3.2 从有理数到实数 同步测试 2026-2027学年 浙教版数学七年级上册

**基本信息** 以“概念理解-运算应用-综合探究”为梯度，覆盖实数分类、无理数识别、数轴对应等核心知识点，通过基础题巩固概念，提升题强化运算，拓展题培养推理与应用意识，适配课时教学目标。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|实数分类、大小比较、基本概念|选择题1-4题直接考查数的大小比较与分类，填空题9-10题强化简单运算，培养数感与抽象能力| |提升层|无理数识别、数轴应用、性质辨析|选择题5-8题辨析概念（如实数与数轴对应），解答16-19题综合分类与估算，发展运算能力与推理意识| |拓展层|实际应用、探究推理、综合建模|解答21-24题结合正方形面积、数值转换器等情境，需建模与推理，提升应用意识与创新意识|

3.2 从有理数到实数 同步测试 一、选择题（每题2分，共16分） 1．实数2，0，-3，-中，最小的数是（　　） A．-3 B．- C．2 D．0 2．已知a，b是两个连续整数，ab，则a，b分别是（　　） A．2，3 B．3，4 C．4，5 D．5，6 3．关于的叙述正确的是（　　） A．在数轴上不存在表示的点 B． C． D．与最接近的整数是3 4．现有4个数：-3.5，，，-22，其中在-3和4之间的有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 5．下列大小关系判断正确的是（　　） A． B． C． D． 6．下列说法中，正确的个数有（　　） ①有理数与数轴上的点一一对应；②盈利5万元与亏损3万元是一对具有相反意义的量； ③算术平方根等于本身的数是1，0；④在1和3之间的无理数有且只有，，，这4个. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．下列说法：①正整数和负整数统称为整数；②绝对值是它本身的数只有0；③异号两数相加的和一定小于每一个加数；④如果两个数积为0，那么至少有一个因数为0；⑤数轴上表示互为相反数的点位于原点的两侧；⑥面积为2的正方形的边长是无理数；⑦0除以任何数都得0；其中正确的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．下列说法中：①0是最小的的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；④非负数就是正数；⑤ 是有理数；⑥平方等于它本身的数有±1；⑦无限小数都不是有理数；⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数.其中错误的说法的个数为（　　） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 二、填空题（每空2分，共20分） 9．比较大小：　 　2.5；　 　.（填“＞”、“＜”或者“＝”） 10．大于且小于π的所有整数和是 　 　． 11．下列说法：①任何无理数都是无限不循环小数；②实数与数轴上的点一一对应；③在1和3之间的无理数有且只有这4个；④近似数1.50所表示的准确数的取值范围是；⑤a、b互为相反数，则．其中正确的是　 　．(填写序号) 12．有一个数值转换器，原理如图：当输入x为81时，输出的y的值是　 　. 13．点A，B在数轴上，以AB为边作正方形，该正方形的面积是7．若点A对应的数是－2，则点B对应的数是　 　． 14．如图，数轴上与1、两个实数对应的点分别为A、B，点C与点B关于点A对称（即），则点C表示的数是　 　. 15．课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数：其中，甲同学说“”，乙同学说“”，丙同学说“” （1）甲、乙、丙三位同学中，说错的是　 　. （2）请将老师所给的数字按要求填入横线内： 整数：　 　； 负分数：　 　. 三、解答题（共9题，共84分） 16．把下列各数分类：-3，0.45，，0，，-1，，，3.1010010001…（两个“1”之间依次多一个“0”），10，-3.14. （1）正整数：{ }； （2）负整数：{ }； （3）整数：{ }； （4）分数：{ }； （5）无理数：{ }； （6）实数：{ }. 17． （1）将下列各数表示在数轴上：（无理数近似表示在数轴上） （2）将上列各数按从小到大的顺序排列，并用“<”连接. 18．已知2a-1的算术平方根是3，3a+b-1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+2b-c的平方根. 19．（【细解】初中数学鲁教版七年级上册第四章实数1无理数）为了加固一个高2 m，宽1 m的大门，需要在对；角线位置加固一条木板，设木板的长为am，a的值大约是多少？这个值可能是分数吗？ 20．阅读材料，回答问题. 下框中是小马同学的作业，老师看了后，找来小马. 问道：“小马同学，你标在数轴上的两个点对应题中两个无理数，是吗？” 小马点点头. 老师又说：“你这两个无理数对应的点找得非常准确，遗憾的是没有完成全部解答.” 请把实数|﹣|，﹣π，﹣4，，2表示在数轴上，并比较它们的大小（用＜号连接）. 解： 请你帮小马同学将上面的作业做完. 21．如图，长方形内有两个相邻的正方形面积分别为11和16 . （1）小正方形边长的值在　 　和　 　这两个连续整数之间. （2）请求出图中阴影部分的面积. 22．有一个数值转换器，原理如图： （1）当输入的x为81时.输出的y是多少？ （2）是否存在输入有效的x值后，始终输不出y值？如果存在.请写出所有满足要求的的值；如果不存在，请说明理由； （3）小明输入数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行”，请你推算输入的数据可能是什么情况？ （4）若输出的y是，试判断输入的x值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个. 23．阅读下面文字，然后回答问题． 给出定义：一个实数的整数部分是不大于这个数的最大数，这个实数的小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：2.4的整数部分为2，小数部分为 ； 的整数部分为1，小数部分可用 表示；再如，﹣2.6的整数部分为﹣3，小数部分为 ．由此我们得到一个真命题：如果 ，其中 是整数，且 ，那么 ， ． （1）如果 ，其中 是整数，且 ，那么 　 　， 　 　； （2）如果 ，其中 是整数，且 ，那么 　 　， 　 　； （3）已知 ，其中m是整数，且 ，求 的值； 24．如图两个网格都是由16个边长为1的小正方形组成. （1）图①中的阴影正方形的顶点在网格的格点上，这个阴影正方形的面积为　 　，若这个正方形的边长为a，则a=　 　； （2）请在图②中画出面积是5的正方形，使它的顶点在网格的格点上，若这个正方形的边长为b，则b= ； （3）请你利用以上结论，在图③的数轴上表示实数a，b和-a，-b，并将它们用“＜”号连接. 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解：∵-3＜-＜0＜2 故答案为：A. 【分析】根据正数大于0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小，可得答案. 2．【答案】A 【解析】【解答】解：∵9＜11＜16， ∴3 4， ∴2 1＜3， ∵a，b是两个连续整数，a b， ∴a＝2，b＝3， 故选：A． 【分析】利用估算无理数的大小，可知3 4，由此可得到2 1＜3，即可得到a，b的值. 3．【答案】D 【解析】【解答】解：A、∵实数与数轴上的点是一一对应关系， ∴任意一个实数都可以用数轴上的点表示，故选项A错误； B、∵，，，， ∴∴，故选项B错误； C、∵，＜0， ∴，故选项C错误； D、∵ ∴与最接近的整数是3，故选项D正确. 故答案为：D. 【分析】根据数轴上的点与实数是一一对应关系，可判断A；分别估算出、、的大小即可判断B、D；根据正数大于负数，可判断C. 4．【答案】B 【解析】【解答】解：∵， ∴和在-3和4之间. 故答案为：B. 【分析】根据估算无理数大小的方法可得1<<2，然后根据实数比较大小的方法比较出各数的大小，据此解答. 5．【答案】C 【解析】【解答】解： ，故A不符合题意； ， ， ，故B不符合题意； ， ， ，故C符合题意； ， ， ， ，故D不符合题意. 故答案为：C. 【分析】首先根据绝对值的性质、相反数的概念、有理数的乘方运算法则将需要化简的数分别化简，进而根据正数大于0，正数大于负数，两个负数，绝对值大的反而小，即可分别判断得出答案. 6．【答案】C 【解析】【解答】解：①实数与数轴上的点一一对应，因此①不正确； ②盈利5万元与亏损3万元是一对具有相反意义的量，因此②正确； ③算术平方根等于本身的数是1，0，因此③正确； ④在1和3之间的无理数有无数个，因此④不正确； 综上所述，正确的有：②③，共2个， 故答案为：C. 【分析】有理数与无理数统称实数，实数与数轴上的点一一对应，据此判断①；所谓相反意义的量，就是属性相同，但表示的意义相反，据此可判断②；一个正数的正的平方根就是这个正数的算术平方根，0的算术平方根是0，据此判断③；无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有四类：①开方开不尽的数，②与π有关的数，③规律性的数，如0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④锐角三角函数，如sin60°等，据此可判断④. 7．【答案】A 【解析】【解答】解：①正整数、负整数、0统称为整数，故①错误，不符合题意； ②绝对值是它本身的数有正数和0，故②错误，不符合题意； ③异号两数相加的和不一定小于每一个加数，故③错误，不符合题意； ④如果两个数积为0，那么至少有一个因数为0，故④正确，符合题意； ⑤数轴上表示互为相反数的点位于原点的两侧除外），故⑤错误，不符合题意； ⑥面积为2的正方形的边长是无理数，故⑥正确，符合题意； ⑦0除以任何非零的数都得0，故⑦错误，不符合题意； 正确的只有：④⑥，共两个， 故答案为：A． 【分析】根据整数的分类，绝对值，有理数的加法法则及乘法法则，相反数的意义，无理数及有理数的除法法则分别进行判断即可. 8．【答案】A 【解析】【解答】解：①没有最小的整数，故①错误；②有理数包括正数、0和负数，故②错误；③正整数、负整数、0、正分数、负分数统称为有理数，故③错误；④非负数就是正数和0，故④错误；⑤ 是无理数，故⑤错误；⑥平方等于它本身的数有1和0；故⑥错误；⑦无限循环小数是有理数，故⑦错误；⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，故⑧正确的. 故其中错误的说法的个数为7个. 故答案为：A. 【分析】有理数按定义分为整数和分数；有理数还可分为正有理数、负有理数和零；整数又分为正整数、负整数和零；分数分为正分数和负分数，有限小数都可化为分数；根据分类标准分别判断. 没有最小的整数，没有最小的正数，也没有最大的负数，非负数包括正数和0，无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数. 9．【答案】＜；＜ 【解析】【解答】解： ∴； ， ∴ 故答案为＜，＜. 【分析】给、2.5分别立方，对、分别进行平方，然后比较即可. 10．【答案】5 【解析】【解答】解：大于 且小于π的所有整数有：-1，0，1，2，3， 则大于 且小于π的所有整数和是：-1+0+1+2+3＝5． 故答案为：5． 【分析】由于故，而，所以大于 且小于π的所有整数就是大于-2又小于4的所有整数，据此不难得出答案. 11．【答案】①② 【解析】【解答】解：①任何无理数都是无限不循环小数，说法正确； ②实数与数轴上的点一一对应，说法正确； ③在1和3之间的无理数有无数个，原说法错误； ④近似数1.50所表示的准确数的取值范围是，原说法错误； ⑤a、b互为相反数，当时，无意义，原说法错误； 综上，正确的是：①②. 故答案为：①②. 【分析】无理数是无限不循环小数，据此判断①；实数与数轴上的点一一对应，据此判断②；在1和3之间的无理数有无数个，据此判断③；根据四舍五入法可判断④；当a=b=0时，无意义，据此判断⑤. 12．【答案】 【解析】【解答】解：当x=81时，第一次运算 ，因为9是有理数， 所以第二次运算 ，因为3是有理数， 所以第三次运算 ，因为 是无理数，所以输出 故答案为： . 【分析】由程序图可得：第一次运算结果为9，第二次运算结果为3，第三次运算结果为，且为无理数，据此可得输出的y的值. 13．【答案】 【解析】【解答】解：∵正方形的面积是7， ∴AB＝ 设B点表示的数为x， ∵点A对应的数是−2， ∴x＋2＝， 解得x＝ ， ∴点B对应的数是 . 故答案为： . 【分析】先根据正方形的面积等于边长的平方，反之边长就是面积的算术平方根求出AB的长，再设B点表示的数为x，根据数轴上两点间的距离公式求出x的值即可． 14．【答案】 【解析】【解答】解：由题意得， ∵点A表示的数为1， ∴点C表示的数为， 故答案为：. 【分析】根据数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示数的差的绝对值可表示出AB的长，进而根据轴对称的性质可得AC=AB，然后利用OC=OA-AC表示出OC的长，结合数轴上的点所表示的数的特点即可得出点C所表示的数. 15．【答案】（1）甲 （2）0， ； 【解析】【解答】解：（1）因为“ ”是负分数，属于有理数；“ ”是无理数，“ ”是无理数. 所以甲、乙、丙三个人中，说错的是甲； 故答案为：甲； （2） ， ， 整数有：0， ； 负分数有： . 故答案为：0， ； . 【分析】（1）根据无理数是无限不循环小数进行判断 （2）根据算术平方根的概念可得=-4，根据绝对值的概念可得 ，据此解答. 16．【答案】（1）解：正整数：{ ，10 } （2）解：负整数：{-3，-1} （3）解：整数：{-3，0，，-1，10 } （4）解：分数：{0.45，，，-3.14 } （5）解：无理数：{ ，3.1010010001…（两个“1”之间依次多一个“0”） } （6）解：实数：{ -3，0.45，，0，，-1，，，3.1010010001…（两个“1”之间依次多一个“0”），10，-3.14} 【解析】【分析】（1）利用开方运算求出的值，利用正整数就是除0以外的自然数，可得第一题的答案； （2）利用负整数就是正整数的相反数，可得第二题的答案； （3）利用正整数、零和负整数统称整数，可得第三题的答案； （4）利用正分数和负分数统称为分数，要注意，有限小数和无限循环小数都可以化为分数，可得答案； （5）利用无限不循环的小数是无理数，常见的无理数有三类：①开方开不尽的数，②与π有关的数，③规律性的数，如0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，可得到是无理数的数； （6）有理数和无理数统称为实数，将是实数的数填在括号里. 17．【答案】（1）解：≈-3.1，=3， 在数轴上表示为： （2）解：＜＜0＜1.6＜ 【解析】【分析】（1）先求出≈-3.1，=3，再在数轴上表述出各数即可； （2）利用数轴比较大小：数轴上左边的点表示的数总小于右边的点表示的数，即可得出答案. 18．【答案】解：由题意得：， ∴a＝5，b＝2. ∵9＜13＜16， ∴3＜＜4. ∴c＝3. ∴a+2b-c＝6. ∴a+2b-c的平方根是±. 【解析】【分析】根据算术平方根以及平方根的概念结合题意可得2a-1=9、3a+b-1=16，求出a、b的值，根据估算无理数大小的方法可得3＜＜4，据此可得c的值，然后求出a+2b-c的值，再利用平方根的概念进行解答. 19．【答案】解：2.2或2.24等，这个数不可能是分数． 【解析】【解答】由勾股定理可得a=≈2.2m， ∵是无限不循环小数，∴是无理数，故a不可能是分数. ∴a≈2.2m，这个值不是分数. 【分析】根据勾股定理求出a值，根据有理数包括整数和分数，据此解答即可. 20．【答案】解：把实数||，，，，2表示在数轴上如图所示， ＜＜||＜2＜. 【解析】【分析】根据对无理数的认识可得-π、是无理数，然后将|-|、-4、2表示在数轴上，接下来根据数轴上左边的数小于右边的数进行比较. 21．【答案】（1）3；4 （2）解：∵大正方形的面积为16， ∴大正方形边长为4， ∴长方形的面积为 ， ∴图中阴影部分的面积为 【解析】【解答】（1）解：∵小正方形的面积为11， ∴小正方形边长为 ， ∵ ， ∴ ，即小正方形边长的值在3和4这两个连续整数之间； 故答案为：3，4； 【分析】（1）利用正方形面积公式求出正方形的边长，再根据算术平方根的性质：被开方数越大，其算术平方根就越大，估算出边长的范围，即可解答； （2）先求出大正方形的边长，然后求出大长方形的长和宽，进而根据长方形面积的计算方法算出长方形的面积，最后根据“阴影部分的面积=大长方形的面积-11-16”列式计算即可. 22．【答案】（1）解：当时， ，=3，是无理数， 故； （2）解：x的值为0或1时，始终输不出y值. 因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数； （3）解：因为负数没有算术平方根， 所以输入的数据可能是负数； （4）解：4的算术平方根是2，2的算术平方根是， 故输入的值不唯一，例如4和2. 【解析】【分析】（1）根据算术平方根，即可解答； （2）根据0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，所以始终输不出y值； （3）根据负数没有算术平方根进行解答； （4）根据算术平方根，2和4都可以． 23．【答案】（1）2； （2）﹣3； （3）解： ∵5<3+<6， ∴m=5，n=3+-5=-2， ∴ = = =7-. 【解析】【解答】解：(1)∵22<7<32， ∴2<<3， ∴a=2，b=-2， 故答案为：2，-2. (2)∵-3<-<-2， ∴-的整数部分为-3，小数部分为：--(-3)=3-， 即c=-3，d=3-. 故答案为：-3，3-. 【分析】(1)根据平方根的定义先确定的整数部分a值，再用-a确定小数部分b即可； (2)根据平方根的定义先确定-的整数部分c值，再用--c确定小数部分d即可； (3)根据平方根的定义先确定的整数部分m值，再用-m确定小数部分n值，最后代值计算即可. 24．【答案】（1）10； （2）解：如图所示，即为所求， （3）解：数轴表示如下所示： ∴； 【解析】【解答】解：（1）由题意得，阴影部分面积， ∴， ∴， 故答案为：10，； （2）∵， ∴； 故答案为：； 【分析】（1）利用阴影部分的面积=边长为4的正方形的面积-四个两直角边分别为3和1的直角三角形的面积，列式计算可得第一空的答案；进而根据正方形的面积等于边长的平方，反之边长就是面积的算术平方根，直接开方可得第二空的答案； （2）面积为5的正方形的面积=边长为4的正方形的面积-四个两直角边分别为2和1的直角三角形的面积，据此画图即可；进而根据正方形的面积等于边长的平方，反之边长就是面积的算术平方根，直接开方可得b的值； （3）直角边分别为3与1的直角三角形的斜边长就是a的值，直角边分别为2与1的直角三角形的斜边长就是b的值，分别以原点为圆心，a、b的长为半径画弧，与数轴的正半轴、负半轴分别相交，其交点表示的数，从左至右依次是-a、-b、b、a，进而根据数轴上的点所表示的数，右边的数总比左边的大即可判断得出答案. 1 学科网（北京）股份有限公司 $