3.1 平方根 课时作业 2026-2027学年浙教版数学 七年级上册

**基本信息** 分层清晰，从基础巩固到能力拓展再到探究创新，覆盖平方根全知识点，适配新授课教学，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础达标|单一概念与基础运算|选择填空辨析平方根与算术平方根，解答题强化开平方运算| |能力提升|综合应用与逻辑推理|非负性应用、平方根性质综合题，培养符号意识与推理能力| |拓展探究|规律探究与跨情境迁移|小数点移动规律、√a²与|a|关系探究，发展创新意识与模型观念|

浙教版数学七年级上册 3.1 平方根 课时作业 3.1 平方根 课时作业 浙教版 七年级上册 · 第3章 实数 班级________ 姓名________ 学号______ 得分______ 一、知识梳理 知识点1 平方根的概念 一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 ，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根，也叫做 a 的二次方根。 例如：因为 ，，所以 3 和 -3 都是 9 的平方根。 求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方，其中 a 叫做被开方数。开平方与平方互为逆运算。 图 1 中正方形面积为 16，边长 x 满足 ；图 2 中的正方形面积为 8，边长 知识点2 平方根的性质 被开方数 a 平方根的个数 表示方法 举例 正数（a > 0） 两个，互为相反数 25 的平方根是 零（a = 0） 一个，就是 0 0 的平方根是 0 负数（a < 0） 没有平方根 — -4 没有平方根 知识点3 算术平方根 正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作 ，读作“根号 a”；规定 0 的算术平方根是 0，即 。 因此，正数 a 的两个平方根可以记作 ，其中 是算术平方根， 是负的平方根。 双重非负性：在 中，被开方数 ，并且它的值 。这是本节最重要的结论之一，常与绝对值、偶次方一起用来解“几个非负数的和为 0”的问题。 知识点4 两个常用结论 (1) （其中 ）。例如 。 (2) （其中 ）。例如 ，。 即：先平方再开方，结果一定是非负数；被开方数是负数的平方时，要先算出平方的结果再开方。 知识点5 常用的完全平方数与估算 ，，，，，，，，，，，，，，。 估算方法（夹逼法）：要估计 的大小，只需找出两个连续整数 n 与 n+1，使 ，则 。例如 ，所以 。 易错警示：① ，而 16 的平方根是 ，两者不能混为一谈；② ，它表示 9 的负的平方根，不是“-9 的平方根”；③ 负数没有平方根，所以 没有意义；④ 而不是 -5。 二、典例精析 例 1 平方根与算术平方根的区别 求下列各数的平方根和算术平方根：(1) 36；(2) 0.16；(3) 。 【解】(1) 因为 ，所以 36 的平方根是 ，算术平方根是 6； (2) 因为 ，所以 0.16 的平方根是 ，算术平方根是 0.4； (3) 因为 ，所以 的平方根是 ，算术平方根是 。 点拨：“求平方根”的答案有两个，要带 ；“求算术平方根”只取正的那一个。读题时先圈出关键词，可以避免丢解。 例 2 含根号的式子的计算 计算：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 。 【解】(1) ；(2) ；(3) ；(4) 。 点拨：遇到 这类式子，必须先算被开方数 ，再开平方，结果一定非负。 例 3 非负性的应用 已知 ，求 的值。 【解】因为 ，，而它们的和等于 0， 所以 且 ，即 ，。 所以 ，。 点拨：“几个非负数的和为 0”，则每一个都为 0，这是求字母值的常用突破口。常见的非负数有：、、。 三、基础达标 （一）选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1. 下列说法中，正确的是（　　） A. 9 的平方根是 3　　B. 9 的算术平方根是 ±3　　C. -9 的平方根是 -3　　D. 9 的平方根是 ±3 2. 计算 的结果是（　　） A. 7　　B. -7　　C. ±7　　D. 3. 下列各数中，没有平方根的是（　　） A. 　　B. 0　　C. 　　D. 4. 的值是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 5. 平方根等于它本身的数是（　　） A. 0　　B. 1　　C. 0 和 1　　D. 0，1，-1 6. 若 有意义，则 x 的取值范围是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 7. 估计 的值在（　　） A. 5 与 6 之间　　B. 6 与 7 之间　　C. 7 与 8 之间　　D. 3 与 4 之间 8. 计算 的结果是（　　） A. 6　　B. 36　　C. 　　D. ±6 9. 下列各式中，正确的是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 10. 一个正方形的面积是 15 cm²，则这个正方形的边长（　　） A. 在 3 cm 与 4 cm 之间　　B. 在 4 cm 与 5 cm 之间　　C. 等于 3.8 cm　　D. 在 2 cm 与 3 cm 之间 （二）填空题（每空 2 分，共 24 分） 11. 100 的平方根是 ____________，100 的算术平方根是 ____________。 12. = ____________； = ____________。 13. = ____________； = ____________。 14. 若 ，则 = ____________。 15. 面积为 1.44 的正方形，它的边长是 ____________。 16. 比较大小（填“>”“<”或“=”）： ______ 4； ______ -3。 17. = ____________。 18. 若 ，则 = ____________， = ____________。 （三）解答题（共 46 分） 19.（10 分）求下列各数的平方根： (1) 121；　(2) ；　(3) 0.49；　(4) ；　(5) 0。 20.（12 分）计算： (1) ；　(2) ；　(3) ； (4) ；　(5) ；　(6) 。 21.（12 分）求下列各式中 的值： (1) ；　(2) ；　(3) ；　(4) 。 22.（6 分）一块正方形绿地的面积为 90 m²。 (1) 用根号表示这块绿地的边长； (2) 估计这块绿地的边长在哪两个连续整数之间，并说明理由。 23.（6 分）已知 的平方根是 ， 的算术平方根是 3，求 的平方根。 四、能力提升 24. 已知正数 的两个平方根分别是 和 ，则 的值是（　　） A. 9　　B. 25　　C. -3　　D. 16 25. 若 ，则 的取值范围是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 26. 若 与 都有意义，则 的取值范围是 ____________。 27. 一个正数的算术平方根是 ，则比这个数大 5 的数是 ____________。 28. 因为 ，所以 ，于是 的整数部分是 2，小数部分是 。仿照上述方法： 的整数部分是 ____________，小数部分是 ____________。 29.（6 分）已知 ， 满足 ，求 的值。 30.（6 分）已知 与 是同一个正数的两个平方根，求这个正数。 31.（8 分）学校准备修建一个面积为 200 m² 的正方形花坛。 (1) 这个花坛的边长是多少米（用根号表示）？ (2) 参考数据：，，，。请估计花坛的边长（精确到 0.1 m）。 (3) 若沿花坛四周修一圈护栏，护栏的长度约为多少米（精确到 0.1 m）？ 五、拓展探究 32.（8 分）【探究 与 的关系】 (1) 完成下表： 5 0.3 0 -2 -6 (2) 观察上表，当 时， = ____________；当 时， = ____________。 (3) 利用上面的结论，当 时，化简：。 33.（8 分）【小数点移动的规律】已知 ，。 (1) 填空： __________， __________， __________。 (2) 用自己的话说出你发现的规律。 (3) 若 ，则 约等于多少？ 参考答案与解析 （一）选择题 1. D　【解析】9 的平方根有两个，是 ，故 A 只说了一半，错误；9 的算术平方根是 3，B 错误；负数没有平方根，C 错误。故选 D。 2. A　【解析】符号 表示 49 的算术平方根，即正的平方根，。注意 49 的平方根才是 。故选 A。 3. C　【解析】，有平方根；0 有平方根 0；，负数没有平方根；，有平方根。故选 C。 4. A　【解析】因为 ，且 表示算术平方根，所以结果为 。故选 A。 5. A　【解析】设这个数为 ，则 ，得 或 。但 1 的平方根是 ，不等于它本身，只有 0 的平方根是 0。故选 A。 6. B　【解析】被开方数必须为非负数，所以 ，即 。故选 B。 7. B　【解析】因为 ，即 ，所以 。故选 B。 8. A　【解析】由 （）得 。故选 A。 9. B　【解析】，A 错误；，B 正确；，C 错误；，D 错误。故选 B。 10. A　【解析】设边长为 cm，则 ，。因为 ，所以 。故选 A。 （二）填空题 11. ；10。【解析】求平方根要带“”，求算术平方根只取正值。 12. 0.8；。【解析】；，前面有负号，故为 。 13. 13；8。【解析】；，注意结果为正数。 14. 。【解析】11 不是完全平方数，其平方根只能用根号表示，且有两个。 15. 1.2。【解析】边长为正数，且 ，所以边长为 1.2。 16. >；>。【解析】，所以 ；因为 ，所以 ，两边同乘 -1 后不等号方向改变，得 。 17. 3。【解析】先算里层：，再算外层：。 18. -1；-2。【解析】，，两个非负数的和为 0，则它们同时为 0，所以 ，，即 ，。故 ，。 （三）解答题 19.【解】(1) 因为 ，所以 121 的平方根是 。 (2) 因为 ，所以 的平方根是 。 (3) 因为 ，所以 0.49 的平方根是 。 (4) 先化简被开方数：，所以它的平方根是 。 (5) 0 的平方根是 0。 方法点拨：第 (4) 小题是常见易错点，必须先把 算成 49，再求平方根，答案不是 。 20.【解】(1) ；　(2) ；　(3) ； (4) ；　(5) ；　(6) 。 21.【解】(1) 由 得 。 (2) 由 得 ，所以 。 (3) 由 得 ，所以 或 ，解得 或 。 (4) 由 得 ，所以 。 易错提醒：开平方时不要漏掉负根。第 (3) 题把 看作一个整体，是“整体思想”的典型应用。 22.【解】(1) 设边长为 m（），则 ，所以 ，即边长为 m。 (2) 因为 ，即 ，所以 ，即边长在 9 m 与 10 m 之间。 23.【解】因为 的平方根是 ，所以 ，解得 ； 因为 的算术平方根是 3，所以 ，解得 。 所以 ，而 16 的平方根是 。故 的平方根是 。 （三）能力提升 24. B　【解析】一个正数的两个平方根互为相反数，其和为 0，所以 ，即 ，。此时 ，所以 。故选 B。 25. D　【解析】 的结果一定是非负数，所以 ，解得 。故选 D。 26. 。【解析】由 得 ；由 得 。取公共部分即可。 27. 。【解析】若一个正数的算术平方根是 ，则这个数是 ，比它大 5 的数是 。 28. 3；。【解析】因为 ，所以 ，整数部分为 3，小数部分等于原数减去整数部分，即 。 29.【解】因为 ，，且两者之和为 0， 所以 且 ，得 ，。 所以 ，故 。 30.【解】因为同一个正数的两个平方根互为相反数，所以 ， 即 ，解得 。此时 ，， 所以这个正数是 （或 ）。 31.【解】(1) 设边长为 m（），则 ，所以边长为 m。 (2) 因为 ，，所以 ； 又 ，所以 ，故 ，即边长约为 14.1 m。 (3) 护栏长约为 （m）。 （四）拓展探究 32.【解】(1) 表格从左到右依次为： 5 0.3 0 -2 -6 25 0.09 0 4 36 5 0.3 0 2 6 (2) 当 时，；当 时，。 (3) 当 时，。 归纳： 表示 的绝对值，即 。它永远是非负数，这是判断根式化简正误的“金标准”。 33.【解】(1) ；；。 (2) 规律：被开方数的小数点每向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向右移动一位；被开方数的小数点每向左移动两位，它的算术平方根的小数点就向左移动一位。 (3) 因为 ，所以 。 六、错题整理与自我评价 请把本次作业中做错的题号、错因和订正思路填入下表，并在最后一栏给自己评星（★~★★★★★）。 错题题号 错因分析（概念不清 / 计算失误 / 审题不清 / 方法不会） 订正思路 本节我的掌握情况：平方根与算术平方根的区别（　　）；开平方求 x（　　）；非负性的应用（　　）；估算（　　）。 自我评价：________________________　　家长（教师）签字：________________________ 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $