称轴的距离相等， 即，两点关于对称轴对称， 所以． 【对应练习2】（25-26九年级上·湖北恩施·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，若点是直线下方抛物线上一动点，其横坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)设该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为，，设． ①直接写出关于的函数解析式； ②当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【思路引导】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据为底的等腰三角形，判断垂直平分，据此列方程组求直线与抛物线的交点的横坐标即可； （3）①分情况讨论在不同位置时的的表达式即可；②将代入①中的解析式，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵抛物线与轴交于点，与轴交点， ∴， 解得， 抛物线的解析式； （2）解：存在，理由如下： ∵点，点， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴平分两坐标轴的夹角， ∴ 解得，， 即， ∵点是直线下方抛物线上一动点， ∴； （3）解：①∵该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为，，， 当时，最高点为点，最低点为点， ，， ∴； 当时，最高点为点，最低点为顶点， ， ∴； 当时，最高点为点，最低点为顶点， ， ∴， 综上所述，解析式为； ②根据题意，当时，解得，不符合题意，舍去， 当时，， 当时，解得（不合题意，舍去），， 综上所述，m的取值范围为． 【考点剖析】本题考查了二次函数的图象及性质、待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质、直线与抛物线的交点问题，关键是分类讨论思想的应用． 【压轴考点04】抛物线与x轴的交点问题 【典例精讲】（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）如图，直线与抛物线相交于点，．下面四个结论： ①； ②当时，； ③方程的解为，； ④当时，函数值随着的增大而减小． 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】①②④ 【思路引导】根据一次函数和二次函数的性质，结合函数图象，逐项进行判断即可． 【规范解答】解：①∵一次函数图象经过一、二、四象限， ∴，故①正确； ②∵当时，一次函数图象在二次函数图象的上面， ∴当时，，故②正确； ③根据函数图象可得：抛物线与x轴的两个交点都在的右侧， ∴把代入得， ∴不在二次函数图象上， ∴方程的一个解一定不是，故③错误； ④∵抛物线与x轴的一个交点为，另外一个交点在的右侧，且， ∴抛物线的对称轴在直线的右侧， ∴当时，函数值随着的增大而减小，故④正确； 综上，正确的是①②④． 【对应练习1】（2026·四川巴中·中考真题）关于二次函数，下列说法正确的个数是（     ） ①它的图象经过第一、二、三象限； ②当时，y随x的增大而增大； ③它的图象可由向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到； ④直线（k为常数）与它的图象一定有两个交点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】先将二次函数配方为顶点式，再结合二次函数的图象性质、平移规律、交点与判别式的关系，逐个判断即可得结论． 【规范解答】解：∵， ∵ ， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为， ①令，得，解得或，即抛物线与轴交于和， ∵抛物线开口向上， ∴当时，恒成立，不存在且的点， ∴图象不经过第三象限，故①错误； ②∵ 开口向上，对称轴为， ∴ 时，随的增大而增大，又， ∴ 时随的增大而增大，故②正确； ③根据平移规律可得，向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的二次函数解析式为，与原函数一致，故③正确； ④联立，整理得， ∵恒成立， ∴方程总有两个不相等的实数根，即直线与抛物线一定有两个交点，故④正确； 综上所述，正确的说法共3个． 【对应练习2】如图是抛物线，其顶点为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论正确的有（     ） ①若抛物线与轴的另一个交点为，则； ②；③若时，随的增大而增大，则；④若时，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】①根据抛物线的对称性得：，列不等式可得结论； ②将顶点坐标代入抛物线的解析式中，列两式可得结论； ③根据抛物线的对称轴即可判断； ④设，把它看作另一个二次函数，此二次函数过原点，通过计算发现与轴有两个交点，且另一个交点在原点的右侧，由此作判断． 【规范解答】解：①如图1，设抛物线与轴的交点为和（在的右侧）， 则， ∴， 由对称性得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ②∵抛物线的顶点坐标为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ③∵抛物线的对称轴是直线，开口向下， ∴时，随的增大而增大， ∵时，随的增大而增大， ∴； 故③错误； ④由图可知：抛物线开口向下， ∴， ∴抛物线也开口向下，且过原点，如图2所示， 当时，， ， ∴，， ∴当时，， 即当时，； 故④正确； 其中正确结论是：①②④，3个． 【压轴考点05】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【典例精讲】（25-26九年级上·福建宁德·阶段检测）已知二次函数，函数与自变量的部分对应值如表， … 0 1 2 … … 3 6 7 6 … 根据表格中的信息，得到如下结论： ①二次函数的图象开口向上； ②求该二次函数的表达式时，可设； ③关于的一元二次方程的两个根为0或2； ④若，则． 以上结论正确的是______________． 【答案】③④/④③ 【思路引导】根据表格数据确定二次函数的对称轴和解析式，再逐一判断各结论. 【规范解答】解：∵和时，均为， ∴二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为; 设二次函数解析式为， 将代入得：，解得, 逐一判断各结论：① ，二次函数图象开口向下，故①错误; ② 顶点横坐标为，求解析式应设为，故②错误; ③ 当时，对应的为和，因此一元二次方程的两个根为或，故③正确; ④ ∵对称轴为直线，时， ∴关于对称轴的对称点是，即时, ∵开口向下， ∴当时，，故④正确. 综上：③④正确. 【对应练习1】如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与轴的一个交点在之间，则有结论：①；②；③；④一元二次方程有两个不相等的实数根．上述结论正确的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【思路引导】由抛物线开口方向及对称轴位置判断 关系；利用抛物线对称性确定 时函数值的符号；根据顶点坐标公式变形判断等式；结合函数图象顶点纵坐标与直线 的位置关系判断方程根的情况 ． 【规范解答】解：由图象可知抛物线开口向下，则 抛物线顶点坐标为 对称轴为直线 ，即 ，故②错误； 抛物线与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线 抛物线与轴的另一个交点在和之间 当时， ，故①正确； 顶点坐标为 ，故③正确； 抛物线顶点纵坐标为，且开口向下， 抛物线与直线有两个交点 一元二次方程 有两个不相等的实数根，故④正确 综上所述，正确的结论有①③④，共3个． 【对应练习2】（2026·黑龙江绥化·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，与轴交于，两点，其中．则下列结论： ①②③④⑤方程（为常数）有实数根． 其中正确的个数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【思路引导】根据抛物线开口向下，顶点坐标为，与y轴交于正半轴，得到，，，即可判断①②③；根据抛物线的顶点坐标为得到，根据当时，，当时，，即可判断④；讨论抛物线与直线的交点情况即可判断⑤． 【规范解答】解∶∵抛物线开口向下，顶点坐标为，与y轴交于正半轴， ∴，，， ∴， ∴，故①错误； ∵， ∴，故②错误； ∵，， ∴， ∴，故③正确； ∵抛物线的顶点坐标为， ∴当时，，即， ∴， 由图象可得当时，，即， ∴， ∴， 由图象可得当时，，即， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∵方程可化为， ∴该方程的解为抛物线与直线的交点的横坐标， ∵直线， ∴该直线过定点，且过第二、三、四象限， ∴抛物线与直线必有交点， ∴方程（为常数）有实数根．故⑤正确． 综上所述，正确的结论是③④⑤，共3个． 【压轴考点06】求x轴与抛物线的截线长 【典例精讲】（25-26九年级上·山东烟台·期末）老师出示了小黑板的题目后，同学们踊跃回答．甲说：过点；乙说：过点；丙说：；丁说：抛物线被轴截得的线段长为．这四个人的回答中，正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【思路引导】本题考查了二次函数的图象及性质，关键是灵活应用知识点解题；根据二次函数的性质逐一判断即可． 【规范解答】解：∵抛物线过点，抛物线与轴交于， ∴对称轴为：，甲正确； ∵当时，，抛物线过点， ∴对称轴为：，乙正确； ∵抛物线与轴交于，， ∴， 解得：， ∴对称轴为：，丙正确； ∵抛物线被轴截得的线段长为，点在抛物线上， ∴抛物线与轴的另一个交点为：或， ∴对称轴为：或，丁错误； 综上：甲、乙、丙个人回答正确． 故选：A ． 【对应练习1】（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）已知二次函数． (1)求证：无论取何实数，该二次函数的图象与轴总有两个公共点； (2)若该二次函数的图象与轴的两个交点分别为、，且，求的值； (3)若该二次函数的图象与轴交于点，与轴交于、两点，当的面积为2时，求的值． 【答案】(1) 证明：令，则， ， ， ． ∴无论取何实数，该二次函数的图象与轴总有两个公共点． (2) (3) 【思路引导】本题考查了二次函数系数与图象的关系，二次函数与三角形面积的结合，掌握计算方法是解题的关键． （1）令，利用根的判别式进行判断即可； （2）令，利用根与系数的关系得出，，，根据，代入得到关于的方程，解方程即可求解； （3）根据两点间的距离公式求出，再利用三角形的面积公式列式进行计算即可得解． 【规范解答】（1）略 （2）解：令，则， 由根与系数的关系得，，， ， 整理得：，解得． （3）当时，， 点． 由（2）得， ， ， 即． 令，则， 整理得：，解得． 当时，解得． 当时，此时方程无实数根． ． 【对应练习2】（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）定义：我们规定二次函数（且）与（且）互为“交叉函数”，它们的交点叫做“交叉点”． (1)求证：互为“交叉函数”的两个二次函数有且只有一个“交叉点”． (2)二次函数与它的“交叉函数”与y轴分别交于B、C两点，它们的“交叉点”为A点，若是以为底边的等腰直角三角形，求这两个函数的解析式． (3)二次函数与它的“交叉函数”交x轴于不同的四点，且四个交点中任意相邻两点间的距离相等，若一次函数与它们两个二次函数共有3个不同的交点，求k的值或者范围． 【答案】(1) 证明：联立， 消去y整理得，， 又，即， ，解得， 方程组只有一组解， 二次函数（且）与（且）只有一个交点， 互为“交叉函数”的两个二次函数有且只有一个“交叉点”． (2)这两个函数的解析式为和 (3)的值为或 【思路引导】本题考查了二次函数与几何综合，涉及函数新定义，求两函数图象的交点坐标，函数图象与坐标轴的交点坐标， 等腰直角三角形的性质，求二次函数解析式，直线与抛物线的交点等，熟练掌握相关知识点，正确作出函数图象是解题的关键； （1）联立两函数解析式得方程组，解得方程组只有一组实数组，从而可得结论； （2）根据题意作图，过点A作轴于点D，先求出点A，B，C，D的坐标，再利用是以为底边的等腰直角三角形，得出相应的几何条件，建立关于b，c的方程，解方程组得b，c的值，从而可得函数解析式； （3）先根据题中条件求得两函数解析式，再由一次函数图象经过点，结合图象确定若一次函数与它们两个二次函数共有3个不同的交点，则一次函数图象过点或一次函数图象与抛物线只有一个交点，再分类求解即可． 【规范解答】（1）略 （2）解：依题意作图，如图1：过点A作轴于点D， 当时，，故； 当时，，故； 由（1）知二次函数与它的“交叉函数”的“交叉点”A的坐标为， ，，， 是以为底边的等腰直角三角形， ， 又， 点D为的中点， ，即，， 点D为的中点， ，， 联立，解得或， 这两个函数的解析式为和． （3）解：不妨设二次函数与x轴交于点M，N（点N在点M的右边）， 二次函数与x轴交于点P，Q（点Q在点P的右边）， 则关于x的方程有两根，， 由求根公式可得， ， 同理可求得， 由题知，， ， 两边平方整理得，， 又， ，，， 两函数图象的交点坐标为， 点P在之间，点N在之间，如图2所示， 由，可知点在抛物线的对称轴上，且， ，， ，是方程的两根，由根与系数的关系可知， ，， ， 整理得， 又， ， 由得， 两抛物线解析式为和， 易求得，，，， 当时，， 一次函数图象过点， 如图3，结合图象可知，若一次函数与它们两个二次函数共有3个不同的交点， 则一次函数图象过点或一次函数图象与抛物线只有一个交点， 当一次函数图象过点时，， ． 当一次函数图象与抛物线只有一个交点时， 方程有两个相等的实数根， 整理得， ， 解得，． 综上可知，的值为或． 【压轴考点07】图象法确定一元二次方程的近似根 【典例精讲】（25-26九年级上·广东潮州·期末）如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（  ） A．2.67 B．2.56 C．2.39 D．2.26 【答案】C 【思路引导】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，根据自变量两个取值所对应的函数值是和，可得当函数值为时，的取值应在所给的自变量两个值之间． 【规范解答】解：∵点，在二次函数的图象上， ∴当时，，当时，， ∴当时，， ∴选项C符合， 故选：C． 【对应练习1】（2025九年级上·河北保定·专题练习）根据下列表格的对应值： 判断方程（，，，为常数）的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查一元二次方程的相关概念、二次函数与一元二次方程的联系，明确方程的“目标函数值是”是解题关键． 根据表格数据，函数在和时分别对应函数值和，介于两者之间，且函数连续，据此可判断方程一个解的取值范围． 【规范解答】解：令， ∵当时，；当时，，且， ∴在和之间，存在使得， 即方程的一个解满足． 故选：． 【对应练习2】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线（为常数，且）经过点，有如下结论：①抛物线对称轴为；②；③若两点在抛物线上，且，则方程有一根满足；④过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有两条．其中正确的结论有______________（填正确结论的序号）． 【答案】①③④ 【思路引导】本题考查二次函数的图象和性质，对称性求出对称轴判断①，无法确定的符号，判断②，根据对称性确定抛物线与轴的另一个交点的位置判断③；设直线的解析式为，当时，联立抛物线，根据直线与抛物线只有一个交点，得到判别式为0，进行求解，当时，分析是否满足题意即可． 【规范解答】解：∵抛物线经过点， ∴对称轴为直线；故①正确； 无法确定的符号，故②错误； 若两点在抛物线上，且，则抛物线与轴的一个交点的横坐标的范围为， ∵对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点的横坐标的范围为：， ∴方程有一根满足；故③正确； 设过点的直线的解析式为：， 当时，令， 整理，得：， ∵直线与抛物线只有一个交点， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理，得：， ∴， 当时，， ∵， ∴当时，， ∴与只有一个交点，满足题意， 综上：过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有两条，故④正确； 故答案为：①③④． 【压轴考点08】图象法解一元二次不等式 【典例精讲】（2022·山东枣庄·模拟预测）如图是二次函数的图象的一部分，图象过点A，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点、特殊值点等方面逐项判断即可． 【规范解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故①正确； ∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴， ∴， ∵抛物线交y轴于正半轴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵时，， ∴，故④错误； ∵抛物线交x轴于，对称轴为， ∴抛物线与x轴的另一交点为， ∴时，，故⑤错误． 综上所述，正确的结论有3个． 【对应练习1】如图，已知二次函数的图象与正比例函数交于点，与轴交于点，当时，自变量的取值范围是______． 【答案】 【思路引导】过A作轴于C，则当x取值在之间时，即有，所以只要求出C、B两点的坐标，问题即可得到解答． 【规范解答】解：过A作轴于C， 令，则：，解得：或4， ∴， ∵，轴， ∴ ∴时，自变量的取值范围是． 【对应练习2】（25-26九年级下·河南商丘·阶段检测）数形结合是一种重要的数学思想，在中学有着极为广泛的应用，很多复杂的问题结合图形能够快速直观得到结论．在中学阶段，一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式简称为“三个二次”，它们之间有着密切的联系，其中一元二次函数居于核心地位，利用一元二次函数的图象能够很方便地解决很多一元二次方程和一元二次不等式问题． 【特例感知】 如解不等式，我们构造函数，作出它的图象，易得它与x轴的两个交点分别为和，结合图象易得不等式的解集为或，同时易知函数与x轴交点的横坐标和3为方程的两个根． 【理解运用】 结合上述知识请解决下面的问题： (1)不等式的解集为 ； (2)对任意实数b，关于x的一元二次方程恒有两个不等的实数根，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据【特例感知】结合图象解答即可； （2）根据一元二次方程恒有两个不等的实数根，得到判别式并化简，即，然后令，看成关于的二次函数，结合图象求解即可． 【规范解答】（1）解：解不等式，我们构造函数， 作出它的图象如图1所示，可知它与x轴的两个交点分别为和， 结合图象可知不等式的解集为； （2）解：∵对于任意实数，关于的方程恒有两个不等的实数根， ∴方程恒有两个不等实数根对任意的恒成立． ∴对任意的实数恒成立． 令，则有，即． 令作出其函数图象如图2所示， 当时，实数的取值范围为． 【压轴考点09】利用不等式求自变量或函数值的范围 【典例精讲】（25-26八年级下·北京海淀·期末）已知，二次函数（a，b，c是常数，）的y与x的部分对应值如表： x … 2 3 … y … 3 0 3 … (1)求二次函数的解析式． (2)当时，y的取值范围是 ；当时，x的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)；或 【思路引导】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先将解析式化成顶点式，再结合二次函数的性质解答即可． 【规范解答】（1）解：由题意，结合表格数据可得， ． ∴． ∴二次函数的解析式为； （2）解：由题意，∵， ∴当时，y取最小值为． 又∵当时，；当时，， ∴当时，． 令，则或， 又∵抛物线的开口向上， ∴当时，或． 【对应练习1】如图，若二次函数的图象的对称轴为直线，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点，则：①二次函数的最大值为；②；③；④当时，；其中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】函数图象开口向下，则在对称轴处函数有最大值，结合对称轴为直线可判断①；根据点B的坐标可判断②；根据二次函数与x轴有两个交点可判断③；根据对称性求出点A的坐标，结合函数图象可判断④． 【规范解答】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴在对称轴处函数有最大值， ∵对称轴为直线， ∴把代入得， ∴函数的最大值为，故①正确； ∵二次函数与交于点， ∴当时，，故②错误； ∵二次函数与x轴交于点A、点， ∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，故③正确； 由对称性可知，点A的坐标为， ∴由函数图象可知，当时，，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，共3个． 【对应练习2】（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，已知，是该抛物线上任意两点． (1)当时， ①求抛物线的对称轴； ②若，且，直接写出和的大小关系； (2)记的面积为，若对于任意，都有，求的取值范围． 【答案】(1)①抛物线的对称轴为直线；② (2)或． 【思路引导】（1）①将代入解析式后，直接用对称轴公式或配方法即可求解对称轴．②因为抛物线关于对称轴对称，所以如果两点横坐标之和确定，可计算两点到对称轴的距离，再结合抛物线开口方向，对称性和增减性就能比较两点纵坐标的大小． （2）先计算的长度，再根据三角形面积公式得到与的关系，因为，所以先求出该区间内的最大值，结合的条件，即可建立关于的不等式求解． 【规范解答】（1）解：① 当时，抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线． ② 由，可得， 即连接两点的线段的中点横坐标为2.5，在对称轴的右侧． ∵，抛物线开口向上，在对称轴右侧随增大而增大，且， ∴， 设点的对称点为， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：令， 因式分解得， ∵， ∴解得， ∴． ∴三角形面积， ∵对任意都有， 即当时，抛物线上所有点M的纵坐标满足． ∵抛物线的对称轴同样为直线， ∴当时，，当时，， ∵， ∴当时，S有最大值， 若，， 解得， 结合，得； 若，， 得， 解得， 结合， 得． 综上，或． 【压轴考点10】根据交点确定不等式的解集 【典例精讲】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是_____． 【答案】 【思路引导】观察函数图象，二次函数的图象不在一次函数的图象上方时自变量的取值范围，即为不等式的解集． 【规范解答】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，, ∴由图象可得，不等式的解集是． 【对应练习1】（25-26九年级上·河南信阳·期末）二次函数的图象经过点，，点C与点B关于该二次函数图象的对称轴对称，已知一次函数的图象经过A，C两点． (1)求该二次函数的解析式及点C的坐标； (2)根据图象，写出满足不等式的解集：________； (3)当时，该二次函数对应的函数值y的取值范围为________． 【答案】(1)； (2) (3) 【思路引导】本题考查了二次函数解析式的求解、二次函数的对称性、一次函数与二次函数的不等式解集、二次函数在区间上的最值问题，解题的关键是利用待定系数法求函数解析式，结合对称轴求对称点坐标，通过函数图象分析不等式解集，以及根据二次函数的单调性求区间内的函数值范围． （1）用待定系数法，将点、代入二次函数解析式，求出、，得到二次函数解析式；再根据对称轴公式求出对称轴，利用点关于对称轴的对称性求出点的坐标； （2）观察函数图象，找出二次函数图象在一次函数图象下方的的取值范围，即为不等式的解集； （3）先求出二次函数的顶点坐标，判断在区间\[[1，4]\]上的单调性，再计算区间端点及顶点处的函数值，从而确定的取值范围． 【规范解答】（1）解：∵二次函数的图象经过点，， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为， ∵二次函数的对称轴为， 点与点关于对称轴对称， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即 （2）解：由图象可知，当时，二次函数的图象在一次函数的图象下方， 故不等式的解集为． 故答案为：． （3）解：∵二次函数， ∴顶点坐标为， 当时，取得最小值； 当时，； 当时，； ∴当时，函数值的取值范围是． 故答案为：． 【对应练习2】（25-26九年级上·安徽宿州·期末）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且图象经过点，，连接AC． (1)求的值． (2)点D是轴上一动点，过点D作轴，交直线于点，交抛物线于点E，设点D的横坐标为． ①当点D在线段（点D不与点重合）上运动时，过点E作，垂足为F，求周长的最大值及此时点E的坐标． ②当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①的周长的最大值为，此时点的坐标为；②的取值范围为或或 【思路引导】（1）把点，代入，再进一步求解即可. （2）①求出，再利用待定系数法得出直线的解析式为，由题意可得，，，，则，证明为等腰直角三角形，结合对顶角相等得出，从而可得为等腰直角三角形，求出周长为： ，再由二次函数的性质即可得出结果； ②由①可得，，则，结合题意可得，从而得出或，分别求解即可得出结果． 【规范解答】（1）解：∵二次函数的图象经过点，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为. （2）解：①在中，当时，，即， 当时，， 解得：，， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点是轴上一动点，过点作轴，交直线于点，交抛物线于点，设点的横坐标为． ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴周长为： ， ∵， ∴当时，周长的最大值为， 此时， ∴的周长的最大值为，此时点的坐标为； ②由①可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或， 当时，可得：或， 解时，可得：， 综上所述，的取值范围为或或． 【考点剖析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数综合—周长问题，等腰三角形的判定与性质，求一次函数的解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【压轴考点11】一元二次方程的解的估算 【典例精讲】（24-25九年级上·四川成都·期中）根据表格中的数据，判断一元二次方程（a，b，c为常数，）一个解x的范围为（　　） x 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.16 0.59 A． B． C． D．0.6＜x＜0.7 【答案】C 【思路引导】本题考查了一元二次方程的近似根，熟练掌握式子的值在0附近时的x值，是解决此题的关键． 利用表中的对应值得到时，；时，，从而得到x在之间取一数值时，，于是得到一元二次方程（a，b，c为常数，）一个解x的范围． 【规范解答】解：∵时，；时，， ∴当x在之间取一数值时，， ∴一元二次方程（a，b，c为常数，）一个解x的范围为． 故选：C． 【对应练习1】（25-26九年级上·浙江台州·期中）小明用“试根法”探索关于的一元二次方程的解．当的值分别取时，该方程等号左、右两边的整式的值分别如下表所示，则该方程的解为______． 的值 … 0 1 2 3 … 等号左边的值 … 0 2 5 9 … 等号右边的值 … 1 3 5 7 … 【答案】， 【思路引导】通过表格数据，设等式左边与x的关系为，代入对于的数值求出a、b、c的值得出；由表可知，x的值每增加1，等号右边的值增加2，则等式右边与x的关系为，则方程为，然后解方程即可． 【规范解答】解：由表可知， 设等式左边与x的关系为， 则， 解得， ∴； 当时，，符合题意； 由表可知，x的值每增加1，等号右边的值增加2， ∴等式右边与x的关系为 ∴方程为， 化简得， 解方程，． 【对应练习2】（2026·江西·中考真题）如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】由一元二次方程根与系数关系可知两根之和为，结合已知根在0.5与之间，可推知另一根在与之间．再取中点缩小范围，确定另一根更接近． 【规范解答】解：设方程的两个根为，， ，，， 由一元二次方程根与系数关系可知， 已知在0.5与之间， ， 当x在0.5和1之间时， 另一根在与之间， 取， ， 当时，， 在与之间， 到的距离， 到的距离， 到的距离小于到的距离， 与另一根更接近的是． 1．（26-27九年级上·天津河西·开学考试）二次函数的图象如图所示，一元二次方程的根的判别式为，则下列判断正确的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【思路引导】根据抛物线开口方向判断的符号，根据对称轴位置判断的符号，根据与轴交点位置判断的符号，根据与轴交点个数判断的符号． 【规范解答】解：由图象可知，抛物线开口向上， 对称轴在 轴右侧， ， 抛物线与轴交点在轴下方， 抛物线与轴有两个不同的交点， 一元二次方程 有两个不相等的实数根， 综上所述，，，． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．抛物线可以由抛物线平移得到 B．抛物线的顶点坐标为 C．当时，x的取值范围是 D．当时，函数的最大值和最小值分别为和 【答案】C 【思路引导】将抛物线解析式配方化为顶点式，结合二次函数性质逐一判断各选项． 【规范解答】解：对抛物线解析式配方，得， 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 平移不改变二次项系数的符号与大小，该抛物线二次项系数为，与的二次项系数符号不同， 说法错误，不符合题意； 顶点坐标为，与选项中不符， 说法错误，不符合题意； 令，则， 整理得， 因式分解得， 解得，． 抛物线开口向下， 当时，的取值范围是， 说法正确，符合题意； 对称轴在范围内，且抛物线开口向下， 当时，取最大值，与选项中最大值为不符， 说法错误，不符合题意． 3．（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【思路引导】由二次函数定义得，结合图象与轴有交点的条件列不等式求解． 【规范解答】解：∵是二次函数， ∴ ， ∵ 函数图象与轴有交点， ∴ ，即，解得， 综上，的取值范围是且． 4．（26-27九年级上·浙江金华·开学考试）如图，抛物线的部分图象，其顶点坐标为，与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：．其中正确结论的个数是（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】根据抛物线开口方向、对称轴位置及与y轴交点判断a，b，c的符号；利用抛物线的对称性确定时y的符号，结合判断①；利用对称轴公式判断③；利用顶点坐标公式判断④，即可解答． 【规范解答】解：抛物线开口向下， ， 抛物线与轴交于正半轴， ， 对称轴为直线， ，即． ，故②错误． ， ，故③错误． 抛物线与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点在和之间． 当时，，即． ， ，即，故①正确． 抛物线的顶点坐标为， ． ． ，故④正确． 综上所述，正确的结论是①④，共个． 5．（22-23九年级上·云南昭通·期末）直线过点且与轴垂直，若二次函数（其中是自变量）的图象与直线有两个不同的交点，且其对称轴在轴右侧，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】先确定直线l的解析式，再化简二次函数，将交点问题转化为一元二次方程根的问题，利用判别式得到a的范围，再结合对称轴位置确定最终a的取值范围. 【规范解答】解：∵直线过点且与轴垂直， ∴直线的解析式为， ， ∵二次函数图像与直线有两个不同的交点， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∵二次函数对称轴在轴右侧， ∴对称轴， 解得， 综上，的取值范围是. 6．（26-27九年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图，与关于轴对称，且，一条平行于轴的直线与和共有四个交点，从左到右依次记为，当时，则___________． 【答案】3 【思路引导】设点的纵坐标为，先分别求出点的坐标，再根据求出的值，由此即可得． 【规范解答】解：由题意，设点的纵坐标为， 令得：， 解得或， ∴，， ∴， ∵与关于轴对称， ∴点与点关于轴对称，点与点关于轴对称， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．（吉林长春市2026-2027学年九年级上学期学情自测数学试题）已知抛物线过原点，对称轴为直线，与x轴交于、两点，为抛物线上纵坐标相同的两点，是对称轴与x轴交点，连接，结合图像给出下列结论： ①；②轴；③；④；⑤． 其中正确的结论有_____________（填序号） 【答案】①②③ 【思路引导】根据二次函数的图象与性质可依次排除选项，然后问题可求解． 【规范解答】解：根据二次函数的对称性可知：点O、C关于对称轴对称， ∴，即，故①正确； ∵为抛物线上纵坐标相同的两点， ∴轴，故②正确； ∴点A、B关于抛物线的对称轴对称， ∴根据轴对称的性质可知：，故③正确； 由图象可知：当时，则有，故④错误； ∵抛物线过原点， ∴当时，则，故⑤错误； 综上所述：正确的结论有①②③． 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）二次函数的部分图象如图所示，则一元二次方程的解为_______________，当时，x的取值范围是____________． 【答案】 【思路引导】关于x的一元二次方程的解即为二次函数的图象与x轴的交点的横坐标，根据函数图象写出x轴上方部分的x的取值范围即可． 【规范解答】解：根据图象知，抛物线与x轴的一个交点是，对称轴是直线． 设该抛物线与x轴的另一个交点是． 则， 解得， 即该抛物线与x轴的另一个交点是． 所以关于x的一元二次方程的解为． 观察图象可知，当时，x的取值范围是． 9．（21-22九年级下·吉林长春·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线：，若为抛物线上三点，且．则m的取值范围是___________． 【答案】 【思路引导】直接根据给定的函数值大小关系列不等式求解即可． 【规范解答】解：为抛物线上三点， ∴， ， ， 又∵， ∴， 解得： ． 10．（21-22九年级下·浙江宁波·开学考试）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线沿y轴向下平移t个单位，当平移后的抛物线与线段有且只有一个交点时，则t的取值范围是______． 【答案】或 【思路引导】当t向下平移3个单位时，抛物线与线段开始有两个交点，当抛物线向下平移个单位时，抛物线与线段有且只有一个交点，即可求解． 【规范解答】解：如图，当t向下平移3个单位时，抛物线与线段开始有两个交点， 如图，当抛物线向下平移3到4个单位（不含3和4个单位）时，抛物线与有两个交点， 当抛物线向下平移4个单位时，抛物线与线段有且只有一个交点， 综上所述，t的取值范围是或． 11．（26-27九年级上·北京·开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)当时，比较的大小，并说明理由； (2)若抛物线与轴交于两点，且长度大于4，直接写出的取值范围； (3)若，当时，随的增大而减小，且的最大值与最小值的差为，求的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3)的最小值为 【思路引导】（1）根据待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）求抛物线与轴的交点坐标，根据的长度列不等式求解的范围． （3）先求得对称轴为直线，根据抛物线的开口方向，进而求解． 【规范解答】（1）解：∵抛物线经过点和点，且， ∴，， ∴； （2）解：令，则，且， 因式分解得， 解得，， ， ， ，即， 或． （3）解：对称轴为直线， ∵当时，y随x的增大而减小， 当时，抛物线开口向上，要使时，y随x增大而减小， 则对称轴； 当时：抛物线开口向上，对称轴，在时，y随x增大而减小， ∴当时，y有最大值，； 当时，y有最小值，； 则， ∵， ∴当时，h取得最小值， ∴； 12．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知抛物线． (1)求证：此抛物线与x轴必有两个交点； (2)若此抛物线与直线的一个交点在y轴上，求m的值． 【答案】(1) 证明：令，得方程， ∵ ， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∴此抛物线与轴必有两个交点． (2) 的值为或． 【思路引导】（1）计算抛物线对应一元二次方程的判别式，证明其恒大于0即可得证； （2）利用y轴上点的横坐标为0的性质，代入两个函数解析式令函数值相等，列方程求解m． 【规范解答】（1）略 （2）解：∵抛物线与直线的一个交点在轴上， ∴该交点的横坐标为， 将代入抛物线解析式，得， 将代入直线解析式，得， ∴， 整理得， 解得，， 综上所述，的值为或． 13．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图是抛物线，其顶点为，与x轴的交点为（点A在点B的左边）． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)求抛物线与x轴的交点的坐标； (3)在抛物线上是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在满足条件的点P，其坐标为或 【思路引导】（1）根据二次函数顶点式直接将顶点坐标代入即可； （2）根据二次函数与x轴的交点的纵坐标为0，令，解一元二次方程即可； （3）根据平面直角坐标系中点的位置关系求出的面积，从而确定的面积，求出点的纵坐标，将点的纵坐标代入抛物线的解析式中求解即可． 【规范解答】（1）解：将顶点代入中， 得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵点是抛物线与轴的交点， ∴令，则， 解得， ∵点A在点B的左边， ∴点的坐标为，点的坐标为． （3）解：存在，理由如下： 由（2）知，, ∴，则， ∴，解得． ∵点P在抛物线上， ∴， ∴， 由，解得， ∴存在满足条件的点P，其坐标为或． 14．（26-27九年级上·福建福州·开学考试）已知点A，B，P为二次函数图象上三点且满足． (1)若，在函数图象上， A、B是图象与轴交点，此时是等腰直角三角形，求二次函数的解析式； (2)若轴，设点与点的纵坐标之差为，抛物线顶点到的距离为．求证：为定值，并用含的式子写出的取值范围； 【答案】(1)二次函数的解析式为或 (2)设，则， ∵点与点的纵坐标之差为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∵点A，B在抛物线上， ∴为方程的两根， ∴， ∴， 整理得：， ∵， ∴，即为定值1； 的取值范围是． 【思路引导】（1）根据题意可得点A，B关于y轴对称，设点A的坐标为，则点B的坐标为，其中，则，再由，可得点P的坐标为，从而得到，然后根据在函数图象上，即可求解； （2）设，则，，根据，可得，整理得：，再由一元二次方程根与系数的关系，可得，从而得到，即可解答． 【规范解答】（1）解：∵， ∴该函数解析式为， 此时点A，B关于y轴对称， ∴可设点A的坐标为，则点B的坐标为，其中，则， ∵，且是等腰直角三角形， ∴点P在y轴上，且， ∴点P的坐标为， ∴， ∵在函数图象上， ∴，即， ∴该函数解析式为， 若，此时，点， ∴， 解得：或， 当时，，不符合题意； 当时，， 此时该函数解析式为； 若，同理， 此时该函数解析式为； 综上所述，该函数解析式为或； （2）证明略； ∵为定值1， ∴， ∴点P到的距离为， ∵抛物线顶点到的距离为不小于点P到的距离， ∴． 15．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C． (1)求线段的长； (2)若点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点M的横坐标为m，过点M作轴，交直线于点N． ①当线段的长有最大值时，求点M的坐标； ②过点M作交抛物线于点D，是否存在点M使为等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①；②或 【思路引导】（1）由抛物线的对称轴是直线，解出a的值，即可求得抛物线解析式，再令y值为零，解一元二次方程即可求出A和B的坐标，进而可得到答案； （2）①易求点C的坐标为，则可得直线的解析式；点M的坐标为，点N的坐标为，表示出的长，利用二次函数的性质求解即可；②由得中，，则，分点M在对称轴右侧和点M在对称轴左侧，根据得出关于m的方程，从而求解． 【规范解答】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ， 解得， ∴抛物线的解析式为． 令，则， 解得，， ，， ；                         （2）解：①由（1）知抛物线的解析式为， 在中，当时，， ∴； 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 由题意知点M的坐标为，点N的坐标为， ， ∵， ∴当时，线段的长有最大值， 此时， ∴点M的坐标为；                    ②， ， ∵为等腰直角三角形， ∴， 当点M在对称轴右侧，即时，如图1所示， 由题意，得， 由（2）①得， ， 解得或（舍去）； 当点M在对称轴左侧，即时，如图2所示， 由题意得，， ， 解得或（舍去）， 综上所述，m的值为或．                  第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年人教版数学九年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题四二次函数与一元二次方程 【思维导图+十一大考点讲练+优选题训练共48题〔原卷版〕】 录 目 【专题复习 思维导图指引】 2 【压轴考向一抛物线与x轴、y轴交点问题】 2 二【压轴考点1】求抛物线与×辅的交点坐标★女女 ….2 ②二【压销考点02】求抛物线与y轴的交点坐标★★女 ..4 ,【压轴考点03】已知二次函数的函数值求自变量的值★★★★ 5 ,【压轴考点04】抛物线与×轴的交点问题★★★ 【压轴考向二图像法解一元二次方程】 【压轴考点05】根据二次函数图象确定相应方程根的情况★★★★ 8 【压轴考点06】求X轴与抛物线的截线长★★★★..9 【压轴考点07】图象法确定一元二次方程的近似根★★★★ 10 【压轴考向三图像法解不等式】 【压轴考点08】图象法解一元二次不等式★★★ .11 ,【压轴考点09】利用不等式求自变量或函数值的范围★★★★ .13 【压轴考点10】根据交点确定不等式的解集★★★★ ...14 【压轴考点11】一元二次方程的解的估算食★食★ .15 【压轴题专项训练优选题15题思维拓展练习】 .16 第1页共20页 【专题复习思维导图指引】 挑战压轴题专题四《二次函数与一元二次方程》思维导图 一、二次函数的定义 四、一元二次方程 五、一元二次方程的根与判别式 地。形知y=ar+b+e(a≠0)的函数，叫二次函数 1定义 1.求报公式（份-4c20) 其中a,b、c是常数，a是二次项项系数，日0， 只含一个来知数，并且未如数的最高次数是2 二、二次函数的图象与性质 的整式方程。叫做一元二次方程. y=r+br+c(a≠0)的因象是抛物线 之-般形式：a3+b+e=0(a≠0) 当a>0当a<0 2.判别式△mb2-4ae 开口方向 向上 向下 4>0 A=0 4<0 顶点坐标 (b 4ac-b 夏反过来，由一元二次方程的根的情况， 根的情况 有两个不相等 有两个相等 2a'Aa 的实鼓根 的实数根 没有实数根 也可以瑞定相应二次卧数的图象与x袖 对称 -品 的公共点的情况。 物线 与x轴有两个 与x给有一个 与x轴 ·有两个不相等的实数根的与x地有两 与x轴的关系 交点顶直在x轴上)没有交点 增减妇 对称轴：=一2品 在对称左侧 不间交点 个不同的交点： ·有两个相等的实数根÷与x袖有一个 交点（顾点在x轴上）； 三、二次函数与一元二次方程的关系 ·没有实数根的与x轴没有交点。 六、二次函数的解析式的确定方法 抛物线y=r+r+与r轴的交点的损坐标，就是一元二次方程am++c=0的 1一极式：已知函数与y轴的交点，或已知三点标，可设y=r+bx+ 代入求解（一般需已知三点）， 二次函数 2顶点式：已知项点坐标（体，），可设y=a(x-+k(a≠0). 与 3.交点武：已知与x轴两交点(1,0)，(x.0),可设y=a(x-x)(x-)《a0) y=ar+b+ec与x轴 没有交点 元二次方程 方程有两个不相等的实数根 方程有际个相等的实数根 方程投有实数根 ax+ox+c=0 八、解决二次函数与一元二次方程综合问题的步骤 压轴题解题总技巧 七、压轴题常见类型与解题技巧类型二：极的存在性同 ·数形结合：利用图象直观理解 类型三：最值问籍 ①审题：阅使月。明确已如条件与所求同景 函数与方程的关系 已知一元二次方程履的取值效围，求卷 求二次通飘在始定区间院条特下的器大 ②建楼：根据眼电，建立二次函敏楼型或一元二次方程 。分类讨论：根据根的情况、开 数的取值范围酸最值 口方 动点位置等分黄讨 ed 数关系成方程。解决行程、围。 求解：利用图象性质、公式别式求解： 别式△之自候有实数 ·转化思想：将复杂问题转化为 Q)根与系数的关系：若方程+缸+0 (2)根据开口方向确定最值 可验证：检验根的合理性，特别是在实际问题中 求根、最值或求参歇范国， 国作若：总结结论，注意单位与实湖题义 ·逆向思维：根据结论反推出察 )顶成不在给定区内，值 件，灵活运用判别式与根的关系 3》想理根的范国构建不苦式，果松粒 的情足 范国战燕值 常用公式与结论汇总 1.对称轴：x=- 5根与系数关系： 【压轴考向一抛物线与x轴、y轴交点问题】 【压轴考点01】求抛物线与x轴的交点坐标★★★ 【典例精讲】(26-27九年级上北京，开学考试)已知二次函数y=x2+2x-3. -5-4-3-2-10 1 2345x 第2页共20页 (1)将y=x2+2x-3化成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式，并写出其图象的顶点坐标： (2)将y=x2+2x-3化成y=a(x-x1)(x-x2)的形式，并写出此函数图象与x轴交点的坐标： (3)在平面直角坐标系x0y中，画出当-4≤x<1时此函数的图象. 【对应练习1】(26-27九年级上.全国.课后作业)已知二次函数y=x2-2x-3. (1)画出这个函数的图象， (2)观察图象，直接写出图象与x轴的交点坐标. (3)当x取何值时，y=0?这里x的取值与方程x2-2x-3=0有什么关系？ 【对应练习2】(2627九年级上全国.课后作业)如图，抛物线y=(x-2)2-1与x轴交于点A,C（点 A在点C的左边)，与y轴交于点B.在抛物线的对称轴上是否存在一点N,使△ABN是以AB为斜边的直角 三角形？若存在，求出点N的坐标：若不存在，请说明理由。 第3页共20页 【压轴考点02】求抛物线与y轴的交点坐标★★★ 【典例精讲】(2026江苏无锡.中考真题)如图，二次函数y=ax2+bx+c(a>0)与一次函数y=mx+ n的图象交于A,B两点，已知点A(-3,-1),点B在y轴上，则不等式ax2+bx-mx≤0的解集是() y=ax2+bx+c y=mx+n A.x≤-3或x≥0 B.x≤-1或x≥0 C.-3≤x≤0 D.-1≤x≤0 【对应练习1】已知二次函数的关系式为y=-号x2+x+2。 (1)设二次函数与x轴的交点为A、B(A在B左边)，与y轴的交点为C:直接写出A、B、C的坐标： (2)直接写出该二次函数的顶点坐标： (3)画出该二次函数的大致图象（不要求列表），并根据图象回答下列问题： ①直线BC的关系式)=-号x+2,则不等式-号x2+x+2>-号x+2的解集是 ②设点M(x1,y1),(x2,y2)在二次函数图象上，且点MN到对称轴的距离分别为d1、d2用“<"或“>"填 空：若x1<x2<1,则y1y2:若d1>d2,则y1y2 【对应练习2】(26-27九年级上.全国周测)如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1,与x轴 分别交于点(m,0),(m,0),且m<n.下列结论：①abc<0;②at2+bt<a+b(t为实数)：③当 x<2时，y随x的增大而增大；④若方程ax2+bx+c-1=0的两个实数根分别为x1,x2,且x1<x2, 则m<x1<x2<n,正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第4页共20页 【压轴考点03】已知二次函数的函数值求自变量的值★★★★ 【典例精讲】如图，抛物线y=Qx2+bx-3与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,已知OB=OC=30A. 公 ID (1)求该抛物线的函数表达式和对称轴. (2)将点A向上平移m个单位得到点A1,将A1向左平移n个单位得到A2,将A1向右平移5n个单位得到A3,已 知A2和A3均在抛物线上，求m和n的值. 【对应练习1】(25-26九年级上河北邢台阶段检测)已知抛物线y=x2-6x+c与x轴的交点分别为 A(1,0),B(x2,0) (1)求一元二次方程x2-6x+c=0的两个根： (2)设抛物线与y轴交于点C,作CDⅡx轴交抛物线于点D,求线段CD的长： (3)若点P(-2,p),Q(8,q)在抛物线上，你能比较出p和q的大小吗？若能，请比较出大小；若不能，请说明 理由. 第5页共20页 【对应练习2】(25-26九年级上湖北恩施期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-bx+c 与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B(O,-3),连接AB,若点P是直线AB下方抛物线上一动点，其横坐标为 m. 备用图 (1)求该抛物线的解析式： (2)是否存在点P,使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理 由； (3)设该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点P)的部分的最高点和最低点到x轴的距离分别为d,n,设 F=d-n. ①直接写出F关于m的函数解析式； ②当F=-1时，直接写出m的取值范围. 第6页共20页 【压轴考点04】抛物线与x轴的交点问题★★★ 【典例精讲】(26-27九年级上北京海淀开学考试)如图，直线y1=mx+n与抛物线y2=ax2+bx+c 相交于点A(3,0),B(-2,5).下面四个结论： ①m<0: ②当-2<x<3时，ax2+bx+c<mx+n: ③方程ax2+bx+c=0的解为x1=-2,x2=3: ④当x<时，函数值y2随着x的增大而减小. 其中所有正确结论的序号是 【对应练习1】(2026四川巴中.中考真题)关于二次函数y=x2-x,下列说法正确的个数是() ①它的图象经过第一、二、三象限： ②当x>3时，y随x的增大而增大： ③它的图象可由y=1x2向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到： ④直线y=kx+1(k为常数)与它的图象一定有两个交点， A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【对应练习2】如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，其顶点为(1，n),且与x轴的一个交点在点(3,0)和 (4,0)之间，则下列结论正确的有() ①若抛物线与x轴的另一个交点为(k,0),则-2<k<-1;②c-a=n;③若x<m时，y随x的增大而 增大，则m=1;④若x<0时，ax2+(b+2)x<0. 第7页共20页 (1,n) 111111111 2-10124方主 x=1 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【压轴考向二图像法解一元二次方程】 【压轴考点05】根据二次函数图象确定相应方程根的情况★★★★ 【典例精讲】(25-26九年级上福建宁德阶段检测)已知二次函数y=ax2+bx+c,函数y与自变量x的 部分对应值如表， X -1 0 1 2 y 6 1 6 根据表格中的信息，得到如下结论： ①二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上： ②求该二次函数的表达式时，可设y=a(x+1)2+7: ③关于x的一元二次方程ax2+bx+c=6的两个根为0或2： ④若y>3,则-1<x<3. 以上结论正确的是 【对应练习1】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(1，n),且与x轴的一个交点在 (3,0),(4,0)之间，则有结论：①a-b+c>0;②3a+b=0;③b2=4a(c-n)；④一元二次方程ax2+ bx+c=n-1有两个不相等的实数根.上述结论正确的有() 1,n) 2-102345 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 第8页共20页 【对应练习2】(2026黑龙江绥化中考真题)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，顶点坐 标为(-2,5)，与x轴交于A(m,0),B两点，其中2<m<3.则下列结论： (-2,5) 6 3 -6-5-4-32-191234x -2 3 -4 ①2<0②b+4a=0③a-b+3c>0④-品<a<-方程a2+b+k2)x+c+2=0(k为常数) 有实数根， 其中正确的个数有() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 。二【压轴考点061求×轴与抛物线的截线长★★★★ 【典例精讲】(25-26九年级上山东烟台期末)老师出示了小黑板的题目后，同学们踊跃回答.甲说： 过点(3,0)：乙说：过点(4,3)：丙说：Q=1;丁说：抛物线被x轴截得的线段长为2.这四个人的回答中， 正确的有() 已知抛物线y=ax2+bx+3 与x轴交于(1,0)，请再添 加一个条件，由此条件 可得到抛物线对称轴为 直线x=2. A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 【对应练习1】(25-26九年级上河南周口.阶段检测)已知二次函数y=x2-mx+m-2. (1)求证：无论取何实数，该二次函数的图象与x轴总有两个公共点： (2)若该二次函数的图象与x轴的两个交点分别为A(x1,0)、B(x2,0),且x3+x3=10,求m的值： (3)若该二次函数的图象与y轴交于点C,与x轴交于A、B两点，当△ABC的面积为2时，求的值. 第9页共20页 【对应练习2】(25-26九年级上湖南长沙阶段检测)定义：我们规定二次函数y=ax2+bx+c(a≠ 0且b≠c)与y=ax2+cx+b(a≠0且b≠c)互为“交叉函数”，它们的交点叫做“交叉点” (1)求证：互为“交叉函数”的两个二次函数有且只有一个“交叉点”. 2)二次函数y=x2+bx+c与它的“交叉函数"y=x2+cx+b与y轴分别交于B、C两点，它们的“交叉 点”为A点，若△ABC是以BC为底边的等腰直角三角形，求这两个函数的解析式. (3)二次函数y=x2+bx+c与它的“交叉函数”y=x2+cx+b交x轴于不同的四点，且四个交点中任意相邻 两点间的距离相等，若一次函数y=kx一3k与它们两个二次函数共有3个不同的交点，求k的值或者范 围. 【压轴考点07】图象法确定一元二次方程的近似根★★★★ 【典例精讲】(25-26九年级上广东潮州·期末)如图，点A(2.26,-0.32),B(2.56,0.41)在二次函数y= ax2+bx+c(a≠0)的图象上，则方程ax2+bx+c=0的一个根的近似值可能是() 3 2 B -2-10八 2434 -1 A.2.67 B.2.56 C.2.39 D.2.26 第10页共20页 【对应练习1】(2025九年级上河北保定.专题练习)根据下列表格的对应值： X 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2 +bx -0.06 -0.02 0.03 0.09 +c 判断方程ax2+bx+c=0.05(a≠0，a,b,c为常数)的一个解x的取值范围是() A.3.23<x<3.24 B.3.24<x<3.25 C.3.25<x<3.26 D.x>3.26 【对应练习2】(2024-湖北武汉.模拟预测)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，且a≠0)经过 点(m+1,m)和(2-m,n),有如下结论：①抛物线对称轴为x-三：②abc>0:③若(3，y1),(4,y2)两点在 拋抛物线上，且y1y2<0,则方程ax2+bx+c=0有一根满足-1<x1<0:④过点(2，c-2a)与抛物线有 且只有一个公共点的直线有两条，其中正确的结论有 (填正确结论的序号)· 【压轴考向三图像法解不等式】 【压轴考点08】图象法解一元二次不等式★★★ 【典例精讲】(2022山东枣庄模拟预测)如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，图象过点 A(3,0),二次函数的对称轴为x=1,给出下列结论：①b2>4ac;②abc<0;③2a+b=0;④a+ b+c=0:⑤当-1<x<3时，y<0,其中正确的结论有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【对应练习1】如图，己知二次函数y1=-x2+2x的图象与正比例函数y2=kx交于点A(3,》,与x轴 交于点B,当y2>y1>0时，自变量x的取值范围是 第11页共20页 【对应练习2】(25-26九年级下河南商丘·阶段检测)数形结合是一种重要的数学思想，在中学有着极 为广泛的应用，很多复杂的问题结合图形能够快速直观得到结论。在中学阶段，一元二次函数、一元二次 方程和一元二次不等式简称为“三个二次”，它们之间有着密切的联系，其中一元二次函数居于核心地位， 利用一元二次函数的图象能够很方便地解决很多一元二次方程和一元二次不等式问题。 【特例感知】 如解不等式x2一x-6>0,我们构造函数y=x2-x-6,作出它的图象，易得它与x轴的两个交点分别 为(-2,0)和(3,0)，结合图象易得不等式x2-x-6>0的解集为x>3或x<-2,同时易知函数与x轴交点 的横坐标-2和3为方程x2一x-6=0的两个根， 【理解运用】 结合上述知识请解决下面的问题： A 2 (1)不等式-x2+2x+3≥0的解集为_： (2)对任意实数b,关于x的一元二次方程x=ax2+(b+1)x+(b-1)恒有两个不等的实数根，求实数a的 取值范围， 第12页共20页 【压轴考点09】利用不等式求自变量或函数值的范围★★★★ 【典例精讲】(25-26八年级下.北京海淀.期末)已知，二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数， a≠0)的y与x的部分对应值如表： 1 0 (1)求二次函数的解析式. (2)当-1<x<2时，y的取值范围是_；当y≥0时，x的取值范围是_· 【对应练习1】如图，若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴为直线x=1,与y轴交于点 C,与x轴交于点A、点B(-1,0),则：①二次函数的最大值为a+b+c;②a-b+c<0;③b2-4ac> 0:④当y>0时，-1<x<3:其中正确的个数是() -10 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【对应练习2】(26-27九年级上北京海淀·开学考试)在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=ax2- 4ax+3a(a≠O)与x轴交于A,B两点，已知M(x1,y1),N(x2,y2)是该抛物线上任意两点. (1)当a=1时， ①求抛物线的对称轴： ②若x1+x2=5,且x1<x2,直接写出y1和y2的大小关系： (2)记△ABM的面积为S,若对于任意1≤x1≤4，都有S≤2，求a的取值范围. 第13页共20页 【压轴考点10】根据交点确定不等式的解集★★★★ 【典例精讲】(2026九年级上全国.专题练习)如图，抛物线y=Qx2与直线y=bx+c的两个交点坐标 分别为A(-3,4),B(1,1),则不等式ax2≤bx+c的解集是 【对应练习1】(25-26九年级上河南信阳·期末)二次函数y=x2+bx+c的图象经过 点A(1,0),B(0,3),点C与点B关于该二次函数图象的对称轴对称，己知一次函数y=mx+n的图象经过 A,C两点. B O八A (1)求该二次函数的解析式及点C的坐标： (2)根据图象，写出满足不等式x2+bx+c<mx+n的解集： (3)当1≤x≤4时，该二次函数对应的函数值y的取值范围为 第14页共20页 【对应练习2】(25-26九年级上安徽宿州·期末)如图，二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点 A,B,与y轴交于点C,且图象经过点(-1,6)，(2，-6)，连接AC. E M B D (1)求a,b的值. (2)点D是x轴上一动点，过点D作DMIly轴，交直线AC于点M,交抛物线于点E,设点D的横坐标为m. ①当点D在线段AO(点D不与点A,O重合)上运动时，过点E作EF⊥AC,垂足为F,求△MEF周长的 最大值及此时点E的坐标 ②当ME>3时，直接写出m的取值范围。 【压轴考点11】一元二次方程的解的估算★★★★ 【典例精讲】(24-25九年级上四川成都-期中)根据表格中的数据，判断一元二次方程ax2+bx+c=0 (a,b,c为常数，a≠0)一个解x的范围为( 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 ax2+bx -1.01 -0.64 -0.25 0.16 0.59 +c A. 0.3<x<0.4 B.0.4<x<0.5 C.0.5<x<0.6 D.0.6<x<0.7 第15页共20页 【对应练习1】(25-26九年级上浙江台州期中)小明用“试根法”探索关于x的一元二次方程的解。当x 的值分别取0,1,2,3时，该方程等号左、右两边的整式的值分别如下表所示，则该方程的解为 x的值 0 1 2 3 等号左边的值 0 2 5 9 等号右边的值 3 5 【对应练习2】(2026江西.中考真题)如图，观察函数y=x2+3x-3的图象，可以发现方程x2+ 3x-3=0在0,1之间有根.取0,1的平均数0.5，当x=0.5时，y<0,进一步可知这个根在0.5和1 之间，则与方程x2+3x-3=0另一根更接近的是() A.-4.5 B.-4 C.-3.5 D.-3 【压轴题专项训练优选题15题思维拓展练习】 1.(26-27九年级上·天津河西·开学考试)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，一元二次方程ax2+ bx+c=0的根的判别式为△=b2-4ac,则下列判断正确的是() A.b>0,c<0,△>0 B.b>0,c>0,△>0 C.b<0,c<0,△>0 D.b<0,c>0,△<0 第16页共20页 2.(26-27九年级上·全国·课后作业)对于抛物线y=-x2-2x+3,下列说法正确的是（) A.抛物线y=-x2-2x+3可以由抛物线y=x2平移得到 B.抛物线y=-x2-2x+3的顶点坐标为(-1,3) C.当y≥-5时，x的取值范围是-4≤x≤2 D.当-2≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为3和-21 3.(25-26九年级上陕西安康期中)已知二次函数y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点，则k的取值范围 是() A.k>-子 B.k>-且k≠0 c.k≥- D.k之-且k≠0 4.(26-27九年级上浙江金华.开学考试)如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标 为(1，n),与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间，则下列结论：①-b+c>0;②abc>0;③3a+b= 0;④b2=4a(c-n).其中正确结论的个数是() (1,n) -2-10 12345 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.直线过点(0,5)且与y轴垂直，若二次函数y=(x-a)+(x-2a)2+(x-3a)2-2a2+a(其中x是自 变量)的图象与直线有两个不同的交点，且其对称轴在y轴右侧，则α的取值范围是() A.a>5 B.a>0 C.0<a≤5 D.0<a<5 6.(26-27九年级上辽宁鞍山开学考试)如图，y1与y2关于y轴对称，且y1=(x+1)(x<0),一条平行 于x轴的直线与y1和y2共有四个交点，从左到右依次记为A、B、C、D,当AB=BC=CD时，则 AD= 第17页共20页 7.(吉林长春市2026-2027学年九年级上学期学情自测数学试题)己知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)过 原点O(0,0),对称轴为直线x=m,与x轴交于O、C两点，A、B为抛物线上纵坐标相同的两点，D是对称 轴与x轴交点，连接AD,结合图像给出下列结论： ①0C=20D:②ABIx轴：③AD=BD:④am2+bm+c>0;⑤c>0. 其中正确的结论有 (填序号) 8.(26-27九年级上全国.课后作业)二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则一元二次方程 ax2+bx+c=0的解为 当y>0时，x的取值范围是 9.(21-22九年级下·吉林长春阶段检测)在平面直角坐标系中，已知抛物线：y=x2-mx+m,若 A(m-2,y1),B(m,y2),C(m+4,y3)为抛物线上三点，且y>y1>y2·则m的取值范围是 10.(21-22九年级下.浙江宁波开学考试)如图，抛物线y=一x2+2x+3与x轴交于A,B两点（点A 在点B的左侧)，与y轴交于点C.将抛物线沿y轴向下平移t个单位，当平移后的抛物线与线段OB有且 只有一个交点时，则t的取值范围是 第18页共20页 11.（26-27九年级上·北京开学考试)在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=ax2-2a2x(a≠0)经过点 A(-1,m)和点B(3,n). (1)当a=1时，比较m,n的大小，并说明理由： (2)若抛物线y=ax2-2a2x(a≠0)与x轴交于C,D两点，且CD长度大于4，直接写出a的取值范围： (3)若a>0,当-1≤x≤3时，y随x的增大而减小，且y的最大值与最小值的差为h,求h的最小值. 12.(26-27九年级上.全国.单元复习)已知抛物线y=x2-(2m-1)x+m2-m. (1)求证：此抛物线与x轴必有两个交点： (2)若此抛物线与直线y=x-3m+4的一个交点在y轴上，求m的值. 13.（26-27九年级上·全国课后作业)如图是抛物线y=(x+m)2+k,其顶点为M(1,-4),与x轴的交 点为A,B(点A在点B的左边)· M (1)直接写出抛物线的解析式： (2)求抛物线与x轴的交点A,B的坐标： (3)左抛物线上是否存在点P,使S△PB=S△MAB?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 第19页共20页 14.(26-27九年级上·福建福州·开学考试)己知点A,B,P为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象上三 点且满足∠APB=90°. (1)若b=0,(2,3)在函数图象上，A、B是图象与x轴交点，此时△ABP是等腰直角三角形，求二次函数的 解析式： (2)若ABlx轴，设点A与点P的纵坐标之差y4-yp=m为，抛物线顶点到AB的距离为n.求证：am为定值， 并用含a的式子写出n的取值范围； 15.(26-27九年级上·全国单元复习)如图，己知抛物线y=Qx2+)x+4的对称轴是直线x=3,与x轴 相交于A,B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C. VA /03 (1)求线段AB的长： (2)若点M是抛物线上B,C两点之间的一个动点（不与点B,C重合），设点M的横坐标为，过点M 作MNIy轴，交直线BC于点N. ①当线段MW的长有最大值时，求点M的坐标； ②过点M作DM L MN交抛物线于点D,是否存在点M使△DMN为等腰直角三角形？若存在，求出m的 值；若不存在，说明理由， 第20页共20页null