25.2.3 降次——解一元二次方程 因式分解法 分层训练 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦因式分解法解一元二次方程，通过分层训练构建"概念-方法-应用"完整体系，强化降次思想与零乘积性质的推理应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|14题（含漏根问题辨析）|提取公因式/平方差/十字相乘法，零乘积性质直接应用|从多项式因式分解到方程求解，构建"分解→降次→求解"线性逻辑| |能力提升|12题（含整体代换题型）|含参方程因式分解，根与系数关系应用|拓展至含参问题与几何情境，形成"具体→抽象→综合"认知进阶| |综合拓展|2题（阅读探究+实际应用）|因式分解规律迁移，实际问题数学建模|融合阅读理解与生活情境，培养数学建模与创新意识|

九年级数学 · 25.2.3 降次——解一元二次方程 因式分解法 · 分层训练 25.2.3 降次——解一元二次方程 因式分解法 分层训练 第一部分（必做） 一、选择题（共 6 题） 1．下列方程中，左边只需提取公因式就能直接化为两个一次因式乘积的是（ ） A．x²−6x=0 B．x²−9=0 C．x²+5x+6=0 D．2x²−5x−3=0 2．方程 (2x−3)(x+4)=0 的根是（ ） A．x=−4 或 x= B．x=4 或 x= C．x=−4 或 x=− D．x=4 或 x=− 3．方程 (x−2)(x+5)=4(x−2) 的根是（ ） A．2，−1 B．2，1 C．−2，−1 D．−2，1 4．解方程 x²−7x=0 时，小明把方程两边同除以 x，得到 x=7。这样做会（ ） A．增根 x=7 B．漏掉根 x=0 C．漏掉根 x=7 D．使方程无解 5．如图是用因式分解法解一元二次方程的基本流程，框①中应填（ ） （第5题图） A．A=0 且 B=0 B．A=0 或 B=0 C．A=B D．A+B=0 6．多项式 x²−13x+40 的因式分解结果正确的是（ ） A．(x−5)(x−8) B．(x+5)(x−8) C．(x−4)(x−10) D．(x+5)(x+8) 二、填空题（共 4 题） 7．若 P(x)·Q(x)=0，则 P(x)=________ 或 Q(x)=________。 8．方程 9x²−16=0 的根为 x= 或 x=−。 9．方程 x²+2x−15=0 的根为 ____________________。 10．若 x=3 是方程 x²+mx−18=0 的一个根，则 m=________，方程的另一个根为________。 三、解答题（共 4 题） 11．用因式分解法解下列方程： （1）x²−9x=0； （2）2x²−x−6=0。 12．用因式分解法解方程：(x+4)²=7(x+4)。 13．小明解方程 (x−1)(x+3)=2(x−1) 时，把方程两边同除以 (x−1)，得到 x+3=2。 （1）指出这种解法存在的问题； （2）用因式分解法写出正确的解答过程。 14．一个两位正整数的十位数字比个位数字大3，且两个数位上的数字之积为28。求这个两位数。 第二部分（必做） 四、选择题（共 4 题） 15．若 x²+px−18 分解因式后有一个因式是 x−3，则 p 的值为（ ） A．−9 B．−3 C．3 D．9 16．方程 (2x−1)²−5(2x−1)+6=0 的根是（ ） A．x= 或 2 B．x=− 或 2 C．x= 或 3 D．x=− 或 3 17．若 a、b 为两个不相等的实数，则方程 x²−(a+b)x+ab=0 的两个根是（ ） A．a，b B．−a，−b C．a，−b D．−a，b 18．如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 的长是方程 x²−9x+20=0 的较大根，BD=6 cm，则菱形 ABCD 的面积为（ ） （第18题图） A．12 cm² B．15 cm² C．20 cm² D．30 cm² 五、填空题（共 4 题） 19．方程 x²−(m+4)x+4m=0 可化为 (x−4)(x−m)=0。若方程有两个相等的实数根，则 m=________。 20．写出一个二次项系数为1、两个根分别为−2和5的一元二次方程：____________________。 21．方程 (3x−1)(x+2)=0 的两根之差的绝对值为 。 22．方程 x²−(m−2)x−2m=0 可化为 (x+2)(x−m)=0。若两个根互为相反数，则 m=________。 六、解答题（共 4 题） 23．用因式分解法解下列方程： （1）4x²−25=0； （2）6x²+x−2=0。 24．解方程：(2x−1)²−7(2x−1)+10=0。 25．已知关于 x 的方程 x²−(k+2)x+2k=0。 （1）用因式分解法求方程的两个根； （2）若一个根是另一个根的2倍，求 k 的值。 26．两个连续的正偶数的积为224，求这两个正偶数。 第三部分（选做·附加） 27．【阅读探究】由多项式乘法可知：x²+(m+n)x+mn=(x+m)(x+n)。因此，当能找到两个数 m、n，使 m+n 等于一次项系数、mn 等于常数项时，就能把二次三项式分解成两个一次因式。 （1）利用上述规律分解 x²−7x+12，并解方程 x²−7x+12=0； （2）利用上述规律解方程 x²−x−6=0； （3）若 x²+px−24=(x+m)(x+n)，其中 m、n 为整数，且 m−n=10，求 p 的所有可能值。 28．如图，某农场利用一段长14 m的围墙 MN 和木栏围成矩形菜地 ABCD，AD 靠墙，AB、CD 上各留一扇1 m宽的门（门处不使用木栏）。现有木栏32 m，设 AB=x m，AD=y m。 （第28题图） （1）用含 x 的式子表示 y，并根据围墙长度写出 x 的取值范围； （2）若菜地面积为120 m²，列出关于 x 的一元二次方程，并用因式分解法求出方程的根； （3）结合实际条件，求菜地的长和宽。 详细答案与解析 第一部分（必做） 1．答案：A 解析：x²−6x=x(x−6)，只需提取公因式 x 即可。B 需用平方差公式，C、D 需分解二次三项式，因此选 A。 2．答案：x=−4 或 x= 解析：由 (2x−3)(x+4)=0，根据零乘积性质，得 2x−3=0 或 x+4=0，所以 x= 或 x=−4。 3．答案：A（2，−1） 解析：原方程移项，得 (x−2)(x+5)−4(x−2)=0。提取公因式 (x−2)，得 (x−2)(x+1)=0，所以 x=2 或 x=−1。 4．答案：B 解析：方程 x²−7x=0 的两个根是 0 和 7。直接把方程两边同除以 x，相当于先假定 x≠0，因此会把根 x=0 漏掉。 5．答案：B 解析：因式分解后得到 A·B=0。根据零乘积性质，应转化为 A=0 或 B=0，再分别解两个一元一次方程。 6．答案：A 解析：寻找两个数，使它们的积为40、和为−13，可取−5与−8。因此 x²−13x+40=(x−5)(x−8)。 7．答案：P(x)=0；Q(x)=0 解析：零乘积性质说明，两个因式的积为0时，至少有一个因式为0，因此应填 P(x)=0、Q(x)=0。 8．答案：x= 或 x=− 解析：9x²−16=(3x−4)(3x+4)。由 (3x−4)(3x+4)=0，得 3x−4=0 或 3x+4=0，所以 x= 或 x=−。 9．答案：x=3 或 x=−5 解析：x²+2x−15=(x−3)(x+5)。由 (x−3)(x+5)=0，得 x=3 或 x=−5。 10．答案：m=3；另一个根为−6 解析：把 x=3 代入 x²+mx−18=0，得 9+3m−18=0，所以 m=3。此时方程为 x²+3x−18=0=(x−3)(x+6)，故另一个根为−6。 11．解： （1）原方程可化为 x(x−9)=0。 ∴ x=0 或 x−9=0，∴ x₁=0，x₂=9。 （2）原方程左边因式分解，得 (2x+3)(x−2)=0。 ∴ 2x+3=0 或 x−2=0，∴ x₁=−，x₂=2。 12．解： 原方程移项，得 (x+4)²−7(x+4)=0。 提取公因式 (x+4)，得 (x+4)[(x+4)−7]=0，即 (x+4)(x−3)=0。 ∴ x+4=0 或 x−3=0，∴ x₁=−4，x₂=3。 13．解： （1）两边同除以 (x−1) 时，默认了 x−1≠0，因此可能漏掉使 x−1=0 的根 x=1。 （2）原方程移项，得 (x−1)(x+3)−2(x−1)=0。 提取公因式 (x−1)，得 (x−1)(x+1)=0。 ∴ x−1=0 或 x+1=0，∴ x₁=1，x₂=−1。 14．解： 设个位数字为 x，则十位数字为 x+3。由题意，得 x(x+3)=28。 整理得 x²+3x−28=0，因式分解得 (x+7)(x−4)=0。 ∴ x=−7 或 x=4。因为 x 是个位数字，必须满足 0≤x≤9，故舍去 x=−7，取 x=4。 此时十位数字为 4+3=7，所以这个两位数是74。答：这个两位数为74。 第二部分（必做） 15．答案：C（3） 解析：既然 x−3 是因式，则另一个一次因式应与它相乘得到常数项−18，所以可写成 (x−3)(x+6)=x²+3x−18。比较一次项系数得 p=3。 16．答案：A 解析：把 2x−1 看作一个整体。原方程可分解为 [(2x−1)−2][(2x−1)−3]=0，即 (2x−3)(2x−4)=0，所以 x= 或 x=2。 17．答案：A（a，b） 解析：x²−(a+b)x+ab=(x−a)(x−b)。由 (x−a)(x−b)=0，得 x=a 或 x=b。因为 a≠b，所以两根不相等。 18．答案：B（15 cm²） 解析：x²−9x+20=(x−4)(x−5)，所以方程的两个根为4和5，较大根为5，即 AC=5 cm。菱形面积等于两条对角线长度乘积的一半，因此 S=5×6÷2=15（cm²）。 19．答案：4 解析：由 (x−4)(x−m)=0 可知两个根分别为4和m。方程有两个相等的实数根时，两根相等，所以 m=4。 20．答案：x²−3x−10=0 解析：根为−2和5，对应的一次因式为 x+2 与 x−5。取二次项系数为1，得 (x+2)(x−5)=0，展开为 x²−3x−10=0。 21．答案： 解析：由 (3x−1)(x+2)=0，得 x₁=，x₂=−2。两根之差的绝对值为 |−(−2)|=。 22．答案：2 解析：由 (x+2)(x−m)=0，两个根为−2和m。若它们互为相反数，则 m=2。 23．解： （1）原方程左边利用平方差公式分解，得 (2x−5)(2x+5)=0。 ∴ 2x−5=0 或 2x+5=0，∴ x₁=，x₂=−。 （2）原方程左边因式分解，得 (3x+2)(2x−1)=0。 ∴ 3x+2=0 或 2x−1=0，∴ x₁=−，x₂=。 24．解： 把 2x−1 看作一个整体。 原方程可化为 [(2x−1)−5][(2x−1)−2]=0，即 (2x−6)(2x−3)=0。 ∴ 2x−6=0 或 2x−3=0，∴ x₁=3，x₂=。 25．解： （1）原方程左边因式分解，得 (x−2)(x−k)=0。 ∴ x−2=0 或 x−k=0，所以两个根分别为2和k。 （2）若 k 是2的2倍，则 k=4；若2是 k 的2倍，则 2=2k，得 k=1。 ∴ k=1 或 k=4。 26．解： 设较小的正偶数为 x，则较大的正偶数为 x+2。根据题意，得 x(x+2)=224。 整理得 x²+2x−224=0，因式分解得 (x−14)(x+16)=0。 ∴ x=14 或 x=−16。因为 x 为正偶数，舍去−16，取 x=14。 答：这两个连续的正偶数是14和16。 第三部分（选做·附加） 27．解： （1）要使 m+n=−7、mn=12，可取 m=−3，n=−4，所以 x²−7x+12=(x−3)(x−4)。 由 (x−3)(x−4)=0，得 x=3 或 x=4。 （2）要使 m+n=−1、mn=−6，可取 m=2，n=−3，所以 x²−x−6=(x+2)(x−3)。 由 (x+2)(x−3)=0，得 x=−2 或 x=3。 （3）由 x²+px−24=(x+m)(x+n)，得 mn=−24，p=m+n。又 m−n=10。 在整数因数对中，满足条件的有 (m，n)=(4，−6) 或 (6，−4)。 因此 p=4+(−6)=−2，或 p=6+(−4)=2，即 p=−2 或 p=2。 28．解： （1）两扇门共宽2 m，门处不使用木栏，因此木栏总长满足 (x−1)+(x−1)+y=32。 整理得 y=34−2x。又 AD=y 不得超过围墙长度14 m，且 y>0，所以 34−2x≤14 且 34−2x>0。 解得 10≤x<17。 （2）菜地面积为120 m²，所以 x(34−2x)=120。 整理得 x²−17x+60=0，因式分解得 (x−5)(x−12)=0。 ∴ x=5 或 x=12。 （3）由（1）知 10≤x<17，所以 x=5 不符合实际条件，取 x=12。 此时 y=34−2×12=10（m）。答：菜地的长和宽分别为12 m和10 m。 方法归纳与易错提醒 ① 因式分解法的核心是“降次”：先把方程化为 A·B=0，再利用零乘积性质转化为两个一元一次方程。 ② 方程两边不能随意约去含未知数的因式。若该因式可能为0，直接约去就会漏根。 ③ 常见结构要会识别：提公因式、平方差、完全平方，以及形如 x²+px+q 的二次三项式分解；遇到 (2x−1) 等重复出现的式子，可把它看作整体。 ④ 实际问题求出方程根后必须检验实际意义，如数位、正偶数、边长、围墙长度等条件，舍去不合题意的根。 学科网（北京）股份有限公司 $