知识板块三 一元二次方程根与系数的关系 专项训练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学一元二次方程专项训练，以根系关系应用与实际问题建模为核心，通过分层突破构建“概念-方法-应用”逻辑链，培养抽象能力、推理意识与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |根系关系应用|7个拆分突破（对称式/非对称式求值等）|降次整体代换、构造方程、分类讨论去绝对值|从根系关系定义到参数求解、几何应用，层层递进| |实际问题建模|7个拆分突破（图形/传播/利润等问题）|变化率公式、循环问题模型、动点轨迹分析|从数学建模到实际应用，强化应用意识与数据观念|

知识板块三 一元二次方程根与系数的关系 拆分突破9 根系关系(一)对称式求值 必刷考点一 直接求 1.若α，β是一元二次方程 的两根，则 的值是 . 必刷考点二 降次求 2.(2025 宿迁中考)方程 的两个根分别是m，n，则 的值是 . 3.已知a，b是方程 的两根，则代数式 的值为 . 必刷考点三 平方求 4.(2025华一光谷)已知a,b 是方程 的两根，则 的结果是( ) A. B. C. D. 必刷考点四 变式求 5.(1)阅读材料：设一元三次方程 有三个根.x₁,x₂,x₃,则原方程可化为 展开整理得， 比较系数，可以得到： (2)解决问题：若方程 的三个根为α，β，γ，则 的值是 . 拆分突破10 根系关系(二)非对称式求值 若x₁,x₁是方程 的两个根，利用根的定义降次： 必刷考点一 代换单根整体求 1.若a，b是关于x的一元二次方程 的两个不相等的实数根，则 b+1的值为 . 2.若α,β是方程 的两个实数根，则代数式 的值为( ) A.-2011 B.-2 013 C.2 011 D.2 023 必刷考点二 代换双根降次求 3.(2026光谷实验质检改编)已知m，n是一元二次方程 的两根，则 2 025 的值是 . 4.(2025武汉三初)已知a,b是方程 的两根，则 的值为( ) A.14 B.15 C.19 D.20 必刷考点三 倒数代换整体求 5.(2026武昌)已知a,b是方程 的两个实数根，则 的值为 . 6.(2026七一华源质检改编)已知m，n是一元二次方程 的两个根，则 的值为 . 必刷考点四 转化对称整体求 7.(2025 武钢实验)若α,β是方程 的两根(α>β),则 的值为 . 拆分突破11 根系关系(三)求参数的值 必刷考点一 利用判别式取舍 1.(2026南通)已知关于x的一元二次方程 的两个根互为倒数，则m 的值为 . 2.设x₁,x₂是关于x的方程 的两个实数根. (1)求k 的取值范围； (2)当k 为何值时, 取得最小值? 必刷考点二 利用两根关系求 3.已知关于x的方程 的两根α,β满足3α=2β,则t 的值为 . 4.(2026武汉外校)关于x的方程 有两个实数根x₁，x₂.若 x₁x₂,则k 的值是 . 必刷考点三 利用两根分布求 5.(2026大连)关于x的一元二次方程 有两个正实数根，则k 的取值范围为( ) A. k≤5且k≠1 B.1<k<5 C.1≤k≤5 D.1<k≤5 6.(2026一初替泉)关于x的一元二次方程 其中k 为常数.若原方程的一根大于3，另一根小于3，则k 的最大整数值是 . 拆分突破12 根系关系(四)去绝对值 必刷考点一 分类讨论去绝对值 1、如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一根的绝对值比另一根大3，那么称这样的方程为“邻根方程”.已知关于x 的方程. (1)求证：无论 m 为何实数，方程总有实数根； (2)若该方程是“邻根方程”，求m 的值. 必刷考点二 隐含条件去绝对值 2.已知关于x的方程 有两个实数根x₁，x₂. (1)求实数k 的取值范围； (2)若x₁,x₂满足 求k 的值. . 必刷考点三 平方法去绝对值 3.已知关于x的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)设方程的两实数根分别为 且 求m 的值. 拆分突破13 根系关系(五)构一元二次方程 必刷考点一 定义逆用构方程 1.已知两个不等的实数m，n满足等式 求 的值. 2.(2025襄阳)已知四个不等的实数a，b，m，n分别满足等式((a+m)(a+n)=7,(b+m)(b+n)=7,求(a+n)(b+n)的值. 必刷考点二 转化等式构方程 3.已知实数a，b满足 且a≠3b,求 ab 的值. 4.(2025 武汉外校)已知a,b(ab≠1)满足等式 求 的值. 必刷考点三 根系关系构方程 5.已知实数a,b,c满足a+b+c=0, abc=54.若c>0,求c的最小值. 拆分突破14 根系关系(六)几何中的运用 1.如图,在矩形ABCD中,AB=a,AD=b(a>b). (1)若a,b 是关于x的方程 的两根，且满足 求k的值； (2)在(1)的条件下,P 为CD上一点(异于C,D 两点),当点 P 在什么位置时,△APB 为直角三角形? (3)P 为CD上一点(异于C，D 两点)，当a，b满足什么条件时，使△APB 为直角三角形的点P 有且只有一个? 2.(2025光谷实验)如图,在等边△ABC中,P 是BC 下方一动点,且∠BPC=120°,PB,PC的长是关于x 的方程( 的两个实数根. (1)求证:PA 平分∠BPC; (2)当a 的值发生变化时，小丁认为：△ABC 的面积是定值；小吴认为：四边形ABPC 的面积为定值.请判断谁的结论是正确的?并说明理由. 拆分突破15 一元二次方程多结论 必刷考点一 根的定义与根的判别式 1.下列说法：①若一元二次方程 有一个根是a(a≠0)，则代数式a+b的值是-1;②若 则关于x的一元二次方程 一定有两个不相等的实数根；③若b=a+2c，则关于x的一元二次方程 一定有两个不相等的实数根；④已知两实数m，n满足 且m≠n,则 的值为-3.其中正确的有 (填序号). 必刷考点二 根的判别式与根系关系 2.对于一元二次方程 下列结论：①若b>a+c，则一元二次方程 bx+c=0有两个不相等的实数根；②若a+b+c>0,a-b+c<0,则方程 定有两个不相等的实数根；③若 则方程 定有两个不相等的实数根；④若 ac<0，且b=0，则方程两个实数根一定互为相反数.以上结论正确的有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 必刷考点三 新定义 3.(2026武昌)定义:方程 是方程 的“倒方程”.下列结论:①若x=-2是 的倒方程的一个解，则 ②一元二次方程 +c=0与它的倒方程有公共解；③若一元二次方程 无解，则它的倒方程也无解;④若 ac<0,则 与它的倒方程都有两个不相等的实数根.上述结论正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 知识板块四 实际问题与一元二次方程 拆分突破16 实际问题与一元二次方程(一)图形问题 必刷考点一 边框设计 1.(2026英格中学)造纸术、印刷术、指南针和火药是中国古代四大发明，这些发明对人类文明发展产生了深远的影响.某校科技节活动中，计划在如图所示的长100cm，宽40cm的展板上展出介绍四大发明的海报，每幅海报面积均为640 cm²，若展板外沿与海报之间、相邻海报之间均贴有宽度为x cm 的彩色纸带，求彩色纸带的宽度. 必刷考点二 场地设计 2.(2026武汉市汉阳区期中)某公园要铺设广场地面，其图案设计如图，矩形地面ABCD 中，AD=50m，AB=32m，四周各角留一个矩形花坛，中心建设一个正方形景观空地，其边长等于四个角上每个矩形花坛的宽的4倍，图中阴影处铺设地砖.已知矩形花坛的长比宽多7 m，设每个矩形花坛的宽均为x m.若铺设地砖的面积为1168 m²，求正方形景观空地的面积. 必刷考点三 裁剪折叠 3.有两张长12cm，宽10 cm的矩形纸板，分别按照图1与图2两种方式裁去若干小正方形和小矩形，剩余部分(阴影部分)恰好做成无盖和有盖的长方体纸盒各一个. (1)做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是 (填“图1”或“图2”)； (2)已知图1中裁去的小正方形边长为1.5cm，求做成的纸盒的底面积； (3)已知按图2裁剪方式做成纸盒的底面积为24 cm²，求剪去的小正方形的边长. 必刷考点四 围栏开口 4.某体育场准备利用一堵呈“L”形的围墙(粗线A-B-C表示墙，墙足够高)改建室外篮球场，如图所示，已知AB⊥BC，AB=8米，BC=70米，现计划用总长为136米的围网围建呈“日”字形的两个篮球场，并在每个篮球场开一个宽3米的门(细线表示围网，两个篮球场之间用围网GH 隔开)，为了充分利用墙体，点F 必须在线段BC 上，设EF 的长为x 米. (1)DE= 米;(用含x 的代数式表示) (2)若围成的篮球场 BDEF 的面积为1200平方米，求EF 的长；(围网及墙体所占面积忽略不计) (3)篮球场 BDEF 的面积是否能达到1900平方米?请说明理由. 必刷考点五 围栏分块 5.某家禽养殖场，用总长为280m的围栏靠墙(墙长为70 m)围成如图所示的三块矩形区域，矩形 AEHG 与矩形CDEF 的面积都等于矩形BFHG 面积的 ,设AD 长为x m. (1)请直接写出： (2)当矩形ABCD 的面积为3 360m² 时,求AD 的长是多少? 必刷考点六 黄金分割 6.(2026武汉市江汉区期末)如图，C为在线段AB 上的一点，且满足关系式， 求 的值. 拆分突破17 实际问题与一元二次方程(二)传播问题 必刷考点一 传染问题 1.有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感. (1)每轮传染中平均一个人传染几个人? (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有 个人患流感. 必刷考点二 分支问题 2.(2025武昌联考)某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91.若每个支干长出x个小分支，则x的值为 . 3.(2025黄冈)为了宣传垃圾分类，小王写了一封倡议书，用微博转发的方式传播，他设计了如下的转发规则：将倡议书发表在自己的微博上，然后邀请x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请x个互不相同的好友转发，已知经过两轮转发后，共有111个人参与了本次活动. (1)x的值是多少? (2)再经过几轮转发后，参与人数会超过 10 000人? 必刷考点三 细胞分裂问题 4.(2025六中上智)某种细胞分裂，一个细胞经过两轮分裂后，共有a个细胞，设每轮分裂中平均一个细胞分裂成x个细胞，那么可列方程为( ) 拆分突破18 实际问题与一元二次方程(三)变化率问题 设初始量为a，平均变化率为x，经过n次变化后的量为b，b=a(1±x)°. 必刷考点一 显性变化率问题 1.为了让学生养成热爱读书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍.已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，则2020~2022年买书资金的平均增长率是 . 2.读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一.据统计，某书院对外开放的第一个月进书院600人次，进书院人数逐月增加，到第三个月末累计进书院2850人次.若进书院人次的月平均增长率为x，则可列方程为 . 3.在国家政策的调控下，某市的商品房成交均价由今年6月份的16 000元/平方米下降到8月份的12 960元/平方米. (1)求6月到8月平均每月降价的百分率； (2)如果房价继续回落，按此降价的百分率，请你预测到9月份该市的商品房成交均价是否会跌破每平方米11 500元?请说明理由. 必刷考点二 隐性变化率问题 4.(2026东湖高新)俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看.”意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘.假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程为( ) A. B. C.1-2x=50% D. 5.(2026粮道街中学)一辆新车购买价为20万元，第一年使用后折旧20%，以后该车的年折旧率有所变化，但它在第二、三年的年折旧率相同.若第三年年末这辆车折旧后价格为11.56万元，则第二、三年的年折旧率为 、 6.《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”.例如：已知 A，B，C三人分配奖金的衰分比为10%，若A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为900元和810元.某科研所三位技术人员甲、乙、丙攻关成功，共获得奖金175万元，甲、乙、丙按照一定的“衰分比”分配奖金，若甲分得奖金100万元，则“衰分比”是 . 拆分突破19 实际问题与一元二次方程(四)利润问题 销售总利润=单价利润×总数量、以降价为例，假设每降价a元，销量增加b件、 ①若降价x元，总利润=(原单件利润-x)(原销量·+x/a. b); ②若新售价为x元，总利润=(x-成本)( 必刷考点一 设降价 1.索材1：如图，某农户规划在一个长为300米，宽为200米的长方形果园ABCD 上修建三条通道，使其中两条与AB 平行，通道EF=GH；另一条与AD 平行，并使两条通道MN：EF=2：3，其余六块部分种植草莓. 素材2：经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5 000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓.果园每月的承包费为2万元. 任务1：要使每一块种植草莓的面积都为8550平方米，则通道的宽MN 应设计成多少米? 任务2：若农户预期一个月的总利润(总利润=销售利润-承包费)为52万元，为了让购买草莓的客户获得更大的优惠，那么应该降价多少元? 必刷考点二 设新售价 2.(2025光谷外校)党的二十大报告提出：“加快建设高质量教育体系，发展素质教育”.某校为进一步落实五育并举工作，有效开展“阳光体育”活动，计划从某体育用品商城购买跳绳用于“大课间”活动.已知一根跳绳的进价为20元，商城确定其售价为40元. (1)商城准备进行降价促销，从原价每根40元进行两次调价后的售价为32.4元，若两次调价的降价率相同，求降价率； (2)经调查，每根跳绳每降价0.2元，即可多销售10根.已知售价为40元时，每月可销售500根.若商城期望销售跳绳每月盈利10 800元，且尽量减少库存，求每根跳绳的定价. 拆分突破20 实际问题与一元二次方程(五)循环问题 必刷考点一 单循环 1.(2025二中广雅)在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手1次. (1)若参加聚会的人数为3，则共握手 次；若参加聚会的人数为5，则共握手 次；若参加聚会的人数为n(n为正整数)，则共握手 次； (2)若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数； (3)嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线段AB上共有m个点(不含端点A，B)，线段总数为多少呢?请直接写出结论； (4)小明想到另一个数学问题：若n边形的边数增加1，对角线总数增加9，求边数n的值. 必刷考点二 双循环 2.圣诞节时，某班一个小组有x人，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡110张，则该小组一共有多少位组员? 3.(2025武汉十一初)高铁从A 地到B 地，共设计了 30种往返车票.问从A 地到B 地共有多少个站点? 拆分突破21 实际问题与一元二次方程(六)数字与规律 必刷考点一 数字问题 1.在如图所示的月历表上可以用一个方框圈出4个数，若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数(请用方程知识解答). 2021年 07月 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16| 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 必刷考点二 规律探究 2.根据图中的数字规律，解决下列问题： (1)直接写出右上数字p 与左上数字n的数量关系： ； (2)直接写出下方数字q 与左上数字n的数量关系： ； (3)若第 n个图中的q=143,求p 的值. 3.如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14 个圆，第4个图形中一共有 22 个圆.……按此规律排列下去，现已知第n个图形中圆的个数是134个，则n的值为 . 4.小颗同学积极参加“垃圾分类”宣传，为防止遗忘，她把要参加的日期在月历表上涂黑.已知这个月她要参加8天，将要参加的日期涂黑后恰好得到如图中的一个“回”字型. (1)若涂黑的8个数中最小数与最大数的积为161，求这8个数的和； (2)这8个数的和能否是192?请简要说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 拆分突破22 实际问题与一元二次方程(七)动点问题 必刷考点一 三角形背景 1.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=5cm ,BC=8cm.点 P 从点 A 开始沿AB 边向点 B 以1 cm/s的速度移动，同时点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm /s的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动. (1)△PQB 的面积能否等于 9 cm²? 请说明理由; (2)几秒时,四边形APQC 的面积等于16 cm²?请写出过程. 必刷考点二 四边形背景 2.(2026武汉外校)如图,在矩形ABCD 中,BC=20cm,P,Q,M,N 分别从A,B,C,D 出发沿AD，BC，CB，DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时即停止.已知在相同时间内,若BQ=x cm(x≠0),则.AP=2x cm,CM=3x cm, 当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形? 必刷考点三 圆周形背景 3.小勤设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点从直径的两端点 A，B分别以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程l(cm)与时间t(s)满足关系 乙以 4 cm/s的速度匀速运动，半圆的长度为 21 cm. (1)问：当甲运动的路程为5cm 时，乙与甲相遇了吗?请说明理由； (2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，甲运动的路程为多少? 知识板块三 一元二次方程根与系数的关系 拆分突破9 根系关系(一) 对称式求值 解： 2.-4048 解:∵m+n=2024,mn=-2025, ∴原式=(m-1)(n-1) = mn-(m+n)+1 =-2025-2024+1 =-4048. 3.1解：∵a，b是一元二次方程 3x+1=0的根, 且a+b=3, ab=1, 即 =1. 4. B 解:∵a+b=-5<0, ab=3>0,∴a<0,b<0. 法·一： 12,且 法二：原式 故选 B. 5.解:(1)-b/ a c/a - d/a (2)利用上题结论可知:α+β+γ= 拆分突破10 根系关系(二) 非对称式求值 1.4 043 解： 2 022, (a+b)+1=2×2022+(-2)+1=4043. 2. C 解: 2017-2×3=2011.故选 C. 3.2029 解: =0. m+n=1, m=m+1+m=Im+1, +1+n+2 025=2(m+n)+2027=2×1+2027=2029. 4. B 解: ∴原式=2a(a+1)+3b(b+1)+5a 2(a+1)+3(b+1)+7a+6b+1=9(a+b)+6=9×1+6=15.故选 B. 解： 5. 6.27解： Bame=-2,m+n=S, 3m)+2+3n+18(n-3)+n+1= 2)+22n-51=22m+22π-39=22(m+n)-39=66-39=27. 解:由题意知a+β=7,ap=-1.设 则 由①÷②,得 拆分突破11 根系关系(三) 求参数的值 1.-3 解: 解得 当m=2时, -4×1×1=-3<0,无实数根;当m=-3时,△=16-4=12>0,方程有两个不相等的实数根. ∴m的值为-3. 2.解：(1)∵方程有两个实数根.x₁,x₂, 2)≥0,即-24k+16≥0, ∴m的值为-3. 2.解：(1)∵方程有两个实数根.x₁,x₂, 2)≥0,即-24k+16≥0, 解得 ②当 时， ∴m=-2. 综上，m的值为0或-2. 2.解:(1)根据题意,得 解得 (2)根据题意，得 整理，得 解得 ∴k=2. 3.解:(1)由题意,得 ∴△>0, ∴方程总有两个不相等的实数根； (2)由题意，得 ∴m的值为4或-2. 拆分突破13 根系关系(五) 构一元二次方程 1.解:∵m≠n, ∴m,n 是方程 的两个根， ∴m+n=2. ∴原式=2m+2 025+2n=2(m+n)+2025=2029. 2.解:∵a≠b, ∴由题意知a，b是关于x的方程(x+m)(x+n)=7的两个根, 即 的两根为a,b, ∴a+b=-(m+n), ab= mn-7, ∴原式 3.解: ∵a≠3b, 解得 ②当 时， ∴m=-2. 综上，m的值为0或-2. 2.解:(1)根据题意,得 解得 (2)根据题意，得 整理，得 解得 ∴k=2. 3.解:(1)由题意,得 ∴△>0, ∴方程总有两个不相等的实数根； (2)由题意，得 ∴m的值为4或-2. 拆分突破13 根系关系(五) 构一元二次方程 1.解:∵m≠n, ∴m,n 是方程 的两个根， ∴m+n=2. ∴原式=2m+2 025+2n=2(m+n)+2025=2029. 2.解:∵a≠b, ∴由题意知a，b是关于x的方程(x+m)(x+n)=7的两个根, 即 的两根为a,b, ∴a+b=-(m+n), ab= mn-7, ∴原式 3.解: ∵a≠3b, 设 解得 ∴当 时,△APB 为直角三角形； (3)同(2)可列方程, 当 时，点 P 有且只有一个,此时a²=4b².又∵a>b>0,∴a=2b. 2.解:(1)过点 A 分别作AD⊥PB,AE⊥PC,垂足为D,E. 在 四 边 形 ABPC 中,∠BAC +∠BPC+∠ABP+∠ACP=360°. ∵∠BAC=60°,∠BPC=120°, ∴∠ABP+∠ACP=180°. 又∵∠ACE+∠ACP=180°, ∴∠ABP=∠ACE. ∵∠ADB=∠AEC=90°,AB=AC, ∴△ABD≌△ACE(AAS), ∴AD=AE. 又∵AD⊥BP,AE⊥PC, ∴PA 平分∠BPC; (2)小吴的结论正确.理由如下： ∵△ABD≌△ACE, ∴S△ABD=S△ACE, ∵AD=AE,AP=AP, ∴Rt△ADP≌Rt△AEP(HL), ∵∠APE=60°,∠E=90°, ∴∠PAE=30°.在 PA 上截取 PF=PC,连接CF. ∴△PCF 为等边三角形,CF=CP, ∵AC=BC,∠ACF=∠BCP, ∴△ACF≌△BCP(SAS), ∴AF=BP, ∴AP=AF+PF=BP+PC. ∵PB,PC 是方程 1)x+a-3=0的两个实数根, ∴PA=4,PE=2,AE=2 拆分突破15 一元二次方程多结论 1.①②③④解:①将x=a代入,得a(a+b+1)=0. ∵a≠0, ∴a+b+1=0,故①正确; ②∵b²>6ac, 当ac≥0时,△>0; 当 ac<0时,△>0,故②正确; ③∵b=a+2c, ∵a≠0,∴△>0,故③正确; ④依题意，得m，n可看作方程x²+3x-9=0的两个实数根, ∴m+n=-3, mn=-9, (m+n)²-2mn (一3)²-2×(一9) =9+1⁸=9, 故④正确.故答案为①②③④. 2. B 解:由b>a+c 可以得到|b|>|a+c|或|b|=|a+c|或|b|<|a+cl,即存在△>0或△=0或△<0的三种情况.∴方程 可能无实数根或有两个相等实数根或两个不相等的实数根.(也可取特值判断),①错误.②若a+b+c>0,a-b+c<0,则(a+b+c)(a-b+ ∴方程有两个不相等的实数根.②正确；③若 ∴方程有两个不相等的实数根.③正确;④若 ac<0,则 4ac>0，方程有两个不相等的实数根.∵b=0,∴x₁+x₂=0,两根一定互为相反数.④正确.故选 B.. 3. C 解:把x=-2代入,得4c-4+1=0,解得 故①错误；两式相减得到 故方程 总有实数解,故②正确;若ax²-2x+c=0无解，则 而2x+a=0, 故它的倒方程也无解，故③正确；当ac<0时, 中△=b² 中,△= 所以这两个方程都有两个不相等的实数根，所以④正确，符合题意. 知识板块四 实际问题与一元二次方程 拆分突破16 实际问题与一元二次方程(一)图形问题 1.解：设彩色纸带的宽为x cm，根据题意,得(100-5x)(40-2x)=640×4, 解得 (不合题意，舍去).答：彩色纸带的宽为4 cm. 2.解：由题意，每个矩形花坛的长为(x+7)m，中间正方形的边长为4x m， 故铺设地砖的面积为50×32-4· 由题意，得 解得 舍), ∴中间正方形的边长=4×4=16(m),∴正方形景观空地的面积为 256(m²). 3.解：(1)做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是图2； (2)图1中裁去的小正方形边长为1.5cm,做成的纸盒的底面积=(12-3)(10-3)=63(cm²); (3)设剪去的小正方形的边长为x cm,则有(12-2x)×(10-2x)=24×2,解得x=2或x=9(舍去),∴小正方形的边长为2cm. 4.解:(1)∵AD=(x-8)米, ∴2x+x-8+DE-6=136、 ∴DE=(150-3x)米; (2)根据题意,得x(150-3x)=1 200,解得x₁=10,x₂=40, 当x=10时,150-3x=150-3×10=120>70,不符合题意,舍去; 当x=40时,150-3x=150-3×40=30<70,符合题意. 答：篮球场的宽EF 的长为40米； (3)篮球场 BDEF 的面积不能达到1900平方米.理由如下： 根据题意,得x(150-3x)=1900,整理，得： -300<0, ∴该方程没有实数根， 即篮球场 BDEF 的面积不能达到1900平方米. 5.解:(1) (2)∵矩形 AEHG 与矩形CDEF 的面积都等于矩形 BFHG 面积的 ∴AE=4DE,∴ 依题意，得 ∴50≤x<100; 依题意，得 解得 ∵50≤x<100, ∴x=60. ∴AD 的长为60 m. 6.解:设 AC 的长为x,AB 的长为1,则 BC=1-x. 故铺设地砖的面积为50×32-4· 由题意，得 解得 舍), ∴中间正方形的边长=4×4=16(m),∴正方形景观空地的面积为 256(m²). 3.解：(1)做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是图2； (2)图1中裁去的小正方形边长为1.5cm,做成的纸盒的底面积=(12-3)(10-3)=63(cm²); (3)设剪去的小正方形的边长为x cm,则有(12-2x)×(10-2x)=24×2,解得x=2或x=9(舍去),∴小正方形的边长为2cm. 4.解:(1)∵AD=(x-8)米, ∴2x+x-8+DE-6=136、 ∴DE=(150-3x)米; (2)根据题意,得x(150-3x)=1 200,解得x₁=10,x₂=40, 当x=10时,150-3x=150-3×10=120>70,不符合题意,舍去; 当x=40时,150-3x=150-3×40=30<70,符合题意. 答：篮球场的宽EF 的长为40米； (3)篮球场 BDEF 的面积不能达到1900平方米.理由如下： 根据题意,得x(150-3x)=1900,整理，得： -300<0, ∴该方程没有实数根， 即篮球场 BDEF 的面积不能达到1900平方米. 5.解:(1) (2)∵矩形 AEHG 与矩形CDEF 的面积都等于矩形 BFHG 面积的 ∴AE=4DE,∴ 依题意，得 ∴50≤x<100; 依题意，得 解得 ∵50≤x<100, ∴x=60. ∴AD 的长为60 m. 6.解:设 AC 的长为x,AB 的长为1,则 BC=1-x. ∴不会跌破每平方米11 500元5.15% 解:∵新车购买价 20万元,第一年折旧20%， ∴第一年后价值为 20×(1-20%)=16万元，设第二、三年的年折旧率为x,则第二年后价值为16(1-x),第三年后价值为16(1-x)². 根据题意， ∴x=0.15=15%或x=1.85(舍). 6.50% 拆分突破19 实际问题与一元二次方程(四)利润问题 1.解:任务 1:设通道的宽 MN =2x米,则通道的宽EF=GH=3x米,由题意,得(300-3x-3x)(200-2x)=6×8550, 整理，得 解得 (舍), ∴2x=2×5=10. 答：通道的宽 MN 应设计成10米；任务2：设每平方米草莓应该降价y元，由题意，得 20 000=520 000,整理，得 解得 ∵让购买草莓的客户获得更大的优惠， ∴每平方米草莓应该降价40元. 答：每平方米草莓应该降价40元. 2.解:(1)设降价率为x. 根据题意，得 解得 (不合题意，舍去). 答：降价率为10%； (2)设每根跳绳的定价为 y元，则每根的销售利润为(y-20)元， 每月的销量为 (2500-50y)根, 根据题意,得(y-20)(2 500-50y) =10 800, 即 ∵要尽量减少库存， ∴y=32. 答：每根跳绳应定价为32元. 拆分突破20 实际问题与一元二次方程(五)循环问题 1.解:(1)3;10; n(n-1); (2)由题意,得- n(n-1)=28, 即n(n-1)=56, 解得 (舍去). 答：参加聚会的人数为8人； (3)由线段AB 上共有 m 个点(不含端点A，B)，则相当于聚会人数为 m+2，则根据(1)即可写出线段总数为 2),解得n=10.即边数n的值为10. 2.解：设这个小组有x人，则每人应送出(x-1)张贺卡. 根据题意,得x(x-1)=110, 解得x₁=11,x₂=-10(舍). 答：该小组一共有11名组员. 3.解：设从A 地到B地共有x个站点，则每个站点去往其他站点有(x-1)种车票， 根据题意,得x(x-1)=30, (舍去). 答：从A 地到B 地有 6个站点. 拆分突破21 实际问题与一 元二次方程(六)数字与规律 1.解：设这个最小数为x，则最大数为x+8, 依题意,得x(x+8)=65, 整理，得 解得 (不合题意，舍去). 答：这个最小数为5. 2.解:(1)p=n²; 解得n₁=11,n₂=-13(舍去), 故 3.11 解：第n个图形中圆的个数是n(n+1)+2,由n(n+1)+2=134,解得n=-12(舍),n=11. 4.解：(1)设中间没有被涂黑的数为x，则最小的数为x-8，最大的数为x+8, 依题意,得(x-8)(x+8)=161,解得 (舍去). ∴这8个数字的和为(x-8)+(x-7)+(x-6)+(x-1)+(x+1)+(x+6)+(x+7)+(x+8)=8x=8×15=120. 答：这8个数的和为120； (2)不能.理由如下：由(1)知，当这8个数的和为192时，则中间没有被涂黑的数字为 192÷8=24,则最大的数为24+8=32,故不能. 拆分突破22 实际问题与一 元二次方程(七)动点问题 1.解:(1)△PQB 的面积不能等于9 cm².理由如下:设运动时间为 ts ,根据题意可得AP=tm， BP=(5-t) cm,BQ=2t cm, 由 整理，得 ∴方程没有实数根， ∴△PQB 的面积不能等于9 cm²; (2)根据题意，可得 -t)×2t=16,整理得t²-5c+4=0,解得 (不合题意，舍去)，∴t=1,四边形 APQC 的面积等于16cm². 答：1s后，四边形APQC 的面积等于16 cm². 2.解:当点 N 到达点A 时, 2 ，此时M 点和Q 点还未相遇，∴点Q 只能在点M 的左侧. ①当点 P 在点 N 的左侧时，如图1所示,由题意,得20-(x+3x)=20 解得 (舍去),x₂=2,当x=2时四边形 PQMN 是平行四边形； ②当点 P 在点 N 的右侧时，如图2所示,由题意,得20-(x+3x)= 解得x₁=-10(舍去), 当 x =4时,四边形NQMP 是平行四边形. 综上所述，当x=2或x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形. 3.解:(1)当l=5时, 解得 (舍去), ∴乙运动的路程为4×2=8(cm). ∵5+8=13<21, ∴乙与甲没有相遇； (2)由题意，得 4+21, 解得 (舍去). ∴当t=10 时, 10=65(cm), ∴甲、乙第三次相遇时，甲运动的路程为65 cm. 学科网（北京）股份有限公司 $